专题01 几何图形（5题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以五题型分类为框架，通过技巧口诀化提炼与空间观念培养，构建从几何体识别到三视图的完整认知体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何体识别|3典例+4变式|底面+表面特征分类法，明确柱锥球判定核心|从平面图形到立体图形的直观认知，建立几何体分类标准| |棱柱计数|3典例+3变式|n棱柱顶点(2n)、棱(3n)、面(n+2)公式法|通过数量关系深化对棱柱结构的理解，衔接欧拉公式初步认知| |点线面体动态|4典例+4变式|点动成线/线动成面/面动成体规律，旋转模型速记|揭示几何基本要素的动态生成关系，培养运动几何思维| |几何体展开图|3典例+4变式|正方体展开图“一线不过四”等口诀，相对面法则|实现空间图形与平面展开图的转化，强化空间想象| |三视图|3典例+4变式|分层计数法，基础模型三视图特征速记|从不同方向构建几何体的空间表象，提升几何直观能力|

专题01 几何图形（5题型突破·举一反三） 题型01 几何体识别 题型02 棱柱顶点、棱、面计数 题型03 点线面体动态关系 题型04 几何体展开图 题型05 从不同方向看几何体 ▌题型01 几何体识别 解题技巧 1. 看底面：上下两个全等平行底面为柱体；仅有1个底面且顶端为尖顶为锥体；底面是多边形为棱体，底面是圆形为圆体（圆柱、圆锥）。 2. 看表面：全部为平面是多面体；包含曲面是旋转体；球体只有曲面，无棱、无顶点。 3. 易错提醒：正方体、长方体属于四棱柱；圆台非本节重点，做题可优先排除。 判定核心：棱柱必须满足上下底面平行且为全等多边形，侧面均为平行四边形。 【典例1-1】（25-26九年级下·吉林长春·期中）下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A的物体形状上下粗细不一样，不能抽象为圆柱； 选项B的物体形状可以抽象为球体； 选项C的物体形状可以抽象为圆锥； 选项D的物体形状可以抽象为圆柱． 【典例1-2】（25-26七年级上·安徽六安·期末）下列几何体中，是棱锥的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察可知：A是棱锥，B是正方体，C是圆柱体，D是圆锥． 【典例1-3】（25-26七年级上·贵州毕节·期末）下列几何体中，是三棱柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A是圆锥，故A不符合题意； B是球，故B不符合题意； C是五棱柱，故C不符合题意； D是三棱柱，故D符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图所示的是小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（     ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【答案】C 【详解】解：观察图片可得，该作品中的几何体有球，棱柱，圆锥，不存在圆柱． 【变式1-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，下列几何体中是棱锥的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：几何体中是棱锥的为： 故选：A． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）下列实物抽象出的立体图形从左至右依次是（    ）             A．圆锥，正方体，球，圆柱 B．球，长方体，圆锥，圆柱 C．球，正方体，圆锥，圆柱 D．圆锥，正方体，圆柱，长方体 【答案】C 【详解】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：球，正方体，圆锥，圆柱 故选：． 【变式1-4】（25-26七年级上·广西崇左·期末）下列标注的图形名称与图形不相符的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A：，三棱柱，题中名称与图形不相符，故符合题意； B：，题中名称与图形相符，故不符合题意； C：，题中名称与图形相符，故不符合题意； D：，题中名称与图形相符，故不符合题意； 故选：A． ▌题型02 棱柱顶点、棱、面计数 解题技巧：直接套用固定公式，n棱柱：顶点2n条、总棱3n条、面n+2个。 易错点：区分侧棱与总棱，n棱柱仅有n条侧棱，总棱数为3n，切勿混淆。 【典例2-1】（25-26七年级上·重庆·期末）五棱柱棱的条数为（   ） A．7 B．10 C．15 D．30 【答案】C 【详解】解：∵五棱柱上底面有5条棱，下底面有5条棱，侧面有5条侧棱， ∴五棱柱棱的条数为（条） 故选：C． 【典例2-2】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）一个直棱柱共有27条棱，它的顶点数为（    ） A．9个 B．12个 C．15个 D．18个 【答案】D 【详解】解：∵直棱柱的总棱数底面多边形的边数， 设底面多边形的边数为， ∴， 解得， 又∵直棱柱的顶点数底面多边形的边数， ∴顶点数， 故选：D． 【典例2-3】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）若一个棱柱有10个顶点，则它的侧面的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【详解】解：∵ 棱柱的顶点数底面边数， 给定顶点数为10， ∴ 底面边数， ∴ 底面边数， 又∵ 侧面个数底面边数， ∴ 侧面个数为5. 故选：A 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个棱柱有8个顶点，则棱的条数为_____． 【答案】12 【详解】解：由顶点数8得， 解得， 故棱数为． 故答案为：12． 【变式2-2】（（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）丰富的图形世界里有奇妙的数量关系，让我们通过下面这些几何体开始神奇的探索之旅． 【观察】：下面这些几何体都是简单的几何体，请你仔细观察． 【统计】： (1)每个几何体都会有棱（棱数为）、面（面数为）、顶点（顶点数为），现将有关数据统计，完成下表． 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 9 15 面数（） 4 5 5 6 顶点数（） 4 8 【发现】： (2)简单几何体中，_____； (3)简单几何体中，每条棱都是_____个面的公共边； (4)在正方体中，每个顶点处有_____条棱，每条棱都有_____个顶点，所以有． 【应用】： (5)有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有_____条棱，_____个顶点，每个顶点处有_____条棱． 【答案】(1) 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 8 9 12 15 面数（） 4 5 5 6 7 顶点数（） 4 5 6 8 10 （2）解：由（1）中的数据发现：简单几何中，； （3）解：简单几何体中，每条棱都是2个面的公共边； （4）解：在正方体中，每个顶点处有3条棱，每条棱都有2个顶点，所以有； （5）解：有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有30条棱，20个顶点，每个顶点处有3条棱． 【变式2-3】（（25-26七年级上·江苏南京·期末）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．黄铁矿的晶体（如图1）是一个正方体：它由六个面组成，每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接3条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是完全相同的正n边形，且各顶点连接r条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． 一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条棱．小明对部分正F面体（如图2）进行了观察，列出以下数据． 正多面体 F n V E r 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 (1)根据表中的数据，请写出F，V，E之间存在的等量关系式：________． (2)小明进一步发现，正F面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24．又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．正F面体的棱数________；（用含n，F的代数式表示） ②从顶点出发：正F面体的棱数________．（用含r，V的代数式表示） (3)已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接5条棱，求这个正多面体的一个面是几边形． 【详解】（1）解：根据观察可得． 故答案为：． （2）解：①正F面体，它有F个面，每个面都有n条边，则F个面的边数之和为， 又∵正F面体的两个面共用一条边， ∴正F面体的棱数为． 故答案为：． ②正F面体，它有V个顶点，且每个顶点都连接r条棱，则V个顶点的棱数之和为， 又因为正F面体的一条棱连接两个顶点，所以正F面体的棱数为． 故答案为：． （3）解：由题意可得：， ∴, ∴， 根据（1）中公式可得，可得，解得：， ∴这个正多面体的面数为20． ∵， ∴. ∴这个正多面体的一个面是三角形． ▌题型03 点线面体动态关系 解题技巧 1. 抓核心要素：看点、线、面的运动主体与生成结果 点（笔尖、雨滴）运动生成线；线（雨刷、金箍棒）运动生成面；面（硬币、三角板）运动生成体。 2. 经典旋转模型速记 长方形绕一边旋转→圆柱；直角三角形绕直角边旋转→圆锥；半圆绕直径旋转→球。 高频易错坑：直角三角形绕斜边旋转，得到的不是圆锥，是两个底面重合的圆锥组合体。 【典例3-1】（2025七年级上·四川南充·专题练习）笔尖在纸上滑动写出汉字“正”，运用数学知识解释这种现象，这可以说（   ） A．线线相交成点 B．面面相交成线 C．线动成面 D．点动成线 【答案】D 【详解】解：∵笔尖可看作一个点，笔尖滑动是点的运动过程，写出的汉字由线条构成， ∴对应“点动成线”的原理， 故选：D． 【典例3-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（    ）的数学知识来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【详解】解：汽车的雨刮器工作的时候，可用线动成面的数学知识来解释． 故选：B． 【典例3-3】（25-26七年级上·江西吉安·期末）“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为______． 【答案】点动成线，线动成面 【详解】解：枪尖可看作点，点运动形成线，因此“枪挑一条线”对应点动成线； 棍可看作线，线运动形成面，因此“棍扫一大片”对应线动成面． 【典例3-4】（25-26七年级上·贵州毕节·期末）如图，已知长方形的长为，宽为，将该长方形绕其中一条长边所在直线旋转一周． (1)将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是___________（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)根据图中数据，求出该几何体的体积．（结果保留） 【详解】（1）解：将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是面动成体； 故答案为：③； （2）解：该几何体的体积为． 【变式3-1】（25-26七年级上·河南周口·期末）流星划过，会在夜空中留下一条明亮的光带，这种现象可以用数学原理解释为____________（用点、线、面、体关系说明）． 【答案】点动成线 【详解】解：流星在夜空中可抽象为一个点，当点移动时，其轨迹形成一条连续的线，即光带，这符合几何中点动成线的原理． 故答案为：点动成线． 【变式3-2】（25-26七年级上·广东深圳·期末）诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学原理是___________（从“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”中选一个填入）． 【答案】点动成线 【详解】解：诗句“密雨如散丝”中，雨滴是点，散丝是线，数学原理是点动成线． 故答案为：点动成线． 【变式3-3】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图是一张长方形纸片，长为，长为，将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周． (1)所得到的几何体是______，这个现象用数学知识解释为______（选填“点动成线”，“线动成面”“面动成体”）； (2)求形成的几何体的表面积（结果保留）． 【详解】（1）解：所得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体． 故答案为：圆柱，面动成体； （2）解：绕所在直线旋转一周，形成底面半径为，高为的圆柱， ． 形成的几何体的表面积是． 【变式3-4】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）如图，已知直角三角形纸板，，．绕这个直角三角形的边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是______； (2)计算这个几何体的体积．（，，结果保留） 【详解】（1）解：将这个直角三角形绕边所在直线旋转一周得到的几何体为圆锥； （2）解：由题意得，得到的圆锥底面圆半径为，高为， ， 答：这个几何体的体积为． ▌题型04 几何体展开图 考法1：判断图形是否为正方体展开图 技巧：牢记口诀“一线不过四，田凹应弃之”。一条直线上正方形超过4个、出现田字格、凹字形结构，均无法折成正方体。 考法2：找正方体展开图相对面 技巧：相间、Z端是对面。间隔一个正方形为对面，Z字形首尾两端为对面，相对面折叠后绝不相邻。 考法3：常见几何体展开图识别 圆柱：2个圆形+1个长方形；圆锥：1个圆形+1个扇形；三棱柱：2个三角形+3个长方形；四棱锥：1个四边形+4个三角形。 必考陷阱：球体没有表面展开图。 【典例4-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）如图是正方体，各个面展开后如图所示，对应的六个面分别用字母、、、、、表示，则正方体前、后两个面，分别是展开后图中的（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：正方体前面的正方形中的两个黑色正方形分别位于正方形的左上角和右下角， 正方体的前面是， 由正方体的表面展开图可知的对面是， 正方体的后面是． 【典例4-2】（25-26七年级上·福建泉州·期末）在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体， 放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故选：C． 【典例4-3】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 【答案】(1)①，④ (2)标注尺寸如图． （3）解：； ； 【变式4-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【详解】解：如图1，∵， ∴该正方体一个面的对角线长度为， 如图2，将展开图折叠为正方体后，A、B两点间的距离为该正方体一个面的对角线长度， 即A、B两点间的距离为4． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知，，，，，是一个正方体的六个面，其展开图如图所示．若上的式子为，上的式子为，上的式子为，上的式子为，上的式子为，且相对两个面上的式子的和都相等． (1)求的值； (2)求上式子的值． 【详解】（1）由展开图可知，与相对，与相对，和相对． 根据题意，得 ． 解得． （2）由得． 上式子的值为，C上式子的值为，D上式子的值为． 相对两个面上的式子的和都相等， 上式子的值为． 【变式4-3】（25-26七年级上·福建莆田·期末）问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体， 故答案为：④； （2）解：①正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为厘米， 底面边长厘米， 底面积平方厘米； ②甲方案：底面四边形是正方形，且， 底面边长厘米，高厘米， 立方厘米； 乙方案：∵底面四边形是正方形，且厘米， ∴底面边长厘米，高厘米， ∴立方厘米； 丙方案：，且， ， 解得厘米，厘米， 高厘米， 立方厘米， ， ． 【变式4-4】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是___________（填序号）． ①          ② ③            ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为的有盖正方体．设计组提供了如图1所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图2可以围成礼盒___________（填“A”或“B”）； ②材料组准备了规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒A的展开图？几个礼盒B的展开图？并通过画图说明． 【详解】（1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是①③④， 故答案为：①③④； （2）①按展开图2可以围成礼盒B， 故答案为：B； ②如图1，一张卡纸最多可以画出2个礼盒A的展开图； 如图2，一张卡纸最多可以画出3个礼盒的展开图． ▌题型05 从不同方向看几何体 解题技巧 1. 模拟平行光垂直照射几何体，只观察外部轮廓，本题型无需绘制看不见的棱（虚线）。 2. 基础模型三视图速记 正方体：三视图均为正方形；竖放圆柱：主、左视图为长方形，俯视图为圆；竖放圆锥：主、左视图为三角形，俯视图为带圆心的圆；球体：三视图均为圆形。 3. 小正方体组合几何体：采用分层、分行列计数法，只数可见正方形，不主观脑补隐藏方块。 【典例5-1】（26-27七年级上·福建泉州·开学考试）观察如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： 【典例5-2】（26-27七年级上·河北邢台·开学考试）从前面和左面看都是的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：A、该立体图形从前面看是，从左面看是，故本选项不合题意； B、该立体图形从前面看是，从左面看是，故本选项符合题意； C、该立体图形从前面看是，从左面看是，故本选项不合题意； D、该立体图形从前面看是，从左面看是，故本选项不合题意． 【典例5-3】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 【答案】(1) （2）解：， 这个几何体的表面积为． 【变式5-1】（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）仓库里有一堆存放货物的正方体纸箱，从三个不同方向看到的形状如右图所示，这堆货物有_____箱． 【答案】8 【详解】解：从上面看，这堆纸箱分为前后2行、左右2列，第1层共有4个位置，每个位置至少有1个纸箱， 从左面看，左边（对应物体的后排）只有1层，右边（对应物体的前排）有3层， 从前面看，左列、右列的最大高度都是3层， ∴前排左列、前排右列都必须有3层， ∴前排（2个位置）：每个位置3层，共（箱）； 后排（2个位置）：每个位置1层，共（箱）， ∴总箱数（箱）． 【变式5-2】（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）用若干个大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成这个几何体最多用_______个小立方块． 【答案】 【详解】解：根据从上面看的形状可知该几何体底层有5个小立方块，根据从正面看的形状可知该几何体左侧上层至多有3个小立方块， 该几何体最多是用8个小立方块搭成的． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级上·广东茂名·期末）如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【详解】（1）解：由图可得底层：4个，第二层：1个； 故构成这个几何体的小立方块的个数为：（个）； (2)如图， 【变式5-4】（25-26七年级上·陕西商洛·期中）一个几何体由几个相同的小正方体搭成，从上面和从前面看这个几何体得到的平面图形如图所示，从上面看到的平面图形中，小正方形中的字母表示在该位置的小正方体的个数． (1)填空：___________，___________，___________． (2)这个几何体最少由___________个小正方体搭成，最多由___________个小正方体搭成． (3)当，时，请画出从左面看这个几何体得到的平面图形． 【详解】（1）解：从图可得，，； （2）解：结合从上面看到的图和正面看到的图，画出立体几何图形 ∴几何体最少由个小立方块搭成， ∴最多由个小立方块搭成． (3) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 几何图形（5题型突破·举一反三） 题型01 几何体识别 题型02 棱柱顶点、棱、面计数 题型03 点线面体动态关系 题型04 几何体展开图 题型05 从不同方向看几何体 ▌题型01 几何体识别 解题技巧 1. 看底面：上下两个全等平行底面为柱体；仅有1个底面且顶端为尖顶为锥体；底面是多边形为棱体，底面是圆形为圆体（圆柱、圆锥）。 2. 看表面：全部为平面是多面体；包含曲面是旋转体；球体只有曲面，无棱、无顶点。 3. 易错提醒：正方体、长方体属于四棱柱；圆台非本节重点，做题可优先排除。 判定核心：棱柱必须满足上下底面平行且为全等多边形，侧面均为平行四边形。 【典例1-1】（25-26九年级下·吉林长春·期中）下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26七年级上·安徽六安·期末）下列几何体中，是棱锥的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-3】（25-26七年级上·贵州毕节·期末）下列几何体中，是三棱柱的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图所示的是小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（     ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【变式1-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，下列几何体中是棱锥的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）下列实物抽象出的立体图形从左至右依次是（    ）             A．圆锥，正方体，球，圆柱 B．球，长方体，圆锥，圆柱 C．球，正方体，圆锥，圆柱 D．圆锥，正方体，圆柱，长方体 【变式1-4】（25-26七年级上·广西崇左·期末）下列标注的图形名称与图形不相符的是（    ） A． B． C． D． ▌题型02 棱柱顶点、棱、面计数 解题技巧：直接套用固定公式，n棱柱：顶点2n条、总棱3n条、面n+2个。 易错点：区分侧棱与总棱，n棱柱仅有n条侧棱，总棱数为3n，切勿混淆。 【典例2-1】（25-26七年级上·重庆·期末）五棱柱棱的条数为（   ） A．7 B．10 C．15 D．30 【典例2-2】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）一个直棱柱共有27条棱，它的顶点数为（    ） A．9个 B．12个 C．15个 D．18个 【典例2-3】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）若一个棱柱有10个顶点，则它的侧面的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个棱柱有8个顶点，则棱的条数为_____． 【变式2-2】（（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）丰富的图形世界里有奇妙的数量关系，让我们通过下面这些几何体开始神奇的探索之旅． 【观察】：下面这些几何体都是简单的几何体，请你仔细观察． 【统计】： (1)每个几何体都会有棱（棱数为）、面（面数为）、顶点（顶点数为），现将有关数据统计，完成下表． 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 9 15 面数（） 4 5 5 6 顶点数（） 4 8 【发现】： (2)简单几何体中，_____； (3)简单几何体中，每条棱都是_____个面的公共边； (4)在正方体中，每个顶点处有_____条棱，每条棱都有_____个顶点，所以有． 【应用】： (5)有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有_____条棱，_____个顶点，每个顶点处有_____条棱． 【变式2-3】（（25-26七年级上·江苏南京·期末）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．黄铁矿的晶体（如图1）是一个正方体：它由六个面组成，每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接3条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是完全相同的正n边形，且各顶点连接r条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． 一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条棱．小明对部分正F面体（如图2）进行了观察，列出以下数据． 正多面体 F n V E r 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 (1)根据表中的数据，请写出F，V，E之间存在的等量关系式：________． (2)小明进一步发现，正F面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24．又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．正F面体的棱数________；（用含n，F的代数式表示） ②从顶点出发：正F面体的棱数________．（用含r，V的代数式表示） (3) 已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接5条棱，求这个正多面体的一个面是几边形． ▌题型03 点线面体动态关系 解题技巧 1. 抓核心要素：看点、线、面的运动主体与生成结果 点（笔尖、雨滴）运动生成线；线（雨刷、金箍棒）运动生成面；面（硬币、三角板）运动生成体。 2. 经典旋转模型速记 长方形绕一边旋转→圆柱；直角三角形绕直角边旋转→圆锥；半圆绕直径旋转→球。 高频易错坑：直角三角形绕斜边旋转，得到的不是圆锥，是两个底面重合的圆锥组合体。 【典例3-1】（2025七年级上·四川南充·专题练习）笔尖在纸上滑动写出汉字“正”，运用数学知识解释这种现象，这可以说（   ） A．线线相交成点 B．面面相交成线 C．线动成面 D．点动成线 【典例3-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（    ）的数学知识来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【典例3-3】（25-26七年级上·江西吉安·期末）“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为______． 【典例3-4】（25-26七年级上·贵州毕节·期末）如图，已知长方形的长为，宽为，将该长方形绕其中一条长边所在直线旋转一周． (1)将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是___________（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2) 根据图中数据，求出该几何体的体积．（结果保留） 【变式3-1】（25-26七年级上·河南周口·期末）流星划过，会在夜空中留下一条明亮的光带，这种现象可以用数学原理解释为____________（用点、线、面、体关系说明）． 【变式3-2】（25-26七年级上·广东深圳·期末）诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学原理是___________（从“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”中选一个填入）． 【变式3-3】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图是一张长方形纸片，长为，长为，将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周． (1)所得到的几何体是______，这个现象用数学知识解释为______（选填“点动成线”，“线动成面”“面动成体”）； (2)求形成的几何体的表面积（结果保留）． 【变式3-4】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）如图，已知直角三角形纸板，，．绕这个直角三角形的边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是______； (2)计算这个几何体的体积．（，，结果保留） ▌题型04 几何体展开图 考法1：判断图形是否为正方体展开图 技巧：牢记口诀“一线不过四，田凹应弃之”。一条直线上正方形超过4个、出现田字格、凹字形结构，均无法折成正方体。 考法2：找正方体展开图相对面 技巧：相间、Z端是对面。间隔一个正方形为对面，Z字形首尾两端为对面，相对面折叠后绝不相邻。 考法3：常见几何体展开图识别 圆柱：2个圆形+1个长方形；圆锥：1个圆形+1个扇形；三棱柱：2个三角形+3个长方形；四棱锥：1个四边形+4个三角形。 必考陷阱：球体没有表面展开图。 【典例4-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）如图是正方体，各个面展开后如图所示，对应的六个面分别用字母、、、、、表示，则正方体前、后两个面，分别是展开后图中的（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【典例4-2】（25-26七年级上·福建泉州·期末）在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【典例4-3】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 【变式4-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知，，，，，是一个正方体的六个面，其展开图如图所示．若上的式子为，上的式子为，上的式子为，上的式子为，上的式子为，且相对两个面上的式子的和都相等． (1)求的值； (2)求上式子的值． 【变式4-3】（25-26七年级上·福建莆田·期末）问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 【变式4-4】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是___________（填序号）． ①          ② ③            ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为的有盖正方体．设计组提供了如图1所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图2可以围成礼盒___________（填“A”或“B”）； ②材料组准备了规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒A的展开图？几个礼盒B的展开图？并通过画图说明． ▌题型05 从不同方向看几何体 解题技巧 1. 模拟平行光垂直照射几何体，只观察外部轮廓，本题型无需绘制看不见的棱（虚线）。 2. 基础模型三视图速记 正方体：三视图均为正方形；竖放圆柱：主、左视图为长方形，俯视图为圆；竖放圆锥：主、左视图为三角形，俯视图为带圆心的圆；球体：三视图均为圆形。 3. 小正方体组合几何体：采用分层、分行列计数法，只数可见正方形，不主观脑补隐藏方块。 【典例5-1】（26-27七年级上·福建泉州·开学考试）观察如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（     ） A． B． C． D． 【典例5-2】（26-27七年级上·河北邢台·开学考试）从前面和左面看都是的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【典例5-3】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 【变式5-1】（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）仓库里有一堆存放货物的正方体纸箱，从三个不同方向看到的形状如右图所示，这堆货物有_____箱． 【变式5-2】（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）用若干个大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成这个几何体最多用_______个小立方块． 【变式5-3】（24-25七年级上·广东茂名·期末）如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【变式5-4】（25-26七年级上·陕西商洛·期中）一个几何体由几个相同的小正方体搭成，从上面和从前面看这个几何体得到的平面图形如图所示，从上面看到的平面图形中，小正方形中的字母表示在该位置的小正方体的个数． (1)填空：___________，___________，___________． (2)这个几何体最少由___________个小正方体搭成，最多由___________个小正方体搭成． (3)当，时，请画出从左面看这个几何体得到的平面图形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $