精品解析：重庆市第八中学校2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3.考试结束后．请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题 （本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. “”是“角为第二象限角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，角的终边不在坐标轴上． 若角为第二象限角，则； 若，角为第二或第四象限角． 因此，“”是“角为第二象限角”的必要不充分条件． 2. 已知 的内角，， 的对边分别为，，，，，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，故， 由正弦定理得，即， ∴，即． 3. 已知 ，则 （ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 整理得， 所以． 4. 记为等差数列的前项和，，则（ ）． A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式，通项公式求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 即，且，则， 所以，公差，所以. 5. 甲、乙、丙、丁、戊 5 人站成一排， 若甲和乙相邻， 且甲和丙不相邻， 则不同的排列方式共有（ ）． A. 24 种 B. 30 种 C. 36 种 D. 42 种 【答案】C 【解析】 【分析】使用捆绑法，插空法求解． 【详解】甲丙两人插剩余三人空，考虑甲乙相邻，则排法数为，则满足要求的方法数为36种． 也可以仅考虑甲乙相邻排法数为，甲与乙相邻且甲与丙相邻排法数为， 则满足要求的方法数为． 6. 已知函数，则在内的极大值点为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得：， 则， 故， 当时，由，可得， 且时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增，所以在内的极大值点是. 7. 已知 ，则 的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据和差的正弦公式和余弦公式化简计算即可. 【详解】因为，， 所以， 所以．， 所以， 所以． 8. 若对任意 ，则实数 的值可以是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式转化为，分别算出和的最值，即可判断的范围，得出答案. 【详解】因为，不等式等价于， 设，则， 故时，，单调递减；时，，单调递增， 故有最小值． 设， 同理，有 在上单调递增，上单调递减， 故有最大值， 当时，有，， 则，符合题意， 又在取值范围内，故的值可以是. 二、多项选择题 （本大题共3小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分） 9. 已知幂函数 的定义域不为 ，则（ ）． A. B. C. 为偶函数 D. 对任意正数 ，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用幂函数的定义得出参数，再代入结合奇偶性 【详解】由幂函数的定义可得：或1， 又由于定义域不为R，故，且为偶函数，A错误，B正确，C选项正确． 对于D，，，， 因为正数，，故有，故D正确． 10. 设 ，则（ ）． A. 当 为奇函数时， 不是单调函数 B. 当 为奇函数时， 的值域为 C. 当 为偶函数时， D. 当 为偶函数时， 的最小值为 -1 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的奇偶性、单调性、值域等性质，逐项计算判断即可. 【详解】当为奇函数时，， ，为单调（递增）函数，故A错误； 且时，，时，，故的值域为R，故B正确； 当为偶函数时，，， 故，故C错误； 对于D，设，则， 故， 当时，取得最小值，故D正确． 11. 已知函数，且在 内有最大值，没有最小值， 则下列结论正确的有（ ）． A. B. 在上有且仅有1个零点 C. 若，则 D. 函数的所有零点之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可得，，结合特殊值即可判断A；由求出x的表达式，即可判断B；利用三角函数恒等变换可判断C；令，求出符合题意要求的所有零点，可判断D. 【详解】A：由，即得，， 设，，则． 由于在内有最大值，没有最小值， 不妨取，，则， 故，解得，A正确； B：由以上分析知，令， 则，得， 令，，得，，所以在上有2个零点，B错误； C：，得， 因为，得，， 因此，，得，， 所以，，且， 所以， 故， 即， 由，得（负值舍），C正确； D.令，有， 得或， 解得或， 故上的零点依次为，，或，，，，， 所以各零点和为，D正确． 三、填空题 （本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分） 12. 设 ，则的最小值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】由，，得， 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为 13. 已知将函数的图象向左平移个单位后，所得的函数图象关于点中心对称，则实数_____． 【答案】 【解析】 【分析】解法一：先根据辅助角公式得到，其中，再根据函数的平移及正弦函数的对称性求解即可； 解法二：先得到函数平移后的解析式，再结合题设可得，进而求解即可. 【详解】解法一：由，其中， 将函数向左平移个单位得到， 由于其关于中心对称，则， 即，，则，故． 解法二：函数向左平移个单位得到， 由于其定义域为，又关于中心对称， 故，即． 14. 已知函数 ，，设 ，若 有三个零点，则 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分，，时三种情况，结合和的零点求解. 【详解】的定义域为，， 注意到，， 由的定义知，，， 的零点首先必为或的零点． 由于时，，，故在内无零点； 时，，，若，则；若，则； 时，，故在内的零点即为的零点； 由于在内的零点即为的根（最多2个）， 所以：要使得有三个零点，这三个零点的构成为0，，， 其中，为的两个正根，故． 四、解答题 （共 77 分、解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤） 15. 为探究高三学生每天使用AI辅助学习时间与数学成绩之间的关系， 某市重点中学随机抽取了200名高三学生开展问卷调查， 将数学成绩分为优秀、合格、不合格 3 个等级， 统计数据如下: 组别 数学成绩优秀 数学成绩合格 数学成绩不合格 合计 AI辅助学习时间达到 30 分钟 70 42 8 120 AI辅助学习时间不足 30 分钟 30 48 2 80 合计 100 90 10 200 （1）填写如下列联表： 组别 数学成绩优秀 数学成绩非优秀 合计 AI辅助学习时间达到 30 分钟 AI辅助学习时间不足 30 分钟 合计 现从被调查的200名学生中任选一人， 表示事件 “选到的人数学成绩优秀”，表示事件“选到的人每天使用AI辅助学习时间达到 30 分钟”，求 的值； （2）依据小概率值 的独立性检验，分析高三学生每天使用AI辅助学习时间与数学成绩优秀是否有关． 附: ． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 组别 数学成绩优秀 数学成绩非优秀 合计 AI辅助学习时间达到30分钟 70 50 120 AI辅助学习时间不足30分钟 30 50 80 合计 100 100 200 ，． （2）认为每天使用AI辅助学习时间与数学成绩优秀有关联 【解析】 【分析】（1）根据题意完善列联表，利用条件概率的公式求解； （2）先进行零假设，再计算，通过与的比较得到结论. 【小问1详解】 组别 数学成绩优秀 数学成绩非优秀 合计 AI辅助学习时间达到30分钟 70 50 120 AI辅助学习时间不足30分钟 30 50 80 合计 100 100 200 ，． 【小问2详解】 零假设：高三学生每天使用AI辅助学习时间与数学成绩优秀无关 （即两个分类变量相互独立）． ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为每天使用AI辅助学习时间与数学成绩优秀有关联， 此推断犯错误的概率不超过0.01． 16. 如图，在棱长为的正方体 中， 为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）记的中点为，连接、， 因为、分别为、的中点，所以，， 在正方体中，，， 因为为的中点，所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用两法向量夹角的余弦公式求两平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则、、、. 所以，，. 设是平面的一个法向量，则，即， 令，可得. 设是平面的一个法向量，则，即， 取，可得. 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到点 的距离为2． （1）求抛物线上的动点到直线的最小距离； （2）设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和关于 对称，证明:直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1） （2）设，， 则直线的斜率为，直线的斜率为． 因为直线与关于对称，所以，即， 所以． （提示：的证明可用三种方法： 法1：到角公式，化简得； 法2：OA与OB的倾斜角，满足，即， 则，得； 法3：设关于直线的对称点为，则， 则，即，得．） 法1.设，，由题意得，且， 则直线的斜率存在，从而可设方程为，显然，， 将与联立消去，得，， 由韦达定理知，可得， 则方程为，可知直线恒过定点． 法2.由前面已得，直线的斜率为， 则直线的方程为， 化简． 又，所以， 则直线恒过定点． 法3.因为直线与关于对称，所以． 设直线的斜率为，则直线OB的斜率为． 直线，与联立， 解得或，则． 同理，直线，与联立， 解得或，则． 直线的斜率为， 于是直线的方程为， 化简得． 则直线AB恒过定点． 【解析】 【分析】（1）法1：由抛物线定义可知从而得到，设点，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，结合二次函数的图像和性质得到最小值. 法2：利用导数的几何意义求出与直线平行且与抛物线相切的切线方程，求出切线和直线的距离就是所求的最小值. （2）设，，由于直线与关于对称得到，求得（提示：的证明可用三种方法．法1：利用到角公式求解；法2：与的倾斜角，满足，即，利用三角函数的公式求解；法3：设关于直线的对称点为，则，则，从而得解．）法1.利用韦达定理得到，得到的值，从而得到，直线恒过的定点．法2.求出直线的斜率为，利用点斜式求出直线的方程，结合得到直线恒过的定点．法3.由于直线与关于对称得到，直线与联立求出．同理求出，求出直线的斜率，得到直线的方程，通过化简得到直线恒过的定点． 【小问1详解】 法1：由抛物线定义可知，得， ∴抛物线方程． 设点，则点P到直线l的距离为 ， 当且仅当时取等号． 则动点P到直线的最小距离为． 法2：由抛物线定义可知，得， ∴抛物线方程． 抛物线，其切线斜率为，要与直线平行， 则，，．切点为，切线为． 直线与的距离． 则最小距离为． 【小问2详解】 略 18. 已知锐角 的内角 的对应边分别为 ， 如图， 分别在边 上，且 为等边三角形． （1）求 的值及 ； （2）证明: ； （3）求边 的最小值. 【答案】（1）， （2）证明：，∴． （3） 【解析】 【分析】（1）应用二倍角余弦公式结合余弦定理计算求解； （2）应用角的关系计算证明； （3）应用正弦定理转化边角，再应用辅助角公式结合三角函数值域求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 解得或（舍去）， 为锐角 ，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 记，， 设，，，，， ，． ， ， 取等． 即边 的最小值为. 19. 已知定义在上的三个函数 ，，，其中的图象关于直线对称． （1）求的单调区间； （2）若对任意的 ，都有，求实数的取值范围； （3）若方程有两个不等实根、，求证：． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） （3）证法一：由（2）知，即， 故． 不妨设，记的两根为， 则，， 故有． 现证和， 由，，故． 又，，均位于的单调递减区间上， 由知，同理可得， 故，，，命题得证． 证法二：由于函数的图象关于对称， 不妨设方程的两根、满足， 且，故． 由，要证， 即证． 即证， 由第（2）问，上式已成立，故原命题成立． 【解析】 【分析】（1）由的图象关于直线对称可得，进而得到，可得关于对称，可得，进而得到，再分析单调性即可； （2）由题设及的对称性，只需要在上成立即可，令，得，进而证明时命题成立即可； （3）证法一：由（2）知，可得，设，记的两根为，分析可得，，，进而求证即可； 证法二：由于的对称性，设方程的两根，满足，且，可得，转化问题为证明，进而得到，再结合（2）求证即可. 【小问1详解】 由的图象关于直线对称， 则有， 故，所以关于对称，故，即， 故， 由于与均在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 对任意的 ，都有， 即对任意的，都有成立， 而的图象关于直线对称， 因此，只需要在上成立即可， 令，得，即，现证时命题成立． 当时，，由，只需证即可． 令，，则， 设，，则， 由于在上单调递减，且，， 故存在使得， 则时，，单调递增， 时，，单调递减， 又，，则， 故存在，使得， 则时，，单调递减， 时，，单调递增， 而，故，所以， 则实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3.考试结束后．请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题 （本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. “”是“角为第二象限角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 2. 已知 的内角，， 的对边分别为，，，，，，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知 ，则 （ ）． A. 3 B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和，，则（ ）． A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 甲、乙、丙、丁、戊 5 人站成一排， 若甲和乙相邻， 且甲和丙不相邻， 则不同的排列方式共有（ ）． A. 24 种 B. 30 种 C. 36 种 D. 42 种 6. 已知函数，则在内的极大值点为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知 ，则 的值是（ ）． A. B. C. D. 8. 若对任意 ，则实数 的值可以是（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题 （本大题共3小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分） 9. 已知幂函数 的定义域不为 ，则（ ）． A. B. C. 为偶函数 D. 对任意正数 ，都有 10. 设 ，则（ ）． A. 当 为奇函数时， 不是单调函数 B. 当 为奇函数时， 的值域为 C. 当 为偶函数时， D. 当 为偶函数时， 的最小值为 -1 11. 已知函数，且在 内有最大值，没有最小值， 则下列结论正确的有（ ）． A. B. 在上有且仅有1个零点 C. 若，则 D. 函数的所有零点之和为 三、填空题 （本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分） 12. 设 ，则的最小值为_____． 13. 已知将函数的图象向左平移个单位后，所得的函数图象关于点中心对称，则实数_____． 14. 已知函数 ，，设 ，若 有三个零点，则 的取值范围是_____． 四、解答题 （共 77 分、解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤） 15. 为探究高三学生每天使用AI辅助学习时间与数学成绩之间的关系， 某市重点中学随机抽取了200名高三学生开展问卷调查， 将数学成绩分为优秀、合格、不合格 3 个等级， 统计数据如下: 组别 数学成绩优秀 数学成绩合格 数学成绩不合格 合计 AI辅助学习时间达到 30 分钟 70 42 8 120 AI辅助学习时间不足 30 分钟 30 48 2 80 合计 100 90 10 200 （1）填写如下列联表： 组别 数学成绩优秀 数学成绩非优秀 合计 AI辅助学习时间达到 30 分钟 AI辅助学习时间不足 30 分钟 合计 现从被调查的200名学生中任选一人， 表示事件 “选到的人数学成绩优秀”，表示事件“选到的人每天使用AI辅助学习时间达到 30 分钟”，求 的值； （2）依据小概率值 的独立性检验，分析高三学生每天使用AI辅助学习时间与数学成绩优秀是否有关． 附: ． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 如图，在棱长为的正方体 中， 为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到点 的距离为2． （1）求抛物线上的动点到直线的最小距离； （2）设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和关于 对称，证明:直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 18. 已知锐角 的内角 的对应边分别为 ， 如图， 分别在边 上，且 为等边三角形． （1）求 的值及 ； （2）证明: ； （3）求边 的最小值. 19. 已知定义在上的三个函数 ，，，其中的图象关于直线对称． （1）求的单调区间； （2）若对任意的 ，都有，求实数的取值范围； （3）若方程有两个不等实根、，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $