专题 4：图形的运动（思维拓展）人教版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 4：图形的运动 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：轴对称图形的特征与补全 3 考点二：图形平移的特征与应用 4 考点三：图形旋转的特征与作图 6 考点四：图形运动综合与图案设计 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：对称轴数量判断错误 9 易错点 2：平移格数数错 9 易错点 3：旋转方向混淆 9 易错点 4：旋转作图边长改变 9 易错点 5：运动方式判断错误 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版五年级上册第四单元《图形的运动》核心内容，以 “对称认知→平移变换→旋转变换→综合设计” 为主线，系统覆盖轴对称图形的特征与补全、图形平移的特征与作图、图形旋转的特征与作图、图形运动综合与图案设计四大核心模块，渗透空间想象、变换推理、创意设计、有序分析等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从轴对称图形的特征入手，掌握找对称轴、补全轴对称图形的方法；认识图形平移的方向和距离，能在方格纸上平移图形；掌握图形旋转的三要素，能画出绕点旋转 90° 后的图形；综合运用三种运动方式设计图案，延伸最短路径、周期规律、巧算周长等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“图形与几何” 领域要求，与 2024 版最新人教版教材进度完全同步，发展空间观念，为后续几何变换、坐标与图形学习奠定基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 轴对称图形的特征与补全 轴对称图形的定义；对称轴的数量；补全轴对称图形 对称点法、对应测量法 对称轴找错；对应点距离不相等 图形平移的特征与作图 平移的方向与距离；平移作图；平移求周长面积 平移对应法、移线转化法 平移格数数错；平移后图形大小改变 图形旋转的特征与作图 旋转三要素；绕点旋转 90° 作图；旋转角度计算 三定作图法、角度计算法 旋转方向搞反；旋转后边的长度变化 图形运动综合与图案设计 三种运动方式辨析；图案设计；运动规律探究 组合设计法、周期归纳法 运动方式判断混淆；规律找错周期 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 对称点法 补全轴对称图形 ①找关键点；②数格画对称点；③顺次连线 轴为镜，点对称，距离等，连线垂 平移对应法 平移作图与计算 ①找对应点；②定方向距离；③平移连线 定方向，数格数，对应移，形不变 三定作图法 旋转作图 ①定中心、定方向、定角度；②转边找点；③连线成形 定中心，转方向，九十度，边不变 移线转化法 巧算周长面积 ①平移线段边；②转化规则图；③计算结果 边平移，形转化，周长面积不变样 周期归纳法 运动规律题 ①找运动周期；②算余数位置；③定结果 找周期，算余数，余几第几个 三、数学思维提升 1. 空间想象思维 核心要点：在头脑中想象图形的对称、平移、旋转过程，预判变换后的形状与位置，培养空间感知与立体表象能力。 专题示例：想象三角形绕顶点旋转 90° 后的形状，就是空间想象思维的体现。 2. 变换推理思维 核心要点：根据图形运动的特征，推理变换后的位置、数量关系，探究运动的规律，培养逻辑推理与变换分析能力。 专题示例：根据平移前后的位置差，推理平移的方向和距离，就是变换推理思维的应用。 3. 创意设计思维 核心要点：运用轴对称、平移、旋转的方式，组合设计出美观的图案，培养创意意识与审美能力。 专题示例：用基本图形通过旋转设计花边图案，就是创意设计思维的典型应用。 4. 转化思维 核心要点：通过平移线段，把不规则图形转化为规则图形，巧妙计算周长与面积，培养转化迁移与巧算能力。 专题示例：平移不规则图形的边，转化成长方形求周长，就是转化思维的体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：轴对称图形的特征与补全 能力进阶（★★★）—— 补全轴对称图形 题目：下图是一个轴对称图形的一半，以虚线为对称轴，请补全这个图形，并说出完整图形一共有几条对称轴。 解题步骤： ① 找出已知图形的关键点（顶点、交点），分别过每个关键点向对称轴作垂线并延长。 ② 根据 “对应点到对称轴的距离相等”，在对称轴另一侧数出相同格数，标出每个关键点的对称点。 ③ 按照原来图形的顺序，顺次连接各个对称点，补全图形；观察完整图形，横竖各 1 条对称轴，共 2 条对称轴。 【答案】补全后为长方形（示例），一共有 2 条对称轴。 【知识点睛】本题考查轴对称图形的特征与补全作图，对应教材核心重难点。 核心特征：轴对称图形中，对应点到对称轴的距离相等，对应点的连线垂直于对称轴；沿对称轴对折，两边完全重合。 作图步骤：找点→画对称点→连线，三步补全轴对称图形。 易错警示：对称点到对称轴的格数不相等；连线时顺序错乱。 思维拓展（★★★★）—— 轴对称最短路径（将军饮马） 题目：直线 l 是一条小河，A、B 两个村庄在小河的同侧。要在河边修建一个取水站，使得到两个村庄的水管总长度最短。取水站应建在直线 l 的哪个位置？ 解题步骤： ① 作 A 点关于直线 l 的对称点 A’，此时直线 l 上任意一点到 A 和 A’的距离相等。 ② 连接 A’B，线段 A’B 与直线 l 的交点 P 就是取水站的位置。 ③ 原理：两点之间线段最短，AP+PB = A’P+PB = A’B，此时总长度最短。 【答案】，P 点即为取水站位置。 【知识点睛】本题是轴对称的拓展奥数题型，考查轴对称性质与线段公理的综合应用。 解题核心：利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点，再用 “两点之间线段最短” 找交点。 方法总结：将军饮马模型：作对称，连线段，找交点。 易错警示：直接连接 AB，认为交点就是最短点，忽略同侧两点的路径差。 考点二：图形平移的特征与应用 能力进阶（★★★）—— 平移法巧算周长 题目：下图是一个不规则图形的示意图（方格边长 1 厘米），通过平移的方法，计算这个图形的周长是多少厘米。 解题步骤： ① 将水平方向的线段上下平移，竖直方向的线段左右平移，把不规则图形转化为一个长 5 厘米、宽 3 厘米的长方形。 ② 平移只改变线段的位置，不改变线段的长度，因此不规则图形的周长等于转化后长方形的周长。 ③ 计算周长：厘米。 【答案】周长是 16 厘米。 【知识点睛】本题考查平移的特征与巧算周长，对应教材拓展应用重难点。 解题原理：平移不改变图形的形状、大小和线段的长度，只改变图形的位置。 方法技巧：不规则图形求周长，通过平移横竖线段，转化为规则的长方形，再用公式计算。 易错警示：平移后漏掉凸出的线段，或者多算内部的线段。 思维拓展（★★★★）—— 平移还原与逆向推理 题目：一个正方形先向右平移了若干格，再向下平移了 3 格后，顶点 A 从 (2,4) 移动到了 (7,1)。这个正方形先向右平移了多少格？如果要回到原来的位置，需要怎么平移？ 解题步骤： ① 分析列数变化（左右方向）：从列 2 到列 7，增加了，说明向右平移了 5 格。 ② 验证行数变化（上下方向）：从行 4 到行 1，减少了，对应向下平移 3 格，符合题意。 ③ 回到原来位置，方向相反、距离相等：先向上平移 3 格，再向左平移 5 格（或先向左平移 5 格，再向上平移 3 格）。 【答案】先向右平移了 5 格；回到原位需要先向上平移 3 格，再向左平移 5 格。 【知识点睛】本题是平移的逆向推理奥数题型，考查数对与平移的综合应用。 解题规律：平移前后，向右平移列数增加，向左平移列数减少；向上平移行数增加，向下平移行数减少。 逆向还原：方向相反，距离相等。 易错警示：认为向右平移列数减少，搞反方向与数对变化的关系。 考点三：图形旋转的特征与作图 能力进阶（★★★）—— 绕点旋转 90° 作图 题目：画出三角形 ABC 绕点 O 顺时针旋转 90° 后的图形。 解题步骤： ① 确定旋转三要素：旋转中心是点 O，旋转方向是顺时针，旋转角度是 90°。 ② 分别找到 OA、OB、OC 三条线段旋转后的位置：将每条线段绕 O 点顺时针转 90°，长度保持不变，得到对应点 A’、B’、C’。 ③ 顺次连接 A’、B’、C’，得到旋转后的三角形 A’B’C’。 【答案】作图如上。 【知识点睛】本题考查绕点旋转 90° 的规范作图，对应教材核心重难点。 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度，三者缺一不可。 作图要点：旋转不改变图形的形状和大小，对应边长度相等，对应角大小相等。 易错警示：旋转方向搞反；旋转后边的长度发生变化。 思维拓展（★★★★）—— 旋转角度与周期规律 题目：一个正六边形的中心是 O 点。 ① 这个正六边形绕 O 点至少旋转多少度能和原来的图形重合？ ② 从初始位置开始，顺时针旋转 150° 后，正六边形的边和原来的边重合吗？ 解题步骤： ① 正六边形中心角总和是 360°，平均分成 6 个相等的中心角，每个中心角。 至少旋转 60°，就能和原来的图形重合。 ② 计算 150° 包含几个 60°：（个）……，余数是 30°，不是 60° 的整数倍，因此边不会和原来的重合。 ③ 验证：旋转 60°、120°、180°…… 都会重合，150° 不会。 【答案】① 至少旋转 60°；② 不会重合。 【知识点睛】本题是旋转周期的奥数题型，考查旋转的性质与正多边形的中心角。 核心规律：正 n 边形绕中心至少旋转，就能与原图形重合；旋转角度是最小旋转角的整数倍时，图形与原图形重合。 易错警示：认为旋转 360° 才会重合，忽略更小的旋转角度也能重合。 考点四：图形运动综合与图案设计 能力进阶（★★★）—— 运动方式辨析 题目：下面的花边图案，是由基本图形经过什么运动得到的？ 解题步骤： ① 确定基本图形：一个基本的花朵图案。 ② 分析运动方式：每个基本图形的形状、方向都完全相同，位置依次向右平移，因此是通过平移得到的。 ③ 补充：如果图案有方向变化，可能是旋转；如果沿直线对称，可能是轴对称。 【答案】通过平移得到。 【知识点睛】本题考查三种图形运动的辨析，对应教材综合应用知识点。 运动特征区分：平移：方向、形状、大小都不变，位置变；旋转：形状、大小不变，方向、位置变；轴对称：沿对称轴对折重合。 易错警示：有重复的图案就认为是旋转，忽略方向是否变化。 思维拓展（★★★★）—— 旋转规律周期问题 题目：一组正方形图形按规律排列，每个图形每次顺时针旋转 90°，第 20 个图形的方向和第几个图形的方向相同？ 解题步骤： ① 确定周期：每次旋转 90°，旋转 4 次回到原来的方向，周期是 4。 ② 计算：（组），没有余数，说明第 20 个图形的方向和每组的第 4 个相同，也就是和第 4 个图形方向相同。 ③ 验证：第 4、8、12…… 个图形方向都相同，20 是 4 的倍数，符合规律。 【答案】和第 4 个图形方向相同。 【知识点睛】本题是旋转周期规律的奥数题型，考查周期归纳与推理能力。 解题方法：先找旋转一周的次数作为周期，用总个数除以周期，余数是几就和第几个相同，没有余数就和最后一个相同。 易错警示：周期数算错，认为周期是 3。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：对称轴数量判断错误 错误示例：长方形有 4 条对称轴。 正确分析：长方形只有横竖 2 条对称轴，对角线不是对称轴，沿对角线对折两边不重合。 修正方法：沿直线对折，两边完全重合才是对称轴，多动手验证。 易错点 2：平移格数数错 错误示例：两个图形之间空 2 格，认为平移了 2 格。 正确分析：平移的距离是对应点之间的格数，不是两个图形之间的空格数。 修正方法：找一组对应点，数对应点之间的格数，就是平移距离。 易错点 3：旋转方向混淆 错误示例：顺时针旋转当成向左转。 正确分析：顺时针是顺着钟表指针的方向，向右转；逆时针是逆着钟表指针的方向，向左转。 修正方法：联想钟表指针走向，区分顺逆。 易错点 4：旋转作图边长改变 错误示例：旋转后图形的边比原来长了。 正确分析：旋转不改变图形的形状和大小，对应边长度相等。 修正方法：作图时数格数，确保每条边旋转后格数不变。 易错点 5：运动方式判断错误 错误示例：只要图案重复就是平移。 正确分析：方向不变位置变是平移；方向位置都变是旋转；沿轴对称是轴对称。 修正方法：先看方向变不变，再看位置怎么变，最后判断运动方式。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 正方形有（ ）条对称轴，等边三角形有（ ）条对称轴。 2. 物体平移时，（ ）和（ ）不变，（ ）改变。 3. 图形旋转的三要素是（ ）、（ ）和（ ）。 4. 一个图形向右平移 4 格，再向左平移 6 格，相当于整体向（ ）平移了（ ）格。 5. 钟面上，时针从 3 走到 6，顺时针旋转了（ ）度。 6. 补全轴对称图形的依据是：对应点到对称轴的（ ）相等。 7. 一个长方形绕中心至少旋转（ ）度能和原图形重合。 8. 升降电梯的运动属于（ ）现象，钟表指针的运动属于（ ）现象。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 正八边形绕中心至少旋转多少度能和原图形重合？旋转 270° 后能重合吗？ 10. 从方格图的 A 点到 B 点（2 行 2 列方格），只能向东或向北走，一共有多少种不同的最短路线？ 11. 一个三角形先向右平移 5 格，再向下平移 2 格后，顶点坐标是 (4,3)。原来的顶点坐标是多少？ 12. 将军饮马问题中，如果 A、B 在直线两侧，怎么找最短路径的点？ 13. 一组图形按顺时针旋转排列，周期是 4，第 17 个图形和第几个图形方向相同？ 14. 一个不规则图形，通过平移线段转化为长 6 厘米、宽 4 厘米的长方形，原图形的周长是多少厘米？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】4；3 解题步骤： ① 正方形横竖、对角线共 4 条对称轴； ② 等边三角形三条高所在直线都是对称轴，共 3 条。 【知识点睛】考查常见图形的对称轴数量。核心：沿直线对折完全重合。易错警示：长方形算成 4 条。 2. 【答案】形状；大小；位置 解题步骤： ① 平移的特征：形状、大小都不变，只改变位置。 【知识点睛】考查平移的基本特征。核心：平移不改变图形本身。易错警示：认为大小会变。 3. 【答案】旋转中心；旋转方向；旋转角度 解题步骤： ① 旋转三要素：中心、方向、角度，三者决定旋转后的位置。 【知识点睛】考查旋转三要素。核心：三要素缺一不可。易错警示：漏掉旋转中心。 4. 【答案】左；2 解题步骤： ① 向右 4 格再向左 6 格，抵消后向左平移格。 【知识点睛】考查平移的叠加。核心：方向相反相抵消。易错警示：算成向右 2 格。 5. 【答案】90 解题步骤： ① 钟面一圈 360°，12 个大格，每个大格 30°； ② 3 到 6 走了 3 个大格，。 【知识点睛】考查旋转角度计算。核心：每个大格 30°。易错警示：算成 180°。 6. 【答案】距离 解题步骤： ① 轴对称图形的性质：对应点到对称轴的距离相等。 【知识点睛】考查轴对称的性质。核心：距离相等，连线垂直。易错警示：填长度。 7. 【答案】180 解题步骤： ① 长方形中心角 360°，，至少转 180° 重合。 【知识点睛】考查旋转重合问题。核心：最少旋转角 = 360÷n（n 是重合次数）。易错警示：填 360。 8. 【答案】平移；旋转 解题步骤： ① 电梯沿直线移动，是平移； ② 指针绕中心转动，是旋转。 【知识点睛】考查生活中的运动现象。核心：平移直线动，旋转绕点转。易错警示：搞反。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】至少旋转 45°；旋转 270° 能重合。 解题步骤： ① ，至少转 45° 重合； ② ，是整数倍，能重合。 【知识点睛】考查正多边形旋转周期。核心：最小旋转角 = 360÷ 边数。易错警示：认为 270° 不能重合。 10. 【答案】6 种 解题步骤： ① 标数法：起点标 1，第一行、第一列所有点都标 1； ② 其余每个点的走法数 = 左边点 + 下边点，依次标数，终点为 6。 【知识点睛】考查最短路径计数。核心：标数法累加。易错警示：数成 4 种。 11. 【答案】原来的坐标是 (-1,5) 解题步骤： ① 逆向还原：向上平移 2 格，行数； ② 向左平移 5 格，列数； ③ 原坐标为 (-1,5)。 【知识点睛】考查平移逆向推理。核心：逆向平移方向相反。易错警示：方向搞反。 12. 【答案】直接连接 A、B 两点，与直线的交点就是最短路径的点。 解题步骤： ① 两点之间线段最短，异侧两点直接连线即可。 【知识点睛】考查将军饮马异侧情况。核心：异侧直接连。易错警示：还作对称点。 13. 【答案】和第 1 个图形方向相同。 解题步骤： ① 组……1 个，余数是 1，和第 1 个图形方向相同。 【知识点睛】考查旋转周期问题。核心：余几对应第几个。易错警示：认为和第 4 个相同。 14. 【答案】周长是 20 厘米。 解题步骤： ① 平移不改变周长，原图形周长等于长方形周长； ② 代入公式：厘米。 【知识点睛】考查平移巧算周长。核心：平移后周长不变。易错警示：算成面积。 1 学科网（北京）股份有限公司 $