1.5有理数的混合运算 讲义 2025-2026学年沪教版数学六年级上册

📚有理数的混合运算 序号 模块名称 主要内容 1 📝 知识梳理 运算顺序、运算法则回顾、运算技巧、注意事项 2 🔍 题型巩固 基本运算、含括号运算、简便运算等题型及解析 3 ✏️ 分层练习 基础过关题、能力提升题及解析 📝 知识梳理 【有理数混合运算的定义】 有理数的混合运算是指在一个算式中，含有加、减、乘、除、乘方五种运算中的两种或两种以上的运算。 【运算顺序】 有理数混合运算的顺序规定如下： 1. 先算乘方：即先进行形式的运算。 2. 再算乘除：按照从左到右的顺序进行。 3. 最后算加减：按照从左到右的顺序进行。 4. 同级运算：指的是只有加减或者只有乘除的运算，按照从左到右的顺序依次进行。 5. 括号优先：如果算式中有括号，要先算括号里面的。括号的优先级是：小括号( )→ 中括号[ ]→ 大括号{ }。如果括号内含有多种运算，同样按照上述1至3的顺序进行。 【运算法则回顾】 1. 加法法则： · 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 · 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 · 一个数同0相加，仍得这个数。 2. 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 。 3. 乘法法则： · 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 · 任何数同0相乘，都得0。 · 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 4. 除法法则： · 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即。 · 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 5. 乘方法则：求(n)个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，(a)叫做底数，(n)叫做指数。正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 【运算技巧与注意事项】 1. 符号问题：这是有理数运算中最容易出错的地方。在每一步运算中，都要先确定结果的符号。 2. 灵活运用运算律：在混合运算中，恰当运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律，可以使运算简便。例如： · 凑整：将能凑成整数（特别是整十、整百、整千）的数结合起来运算。 · 互为相反数的两数结合相加得0。 · 同分母或易通分的分数结合。 · 乘积为整数的数结合相乘。 3. 注意运算顺序的严格执行：不要跳步太多，以免出错。尤其是在有多重括号和乘方运算时。 4. 带分数的处理：通常将带分数化为假分数或整数与真分数之和的形式，以便于计算。 5. 认真审题：看清题目中的运算符号和数字，特别是负号和括号。 6. 每一步运算都要检查：及时发现并纠正错误。 🔍 题型巩固 题型一：不含括号的基本混合运算 1. 计算： 答案：( -4 + 12 - (-1) = -4 + 12 + 1 = 9 ) 解析： 原式（先算乘方：，） ( = -4 + 12 - (-1) ) （再算乘法：） ( = -4 + 12 + 1 ) （最后算加减，减去一个负数等于加上它的相反数） ( = 9 ) （按从左到右顺序计算：，） 2. 计算： 答案： 解析： 原式（先将除法转化为乘法：除以等于乘以(-2)） （同级运算从左到右，或利用乘法结合律先算后面的乘法更简便） （计算） （计算） （最后算减法） 题型二：含有括号的混合运算 3. 计算： 答案： 解析： 原式（先算小括号内的运算和最内层的乘方：） （再算中括号内的小括号：） （接着算中括号内的减法：） ( = 18 + 42 ) （再算乘法：，前面有负号，所以是） ( = 60 ) （最后算加法） 题型三：运用运算律进行简便运算 4. 计算： 答案： 解析： 观察到括号内各分数的分母2、9、12都是36的因数，适合用乘法分配律进行简便计算。 原式（分别计算各项乘积：，，） ( = (-18 + 20) + (-21) ) （按从左到右顺序或结合运算） ( = 2 - 21 ) ( = -19 ) ✏️ 分层练习 【基础过关】 1. 计算：( -5 + 8 - 12 + 6 ) 答案：( (-5 - 12) + (8 + 6) = -17 + 14 = -3 ) 或 按顺序： 解析：可以运用加法交换律和结合律将正数与正数相加，负数与负数相加，再求和。 原式 ( = (-5 - 12) + (8 + 6) ) ( = -17 + 14 ) ( = -3 ) 或者按照从左到右顺序计算： ( -5 + 8 = 3 )；( 3 - 12 = -9 )；( -9 + 6 = -3 )。结果一致。 2. 计算： 答案： 解析：乘除是同级运算，从左到右依次进行。 原式（先算） （再算） ( = 4 ) （最后算） 3. 计算： 答案：( -8 - 9 + (-1) = -18 ) 解析：先算各项乘方。 （负数的奇次幂是负数），（负数的偶次幂是正数），（-1的奇次幂是-1）。 原式 ( = -8 - 9 + (-1) ) ( = -17 - 1 ) （按从左到右顺序计算：） ( = -18 ) 4. 计算： 答案： 解析： 原式（先算乘方：） ( = -3 - (-12) ) （再算乘除：，） ( = -3 + 12 ) （最后算减法：减去一个负数等于加上它的相反数） ( = 9 ) 【能力提升】 5. 计算： 答案： 解析： 原式（先算乘方：，） （再算括号内的运算：，） （将0.5化为分数） （从左到右计算乘法） （，） （减去一个负数等于加上它的相反数） （计算结果：） 6. 计算： 答案： 解析： 原式（先算乘方：，） ( = 25 - 3 + (-8) ) （再算除法：；） ( = 25 - 3 - 8 ) （去括号，加上一个负数等于减去这个数的绝对值） ( = 22 - 8 ) （按从左到右顺序计算：） ( = 14 ) 7. 计算： 答案： 解析：除以一个数等于乘以它的倒数，所以。然后利用乘法分配律进行简便计算。 原式（分别计算各项乘积：，，） ( = (4 + 2) + (-18) ) （利用加法交换律和结合律） ( = 6 - 18 ) ( = -12 ) 8. 计算： 答案： 解析： 原式（先算乘方：，） （再算小括号内的运算：） （接着算中括号内的除法：，再算乘方：；同时计算除法：） （计算乘法：） ( =7 ) （最后算加减） 学科网（北京）股份有限公司 $ 📚有理数的混合运算 序号 模块名称 主要内容 1 📝 知识梳理 运算顺序、运算法则回顾、运算技巧、注意事项 2 🔍 题型巩固 基本运算、含括号运算、简便运算等题型及解析 3 ✏️ 分层练习 基础过关题、能力提升题及解析 📝 知识梳理 【有理数混合运算的定义】 有理数的混合运算是指在一个算式中，含有加、减、乘、除、乘方五种运算中的两种或两种以上的运算。 【运算顺序】 有理数混合运算的顺序规定如下： 1. 先算乘方：即先进行形式的运算。 2. 再算乘除：按照从左到右的顺序进行。 3. 最后算加减：按照从左到右的顺序进行。 4. 同级运算：指的是只有加减或者只有乘除的运算，按照从左到右的顺序依次进行。 5. 括号优先：如果算式中有括号，要先算括号里面的。括号的优先级是：小括号( )→ 中括号[ ]→ 大括号{ }。如果括号内含有多种运算，同样按照上述1至3的顺序进行。 【运算法则回顾】 1. 加法法则： · 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 · 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 · 一个数同0相加，仍得这个数。 2. 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 。 3. 乘法法则： · 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 · 任何数同0相乘，都得0。 · 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 4. 除法法则： · 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即。 · 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 5. 乘方法则：求(n)个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，(a)叫做底数，(n)叫做指数。正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 【运算技巧与注意事项】 1. 符号问题：这是有理数运算中最容易出错的地方。在每一步运算中，都要先确定结果的符号。 2. 灵活运用运算律：在混合运算中，恰当运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律，可以使运算简便。例如： · 凑整：将能凑成整数（特别是整十、整百、整千）的数结合起来运算。 · 互为相反数的两数结合相加得0。 · 同分母或易通分的分数结合。 · 乘积为整数的数结合相乘。 3. 注意运算顺序的严格执行：不要跳步太多，以免出错。尤其是在有多重括号和乘方运算时。 4. 带分数的处理：通常将带分数化为假分数或整数与真分数之和的形式，以便于计算。 5. 认真审题：看清题目中的运算符号和数字，特别是负号和括号。 6. 每一步运算都要检查：及时发现并纠正错误。 🔍 题型巩固 题型一：不含括号的基本混合运算 1. 计算： 答案：( -4 + 12 - (-1) = -4 + 12 + 1 = 9 ) 2. 计算： 题型二：含有括号的混合运算 3. 计算： 答案： 题型三：运用运算律进行简便运算 4. 计算： ✏️ 分层练习 【基础过关】 1. 计算：( -5 + 8 - 12 + 6 ) 2. 计算： 3. 计算： 4. 计算： 【能力提升】 5. 计算： 6. 计算： 7. 计算： 8. 计算： 学科网（北京）股份有限公司 $