第3章 图形的初步认识全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章图形的初步认识全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1立体图形的认识与分类 题型2画小立方块堆砌图的三视图 题型3由三视图判断小立方块的个数 题型4直线、射线、线段的数量问题 题型5线段的和与差 题型6线段中点相关计算 题型7角度单位换算 题型8与方向角有关的计算 题型9角平分线基础计算 题型10余角、补角基础求值 目综合攻坚知能拔高 题型1线段多中点综合计算 题型2线段动点长度计算 题型3角平分线多步和差综合 题型4余角补角方程思想解题 题型5线段最短路径问题 题型6尺规作图综合 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1立体图形的认识与分类 1.下列四个几何体中，属于棱柱的是() C D 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.下列几何体中，属于棱柱的是() ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ A.②③⑥ B.①②⑦ C.①③⑥ D.①⑥ 3.下列立体图形中的柱体有 锥体有，球有 ·(填序号) (① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 4.如图所示的图形中，柱体为 （填序号)· ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 5.把下面的几何体填在相应的横线上（友情提示：将各序号用逗号分开)， ① ③ ⑧ (1)柱体的是 (2)锥体的是 (3)球体的是 (4)有曲面的是 ◆题型2画小立方块堆砌图的三视图 6.如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是() 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正面 B. 7.如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，请画出 这个几何体的主视图和左视图. 1 2 3 1 俯视图 8.如图是由4个小正方体组成的一个几何体，则该几何体的俯视图是() A. B D 9.下图是有几个小正方体所搭成的几何体的俯视图，请画出它的主视图和左视图 2 3 2 10.如图是由7个小正方体搭建而成的几何体，则它的俯视图是() 正面 B 日 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3由三视图判断小立方块的个数 11.一个仓库里堆积着若干正方体货箱，仓库管理员要落实一下箱子的数量，可是要搬运这些箱子很困难， 于是他想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱 的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为()· 主视图 左视图 俯视图 A.1 B.2 C.3 D.4 12.一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的视图，若该几何 体所用小立方块的个数为n,则n的最小值为() 从正面看 从上面看 A.7 B.9 C.8 D.10 13.一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体，最多能 有小正方体的个数为() 主视图俯视图 A.4 B.7 C.10 D.13 14.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是( 主视图左视图 俯视图 A.2 B.4 C.6 D.8 15.一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，若搭成这个几何体的小 立方块最多为m个，最少为n个，则m-2n= 4/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 主视图 俯视图 ◆题型4直线、射线、线段的数量问题 16.数一数，如图中一共有()条线段 A B C D E A.4 B.8 C.10 D.9 17.指出下图中的直线、射线、线段，并分别写出3条射线和3条线段 A B 18.如图，以点B为一个端点的线段共有 条 A B C D l9.如图有a条直线，b条射线，c条线段，则a+b-c= B G 20.盐泰锡常宜铁路是“六纵六横”高速铁路网中盐杭通道的重要线路.其中泰兴至太湖两个站点之间有 靖江、江阴、惠山三个站点，如果往返于泰兴和太湖两地，且每两站间距离各不相等，则需要准备 种不同的车票. ◆题型5线段的和与差 21.如图，A、B、C三点在同一条直线上，则关于线段AB、BC、AC有下列等式成立： A B (1)AB+BC= (2)AC-BC= (3)AC-AB= 22.点A、B、C在同一直线上，AB=5,BC=3,则AC等于(). A.2 B.8 C.2或8 D.无法确定 5/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.如图，C为线段AB的中点，点D在线段CB上. A C DB (I)图中AB=AC+BC,CD=BC-BD,类似的，请你再写出两个有关线段AD的和与差的关系式：① AD= ;②AD= (2)若AB=8,DB=1.5,求线段CD的长. 24.已知线段AB=12,点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，点E在线段AB上，且 CE-号AC.计DE的长。 25.已知线段MN=24cm,在直线MN上有一点C,且MC=10cm,点D是线段NC的中点，线段ND= ◆题型6线段中点相关计算 26.如图，C是线段AB上的一点，N是线段BC的中点，若AB=12,AC=8,求AN的长. A CNB 27.下面四个等式：①CE=DE,@DE-号CD,@CD-2CE,国CE=DE号DC,其中能表示点E是 线段CD的中点的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 28.如图，线段AD上有点M,C,B,N,且AB=10,CD=6,点M,N分别是AC,BD的中点，则MN 的长度为() A M CBND A.7 B.7.5 C.8 D.无法确定 29.如图，已知线段AB=20,C是AB的中点，点D在AB上，BD=8,E是AD的中点，F是BD的中点， 则EF+CD的值为 y E CD F B 30.如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，AB=10,若AC与BC的长度比为3：2，则线 段AD的长是 A B ◆题型7角度单位换算 31.将60.5°化为度、分、秒的形式为 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32.2.5°= ▣=口，20°30=. 33. 度分秒换算：5524= 34.422024= 口 35.若∠A=25°15，∠B=25.15°，则∠A∠B(填“>”，“=”或“<”). ◆题型8与方向角有关的计算 36.如图，在学校图书馆0处观测到，物理实验室A位于点O的北偏东52.5°的方向，教学楼B位于点0的 南偏西1512的方向，则∠A0B的度数为() 北 A.67°42 B.142°42 C.14942 D.15618 37.一个人从A地出发沿北偏东60°方向走到B地，再从B地出发沿南偏西25°方向走到C地，那么 ∠ABC=。 38.如图，琪琪一家要到革命圣地西柏坡参观，下列说法正确的是（) 北 西 》东 西柏坡， 南 35 A.西柏坡在家东偏北35°方向 B.西柏坡在家北偏东65°方向 C.家在西柏坡南偏西55°方向 D.家在西柏坡西偏南55°方向 39.如图，∠AOB=140°，点A位于点0的正南方向，则点B位于点0的() B 东 A.北偏西50°方向 B.南偏西50°方向 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.北偏西40°方向 D.南偏西40°方向 40.如图，小军和小强分别用点A,B表示，小军在广场0处的北偏西56°方向，∠AOB的大小为140°， 则图示状态下，小强在广场0处的（) 北 →东 B A.南偏东16°方向B.南偏西74°方向 C.南偏东74°方向 D.南偏西16°方向 ◆题型9角平分线基础计算 41.如图，O是直线上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,∠B0C=68°，则 ∠EOC= 度 B 42.若∠AOB=50°，∠B0C=30°，则∠A0C= :若OM是∠AOB的平分线，ON是 ∠BOC的平分线，则∠MON= 43.如图，点A,O,B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,求∠DOE的 度数 A B 44.已知在同一平面内，∠AOB=60°，∠BOC=20°，OM是∠AOC的平分线，则∠AOM的度数为 45.如图，O是直线AB上一点，OC为射线，若OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,则∠DOE的度数为 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型10余角、补角基础求值 46.以点0为中心，若射线0A的方向为北偏东55°，∠AOB=90°，则射线0B的方向为 47.已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠1=73，∠3= 48.∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠1=56°，那么∠3= 49.一个角的补角比它的余角的3倍大10°，求这个角的余角的度数. 50.如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠ 1=,∠2=55，那么∠4=°. 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1线段多中点综合计算 1.己知一个角的余角是其补角的0，则这个角的度数为 2.一个角的两倍加上30°等于这个角的补角，则这个角为 3.如图，点C在线段AB上，点M,N分别是AC、BC的中点. M C N B (1)若AC=8cm,CB=6cm,求线段MN的长； (2)若C为线段AB上任一点，如果AB=20cm,求MN的长， 4.如图，已知线段AB=18cm,点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点. A D C E B (1)若点C恰好是AB中点，则DE=Cm; (2)若AC=8cm,求DE的长. (3)说明不论AC取何值（不超过18cm),DE的长不变. 5.如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=2,第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1、 N1:第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2、N2;第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点 M3、N3;…连续这样操作2025次，则线段M2o2sN2025的长度等于 A NMs N2M2 NM M ◆题型2线段动点长度计算 6.如图，O是线段AC的中点，B是AC上任意一点，M,N分别是AB,BC的中点，若AC=I0cm, BC=4cm,则下列四个结论中，不成立的是() M O B N C 9119 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.MN=5cm B.MO=3cm C.ON=3cm D.MB=3cm 7.如图，点C是线段AB上一点，M,N分别是AB和CB的中点，AC=3,NB=2.5,则线段CM的长 是() A B A.2 B.1.5 C.1 D.0.5 8.已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB=18cm,C、D两点分别从A、M出发以1cm/s、2cms 的速度沿直线AB向右运动(C在线段AM上，D在线段BM上). D B (I)当点C、D运动了3s,求CM+BD的长度： (2)若点C、D运动时，总有BD=2CM,则AM=cm: (3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且满足AN-BN=MN,MN与AB的数量关系为· 9.如图，C为线段AD上一点，B为CD的中点，且AD=7cm,BD=2cm. A C B D (I)求AC的长. (2)若点E在直线AD上，且AE=4Cm,求线段BE的长. 10.点C在线段AB上，BC=2AC. A B 图1 备用图 (1)如图1，P、Q两点同时从C、B出发，分别以1Cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动. A ①在P还未到达A点时， C的值为-： MN ②当Q在P右侧时（点Q与C不重合），取PQ中点M,CQ的中点N,求QB的值： ②考D是直线AB上一方，且AD-BD号CD,则RB的值为- BD ◆题型3角平分线多步和差综合 11.如图，M是线段AB上一点，AB=10cm,C,D两点分别从M,B两点同时出发以1cm/s,3Cm/s的 速度沿线段BA向左运动.（假设C在线段AM上且不与点A重合，D在线段BM上且不与点M重合） M D (1)【知识技能】当点C,D运动了1s时，这时图中有 条线段： 10/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)【数学思考】当点C,D运动了2s时，求AC+MD的值： (3)【思维延伸】当点C,D运动时，总有MD=3AC,求AM的长， 12.如图，点C在线段AB上，AC=2BC,点D,E在直线AB上，点D在点E的左侧. A D CEBA C B 备用图 (1)若AB=18,DE=8,且D为AC的中点，求BE的长. DE (②若D为AC的中点，B为BC的中点，求AC的值. (3)若AB=2DE,线段DE在直线AB上移动， 且满足关系式BE C是品的他， 13.如图1，已知线段AB=18cm,CD=2cm,线段CD在线段AB上运动，E,F分别是AC,BD的中点. AECD 图1 图2 (①)若AC=4cm,则EF= cm. (2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化.如果不变，请求出EF的长度：如果变 化，请说明理由， (3)我们发现，角的很多规律和线段一样。 ①如图2，已知∠COD在∠AOB的内部转动，OE,OF分别平分∠AOC和∠BOD.若∠AOB=140°， ∠COD=40°，求∠EOF的度数. ②由此，请猜想∠EOF,∠AOB和∠COD之间的数量关系： 14.如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线. ΓA (1)若∠B0C=100°，∠B0A=40°，求∠D0E的度数； (2)若∠AOC=150°，求∠D0E的度数： (3)你发现∠DOE与∠AOC有什么等量关系？给出结论并说明. 15.如图1，点A,O,B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC. 11/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 备用图 (1)若∠AOC=60°，求∠DOE的度数： (2)若∠BOE=4∠COD,求∠AOC的度数： (3)如图2，若点A,O,B不在同一条直线上(90°<<180°)，OC是射线，且∠AOB=0, ∠AOC=B0<β<90，并求出∠DOE的度数（用含a或B的式子表示）· ◆题型4余角补角方程思想解题 16.【问题解决】 (1)如图1，已知线段AB=20cm,点C、D为线段AB上两点，且AB=4AD=5BC,点M和点N分别 是线段AC和BD的中点. ①直接写出线段AD= cm,BC= cm: ②求线段MN的长. 【类比探究】 (2)如图2，已知∠AOB=120°，OC、OD均为∠AOB内的两条射线，且 ∠AOB=4∠AOD=5∠BOC,射线OM和射线ON分别平分∠AOC、∠BOD. ①直接写出∠BOC=°，∠AOD=°： ②求∠MON的度数. D M B 图1 图2 17.【综合与探究】 B 0 图1 图2 (1)如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=90°，OD,OE分别平分∠AOB和∠AOC,求∠DOE的度 12/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数； (2)①如图1，若∠AOB=0,其他条件不变，求∠DOE的度数： ②如图2，若∠BOC=阝，其他条件不变，求∠D0OE的度数： ③通过①、②你能得到什么结论？请直接写出， 18.己知∠0与∠β互为补角，且∠β比∠0的一半大15，求∠β的余角. 19.一个角的补角比它的余角的3倍大10°，求这个角的余角的度数. 20.一个锐角c的补角是这个角c的余角的5倍，则这个角c的大小为°。 ◆题型5线段最短路径问题 21.如图，在M村庄附近有一个生态保护区，现要在公路l边修建一个垃圾站P,使它到M,N两村庄的路 程之和最短，且从M村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是() 生态M !生态1 。M 保护区 保护区 P 方案一 方案二 1,M 生态 生态 M 保护区 保护区 P C 方案三 D 方案四 22.如图，在平面上有四个点A,B,C,D,根据下列要求画图： B A c B (1)画直线AB: (2)画射线DC: (3)在平面内找一点E,使点E到A,B,C,D四点距离之和最短， 23.如图是一个底面为正方形的长方体容器，项点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从顶点A处出发沿侧面爬向 点B处.现将顶点A,B所在的两个侧面展开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是( 13/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 24.如图，从A地到B地有四条路线，其中最短的路线是() D 、G C EB A.A→C→G→E→B B.A→C→E→B C.A→D→G一E-B D.A→F→E→B 25.如图，AC=3,BC=4,AB=5,点D是平面内一点，且满足AD=2CD,则2BD+AD的最小值是 () D A.6 B.7 C.8 D.9 ◆题型6尺规作图综合 26.如图，平面内有四个点A、B、C、D,根据下列语句使用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作 图痕迹， S (I)作直线AC,射线AB,线段AD: (2)若将B、D看作河AC两侧的两个村庄，现要在河AC上修建一个抽水站M,使它到B、D两个村庄的距 离的和最小，请画出点M的位置. (3)在射线AB上截取AN=AM,比较线段AM和线段AB的长短，并说明理由. 14119 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27.如图，已知四点A,B,C,D,请用无刻度的直尺和圆规完成.（保留作图痕迹） A● B D c (1)画直线CD: (2)画射线AD: (3)连接AB,并延长AB到点E,使BE=AD+CB: (4)在AC上找一点P,使BP+PD最短， 28.如图，点C在∠AOB的边OA上，按要求补全图形并回答问题： A B (1)反向延长射线OB,得到射线OD,在射线OD上取一点F,使得OF=OC(尺规作图，保留作图痕迹)； (2)在∠AOD的内部画射线OE,使∠AOE>∠DOE: (3)在射线OE上作一点P,使得CP+FP最小： (④)写出你完成(3)的作图依据： 29.如图，已知线段a,b和∠O. 6 0 (1)用直尺和圆规在∠O的一边上作线段OA=,在另一边上作线段OB=b,并作直线AB. (2)根据(1)中作出的图形，解答下列问题： ①用大写字母表示所有的线段： ②以点A为端点的射线共有 条 30.如图，平面内有四个点A,B,C,D,根据下列语句画图（截取用圆规，并保留痕迹不写作法）. B D 15/19 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)画直线AB,画射线CD交直线AB于点E: (2)连接AD,用圆规在线段AD的延长线上截取DF=AD 题型专练 高频重难特训 一、单选题 1.如图，BC=号AB,D为AC的中点， 2 DC=3cm,则AB的长是() DB C 9 11 A.4cm B.2cm C.5cm D.2 cm 2.下列图形中，不是三棱柱展开图的是() D 3.用一个平面去截一个正方体，截面形状可能是下列图形中的几种：①正方形：②长方形；③三角形： ④五边形：⑤六边形；⑥七边形：⑦八边形() A.4种 B.5种 C.6种 D.7种 4.如图是几个小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这 个几何体的主视图是() 11 1 B. C. D 5.在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是() A.150° B.120° C.130° D.140° 6.如图，∠AOB=128°，∠A0C专∠B0C,OM平分∠BOC,则∠AOM的度数为() 16/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B A.75° B.80° C.85° D.90° 7.如图，数轴上O,A两点的距离为24，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点 A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处.按照这样的规律继 续跳动到点A4,A,A6,…,An(n23,n是整数)处，问经过这样2026次跳动后的点A2026与原点的 距离是() 1 A.3 2202 B.3 22023 C.3x 202 D.3 22027 二、填空题 8.图①所示的是一个正六棱柱礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，如图②.主视图中大矩形的边长 如图所示，左视图中包含两个全等的矩形.如果用彩带按如图所示的方式包扎礼盒，那么所需彩带长度至 少为 cm .60cm 20cm 主视图 左视图 图① 图② 9.用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图主视图俯视图所示.搭这样的几何体最少需 要 个小立方块，最多需要 个小立方块 主视图 俯视图 10.如图，已知点M,N在线段AB上，MN:MB=1:2.若AN=6,则AM+AB的值为 N B 17/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.如图，∠AOB=100°，∠B0C=30°，过点0引一条射线OD,使∠AOD:∠B0D=1:3(∠A0D 与∠BOD都小于平角)，那么∠COD的度数是 0 三、解答题 12.【问题背景】 如图，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠A0C:∠B0C=1:2 【问题再现】 (1)∠AOC的度数为°，∠B0C的度数为°： 【问题推广】 (2)作射线OM平分∠AOC,在∠BOC内作射线ON,使得∠CON:∠BON=1:3,求∠MON的度 数； 【拓展提升】 (3)过点O作射线OD、OE,且OE平分∠BOD,若2∠AOD=3∠BOD,求∠COE的度数. 备用图 13.【探索新知】 (1)如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起. ①若∠DCE=40°，则∠ACB= :若∠ACB=130°，则∠DCE= ②请直接写出∠ACB与∠DCE的数量关系 【深入探究】 (2)如图2，将两把同样的三角尺的60°角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系？请 说明理由： 【拓展延伸】 (3)如图3，已知∠AOC,作∠AOB=o,∠COD=阝(a,B都是锐角，且c>B),若OC在∠AOB 的内部，请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系. 18/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 图1 图2 图3 14.如图，已知直线AB和CD交于点O,∠AOC=0,∠BOE=90°，OF平分∠AOD. B D (1)当0=30°时，∠E0C的度数为 ,∠FOD的度数为 (2)当α=60°时，射线0E从OE开始以12°1s的速度绕点O逆时针转动，同时射线0F从OF开始以8°/s的 速度绕点O顺时针转动，当射线OE转动一周时，射线OE,OF停止转动，求经过多长时间射线OE与射 线0F第一次重合： (3)在(2)的条件下，射线0E在转动一周的过程中，当∠EOF=90°时，求出射线0E转动的时间. 15.已知∠AOC0°<∠AOC<180°与∠BOD共顶点O,点A,O,B在一条直线上，点C,D在直线 AB同侧，∠AOC>∠BOD,OM平分∠AOD,ON平分∠BOC. C(D) D M (图1) (图2) (1)如图1，当∠AOC+∠BOD=180°时，求∠MON的度数. (2)如图2，当∠AOC+∠B0D>180°时，若∠COD=20°，求∠MON的度数. (3)当∠AOC+∠BOD<180°时，若∠COD=a,直接写出∠MON的度数.（用含c的代数式表示） 19/19的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章图形的初步认识全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1立体图形的认识与分类 题型2画小立方块堆砌图的三视图 题型3由三视图判断小立方块的个数 题型4直线、射线、线段的数量问题 题型5线段的和与差 题型6线段中点相关计算 题型7角度单位换算 题型8与方向角有关的计算 题型9角平分线基础计算 题型10余角、补角基础求值 目综合攻坚知能拔高 题型1线段多中点综合计算 题型2线段动点长度计算 题型3角平分线多步和差综合 题型4余角补角方程思想解题 题型5线段最短路径问题 题型6尺规作图综合 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1立体图形的认识与分类 1.D 2.C 3. ①②⑤⑥⑦⑧ ④ ③ 4.①②③⑥ 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5, ②，③，⑥ ①，④ ⑤ ①，③，⑤ ◆题型2画小立方块堆砌图的三视图 6.B 7.如图所示 主视图 左视图 8.C 9.解：它的主视图和左视图如图。 主视图 左视图 10.B ◆题型3由三视图判断小立方块的个数 11.D 12.B 13.C 14.B 15.-4 ◆题型4直线、射线、线段的数量问题 16.C 17.图中的直线：直线AC. 图中的射线： 以A为端点：射线AB: 以B为端点：射线BA,射线BC; 以C为端点：射线CA, 图中的线段：线段AB,线段BC,线段AC 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3条射线为：射线AB,射线BC,射线BA. 3条线段为：线段AB,线段BC,线段AC. 18. 3 19.1 20.20 ◆题型5线段的和与差 21. AC AB BC 22.C 23.(1)①AC+CD:②AB-BD (2)2.5 24.5或1 25.7cm或17cm ◆题型6线段中点相关计算 26.10 27.A 28.C 29.12 30.8 ◆题型7角度单位换算 31.60°30 32. 150 9000 20.5 33.55.4 34.42.34 35. ◆题型8与方向角有关的计算 36.B 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 37.35 38.C 39.C 40.A ◆题型9角平分线基础计算 41.56 42. 20°或80° 10°或40° 43.90° 44.40°或20° 45.90° ◆题型10余角、补角基础求值 46.北偏西35°或南偏东35° 47.163° 48. 146 49.40° 50.55 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1线段多中点综合计算 1.80°80度 2.50 3.(1)7cm (2)10cm 4.(1)9cm (2)9cm (3) 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：，D、E分别是AC和BC的中点 ..DC=-AC,CE=-BC. DE=DC+CE=DC专AC+号BCAC+BC号AB=9cm ∴.不论AC取何值（不超过18cm),DE的长不变， 5.22024 ◆题型2线段动点长度计算 6.B 7.C 8.(1)CM+BD=9cm (2)6 B)MIN=号AB或MN=AB 3 9.(1)3cm (2)1cm或9cm. 1 1 10.(1)①5：②4 ◆题型3角平分线多步和差综合 11.(1)10: (2)2cm: (3)2.5cm. 12.(1)4 暖 13.(1)10 (2)不变，EF=10cm B090,②∠EOF=|∠AOB+∠COD 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(1)70° (2)75° (3) ∠DOE与∠AOC的等量关系为：∠DOE=号∠AOC.理由如下： .OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线， :∠DOB2∠A0B,∠BOE3<B0C, .∠AOC=∠AOB+∠BOC, ∠DOE=∠DOB+∠BOE=∠AOB+3∠BOC号∠AOB+∠BOC∠A0C. 收D0E专<A0C 15.(1)90° (2)36° 1 (3吃 ◆题型4余角补角方程思想解题 16.(1)①5；4：②4.5cm;(2)①24：30：②27° 17.(1)45° (②045：②5B,®∠D0E=号2B0C 18.20° 19.40° 20.67.5 ◆题型5线段最短路径问题 21.A 22.(1)解：如图，直线AB即为所求： (2)解：如图，射线CD即为所求： 3) 解：如图，点E即为所求. 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 23.B 24.D 25.C ◆题型6尺规作图综合 26.(1)直线AC,射线AB,线段AD如图所示： D B (2)点M即为所求作的点： D M ⊙ (3) D A M AM<AB 理由：.'AM=AN,点N在线段AB上， .AN<AB, ∴.AM<AB」 27.(1) 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，直线CD即为所求： (2) 如图，射线AD即为所求； (3) 如图，线段AB,BE即为所求： (④)如图，点P即为所求， B A D 28.(1) 解：如图，OD、点F即为所求 A D F B (2) 解：如图，OE即为所求。 A C E D可 B (3) 解：如图，点P即为所求 A E D F 0 (④)两点之间，线段最短 29.(1) 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：根据题意得图： ∥A M (2)①0A,OB,AB②3 30.(1) 解：如图，直线AB、射线CD和点E即为所求； A (2) 解：如图，AD,DF即为所求. A E D 题型专练 高频重难特训 1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.B 8.180V3+120 9. 1016 10.12 11.45°或120° 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(1)40,80:(2)40°；(3)56°或128° 13.(1)①140°；50°；②∠ACB+∠DCE=180°；(2)∠DAB+∠CAE=120°；(3) ∠AOD+∠BOC=-B或∠AOD+∠BOC=o+B或∠BOC-∠AOD=-B 14.(1)60°：75° .15 (2)经过$射线0E与射线0F第一次重合 (3)当∠E0F=90°时，射线0E转动的时间为3s或12s或21s或30s 15.(1)∠MON=90° (2)100° 3)901 9 10/10 第3章 图形的初步认识全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 立体图形的认识与分类 题型2 画小立方块堆砌图的三视图 题型3 由三视图判断小立方块的个数 题型4 直线、射线、线段的数量问题 题型5 线段的和与差 题型6 线段中点相关计算 题型7 角度单位换算 题型8 与方向角有关的计算 题型9 角平分线基础计算 题型10 余角、补角基础求值 综合攻坚·知能拔高 题型1 线段多中点综合计算 题型2 线段动点长度计算 题型3 角平分线多步和差综合 题型4 余角补角方程思想解题 题型5 线段最短路径问题 题型6 尺规作图综合 ◆题型1 立体图形的认识与分类 1．下列四个几何体中，属于棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立体图形的识别，逐一判断各选项中的立体图形即可． 【详解】解：A、是圆台，不符合题意； B、是棱锥，不符合题意； C、是圆锥，不符合题意； D、是棱柱，符合题意； 故选D． 2．下列几何体中，属于棱柱的是（   ） A．②③⑥ B．①②⑦ C．①③⑥ D．①⑥ 【答案】C 【分析】本题主要考查立体图形的分类，掌握棱柱的定义是解题的关键． 根据棱柱的定义即可求解． 【详解】解：①棱柱；②圆柱；③棱柱；④棱锥；⑤圆锥；⑥棱柱；⑦球体． 属于棱柱的有：①③⑥． 故选：C． 3．下列立体图形中的柱体有______，锥体有______，球有______．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查常见立体图形的识别，掌握常见立体图形的特征是解题关键． 根据柱体、锥体、球的定义和特征对选项依次判断即可． 【详解】解：柱体：有两个互相平行且全等的底面，侧面为平行四边形或曲面． 图中正方体、长方体、六棱柱、五棱柱、三棱柱、圆柱，都符合柱体特征， 故柱体有：； 锥体：只有一个底面，顶部有一个顶点，侧面为三角形或曲面． 图中圆锥符合锥体特征， 故锥体有：； 球：只有一个曲面，没有顶点和棱． 图中球符合特征， 故球有：． 故答案为：，，． 4．如图所示的图形中，柱体为__________（填序号）． 【答案】①②③⑥ 【分析】本题考查了柱体的定义与分类，准确理解并运用柱体的概念进行判断是解题的关键． 柱体包含棱柱和圆柱，核心特征是有两个互相平行且全等的底面，据此判断即可． 【详解】解：这些几何体分别为正方体、长方体、圆柱体，圆锥、球、三棱柱， 其中是柱体的是①正方体，②长方体，③圆柱，⑥三棱柱， 故答案为：①②③⑥． 5．把下面的几何体填在相应的横线上（友情提示：将各序号用逗号分开）． （1）柱体的是_____________________； （2）锥体的是_______________________； （3）球体的是____________________； （4）有曲面的是_____________________． 【答案】 ②，③，⑥ ①，④ ⑤ ①，③，⑤ 【分析】本题考查立体图形的判断，熟练掌握每种立体图形的特征是解题关键． 按照立体图形的特征逐一判断，然后填到适当的横线上即可． 【详解】根据立体图形的特征判断，①是圆锥，②是棱柱，③是圆柱，④是棱锥，⑤是球体，⑥是棱柱． ∴柱体包括②，③，⑥，锥体包括①，④，球体包括⑤，有曲面的是①，③，⑤． ◆题型2 画小立方块堆砌图的三视图 6．如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，其左视图如图所示： ． 7．如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． 【答案】如图所示 【分析】结合俯视图中小正方体的个数，分别从正面和左面观察组合体得出平面图形． 【详解】略 8．如图是由4个小正方体组成的一个几何体，则该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据俯视图是从上往下看得到的图形即可得出结果． 【详解】解：该几何体的俯视图由两层构成，第一层有1个小正方形，在最右边，第二层有3个小正方形，如图： 9．下图是有几个小正方体所搭成的几何体的俯视图，请画出它的主视图和左视图． 【答案】解：它的主视图和左视图如图． 【详解】略 10．如图是由7个小正方体搭建而成的几何体，则它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据俯视图是从上向下看得到的平面图形，判断即可． 【详解】解：它的俯视图是． ◆题型3 由三视图判断小立方块的个数 11．一个仓库里堆积着若干正方体货箱，仓库管理员要落实一下箱子的数量，可是要搬运这些箱子很困难，于是他想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三视图可确定出货箱的个数，再根据要求主视图不变即可确定最多可取走的货箱数量． 【详解】解：依题意得：俯视图每个正方形位置上的正方体个数如图所示： 由俯视图知，货物底部有6个货箱，上面一层从左往右数第二列前后各有一个，货物总共有8个货箱； 要保持主视图不变，则货物最右边那列最多可以搬走其中的两个货箱，中间一列最多可以搬走两个货箱，故最多可以取走4箱货物 ． 12．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的视图，若该几何体所用小立方块的个数为n，则n的最小值为（     ） A．7 B．9 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：根据主视图、俯视图，可以得出最少时，在俯视图的相应位置上所摆放的个数，其中的一种情况如下： 最少时需要9个， 因此n的最小值为9． 13．一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体，最多能有小正方体的个数为（   ） A．4 B．7 C．10 D．13 【答案】C 【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层小正方体的可能的最多个数，相加即可． 【详解】解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，由主视图可得第二层最多有4个小正方体，由主视图可得第三层最多有2个小正方体， 故需要构成这样的几何体最多能有10个小正方体． 14．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据三视图的意义，列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得，几何体数目如下： 有（个）， 故选：B． 15．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为个，最少为个，则______． 【答案】 【分析】本题考查根据三视图判断立体图形的形状．利用俯视图确定几何体底层小立方块的行列分布与数量（地基），结合主视图分析几何体有几层，且每层至少有几个并排的小立方块，进而得到和的值，并代入代数式求值． 【详解】解：由俯视图可知底层第一列有个小立方块，第二列有个小立方块， 由主视图可知，几何体有层，且每层至少有个并排的小立方块， 当上层每个“可放置位置”（对应俯视图中列的位置）都放满小立方块时，上层最多有小立方块(个)，下层也有个， ∴最大总数量， 当上层只需满足主视图的“两层结构”，即第一列、第二列各至少放个时，上层最少有(个)，下层有个， ∴最小总数量， ∴． ◆题型4 直线、射线、线段的数量问题 16．数一数，如图中一共有（     ）条线段． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图中的线段有：，共条． 17．指出下图中的直线、射线、线段，并分别写出3条射线和3条线段． 【答案】图中的直线：直线． 图中的射线： 以A为端点：射线； 以B为端点：射线，射线； 以C为端点：射线． 图中的线段：线段，线段，线段． 3条射线为：射线，射线，射线． 3条线段为：线段，线段，线段． 【分析】先确定直线、射线、线段的概念．直线：没有端点，向两端无限延伸，过两点确定一条直线．射线：有一个端点，向一端无限延伸，每个点可向左右各形成一条射线．线段：有两个端点，不能延伸，是两点之间的部分．根据定义，即可找出直线、射线、线段． 【详解】略． 18．如图，以点B为一个端点的线段共有_________条． 【答案】 3 【分析】根据线段的定义解答即可． 【详解】解：以点B为端点的线段有，共有3条． 19．如图有a条直线，b条射线，c条线段，则________． 【答案】1 【分析】根据直线、射线、线段的定义求出a、b、c，即可求解． 【详解】解：根据题意得：直线有，共1条，射线有，共6条，线段有，共6条， ∴， ∴． 20．盐泰锡常宜铁路是“六纵六横”高速铁路网中盐杭通道的重要线路．其中泰兴至太湖两个站点之间有靖江、江阴、惠山三个站点，如果往返于泰兴和太湖两地，且每两站间距离各不相等，则需要准备_________种不同的车票． 【答案】 【分析】先确定总站点数，车票与出发地和目的地的顺序有关，往返两站的车票为不同车票，计算所有不同顺序的两站组合数即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，线路两端分别为泰兴和太湖，加上中间的3个站点，总站点数为 个． ∵任意两站间往返车票不同， ∴每个站点可到达其余个站点， ∴不同车票的总数为． ◆题型5 线段的和与差 21．如图，、、三点在同一条直线上，则关于线段、、有下列等式成立： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【分析】观察图形确定线段间的关系即可． 【详解】解：观察图形可知：（1）； （2）； （3）． 22．点A、B、C在同一直线上，，，则等于（     ）． A．2 B．8 C．2或8 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在线段上时，如图， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ； 综上所述，等于2或8． 23．如图，C为线段的中点，点D在线段上． (1)图中，，类似的，请你再写出两个有关线段的和与差的关系式：①________；②________； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）解：由图可知：①；②； （2）解：，C为的中点， ， ， . 24．已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，点E在线段上，且，计算的长． 【答案】5或1 【分析】先根据题意求出、的长，再根据当点E在点C左边与当点E在点C右边两种情况解答． 【详解】解：如图， ∵线段，点C为中点， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴当点E在点C左边时，； 当点E在点C右边时，． 25．已知线段，在直线上有一点C，且，点D是线段的中点，线段 ______． 【答案】或 【分析】点C在直线上位置不同，需分类讨论点C的两种位置，利用线段中点的定义和线段的和差求解，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意得，点C的位置分两种情况： ① 当点在点同侧时： ，， ， 点是线段的中点， ， ② 当点在点的异侧时： ，， ， 点是线段的中点， ， 综上，线段的长为或． ◆题型6 线段中点相关计算 26．如图，C是线段上的一点，N是线段的中点，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查线段中点的定义与线段和差的计算，利用线段和差先求出的长度，再根据中点定义求出的长度，最后计算得到的长度． 【详解】解 已知， ，   ∴ ， ∵ N是线段的中点， ∴ ∴ ． 27．下面四个等式：①；②；③；④，其中能表示点是线段的中点的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义，判断点E是线段中点需要满足：点E在线段上，且，逐个分析四个等式即可得出结论． 【详解】解：∵线段中点的定义要求点E必须在线段上，且满足， ①：未说明点E在线段上，点E可在外满足，因此①不能表示点是线段的中点； ②：若E在的延长线上，也可满足，因此②不能表示点是线段的中点； ③：若E在的延长线上，也可满足，因此③不能表示点是线段的中点； ④，此时点E一定在线段上，点是线段的中点，因此④能表示点是线段的中点； ∴只有1个等式能表示点是线段的中点． 28．如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点M，N分别是，的中点得到，，从而推出得到结果． 【详解】解：M，N分别是，的中点， ，， ， ，， ． 29．如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 【答案】 【分析】由是的中点可得，利用线段和差得到，再由点是的中点，点是的中点，可得，，即可求出的值． 【详解】解：是的中点，， ， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ． 30．如图，点C是线段上的点，点D是线段的中点，，若与的长度比为，则线段的长是____________． 【答案】8 【分析】根据与的长度比为，求出，再根据线段的中点，得到，进而由线段的和差进行求解即可． 【详解】解：∵，若与的长度比为， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴． ◆题型7 角度单位换算 31．将化为度、分、秒的形式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，关键是掌握大单位化成小单位乘进率；根据度、分、秒的换算关系，将小数部分转换成分． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 32．____________，______． 【答案】 150 9000 20.5 【分析】本题主要考查了角度的度分秒换算，熟练掌握，的换算关系是解题的关键． 本题考查角度的度分秒换算，解题思路是利用，的换算关系，将度化为分、秒，或将分化为度，依次计算各空． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：①；②；③． 33．度分秒换算：______°． 【答案】55.4 【分析】本题考查了度分秒的换算，掌握、是解题的关键， 将转换为度，需要除以60，得到，再与相加即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故答案为：55.4． 34．___________． 【答案】 【分析】本题考查角度的换算．将角度中的分和秒部分转换为度的小数形式． 【详解】解：，， ∴， 故答案为：． 35．若，则_____（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查角度的大小比较，解决本题的关键是把角度统一单位后再进行比较． 先统一单位再进行比较即可得出答案． 【详解】解：∵， ． 故答案为：． ◆题型8 与方向角有关的计算 36．如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 37．一个人从A地出发沿北偏东方向走到B地，再从B地出发沿南偏西方向走到C地，那么______． 【答案】35 【分析】根据方向角的定义，准确找出相关角度之间的关系即可． 【详解】解：由题意如图所示： 则． 38．如图，琪琪一家要到革命圣地西柏坡参观，下列说法正确的是（     ） A．西柏坡在家东偏北方向 B．西柏坡在家北偏东方向 C．家在西柏坡南偏西方向 D．家在西柏坡西偏南方向 【答案】C 【分析】根据方向角的定义（通常以正北或正南方向为基准）及图形中的角度关系，结合方位角的相对性进行判断即可； 【详解】解：由图可知，以“家”为观测点，视线与正东方向的夹角为， 视线与正北方向的夹角为， 西柏坡在家北偏东方向，故A 表述不规范，B 错误； 根据方位角的相对性，方向相反，角度不变， 家在西柏坡南偏西方向（或西偏南方向） C正确，D错误． 39．如图，，点A位于点O的正南方向，则点B位于点O的（   ） A．北偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【详解】解：∵， ∴点B位于点O的北偏西方向． 40．如图，小军和小强分别用点A，B表示，小军在广场处的北偏西方向，的大小为，则图示状态下，小强在广场处的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．南偏东方向 D．南偏西方向 【答案】A 【详解】解：如图 由题意得，， ∴ ∴ ∴， ∴小强在广场处的南偏东方向． ◆题型9 角平分线基础计算 41．如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 【答案】56 【分析】先求出的度数，再根据角平分线的定义解答． 【详解】解：，，三点共线， ， 平分， ． 42．若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了角的和差、角平分线，由于未确定的位置，需分两种情况讨论：在内部和在外部，结合角的和差定义与角平分线的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当在内部时， ， 平分，平分， ，， ； 当在外部时， ， 平分，平分， ，， ， 综上，或，或． 43．如图，点A，O，B在同一条直线上，射线和射线分别平分和，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵射线和射线分别平分和， ，， ∵点A，O，B在同一条直线上， ∴， ． 44．已知在同一平面内，，，是的平分线，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】分在内部和在外部两种情况讨论，先根据角的和差求出的度数，再根据角平分线的定义计算的度数． 【详解】解：如图所示，当在的外部时， 则， 为的平分线， ； 如图所示，当在的内部时， 则， 为的平分线， ， 综上所述，的度数为或． 45．如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据角的平分线，平角的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． ◆题型10 余角、补角基础求值 46．以点O为中心，若射线的方向为北偏东，，则射线的方向为______． 【答案】北偏西或南偏东 【分析】根据方位角的定义，结合已知角度利用互余的性质计算射线与正南方向的夹角，即可得到射线的方向． 【详解】解：如图所示，射线的方向为北偏东，即，已知， ∴当点B在位置时，， ∴射线的方向为北偏西； 当点B在位置时，， ∴射线的方向为南偏东． 47．已知与互余，与互补，，__________． 【答案】 【分析】根据余角的定义求出的度数，再根据补角的定义求出即可. 【详解】解：由题意，，. 48．与互余，与互补，，那么__________． 【答案】 【分析】先根据互为余角的和等于求出的度数，再根据互为补角的和等于求出的度数即可． 【详解】解：与互余，， ， 与互补， ． 49．一个角的补角比它的余角的3倍大，求这个角的余角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了补角、余角的概念，角度的计算，准确理解题意建立正确的方程是解题的关键．设这个角为，则这个角的补角为，这个角的余角为，由题意得：，解方程得到这个角为，最后计算出这个角的余角即可． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为，这个角的余角为， 由题意得：， 解得：， ∴这个角的余角为：， 答：这个角的余角的度数为． 50．如果与互补，与互补，且，，那么____． 【答案】55 【详解】解： 与互补，与互补， ，， ， ， 又 ， ． ◆题型1 线段多中点综合计算 1．已知一个角的余角是其补角的，则这个角的度数为______． 【答案】/80度 【分析】本题考查了余角和补角的定义，设这个角的度数为x，则这个角的余角为，补角为，再根据题意列出方程，即可求出x的值． 【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的余角为，补角为， 由题意得：， 解得， 故答案为：． 2．一个角的两倍加上等于这个角的补角，则这个角为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了与补角有关的计算，设这个角的度数为x，则这个角的补角的度数为，再根据这个角的两倍加上等于这个角的补角建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的补角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 3．如图，点在线段上，点，分别是、的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段的中点的定义，结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据线段的中点的定义，结合线段的和差推出即可. 【详解】（1）解：点，分别是、的中点，，， ，， ， 线段的长为； （2）解：点，分别是、的中点， ，， ， ， 的长为. 4．如图，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则_____； (2)若，求的长． (3)说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】(1) (2) (3) 解：、分别是和的中点 ，． ． 不论取何值（不超过），的长不变． 【分析】（1）由线段中点的定义可得，同理可得，，然后根据线段的和差求解即可； （2）由线段的和差可得，利用线段的中点定义可得，，然后根据线段的和差求解即可； （3）利用线段的中点定义可得，，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵点恰好是中点，， ∴， ∵点、分别是和的中点， ∴，， ∴． （2）解：， ， 、分别是和的中点 ，． ． （3）略 5．如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；…连续这样操作2025次，则线段的长度等于______． 【答案】 【分析】根据线段中点定义先求出长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结论． 【详解】解：∵线段和的中点、， ， ； ∵线段和的中点、， ， ； ∵线段和的中点、， ， ； 发现规律：， 当时，． ◆题型2 线段动点长度计算 6．如图，O是线段的中点，B是上任意一点，M，N分别是，的中点，若，，则下列四个结论中，不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段的和差与线段中点的定义分别求出各个线段的长度，即可判断各个选项的正误． 【详解】解：∵，， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴， ， ∴，故A选项正确； ∵点O是线段的中点， ∴， ∴，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项正确． 7．如图，点是线段上一点，，分别是和的中点，，，则线段的长是（    ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点，正确识图得出线段对应关系是解题的关键． 由线段的中点定义得，进而由线段的和差关系得，再由线段的中点定义得的长度，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， 故选C． 8．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的和差、两点间的距离． （1）根据题意，由运动时间和速度分别求出、的长，再根据，进而求出的长； （2）根据、的运动速度知，，再由已知，进而求得，再由，即，进而得出答案； （3）分两种情况分析：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，由线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，当点、运动了时，，， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示，当点在线段上时， ，， ， ， ； 如图所示，当点在线段的延长线上时， ，， ， 综上所述，与的数量关系为或， 故答案为：或． 9．如图，C为线段上一点，B为的中点，且，． (1)求的长． (2)若点E在直线上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)或. 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，关键是掌握分类讨论． （1）根据线段中点的性质，可求出的长，根据线段的和差，可得的长； （2）分类讨论：当点E在线段上时，当点E在线段的延长线上时，根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：∵B为的中点， ∴， 由线段的和差，得 ， 故：的长； （2）解：∵，， ∴， ①当点E在线段上时，由线段的和差，得； ②当点E在线段的延长线上时，由线段的和差，得 ， 综上所述：线段的长为或. 10．点C在线段上，． (1)如图1，P、Q两点同时从C、B出发，分别以、的速度沿直线向左运动． ①在P还未到达A点时，的值为 ； ②当Q在P右侧时（点Q与C不重合），取中点M，的中点N，求的值； (2)若D是直线上一点，且，则的值为 ． 【答案】(1)①；②； (2)或或或； 【分析】本题考查线段的和差问题，距离与绝对值的关系，动点问题．画好线段图，分类讨论是解决本题的关键． （1）由线段的和差关系，以及， ，即可求解； （2）设，则，，点分五种位置进行讨论，①当D在A点左侧时，②当D在之间时，③当D在之间，且在中点的右侧时，④当D在之间，且在中点的左侧时，⑤当在的右侧时，结合图形求解． 【详解】（1）解：（1）①，， ∵，P、Q速度分别为、， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②， ∵， ∴， ∴； （2）∵． 设，则， ∴， ①当D在A点左侧时， ， ∴， ∴； ②当D在之间时， ， ∴， ∴（不成立）， ③当D在之间，且在中点的右侧时， ， ∴， ∴， ∴， ④当D在之间，且在中点的左侧时， ， ∴， ∴， ∴； ⑤当在的右侧时， ， ∴， ∴． 综上所述，的值为或或或； 故答案为：或或或； ◆题型3 角平分线多步和差综合 11．如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 【答案】(1)10； (2)； (3)． 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）确定运动1秒后点C、D的位置，以A、C、M、D、B为端点，依次找出所有线段，统计线段数量即可． （2）根据题意算出，，再由，即可解题． （3）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． 【详解】（1）运动时，点C从M向左移动，点D从B向左移动． 此时图中的线段有：、、、、、、、、、，共10条． 故答案为：10； （2）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （3）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； ∵， 12．如图，点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧． (1)若，且D为的中点，求的长． (2)若D为的中点，E为的中点，求的值． (3)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段中点特点，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，以及根据题意分情况讨论是解题的关键． （1）根据题意分别求出，再结合线段中点特点得到，进而求出，最后根据求解，即可解题； （2）根据线段中点特点得到，进而推出，再由得到，即可求出的值； （3）设，则，根据线段在直线上移动，分情况讨论，结合建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解： ，， ， D为的中点， ， ， ； （2）解： D为的中点，E为的中点， ， ， ， ， ， ； （3）解： ，， 设，则， ， 当E在A的左侧时， 有， 解得， ， ； 当A在之间时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间， 在之间时， 有， 解得， ， ， ； 当在之间， 在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间， 在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 13．如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则________cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化．如果不变，请求出EF的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现，角的很多规律和线段一样． ①如图2，已知在的内部转动，，分别平分和．若，，求的度数． ②由此，请猜想，和之间的数量关系：________． 【答案】(1)10 (2)不变， (3)①；② 【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．由，分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题； （2）与（1）同理解答即可； （3）①欲求，需求．已知，需求．由，分别平分和，得，，进而解决此题；②与①同理解答即可． 【详解】（1）解：分别是，的中点， ， 又 ． （2）解：不变， ，分别是，的中点， ，， ， ，，， ， ． （3）解：①分别平分和， ， ， 又， ， ， ， ②由①得：， ， ， ． 14．如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)你发现与有什么等量关系？给出结论并说明． 【答案】(1) (2) (3) 与的等量关系为：．理由如下： ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∵， ∴=． 故． 【分析】根据角平分线得到，则=，据此分析求解本题即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∵， ∴ =． （3）略 15．如图1，点A，O，B在同一条直线上，射线和射线分别平分和． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图2，若点A，O，B不在同一条直线上（），是射线，且，，并求出的度数（用含α或β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到和的度数，再根据计算即可求解； （2）根据角平分线的定义，得到，，又根据，可得，利用，求出的度数，即可的度数； （3）分情况画出图形，根据角平分线的定义和角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵点A，O，B在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， 则的度数为； （2）解：∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则的度数为； （3）解：∵和分别平分和， ∴，， 第一种情况如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 第二种情况如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 综上可知：的度数为． ◆题型4 余角补角方程思想解题 16．【问题解决】 （1）如图1，已知线段，点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点． ①直接写出线段_________， _________； ②求线段的长． 【类比探究】 （2）如图2，已知，、均为内的两条射线，且，射线和射线分别平分、． ①直接写出_________，_________； ②求的度数． 【答案】（1）①5；4；②；（2）①24；30；② 【分析】（1）利用线段的和差以及线段中点计算即可； （2）利用角平分线的定义以及角度的和差计算即可 【详解】解：（1）①∵，， ∴，， ∴，． ②∵，，， ∴，． ∵点M是线段的中点， ∴， ∴． ∵点N是线段中点， ∴， ∴． （2）①∵，， ∴，． ②∵，，， ∴， ． ∵射线平分， ∴， ∴； ∵射线平分， ∴， ∴． 17．【综合与探究】 (1)如图1，已知，，，分别平分和，求的度数； (2)①如图1，若，其他条件不变，求的度数； ②如图2，若，其他条件不变，求的度数； ③通过①、②你能得到什么结论？请直接写出． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义， （1）先求出，再根据角平分线定义求出，然后根据得出答案； （2）①，先表示出，再根据角平分线定义得，即可得出； ②由已知得，结合角平分线定义得，然后根据得出答案； ③先表示出，再根据角平分线定义得，然后根据得出答案 【详解】（1）解：， ． ∵分别平分和， ， ； （2）解：①若，其他条件不变， ， ， 分别平分和， ， ； ②若，其他条件不变， 分别平分和， ， ， ； ③通过①、②可以得到； 若其他条件不变， ， 分别平分和， ， ． 18．已知与互为补角，且比的一半大，求的余角． 【答案】 【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补． 根据补角的概念和题意，可得，解方程求出∠α的值，根据余角的概念计算即可． 【详解】解：由题意得， ，， ∴ 解得， ， 的余角 答：的余角为． 19．一个角的补角比它的余角的3倍大，求这个角的余角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了补角、余角的概念，角度的计算，准确理解题意建立正确的方程是解题的关键．设这个角为，则这个角的补角为，这个角的余角为，由题意得：，解方程得到这个角为，最后计算出这个角的余角即可． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为，这个角的余角为， 由题意得：， 解得：， ∴这个角的余角为：， 答：这个角的余角的度数为． 20．一个锐角的补角是这个角的余角的倍，则这个角的大小为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角和补角的定义．设角的度数为，则其补角为，余角为，根据锐角的补角是这个角的余角的倍，建立方程并求解即可． 【详解】解：设角的度数为，则其补角为，余角为， 这个锐角的补角是这个角的余角的倍， ， 解得， 故答案为：． ◆题型5 线段最短路径问题 21．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，从村庄到公路不能穿过生态保护区，结合图形可知到的最短路径需经过生态保护区的右下角顶点，将问题转化为求两点之间线段最短的问题求解即可 ． 【详解】解：设生态保护区右下角的顶点为， 从村庄到公路不能穿过生态保护区， 到的最短路径需经过点，即路径为， 总路程为， 为定值， 要使总路程最短，只需最短， 点在直线上方，点在直线下方， 根据“两点之间，线段最短”，连接交直线于点，此时最小， 即三点共线 观察图形，选项A符合共线且与相连的特征． 22．如图，在平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)在平面内找一点E，使点E到A，B，C，D四点距离之和最短． 【答案】(1)解：如图，直线即为所求； (2)解：如图，射线即为所求； (3) 解：如图，点E即为所求． 【分析】（1）根据直线的定义画出图形； （2）根据射线的定义画出图形； （3）连接，交于点E，点E即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 23．如图是一个底面为正方形的长方体容器，顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从顶点A处出发沿侧面爬向点B处．现将顶点A，B所在的两个侧面展开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．根据长方体的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可． 【详解】解：蚂蚁爬行的最短路线如图所示： 故选：B． 24．如图，从地到地有四条路线，其中最短的路线是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最短路线，掌握两点之间线段最短是解决问题的关键． 结合四个选项中的路线，由两点之间线段最短逐个验证即可得到答案． 【详解】解：A中从地到地路线长为； B中从地到地路线长为； C中从地到地路线长为； D中从地到地路线长为； 综上所述，四条路线中均含有线段，因此比较、、和长度即可确定最短的路线， ， ， 在中，由两点之间线段最短可知， ， 、、和中长度最短， 即从地到地有四条路线，最短， 故选：D． 25．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． ◆题型6 尺规作图综合 26．如图，平面内有四个点、、、，根据下列语句使用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作直线，射线，线段； (2)若将、看作河两侧的两个村庄，现要在河上修建一个抽水站，使它到、两个村庄的距离的和最小，请画出点的位置． (3)在射线上截取，比较线段和线段的长短，并说明理由． 【答案】(1)直线，射线，线段如图所示； (2)点即为所求作的点； (3) ； 理由：，点在线段上， ， ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 27．如图，已知四点A，B，C，D，请用无刻度的直尺和圆规完成．（保留作图痕迹） (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，并延长到点E，使； (4)在上找一点P，使最短． 【答案】(1) 如图，直线即为所求； (2) 如图，射线即为所求； (3) 如图，线段即为所求； (4)如图，点即为所求. 【分析】（1）根据直线的定义，画图即可； （2）根据射线的定义，画图即可； （3）根据要求先连接并延长，以为圆心，的长为半径，画弧，交射线于一点，再以该点为圆心，的长为半径，画弧，确定点即可； （4）根据两点之间线段最短，连接，交点即为点. 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：略； （4）解：略． 28．如图，点C在的边OA上，按要求补全图形并回答问题： (1)反向延长射线，得到射线，在射线上取一点F，使得（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在的内部画射线，使； (3)在射线上作一点P，使得最小； (4)写出你完成（3）的作图依据：________． 【答案】(1) 解：如图，、点F即为所求． (2) 解：如图，即为所求． (3) 解：如图，点P即为所求． (4)两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查了线段、射线、线段的性质、两点之间，线段最短等知识，熟练掌握线段、射线的作法与线段的性质是解题的关键． （1）利用直尺画出的反向延长线，用圆规在射线上截取； （2）利用直尺在的内部画射线，使即可； （3）连接交于点P； （4）根据作图的依据写出答案即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：（3）的作图依据是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 29．如图，已知线段a，b和． (1)用直尺和圆规在的一边上作线段，在另一边上作线段，并作直线． (2)根据（1）中作出的图形，解答下列问题： ①用大写字母表示所有的线段：____________．     ②以点A为端点的射线共有____________条． 【答案】(1) 解：根据题意得图： (2)①,,② 【分析】（1）分析题意，利用尺规作一条线段等于已知线段的方法； （2）根据线段与射线的定义以及表示方法来解答即可. 本题主要考查了线段、直线和射线的作法及线段、射线的表示方法.作图的关键是掌握线段、直线、射线的定义． 【详解】（1）略 （2）①用大写字母表示所有的线段：，， ②可以用字母表示的，以点为端点的射线有射线，，，共条 故答案为：①，，；②． 30．如图，平面内有四个点，，，，根据下列语句画图（截取用圆规，并保留痕迹不写作法）． (1)画直线，画射线交直线于点； (2)连接，用圆规在线段的延长线上截取． 【答案】(1) 解：如图，直线、射线和点即为所求； (2) 解：如图，，即为所求． 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段，直线，射线，解题的关键是掌握基本的尺规作图． （1）根据直线，射线的定义进行画图即可； （2）利用圆规截取线段即可． 【详解】（1）略 （2）略 一、单选题 1．如图，，D为的中点，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知等式得出与的等量关系，再根据线段的中点定义可得出的长， 求得的长． 【详解】解：∵ ∴，即， ∵D为的中点，， ∴， ∴． 2．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三棱柱展开图的特征是侧面为个长方形，底面为个三角形，且个三角形位于侧面展开图的两侧，由此观察图形即可． 【详解】、两个选项中，两个三角形位于三个长方形的两侧，三个长方形均能围成三棱柱的侧面； 选项较为特殊，但两个三角形位于三个长方形的两侧，折叠后外侧的长方形同样能够围成三棱柱的侧面； 选项中两个三角形位于三个长方形的同侧，折叠后重合，不能围成三棱柱． 3．用一个平面去截一个正方体，截面形状可能是下列图形中的几种：①正方形；②长方形；③三角形；④五边形；⑤六边形；⑥七边形；⑦八边形（     ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B 【分析】截面边数等于平面与正方体相交的面数，正方体共6个面，故截面最多为六边形． 【详解】解：∵正方体有6个面， ∴平面截正方体时，最少与3个面相交，最多与6个面相交，对应截面边数最少为3，最多为6， ①平行于正方体的面截取，可得正方形，可能； ②平行于正方体的一条棱截取，且与4个面相交，使相邻边长度不等，可得长方形，可能； ③截去正方体的一个顶角，平面与3个面相交，可得三角形，可能； ④平面与正方体的5个面相交，可得五边形，可能； ⑤平面与正方体的6个面均相交，可得六边形，可能； ⑥七边形、⑦八边形均不可能，因截面最多为六边形； 综上，可能的形状共5种． 4．如图是几个小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：根据三视图的定义，可知这个几何体的主视图是． 5．在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确时针和分针的转动速度，再分别计算时，时针与分针从12点位置转过的角度，最后求角度差得到夹角． 【详解】解：∵时钟共分12个小时，时钟一圈总角度为， ∴时针每小时转，时针每分钟转； ∵分针60分钟转一圈， ∴分针每分钟转， 计算时针转过的角度：， 去掉整圈得， 计算分针转过的角度：， ∴时针与分针的夹角为． 6．如图，，，平分，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的倍数关系得到，进而得到，根据角平分线的定义得到，继而得到． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 7．如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了与数轴有关的规律题型，根据，两点的距离为，与点的距离是，到点的距离是，得出规律到点的距离是，即可解答． 【详解】由题知，因为数轴上，两点的距离为， 因为点为的中点，所以点与点的距离是； 因为点为的中点，所以点到点的距离是； 依次类推，点到点的距离是是； 点到点的距离是； 所以点到点的距离是， 当时，点与点的距离是， 故答案为：． 二、填空题 8．图①所示的是一个正六棱柱礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，如图②．主视图中大矩形的边长如图所示，左视图中包含两个全等的矩形．如果用彩带按如图所示的方式包扎礼盒，那么所需彩带长度至少为_______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形的半径，边心距，圆心角之间的关系是解决问题的关键． 根据正六边形的半径，边心距之间的关系求出边心距，进而可得答案． 【详解】解：根据题意，作出俯视图如图所示，连接，过点作于点． 由题意，得 ． 由主视图中的数据和正六边形的性质可知，， ， ． 故彩带的长度至少为． 9．用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图主视图俯视图所示．搭这样的几何体最少需要_______个小立方块，最多需要_______个小立方块． 【答案】 10 16 【分析】本题考查了三视图，掌握三视图的画法是解题的关键． 根据三视图，找到所需小立方块的个数即可． 【详解】最少需要（个）小立方块， 如图①；最多需要（个）小立方块，如图②．（每个正方形上的数字表示该位置上小立方块的个数） 10．如图，已知点在线段上，．若，则的值为_________． 【答案】12 【分析】设，根据可得点是线段的中点，得，进而表示出、的长，然后求和． 【详解】解：设， ∵． ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是一道求有关线段长度的几何问题，考查了利用线段的比求线段的长度，线段中点的意义和运用是解题的关键． 11．如图，，，过点O引一条射线OD，使（与都小于平角），那么的度数是________． 【答案】或 【分析】本题需要根据射线的位置进行分类讨论，因为可能在内部，也可能在外部． 【详解】解：射线在内部 已知：， 设，则 则有： 即：， 射线在外部 已知： 设，则 则有： 即：， . 故答案为：或． 【点睛】本题考查了角的计算与分类讨论思想，解题关键是根据射线的不同位置（内部或外部）分类，结合角的和差关系与比例关系求解． 三、解答题 12．【问题背景】 如图，已知，是内的一条射线，且． 【问题再现】 （1）的度数为_____，的度数为_____； 【问题推广】 （2）作射线平分，在内作射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 （3）过点作射线、，且平分，若，求的度数． 【答案】（1）40，80；（2）；（3）或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角的和差关系是解题的关键： （1）根据，结合，进行求解即可； （2）根据角平分线的定义，角的数量关系，以及角的和差关系进行求解即可． （3）分在的内部和的外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：40，80； （2）由（1）可知：，， ∵平分，， ∴，， ∴； （3）当在的内部时， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当在的外部时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上：或． 13．【探索新知】 （1）如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与的数量关系________． 【深入探究】 （2）如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，作，（，都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）①；；②；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）①当时，根据互余关系得出，根据得出，当时，得出，根据互余关系得出即可求解；②根据，即可得出； （2）根据（1）的方法得出，即可求解； （3）分4种情况讨论，即①在上方时，②在内部，③在内部，④在下方，分别画出图形，结合图形即可求解． 【详解】解：（1）①当时， ∵， ∴ ∵， ∴； 当时， ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：；； ②∵ ∴； 即 （2）．理由如下： ∵； ∴； （3）①在上方时，如图： ∴ ②在内部，如图： 同理可得：； ③在内部，如图：； ④在下方，如图： ． 综上所述，或或． 14．如图，已知直线和交于点，，，平分． (1)当时，的度数为_________，的度数为_________； (2)当时，射线从开始以的速度绕点逆时针转动，同时射线从开始以的速度绕点顺时针转动．当射线转动一周时，射线，停止转动，求经过多长时间射线与射线第一次重合； (3)在（2）的条件下，射线在转动一周的过程中，当时，求出射线转动的时间． 【答案】(1)； (2)经过射线与射线第一次重合 (3)当时，射线转动的时间为3s或12s或21s或30s 【分析】本题考查了对顶角、邻补角的性质，角平分线的定义，射线运动的角度动态问题，掌握角度的和差计算，角平分线的性质，结合运动速度与角度关系列方程求解是解题的关键． （1）利用得，通过角度差计算；再由邻补角得，结合角平分线定义求； （2）先计算初始时的度数，再根据射线转动速度和，用角度和除以速度和得第一次重合时间； （3）分未追上时夹角为和追上后夹角为两种情况，结合转动角度与初始角度列方程求解，考虑转动一周内的所有可能． 【详解】（1）解：当时： ∵ ∴ ∵，平分 ∴． （2）解：当时，， ． 平分， ． ， ， ． 设经过射线与射线第一次重合． 由题意，得，解得． 故经过射线与射线第一次重合． （3）解：设射线转动的时间为． 由题意，得或 或或， 解得或12或21或30． 故当时，射线转动的时间为或或或． 15．已知与共顶点，点，，在一条直线上，点，在直线同侧，，平分，平分． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当时，若，求的度数． (3)当时，若，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，掌握角平分线的定义，角的和差计算是解题的关键． （1）利用角平分线的定义即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再利用角平分线的定义结合平角的定义即可求解； （3）同（2）的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分． ∴ ∴ （2）解：∵平分，平分． ∴ 又∵， ∴ ； （3）解：∵平分，平分． ∴ ∵ ∴ ； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $