专题04 线段与角的八大经典问题（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 以线段中点和角平分线为核心，构建八大经典模型的通法体系，通过典例精讲与变式训练实现知识迁移，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心方法|提炼位置分析与分类讨论原则，明确中点、角平分线的数量关系转化|以线段中点、角平分线为基础，衍生双中点、双角平分线等复合模型| |题型精讲|8类题型，每类1典例+3变式|每类题型总结特征、方法及易错点，如单中点模型的2倍关系应用|从单中点/角平分线到相间双中点/角叠角，由简到繁构建知识链| |压轴挑战|9道综合题|动态问题分类讨论，结合方程思想解决复杂几何计算|整合八大模型，强化知识迁移与综合应用能力|

专题04 线段与角的八大经典问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、单中点模型 1 类型二、相邻双中点模型 2 类型三、相间双中点模型 2 类型四、单角平分线模型 2 类型五、双角平分线模型 2 类型六、半角模型 3 类型七、角叠角模型 3 类型八、角夹角模型 3 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 线段与角的八大经典模型是七年级几何核心重难点，所有题型围绕线段中点、角平分线、角的和差三大基础展开，解题贯穿两条底线原则：一是看清点 / 射线位置，区分内部、外部多解情况；二是动态问题必须分类讨论，算出结果后要结合图形验证合理性。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、单中点模型 典例精讲1（25-26六年级下·上海·期末）如图，是线段的中点，是上一点．，如果，那么________． 题型归纳 1.特征：一条线段上存在唯一中点，利用中点等分线段的性质，求解线段长度。 2.方法：中点将线段分成相等两段，得到线段间\(\boldsymbol{2}\)倍数量关系，结合线段和差列式计算。3.易错提醒：看清点在线段上还是线段延长线上，位置不同，线段和差关系式会改变。 变式训练1（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________． 变式训练2（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）在直线上取，，三点，使得，，若点O是线段的中点，则线段的长为______． 变式训练3（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，点B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，，则________． 类型二、相邻双中点模型 典例精讲2（2026七年级上·江苏淮安·专题练习）已知点为直线上的一点，且，，其中点为的中点，点为中点，则线段的长为____________________． 题型归纳 1.特征：同一条直线上，两段相邻线段，各自取中点，求两个中点之间的线段长。 2.方法：设基础线段，利用中点表示两段半长，相加得到中点距离，结果等于总长的一半。 3.易错提醒：模型结论仅适用于两段相邻共线线段，不要直接套用到不相邻的线段。 变式训练1（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，已知点在线段上，且，，、分别是、的中点． (1)填空：要求线段的长度，可进行如下计算： 解：因为是的中点，所以_____． 因为，所以． 因为是的中点，所以_____． 因为，所以_____． 所以_____． (2)如果，其他条件不变，你能猜出的长度吗？说明理由． 变式训练2（25-26七年级上·陕西延安·期末），两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒． (1)若，则________，点所表示的数为________； (2)当时，求的值； (3)为线段的中点，为线段的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 变式训练3（24-25七年级上·全国·期末）综合与探究： 问题情境： 已知：M，N分别是线段，的中点． 初步探究： （1）如图（1），点C在线段上，且，，求线段的长． 问题解决： （2）若C为线段上任意一点，且，，求出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 类比应用： （3）若点C在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 拓展延伸： （4）已知：如图（2），C为线段的中点，D为线段的中点，E为线段上任意一点，M为线段的中点，，，请你直接写出线段的长（用含有m，n的代数式表示）． 类型三、相间双中点模型 典例精讲3（2025年秋学期初一学业水平调研建议卷七年级数学试题）如图，长度为的线段在线段上滑动，，线段在滑动的过程中，取线段的中点，线段的中点． (1)当时，试说明线段的中点也是线段的中点． (2)在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由． 题型归纳 1.特征：同一直线上，两段被间隔开的线段，分别取中点，求中点间距。 2.方法：标注各线段，借助中点转化，用整体加减消去中间间隔线段，计算中点距离。 3.易错提醒：注意线段排列顺序，区分相邻、相间，不能直接套用相邻双中点结论。 变式训练1（湖南省衡阳市船山实验中学2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题）（1）如图1，点C为线段上一点，与长度之比为3:5，D为线段中点． ①若，求的长． ②点E为线段的中点，若，求的长（用含m的代数式表示）． （2）如图2，点M为线段中点，点N为线段中点，若，，请用含a，b的代数式直接表示出的长． 变式训练2（四川省成都市青羊区成都市泡桐树中学2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题）A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 变式训练3（四川省成都市锦江区盐道街中学2023-2024学年七年级上学期期末数学试卷）已知线段，点、点都是线段上的点． (1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ； (2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长； (3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值． 类型四、单角平分线模型 典例精讲4（25-26七年级上·四川广元·期末）如图，点在直线上，平分，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 题型归纳 1.特征：一个角内有一条角平分线，拆分原角，求相关角度。 2.方法：角平分线把角分成两个相等角，得到二倍关系，结合角的和差计算。 3.易错提醒：看清射线在角内部还是外部，外部情况存在多解，不要默认只在内部。 变式训练1（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 变式训练2（21-22七年级下·吉林长春·期中）如图，直线、交于点O，平分，于点O，若，求的度数． 变式训练3（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知直线与交于点O，是上方的一条射线，若与互余，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 类型五、双角平分线模型 典例精讲5（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，，平分，平分，则的度数为______． 题型归纳 1.特征：同一个顶点引出两条角平分线，平分相关角，求两条平分线的夹角。 2.方法：设基础角，利用角平分线表示等分角，通过整体代换化简求夹角。 3.易错提醒：分清是内角平分线还是外角平分线，不同组合公式不一样，不可直接混用。 变式训练1．（25-26七年级上·山东济宁·期末）【发现问题】（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若．则的度数是______； 【类比探究】（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，请直接写出____________°．（用含的式子表示） 变式训练2（25-26七年级上·天津河北·期末）（1）如图1，，，，在内部，在外部，平分，平分． ①直接写出的大小是_____，的大小是_____； ②直接写出的值是_____； （2）如图2，，，在内部，在外部，平分，平分，问（1）中的②结论是否仍然成立，请说明理由； （3）如图3，，，在绕着点旋转一周的过程中，平分，平分，当时，直接写出的大小． 变式训练3（20-21七年级下·山东淄博·期中）已知平分，平分． (1)如图①，若点，，在一条直线上，则与的数量关系是________． (2)如图②，若点，，不在一条直线上，则题（1）中的数量关系是否成立？请说明理由． (3)如图③，若在的内部，则题（1）中的数量关系是否成立？请说明理由． 类型六、半角模型 典例精讲6（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，点为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，则是（   ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：一个大角内部存在一个小角，小角度数等于大角的一半。 2.方法：利用角的和差进行拆分、等量代换，寻找固定不变的角度关系。 3.易错提醒：半角前提是小角在大角内部；图形旋转动态题，要留意临界位置。 变式训练1（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图，A，O，B三点在同一条直线上，为直角，平分，平分，平分，（1）_______，（2）_______． 变式训练2（2026七年级上·湖北武汉·专题练习）如图，O为直线上一点，为直角， 平分，平分，平分，下列结论：①与互为余角；②；③与互为补角；④，其中正确的是______________________． 变式训练3（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ________． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ________． 类型七、角叠角模型 典例精讲7（25-26七年级上·广东深圳·期末）综合与实践 问题情景：数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为_____； 规律探究 （2）若，求的度数； 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． 若，则的度数为_____； 若，求的度数． 题型归纳 1.特征：两个角有公共顶点、部分重叠，已知重叠部分，求两角之间的数量关系。 2.方法：写出角的叠加关系式，公共重叠角可做等量抵消，化简得到角度差不变。 3.易错提醒：准确识别公共重叠区域，不要把和、差关系写反。 变式训练1（23-24七年级上·浙江·课后作业）已知∠ABC=∠DBE，射线BD在∠ABC的内部，按要求完成下列各小题．        尝试探究：如图1，已知∠ABC=90°，当BD是∠ABC的平分线时，∠ABE+∠DBC的度数为______； 初步应用：如图2，已知∠ABC=90°，若BD不是∠ABC的平分线，求∠ABE+∠DBC的度数； 拓展提升：如图3，若∠ABC=45°时，试判断∠ABE与∠DBC之间的数量关系，并说明理由． 变式训练2（22-23七年级上·广西崇左·期末）如图，一副三角尺与的直角顶点O重合在一起． (1)_____________； (2)试判断与的大小关系，并说明理由； (3)若，为的平分线，求，，的度数． 变式训练3（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知∠ABC＝∠DBE，射线BD在∠ABC的内部． （1）如图1，已知∠ABC═90°，当BD是∠ABC的平分线时，求∠ABE的度数． （2）如图2，已知∠ABE与∠CBE互补，∠DBC：∠CBE＝1：3，求∠ABE的度数； （3）如图3，若∠ABC＝45°时，直接写出∠ABE与∠DBC之间的数量关系． 类型八、角夹角模型 典例精讲8（25-26七年级上·四川成都·期末）【知识背景】 如图1，射线在内部，且满足则称射线是的“四分位线”；若则称射线是的“四分位线”． 【知识应用】 如图2，射线是的“四分位线”． (1)求的度数； (2)若射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与重合时停止转动，在旋转过程中，设运动的时间为． ①若射线是的“四分位线”时，运动时间为多少秒？ ②若射线开始旋转时，也绕着点以每秒的速度逆时针旋转，当射线与的反向延长线重合时停止转动，当为定值，且射线恰好是的“四分位线”时，求的值． 题型归纳 1.特征：共顶点的两个角，已知两角，求两角外侧射线所形成夹角。 2.方法：分射线在内部、外部多种位置，分类讨论，用角的和差计算夹角。 3.易错提醒：没有图时务必多画图，极易漏解；区分两角包含、交叉、分离情况。 变式训练1（25-26七年级上·重庆奉节·期末）小刚同学在学习了角及其平分线后对角的计算和动态角产生了浓厚的兴趣，我们都知道若是内一条射线，当，则称射线是的角平分线．于是联想到若是内一条射线，当或，则称射线是的三等分线．（本题中所研究的角都是大于且小于的角） (1)如图1，已知，若是的三等分线，则______； (2)如图2，射线平分，是的三等分线，射线在的内部，且，若，求的度数； (3)如图3，已知，射线平分，射线绕着点O以每秒的速度顺时针从射线旋转到的位置，设运动时间为t秒，若是的三等分线，且，请直接写出在旋转过程中满足条件的所有t的值． 变式训练2（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图，，则为的4分位线；，则也是的4分位线． (1)若，为的2分位线，则___________． (2)如图2，点在同一条直线上，为一条射线，分别为与的3分位线． ①已知，则___________． ②若，求的度数．（用含的式子表示） (3)如果点在同一条直线上，为一条射线，已知射线分别为与的4分位线，且，求的度数．， 变式训练3（24-25七年级上·山西吕梁·期末）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①在如图1中，若，则的长______；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下 分别是、的中点， ______，______， ，不变， 的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知在内部转动，和分别平分和，则与、有一定的数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，将和分别平分和改为分别作出射线，若，，直接写出与、的数量关系． 变式训练4（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，已知线段，延长线段至C，使． (1)请根据题意将图形补充完整．直接写出________； (2)设，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以，的速度沿直线向左运动． ①当点D运动到线段上，求与的数量关系，并说明理由； ②在点D，E沿直线向左运动的过程中，M，N分别是线段，的中点．当点C恰好为线段的三等分点时，求的长． 2．（2026·广西钦州·模拟预测）【问题背景】如图1，线段，是线段的中点，线段，且线段在线段上移动． 【问题探究】 （1）当时，_____，_____； （2）当线段在线段上移动时，探究与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图2，在直线上方从点出发引出射线，，，射线在的右边，且，，平分． ①若，求的度数； ②已知点在直线上，在直线的上方绕点转动，当射线在射线的左边时，如图3，求出与的数量关系． 3．（25-26七年级上·天津·期末）（1）如图1，点B，D在线段上． ①填空： __________． ②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）（1）特例感知： 如图①，已知线段，线段在线段上运动，分别是的中点． ①若，则_______． ②在线段的运动过程中，线段的长度是否发生变化？如果不发生变化请求出的长度，如果发生变化，请说明理由． （2）知识迁移： 我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，则_______； ②请你猜想和三个角之间有怎样的数量关系． （3）类比探究： 如图③，在内部转动，若，，，请直接用含有k的式子表示的度数． 5．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 在数学活动课上，同学们用折纸探究角平分线．小明发现，当角内部有两条射线分别平分相邻的两个小角时，它们所成夹角的大小也有规律． 进一步地，小华提出：如果这两条射线不是平分，而是按固定比例分割相邻的两个小角，是否也有类似的规律?针对提出的疑问，他们小组合作抽象出了以下数学问题： (1)【基础探究】 如图1，已知内部有三条射线、、，其中平分，平分．若，，则的度数为_____． (2)【发现规律】 如图2，设，（），其中平分，平分．猜想的度数是否随的改变而改变?请证明你的猜想． (3)【拓展推广】 在（2）的假设条件下，若，．上述猜想是否还成立？若成立，求出；若不成立，请说明理由． 6（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图1，，射线从与重合时开始运动，以每秒的速度绕着点顺时针的方向旋转一周，设射线运动的时间为，在旋转过程中，平分，平分． (1)当秒时，则______； (2)当射线运动到位于内部时，求的度数； (3)当射线运动到位于外部（射线不在直线、上）时，则______； (4)如图2，当射线旋转秒时，射线从与重合时开始沿着射线运动路线绕点以每秒的速度运动，旋转至时，立即按照原速绕着点逆时针的方向旋转，当旋转至时，射线、射线同时停止运动，当时，请直接写出的值． 7．（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．如图1，是直线上的一点，平分．数学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： 【观察计算】（1）如图1，当，求的度数； 【类比猜想】（2）在图1中，当，试猜想的度数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； 【拓展探究】（3）在（2）的基础上，将绕着顶点顺时针旋转，使得的两条边中至少有一条边在直线的下方，探究和之间的数量关系，请直接写出你的结论． 8．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点逆时针旋转（且，）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 9．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，已知，以O为顶点，OA为一边顺次往外画两个锐角和，并且，平分，平分．若设． (1)当射线在内时． ①若，求x的值； ②若是内的一条射线，且，判断是图中哪个角的平分线，并说明理由； (2)改变的大小，探究的大小是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 线段与角的八大经典问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、单中点模型 1 类型二、相邻双中点模型 2 类型三、相间双中点模型 2 类型四、单角平分线模型 2 类型五、双角平分线模型 2 类型六、半角模型 3 类型七、角叠角模型 3 类型八、角夹角模型 3 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 线段与角的八大经典模型是七年级几何核心重难点，所有题型围绕线段中点、角平分线、角的和差三大基础展开，解题贯穿两条底线原则：一是看清点 / 射线位置，区分内部、外部多解情况；二是动态问题必须分类讨论，算出结果后要结合图形验证合理性。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、单中点模型 典例精讲1（25-26六年级下·上海·期末）如图，是线段的中点，是上一点．，如果，那么________． 【答案】40 【分析】利用线段中点的性质、比的应用，线段和差的关系列方程进行求解． 【详解】解：因为是线段的中点，是上一点，， 设，， 所以， ， 所以， ， ， ． 题型归纳 1.特征：一条线段上存在唯一中点，利用中点等分线段的性质，求解线段长度。 2.方法：中点将线段分成相等两段，得到线段间\(\boldsymbol{2}\)倍数量关系，结合线段和差列式计算。3.易错提醒：看清点在线段上还是线段延长线上，位置不同，线段和差关系式会改变。 变式训练1（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________． 【答案】3或9/9或3 【分析】点D在直线上，需分两种情况讨论，分别根据线段的和差关系计算的长度. 【详解】解：∵ ，， ∴ ∵ 点是的中点， ∴ . ①当点在线段上时，. ②当点在的延长线上时，. 因此的长为或. 变式训练2（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）在直线上取，，三点，使得，，若点O是线段的中点，则线段的长为______． 【答案】 或 【分析】分点在线段上和在的延长线上两种情况讨论． 本题主要考查了线的和差关系，线段的中点，正确理解题意是解题关键． 【详解】解：情况1： 当点在线段上时， ，点O为AC的中点， 故， 则． 情况2：当点在线段的延长线上时， ，点O为的中点， 故， 则． 故答案为：或． 变式训练3（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，点B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点、线段的和差关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，根据线段的和差关系分别表示出、、，进而求解． 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴，， ∵是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 类型二、相邻双中点模型 典例精讲2（2026七年级上·江苏淮安·专题练习）已知点为直线上的一点，且，，其中点为的中点，点为中点，则线段的长为____________________． 【答案】3或6/6或3 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，分两种情况，点C在线段上和点C在线段的延长线上，根据线段中点的定义得到，再根据线段的和差关系即可得到答案． 【详解】解：当点C在线段上时， ∵，，点D为的中点，E为的中点， ∴， ∴； 当点C在线段的延长线上时， ∵，，点D为的中点，E为的中点， ∴， ∴； 综上所述，的长为3或6， 故答案为：3或6． 题型归纳 1.特征：同一条直线上，两段相邻线段，各自取中点，求两个中点之间的线段长。 2.方法：设基础线段，利用中点表示两段半长，相加得到中点距离，结果等于总长的一半。 3.易错提醒：模型结论仅适用于两段相邻共线线段，不要直接套用到不相邻的线段。 变式训练1（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，已知点在线段上，且，，、分别是、的中点． (1)填空：要求线段的长度，可进行如下计算： 解：因为是的中点，所以_____． 因为，所以． 因为是的中点，所以_____． 因为，所以_____． 所以_____． (2)如果，其他条件不变，你能猜出的长度吗？说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 因为是的中点，所以． 因为，所以． 因为是的中点，所以． 因为，所以． 所以． 【分析】本题考查线段中点的性质，理解线段中点的性质，根据题干信息得到各线段之间的关系是解题的关键． （1）已知，的长度，点，分别是，的中点，则，，，即可求出的长度； （2）将第（1）问中的中的和的具体值分别换成，即可用，表示的长度． 【详解】（1）解：因为是的中点，所以． 因为，所以． 因为是的中点，所以． 因为，所以． 所以． 故答案为：． （2）略 变式训练2（25-26七年级上·陕西延安·期末），两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒． (1)若，则________，点所表示的数为________； (2)当时，求的值； (3)为线段的中点，为线段的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)； (2)或 (3)线段的长度不变，线段的长为； 【分析】（1）根据点的运动速度，即可得出答案； （2）当时，分两种情况：点在点的左侧或是右侧，分别画出图形求解即可； （3）分两种情况并结合中点的定义可以求出线段的长度即可作出判断． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒， ∴当时，的长为：， ∵点 对应的有理数为，， ∴点表示的有理数为：， 故答案为：；； （2）解：∵点对应的数为，且，点在点的右侧， ∴点表示的有理数为：， ∴秒时，点表示的数为， 当时， 当点在点的左侧时，如图， ， 解得：， 当点在点的右侧时，如图， ， 解得：， ∴当时，的值为或； （3）解：线段的长度不变；理由如下： 如图，当点在点的左侧时， ∵为线段的中点，为线段的中点，， ∴，， ∴； 如图，当点在点的右侧时， ∵为线段的中点，为线段的中点，， ∴，， ∴； ∴线段的长度不变，． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 变式训练3（24-25七年级上·全国·期末）综合与探究： 问题情境： 已知：M，N分别是线段，的中点． 初步探究： （1）如图（1），点C在线段上，且，，求线段的长． 问题解决： （2）若C为线段上任意一点，且，，求出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 类比应用： （3）若点C在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 拓展延伸： （4）已知：如图（2），C为线段的中点，D为线段的中点，E为线段上任意一点，M为线段的中点，，，请你直接写出线段的长（用含有m，n的代数式表示）． 【答案】（1）； （2） ； ∵点，分别是线段，的中点， ，， ； （3）；（4） 【分析】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．在不同的情况下，灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． （1）根据点、分别是、的中点，先求出、的长度，再利用即可求出的长度； （2）当为线段上一点，且、分别是、的中点，可表示线段、的长度，再利用，则存在； （3）点在的延长线上时，根据、分别是、中点，可表示线段、的长度，再利用，即可求出的长度； （4）根据，，得，根据中点的性质得，所以． 【详解】解：（1） ，点是的中点， ， ，点是的中点， ， ， 线段的长度为7.5． （2）略． （3） 当点在线段的延长线时，如图∶ 则， 是的中点， ， 点是的中点， ， ； （4）点，，分别是线段，，的中点， ，，， ，， ， ， ． 类型三、相间双中点模型 典例精讲3（2025年秋学期初一学业水平调研建议卷七年级数学试题）如图，长度为的线段在线段上滑动，，线段在滑动的过程中，取线段的中点，线段的中点． (1)当时，试说明线段的中点也是线段的中点． (2)在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由． 【答案】(1) 解：∵，， ∴， ∴ ∴线段的中点也是线段的中点； (2)的长度不变， 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算． （1）根据，即可求解； （2）根据线段中点的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵是的中点，是的中点， ∴ ∵， ∴ 题型归纳 1.特征：同一直线上，两段被间隔开的线段，分别取中点，求中点间距。 2.方法：标注各线段，借助中点转化，用整体加减消去中间间隔线段，计算中点距离。 3.易错提醒：注意线段排列顺序，区分相邻、相间，不能直接套用相邻双中点结论。 变式训练1（湖南省衡阳市船山实验中学2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题）（1）如图1，点C为线段上一点，与长度之比为3:5，D为线段中点． ①若，求的长． ②点E为线段的中点，若，求的长（用含m的代数式表示）． （2）如图2，点M为线段中点，点N为线段中点，若，，请用含a，b的代数式直接表示出的长． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题主要考查两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差求解线段的长是解题的关键． （1）①由设，，根据可求解值，即可得，的长，结合中点的定义可求解；②根据题意画出图形，由设，，则，利用线段的和差，结合中点的定义可求解，由，进而可求解的长． （2）根据中点定义得到，即可求出． 【详解】（1）解：①由设，， ∵，， ， 解得， ，， 为线段的中点， ， ． ②解：如图所示． 由设，， ∴， 为线段的中点， ， ， 为的中点， ， ， ， ， 解得， ． （2）∵点M为线段中点，点N为线段中点， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 变式训练2（四川省成都市青羊区成都市泡桐树中学2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题）A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了线段中点的性质、线段的和差计算，以及动态行程问题中的方程思想．掌握中点公式的运用，并能根据运动过程的不同阶段（相遇前、相遇后、追及等）准确建立方程是解题的关键． （1）直接利用M、N分别为和中点的条件，将的长度表示为与之和，再通过等量代换转化为的一半，即可求解； （2）本问在（1）的基础上增加了线段，解题关键在于将的长度通过中点公式转化为与之和，并注意减去重叠部分，经过代数化简最终得到； （3）本问为综合行程问题．核心是根据甲、乙不同的运动阶段（相向而行、相遇后、乙在B地休息后返回）及甲先到达终点C的情况，分类讨论两人相距的条件．需分别针对“未相遇”、“已相遇”、“乙返回后未追上甲”及“乙返回后追上甲”等多种情形建立方程求解，并检验解是否符合对应阶段的时空范围． 【详解】（1）解：∵地恰好位于A、B中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴（）， 故答案为：． （2）解：∵P地恰好位于A、C中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（）． 故答案为：． （3）解：∵甲从P地出发，以的速度步行去C地， ∴甲走的路程为， ∵乙从地出发，以的速度骑车去B地， ∴乙走的路程为， ① 若甲乙未碰面， 则有 解得 若甲乙已经碰面， ∵AB两地相距， 即， ∴， ∴， ∴， ∴甲从P地走到C地用时为（）， ∴乙从Q地走到B地用时为（）， ②   则有 解得； ③  若乙从B地再出发后未追上甲， ， 解得：； ④若乙从B地再出发后追上甲，甲乙之间相距， 即， 解得：， 综上所述，当或或或时，两人相距． 变式训练3（四川省成都市锦江区盐道街中学2023-2024学年七年级上学期期末数学试卷）已知线段，点、点都是线段上的点． (1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ； (2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长； (3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 如图，点在点的左侧， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴ 如图，点在点的右侧， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴， 综上，的长为或； (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及两点间的距离，分类讨论和正确列出方程是解题的关键． （1）利用中点的推出即可求出答案； （2）分两种情况讨论，点B在点C的左侧或点B在点C的右侧，结合图形，列式可求出答案即可； （3）运动秒后，，从而可推，，由可得方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点， ∴，， ∵， ∴； 故答案为： ； （2）略； （3）运动秒后，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， 又∵， ∴，或， 由得：或， 解得：或． 类型四、单角平分线模型 典例精讲4（25-26七年级上·四川广元·期末）如图，点在直线上，平分，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义及平角定义即可求解； （2）先求得，再将代入即可求得，然后利用角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， ， 平分， ； （2）解：，， ， ， ． 题型归纳 1.特征：一个角内有一条角平分线，拆分原角，求相关角度。 2.方法：角平分线把角分成两个相等角，得到二倍关系，结合角的和差计算。 3.易错提醒：看清射线在角内部还是外部，外部情况存在多解，不要默认只在内部。 变式训练1（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 【答案】；角的和的定义；等式的基本性质；；角平分线的定义；平角的定义；； 【分析】利用直角、角平分线、平角的性质，通过等式代换推导两角关系． 【详解】略 变式训练2（21-22七年级下·吉林长春·期中）如图，直线、交于点O，平分，于点O，若，求的度数． 【答案】 【分析】由图形及，可得，根据余角的定义可得的角度，结合角平分线的定义可得，最后根据邻补角的定义可得出的度数． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， 平分， ， ． 即的度数为． 变式训练3（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知直线与交于点O，是上方的一条射线，若与互余，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由互余的定义得出，结合，即可得出，然后再根据对顶角相等即可得出的度数． （2）先求出，由平角的定义得出，再由角平分线的定义得出，最后由角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 类型五、双角平分线模型 典例精讲5（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，，平分，平分，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义得出，，根据平角的定义得出，根据角的和差关系即可求出． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型归纳 1.特征：同一个顶点引出两条角平分线，平分相关角，求两条平分线的夹角。 2.方法：设基础角，利用角平分线表示等分角，通过整体代换化简求夹角。 3.易错提醒：分清是内角平分线还是外角平分线，不同组合公式不一样，不可直接混用。 变式训练1．（25-26七年级上·山东济宁·期末）【发现问题】（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若．则的度数是______； 【类比探究】（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，请直接写出____________°．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差． （1）根据角平分线性质可求，根据即可解答； （2）由题意可得，进而求出； （3）根据角平分线性质可得，，进而求出． 【详解】解：（1）平分，平分， ，， ，； 故答案为：； （2），，， ， ； （3），， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ， 即， 故答案为：． 变式训练2（25-26七年级上·天津河北·期末）（1）如图1，，，，在内部，在外部，平分，平分． ①直接写出的大小是_____，的大小是_____； ②直接写出的值是_____； （2）如图2，，，在内部，在外部，平分，平分，问（1）中的②结论是否仍然成立，请说明理由； （3）如图3，，，在绕着点旋转一周的过程中，平分，平分，当时，直接写出的大小． 【答案】（1）①，；②； （2）（1）中的②结论仍然成立，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故（1）中的②结论仍然成立； （3）或或 【分析】（1）①先求出，再由角平分线的定义可得，求出，再由角平分线的定义可得，最后再由计算即可得出结果；②根据①中得出的结果，计算即可； （2）设，由角平分线的定义可得，再求出，即可得出结果； （3）分三种情况，分别画出图形，根据角平分线的定义，结合图形，列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵，， ∴； 故答案为：①，；②． （2）略 （3）情况一：如图， 设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 情况二：如图， ， 设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 情况三：如图： ， 设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的大小为或或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 变式训练3（20-21七年级下·山东淄博·期中）已知平分，平分． (1)如图①，若点，，在一条直线上，则与的数量关系是________． (2)如图②，若点，，不在一条直线上，则题（1）中的数量关系是否成立？请说明理由． (3)如图③，若在的内部，则题（1）中的数量关系是否成立？请说明理由． 【答案】(1) (2) 成立，理由如下： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； (3) 成立，理由如下： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ， ∴． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，； （2）根据角平分线的定义求得； （3）根据角平分线的定义求得． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解． 类型六、半角模型 典例精讲6（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，点为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质与平角、直角的角度计算，解题的关键是利用角平分线的定义，结合平角、直角的度数推导各角的关系． 先根据平角和角平分线的性质求出的度数，再结合直角和角平分线的性质求出的度数，最后将与相加得到的度数． 【详解】解∶在直线上 平分，平分 平分，平分 故选D． 题型归纳 1.特征：一个大角内部存在一个小角，小角度数等于大角的一半。 2.方法：利用角的和差进行拆分、等量代换，寻找固定不变的角度关系。 3.易错提醒：半角前提是小角在大角内部；图形旋转动态题，要留意临界位置。 变式训练1（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图，A，O，B三点在同一条直线上，为直角，平分，平分，平分，（1）_______，（2）_______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角，补角的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，可得，再根据即可求解； （2）由（1）知，求出，由角平分线的定义得到，根据为直角，求出，由，易证，进而得到，等量代换求出，即可解答． 【详解】解：（1）∵A，O，B三点在同一条直线上， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由（1）知，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为直角， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 变式训练2（2026七年级上·湖北武汉·专题练习）如图，O为直线上一点，为直角， 平分，平分，平分，下列结论：①与互为余角；②；③与互为补角；④，其中正确的是______________________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了余角和补角的定义，角平分线定义，角的和差计算，设，，，可证明，，再根据余角和补角的定义以及角平分线的定义计算出各选项的结果判断即可． 【详解】解：∵平分，平分， 平分， ∴可设，，， 如图： ∵为直角，， ∴， ∴， ∵O为直线上一点， ∴， ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定成立，即与不一定互为余角，故①错误； ∵，， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴， 即与互为补角，故③正确； ∵，，， ∴， 即，故④正确； 正确的有②③④． 故答案为：②③④． 变式训练3（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ________． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ________． 【答案】 【分析】（1）设，根据角平分线的定义得，，再根据得，然后根据平分得，进而得，最后再根据可得出答案； （2）设，根据射线垂直于得，根据射线平分得，进而得，再根据对顶角的性质得，然后根据得，由此解出α即可得出答案． 【详解】解：（1）设， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． （2）设， ∵射线垂直于， ， ， ∵射线平分， ， ， ∵直线、相交于点O， ， 又， ， 解得：， 即． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握对顶角的性质和角的计算是解决问题的关键． 类型七、角叠角模型 典例精讲7（25-26七年级上·广东深圳·期末）综合与实践 问题情景：数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为_____； 规律探究 （2）若，求的度数； 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． 若，则的度数为_____； 若，求的度数． 【答案】（1） （2） （3）； 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用角的和差进行求解即可； （2）利用角的和差进行求解即可； （3）①利用角的和差及角平分线的性质求出相关角的度数即可； ②利用角的和差及角平分线的性质表示出相关角的度数即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴． ∵， ∴； （3）①∵， ∴， ． ∵平分平分， ∴． ∴． 故答案为：； ②∵， ∴ ∵平分平分， ∴． ∴． 题型归纳 1.特征：两个角有公共顶点、部分重叠，已知重叠部分，求两角之间的数量关系。 2.方法：写出角的叠加关系式，公共重叠角可做等量抵消，化简得到角度差不变。 3.易错提醒：准确识别公共重叠区域，不要把和、差关系写反。 变式训练1（23-24七年级上·浙江·课后作业）已知∠ABC=∠DBE，射线BD在∠ABC的内部，按要求完成下列各小题．        尝试探究：如图1，已知∠ABC=90°，当BD是∠ABC的平分线时，∠ABE+∠DBC的度数为______； 初步应用：如图2，已知∠ABC=90°，若BD不是∠ABC的平分线，求∠ABE+∠DBC的度数； 拓展提升：如图3，若∠ABC=45°时，试判断∠ABE与∠DBC之间的数量关系，并说明理由． 【答案】180°; 180°; 90°. 【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直定义得∠CBE=45°，ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC；（2）由∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE可得；（3）由∠DBE=∠ABC=45°，得∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE. 【详解】尝试探究：∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC， 所以∠DBC=45°， 因为∠DBE=∠ABC=90°，∠DBC+∠CBE=∠DBE 所以∠CBE=45°． 所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=90°+45°+45°=180°． 初步应用：因为∠DBE=∠ABC=90°，    所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC =∠ABC+∠DBE=180°． 答：∠ABE+∠DBC的度数为180°． 拓展提升：∠ABE+∠DBC=90°． 理由：    因为∠DBE=∠ABC=45°， 所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC =∠ABC+∠DBE=90°． 【点睛】考核知识点：角平分线定义.理解角的关系是关键. 变式训练2（22-23七年级上·广西崇左·期末）如图，一副三角尺与的直角顶点O重合在一起． (1)_____________； (2)试判断与的大小关系，并说明理由； (3)若，为的平分线，求，，的度数． 【答案】(1) (2) ，理由如下： ∵， ∴， 即； (3)；； 【分析】（1）根据题意可得，从而得到，即可； （2）根据，可得，即可； （3）由（1）得：，再由，可得，可求出的度数，再由为的平分线，可得，然后根据；，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； 故答案为： （2）略 （3）解：由（1）得：， ∵， ∴， 解得：， ∴； ∵为的平分线， ∴， ∴；． 【点睛】本题考查余角与补角以及角平分线，根据题意得到是正确解答的前提． 变式训练3（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知∠ABC＝∠DBE，射线BD在∠ABC的内部． （1）如图1，已知∠ABC═90°，当BD是∠ABC的平分线时，求∠ABE的度数． （2）如图2，已知∠ABE与∠CBE互补，∠DBC：∠CBE＝1：3，求∠ABE的度数； （3）如图3，若∠ABC＝45°时，直接写出∠ABE与∠DBC之间的数量关系． 【答案】（1）∠ABE＝135°；（2）∠ABE＝126°； （3）∠ABE+∠DBC＝90°．理由： ∵∠DBE＝∠ABC＝45°， ∴∠ABE+∠DBC＝∠ABC+∠CBE+∠DBC＝∠ABC+∠DBE＝90°． 【分析】（1）利用角平分线的性质，先求出∠DBC、∠CBE的度数，再计算∠ABE的度数； （2）由已知条件得到∠ABD=∠CBE，设∠DBC=α，∠CBE=3α，得到∠ABD=3α，∠ABE=3α+α+3α=7α，根据题意列方程即可得到结论； （3）把∠ABE+∠DBC转化为∠ABC+∠DBE，代入计算得出结论． 【详解】解：（1）∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝45°， ∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∠DBC+∠CBE＝∠DBE， ∴∠CBE＝45°． ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°+45°＝135°． 故答案为135°． （2）∵∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABD＝∠CBE， ∵∠DBC：∠CBE＝1：3， ∴设∠DBC＝α，∠CBE＝3α， ∴∠ABD＝3α，∠ABE＝3α+α+3α＝7α， ∵∠ABE与∠CBE互补， ∴7α+3α＝180°， ∴α＝18°， ∴∠ABE＝126°； （3）略 【点睛】本题考查角的和差关系及角的相关计算．通过观察图形，把∠ABE+∠DBC转化为∠ABC+∠DBE是解决本题的关键． 类型八、角夹角模型 典例精讲8（25-26七年级上·四川成都·期末）【知识背景】 如图1，射线在内部，且满足则称射线是的“四分位线”；若则称射线是的“四分位线”． 【知识应用】 如图2，射线是的“四分位线”． (1)求的度数； (2)若射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与重合时停止转动，在旋转过程中，设运动的时间为． ①若射线是的“四分位线”时，运动时间为多少秒？ ②若射线开始旋转时，也绕着点以每秒的速度逆时针旋转，当射线与的反向延长线重合时停止转动，当为定值，且射线恰好是的“四分位线”时，求的值． 【答案】(1)； (2)①秒；② 【分析】本题考查结合新定义“四分位线”考查角的等分线，涉及角的旋转运动、角的和差计算等知识，关键是紧扣定义，结合角的旋转速度与时间的关系推导角度表达式． （1）根据“四分位线”的定义，直接代入计算； （2）①先求出的度数，再根据“四分位线”定义得到的度数，结合旋转速度计算时间； ②先推导旋转后与的表达式，根据“定值”条件确定的值，再结合“四分位线”定义求出，最终计算． 【详解】（1）解：∵射线是的“四分位线”， ∴， ∵， ∴； （2）①解：∵，， ∴， ∵射线是的“四分位线”， ∴， ∵射线的旋转速度为每秒， ∴运动时间， 即运动时间为秒； ②解：∵绕着点以每秒的速度逆时针旋转，初始， ∴旋转后， ∵射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴， ∵为定值， ∴，解得， ∵射线是的“四分位线”， ∴，即，解得， ∴． 题型归纳 1.特征：共顶点的两个角，已知两角，求两角外侧射线所形成夹角。 2.方法：分射线在内部、外部多种位置，分类讨论，用角的和差计算夹角。 3.易错提醒：没有图时务必多画图，极易漏解；区分两角包含、交叉、分离情况。 变式训练1（25-26七年级上·重庆奉节·期末）小刚同学在学习了角及其平分线后对角的计算和动态角产生了浓厚的兴趣，我们都知道若是内一条射线，当，则称射线是的角平分线．于是联想到若是内一条射线，当或，则称射线是的三等分线．（本题中所研究的角都是大于且小于的角） (1)如图1，已知，若是的三等分线，则______； (2)如图2，射线平分，是的三等分线，射线在的内部，且，若，求的度数； (3)如图3，已知，射线平分，射线绕着点O以每秒的速度顺时针从射线旋转到的位置，设运动时间为t秒，若是的三等分线，且，请直接写出在旋转过程中满足条件的所有t的值． 【答案】(1)或． (2)或 (3)和 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中的角度计算，一元一次方程的应用．掌握三等分线的定义是解题的关键． （1）根据三等分线的定义求解即可． （2）设，利用角平分线的定义和角的和差关系得出，再根据三等分线的定义分两种情况求解即可． （3）由角平分线的定义得出，设运动时间为t秒，则，，，再根据三等分线的定义分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵是的三等分线， ∴， 或， 此时． 故答案为：或． （2）解：设，则， ∵射线平分， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∵是的三等分线，分两种情况∶ 当靠近，则， ∴． 当靠近，则， 则． 故答案为∶或． （3）解：∵，平分， ∴， 设运动时间为t秒，则，，， ∵是的三等分线， ∴分两种情况： 当靠近，， 则， 代入， 如图：当时，， 即， 解得（不符合题意舍去） 如图：当时，， 则， 解得（不符合题意舍去） 当靠近，则， 则， 代入， 如图：当时，则， 即， 解得． 如图：当时，， 则， 解得． 综上： 满足条件的所有t的值为和． 变式训练2（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图，，则为的4分位线；，则也是的4分位线． (1)若，为的2分位线，则___________． (2)如图2，点在同一条直线上，为一条射线，分别为与的3分位线． ①已知，则___________． ②若，求的度数．（用含的式子表示） (3)如果点在同一条直线上，为一条射线，已知射线分别为与的4分位线，且，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】本题主要考查了新定义、几何图形中角度的计算等知识点， 理解新定义的内容是解题的关键． （1）根据题意可得：，，进而求得即可； （2）①由题意可得：，，根据，则，再根据列方程求解即可；②根据①的思路解答即可； （3）由4分位线的定义以及已知条件可得，或，进而求得；然后分、两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，为的2分位线， ∴， ， ∴． 故答案为：． （2）解：①∵分别为与的3分位线．，， ∴，， ∴， ∵点在同一条直线上，为一条射线， ∴， ∵， ∴，即，即． 故答案为：． ②∵分别为与的3分位线．，， ∴，， ∴， ∵点在同一条直线上，为一条射线， ∴， ∵， ∴，即，即． （3）解：∵射线分别为与的4分位线，且， ∴，或 ， ∴， ∴， ①当时， ∵， ∴,解得：， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上，的度数为或． 变式训练3（24-25七年级上·山西吕梁·期末）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①在如图1中，若，则的长______；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下 分别是、的中点， ______，______， ，不变， 的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知在内部转动，和分别平分和，则与、有一定的数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，将和分别平分和改为分别作出射线，若，，直接写出与、的数量关系． 【答案】(1)①6；②，． (2) 小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．理由： 分别是、的中点， ，， ， ，不变， 的长不变； (3) 【分析】此题考查了线段中点的相关计算、角平分线的相关计算、几何图形中相关角度的计算等知识． （1）①根据线段中点的定义得到，，得到，即可求出答案；②按照①的步骤即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据，，得到，则，即可得到结论； 【详解】（1）解：①∵线段，，点、分别是、的中点． ∴，， ∴ ， 故答案为；； ②略 （2）解：， 理由如下： ∵和分别平分和， ∴， ∴ ； （3）解：， 理由如下： ∵，， ∴， ∴ ． 变式训练4（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线，角的计算，掌握角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可； （2）由（1）的计算过程可得结论； （3）根据角的倍数关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵射线和射线分别平分和． ， ． （2）解：， ∵射线和射线分别平分和． ， ， 即； （3）解：， ， 又 ∵， ， ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，已知线段，延长线段至C，使． (1)请根据题意将图形补充完整．直接写出________； (2)设，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以，的速度沿直线向左运动． ①当点D运动到线段上，求与的数量关系，并说明理由； ②在点D，E沿直线向左运动的过程中，M，N分别是线段，的中点．当点C恰好为线段的三等分点时，求的长． 【答案】(1) 图形补充完整如图， ； (2)①， 理由：如图， ∵，由（1）得，， 设运动的时间为t秒， ∴，， ∴. ②或． 【分析】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长． （1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论； （2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分和两种情况，根据三等分点求出的长，进而求出运动时间，求出、的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴CA＝， 故答案为：； （2）解：①略 ②当时， ∵， ， ∴， ∴， ， 运动时间为：（秒）， 则， ， ， ∵M，N分别是线段、的中点． ∴，， ， 当时， ∵， ， ∴， ∴， 运动时间为：（秒）， 则， ， ， ∵M，N分别是线段、的中点． ∴，， ， 综上，的长是或． 2．（2026·广西钦州·模拟预测）【问题背景】如图1，线段，是线段的中点，线段，且线段在线段上移动． 【问题探究】 （1）当时，_____，_____； （2）当线段在线段上移动时，探究与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图2，在直线上方从点出发引出射线，，，射线在的右边，且，，平分． ①若，求的度数； ②已知点在直线上，在直线的上方绕点转动，当射线在射线的左边时，如图3，求出与的数量关系． 【答案】（1）3，1； （2）．理由如下： 因为，是线段的中点， 所以． 因为，所以， 所以． 所以； （3）①；② 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，角平分线的定义，角的和差运算，熟练地利用数形结合的方法解题是关键； （1）由线段的中点可得，再结合线段的和差关系可得答案； （2）由线段的中点可得，结合，再结合线段的和差关系可得答案； （3）①由角平分线的定义求解，再结合角的和差关系可得答案； ②先求解，，，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：（1）因为线段，是线段的中点， 所以， 因为， 所以， 因为线段，所以， 所以； 故答案为，； （）略 （）①因为平分，， 所以 因为，， 所以． ②．理由如下： 因为平分， 所以． 因为， 所以 所以． 3．（25-26七年级上·天津·期末）（1）如图1，点B，D在线段上． ①填空： __________． ②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 【答案】（1）①，；②；（2）①；②1或4 【分析】此题考查解一元一次方程的应用、线段的中点、两点间的距离等知识与方法，解题的关键是理解和把握线段中点的定义． （1）①根据线段的和差解答即可； ② 设为，表示出长，再列出方程，计算即可； （2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为，时间为3秒，则； ②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为6秒，当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点，①当为中点，，即，计算求解即可；②当为中点，，即，计算求解即可；当绕点顺时针旋转时，时间为秒，为中点，，即，计算求解即可． 【详解】解：（1）①， 故答案为：，． ②设， ， ， 是线段中点， ， ， ， ． （2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为， ∴时间为（秒）， ∴， 故答案为：； ②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点， 当为中点，，即， 解得； 当为中点，，即， 解得，； 当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 为中点，，即， 解得． 综上，的值为1或4． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）（1）特例感知： 如图①，已知线段，线段在线段上运动，分别是的中点． ①若，则_______． ②在线段的运动过程中，线段的长度是否发生变化？如果不发生变化请求出的长度，如果发生变化，请说明理由． （2）知识迁移： 我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，则_______； ②请你猜想和三个角之间有怎样的数量关系． （3）类比探究： 如图③，在内部转动，若，，，请直接用含有k的式子表示的度数． 【答案】（1）①16；②；（2）①；②；（3） 【分析】（1）①根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论； ②根据线段的中点得到，，求得，可得结论； （2）①根据角平分线的定义得到，，求得，可得结论； ②根据角平分线的定义得到，，根据角的和差即可得到结论； （3）根据已知得，，求得，，可得结论． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②不变，理由如下： ∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的值为； （2）①∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： ∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 5．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 在数学活动课上，同学们用折纸探究角平分线．小明发现，当角内部有两条射线分别平分相邻的两个小角时，它们所成夹角的大小也有规律． 进一步地，小华提出：如果这两条射线不是平分，而是按固定比例分割相邻的两个小角，是否也有类似的规律?针对提出的疑问，他们小组合作抽象出了以下数学问题： (1)【基础探究】 如图1，已知内部有三条射线、、，其中平分，平分．若，，则的度数为_____． (2)【发现规律】 如图2，设，（），其中平分，平分．猜想的度数是否随的改变而改变?请证明你的猜想． (3)【拓展推广】 在（2）的假设条件下，若，．上述猜想是否还成立？若成立，求出；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：猜想的度数不随的改变而改变，理由如下： 平分且， ， ，， ， 平分， ， ， 的度数不随的改变而改变； (3)上述猜想依然成立． 【分析】本题考查角平分线的定义，角的运算等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，求出，，计算即可求解； （2）根据角平分线的定义，求出，，计算即可求解； （3）根据角之间的关系，易得，，计算化简可得． 【详解】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， 故答案为：； （2）略 （3）解：上述猜想依然成立，理由如下： ，， ，， ， ． 6（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图1，，射线从与重合时开始运动，以每秒的速度绕着点顺时针的方向旋转一周，设射线运动的时间为，在旋转过程中，平分，平分． (1)当秒时，则______； (2)当射线运动到位于内部时，求的度数； (3)当射线运动到位于外部（射线不在直线、上）时，则______； (4)如图2，当射线旋转秒时，射线从与重合时开始沿着射线运动路线绕点以每秒的速度运动，旋转至时，立即按照原速绕着点逆时针的方向旋转，当旋转至时，射线、射线同时停止运动，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)的值为秒或秒或秒或秒． 【分析】（1）先根据题意得，再代入，求解即可； （2）利用角平分线的定义解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法和角平分线的定义解答即可； （4）利用分类讨论的思想方法，列一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：∵射线从与重合时开始运动，以每秒的速度绕着点顺时针的方向旋转一周，射线运动的时间为， ∴， ∵， ∴； （2）∵平分，平分， ∴，， ∵射线运动到位于内部，且， ∴， ， ， ， ∴， ∴； （3）当射线运动到位于外部（射线不在直线、上）时， ①当时，即时， 如图： 由题意得：由（1）可知， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ②当时，即时， 如图： 由题意得：， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴综上，或． 故答案为：或； （4）∵射线从与重合时开始沿着射线运动路线绕点以每秒的速度运动，当旋转至时，射线停止运动， ∴， ∴射线往返一次的时间是． ∵射线先旋转秒， ∴，即， ∴， ∴由（2）、（3）可得，． ∵， ∴． ①射线从与重合时开始沿着射线顺时针旋转，当射线在射线上方， 如图： 由题意得：， ∵， ∴， ， ； ②射线从与重合时开始沿着射线顺时针旋转，当射线在射线下方， 如图： 由题意得：， ∵， ∴， ， ； ③射线旋转至时，立即按照原速绕着点逆时针的方向旋转，当射线在射线下方， 如图： 由题意得：， ， ∵， ∴， ， ， ④射线旋转至时，立即按照原速绕着点逆时针的方向旋转，当射线在射线上方， 如图： 由题意得：， ， ∵， ∴， ， ； 综上，的值为秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，本题是动线问题，正确利用分类讨论的思想方法是解题的关键． 7．（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．如图1，是直线上的一点，平分．数学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： 【观察计算】（1）如图1，当，求的度数； 【类比猜想】（2）在图1中，当，试猜想的度数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； 【拓展探究】（3）在（2）的基础上，将绕着顶点顺时针旋转，使得的两条边中至少有一条边在直线的下方，探究和之间的数量关系，请直接写出你的结论． 【答案】（1）； （2）， 证明：， ， 平分， ， ； （3）解：，理由如下： 当在直线的下方，在直线上方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ． 当在直线的下方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即； 当在直线的上方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即. 【分析】本题考查角平分线定义，角的计算，关键是由平分线的定义，角的和差表示出有关的角． （1）先求出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （2）先表示出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （3）由角平分线定义，得到，由，分三种情况计算即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）略 （3）略 8．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点逆时针旋转（且，）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)或． 【分析】此题考查了角平分线的定义，角度和差等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （）根据角平分线的定义得到，然后分两种情况：当时，；当时，，即可求出答案； （）根据角平分线的定义即可求出答案； （）分两种情况求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，，射线、分别是、的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，，，    ` ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为； （3）解：当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，，， ∴，， ∴， ∴， 综上可知，的度数恒为或，与旋转角度无关； （4）解：当时， 由叠合可得， ∴． 由（3），当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴（舍去）， ∴的值为或． 9．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，已知，以O为顶点，OA为一边顺次往外画两个锐角和，并且，平分，平分．若设． (1)当射线在内时． ①若，求x的值； ②若是内的一条射线，且，判断是图中哪个角的平分线，并说明理由； (2)改变的大小，探究的大小是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)① ②解：是的角平分线，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； (2) 解：发生变化，理由如下： ①当在的内部时： 由（1）可知，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴； ②当在的外部时， ， 综上：当在的内部时：， 当在的外部时， 故：的值发生变化． 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，正确识图，理清角度之间的和差关系，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）①先求出的度数，角平分线，求出的度数，利用即可得出结果；②根据角度之间的和差关系，用含的式子表示出的度数，即可得出结论； （2）分在的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②略 （2）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $