第3章 一次方程与方程组全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章一次方程与方程组全章高频重点题型突破 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1一元一次方程的概念辨析 1.A 2.下A 3.B 4.A ◆题型2方程的解的判断与简单代入 1.B 2.B 3.x+4=0(答案不唯一) 4.1 ◆题型3等式基本性质应用 1.B 2.B 5y+3 3. 2 4.108 ◆题型4解一元一次方程 1.D 2.x=2 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3. 【详解】(1)解：3(x+2)=2(2x-) 去括号，得3x+6=4x-2. 移项，合并同类项，得-x=-8 系数化为1，得x=8 (2)解：去分母得，30y+3)=18-2(2y-1) 去括号得，3y+9=18-4y+2 移项得，3y+4y=18+2-9 合并同类项得，7y=11 11 系数化1得，y=7· 4. 【详解】(1)解：-x-1=3-2x 移项、合并同类项得，x=4, 4x+25x-7=1 (2)解：510 去分母得，2(4x+2)-(5x-7)=10, 去括号得，8x+4-5x+7=10, 移项、合并同类项得，3x=-1, 1 系数化为1得，x=3 5. 55 【详解】(1)解：gx=6 5.55.5 9x÷96g 5 (2)解：x+。x=39 8 1 8t-39 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x÷13-39* 8x÷8 8 t=39.13 8 x=24 31 (3)解：4x÷6 =18 311 1 -=18× 6 3 x=3 4 33 3 3÷ 4x÷4 4 x=4 ◆题型5列一元一次方程 1.B 2.C 3.200 4.某80 ◆题型6二元一次方程（组）概念识别 1.B 2.B 3.③ 4.②④ ◆题型7二元一次方程组解的验证 1.A 2.D 3/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.B 4.D ◆题型8代入消元法解方程组 1.D 2.3x+4x-2=5 3 【详解】(1)解：由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法： (2)由题中所给过程可知：在第三步开始出现错误，这步正确的格式为10x-6x+12=20； 2x-y=4① (3)解： 10x-3y=20②' 由①得y=2x-4③. 将③代入②，得10x-3(2x-4)=20, 去括号，得10x-6x+12=20,解得x=2, 将x=2代入①得2×2-y=4,解得y=0, x=2 所以该方程组的解为 y=0 y=2x-3① 【详解】(1)解： 3x+2y=8② 把①代入②，得3x+2(2x-3)=8,解得x=2: 把x=2代入①，得y=2×2-3=1: x=2 :方程组的解为y=1 4x-y=27① (2) 2x+3y=3②' 由①，得y=4x-27③ 把③代入②，得2x+3(4x-27)=3,解得x=6: 把x=6代入③，得y=4×6-27=-3. 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=6 方程组的解为 y=-3 ◆题型9加减消元法解方程组 1.C 2.4y=8 3. [3x+2y=12① 【详解】解： 3x-2y=0② ①+②得，6x=12, 解得，x=2, 把x=2代入②得，6-2y=0, 解得y=3, x=2 方程组的解为y=3 4. 4x-2y+5=0① 【详解】解： 9x+3y=0② 由①×3+②×2，得：30x+15=0, 1 解得：七=一2： 把x=2代入@得：9x(3y=0, 解得：y=2 1 x=- 2 所以原方程组的解为 2 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1利用方程解求参数值 1.A 2.A 3.2019 4.-1 ◆题型2同解方程组求参数 1.C 2.B 3.81 x=-1 4.1 y=-3 ◆题型3看错系数还原方程求值 1.A 2.A 3.3 4.1 ◆题型4绝对值方程 1.A 2.D 3.6 4.-8 5 【详解】(1)解：①当3x-1≥0时，原方程可化为3x-1=8,解得x=3: 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把x=3代入3x-1得：3×3-1>0，成立： ②当3x-1<0时，原方程可化为3x18解得x=子： 把=代入3x-1西：3(}-1<0，立： 六原方程的解为x=3或x=了 3 (2)解：①当2x-1≥0时，原方程可化为2x-1=3x-5,解得x=4, 把x=4代入2x-1得：2×4-1>0，成立： 把x=4代入3x-5得：3×4-5>0，成立： 6 ②当2x-1<0时，原方程可化为-2x+1=3x-5:解得x= 5 把t5 代入2x-1得：2x1>0,不成立 ∴原方程的解为x=4 ◆题型5二元一次方程组的特殊解法 1.D 2.D x=4 3.1y=-2 [x=3 4. y=-7 ◆题型6二元一次方程组的应用 1.D 3x+3y=1 2. 6x-6y=1 3. 【详解】(1)解：设A款无人机每架次满载可吊运水果x千克，B款无人机每架次满载可吊运水果y千克， 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2x+y=300 根据题意，得 x+2y=330 x=90 解得 y=120: 答：A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克. (2)解：设租用A款无人机a架，B款无人机b架， 根据题意，得90a+120b=1020, 整理得3a+4b=34, a,b均为正整数， .3a=34-4b>0,即b<8.5,且34-4b是3的正倍数， 当b=1时，a=10,符合题意： 当b=4时，a=6,符合题意： 当b=7时，a=2,符合题意： 综上所述，共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架： 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架： 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架. 4 【详解】(1)解：根据题意得：45a+15=60(a-2), 解得：a=9, .45a+15=45×9+15=420 ∴·参加此次活动的七年级师生共有420人 (2)解：设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， x-y=150 根据题意得： 4x+2y=5100' x=900 解得： y=750 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元. 5. 【详解】解：设A种农作物的种植面积为x公顷，B种农作物的种植面积为y公顷， 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [5x+3y=27 根据题意，得 8x+6y=48' [x=3 解方程组，得y=4” 所以x+y=7, 答：A、B两种农作物的种植面积一共有7公顷. 题型专练 高频重难特训 1.D 2.D 3.A 4.A 5.C 6.B 7.B 8.2m+ 2n=6 9. > 2x 2 6 10.24 11. 【详解】解： 0.3x-0.20.02x+0.01=2 0.4 0.1 3x-2+2x+1=2 将方程中各分数分母的小数化为整数，得4+10 方程两边同乘20去分母，得5(3x-2)+2(2x+1)=40 去括号，得15x-10+4x+2=40 移项合并同类项，得19x=48 48 系数化为1，得x= 19 12. 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：x+21=36 x=36-21 x=15 1_x1 (2)解：936 两边同乘18去分母得：2=6x-3 移项及合并得：6x=5 5 系数化为1得：x= 6 (3)解：4y-2=3-y 移项及合并得：5y=5 系数化为1得：y=1 -1-+2 (4)解：2x-3-3 两边同乘3去分母得：6x-1=-x+6 移项及合并得：7x=7 系数化为1得：x=1. 13. 【详解】(1)解：3x+6=4x-1 3x+6+1=4x-1+1 3x+7=4x 3x+7-3x=4x-3x x=7. (2)2(x-3)÷4=7 2(x-3)÷4×4=7×4 2(x-3)=7×4 2(x-3)÷2=7×4÷2 x-3=14 x-3+3=14+3 x=17 14. 10/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x-2y=-1① 【详解】解： x+3y=7②· ①-②×3，得3x-2y-3x-9y=-1-21, 解得y=2 将y=2代入①，得3x-4=-1, 解得x=1, x=1 所以原方程组的解是 y=2 15. 2x+y=5① 【详解】解： 3x-2y=4②' ①×2得4x+2y=10③ ②+③得7x=14,解得x=2, 将x=2代入①得4+y=5,解得y=1, x=2 ∴原方程组的解为 y=1 16. 3y-1-1=3y-7 【详解】(1)解：4 6, 3(3y-1)-12=2(3y-7）, 9y-3-12=6y-14, 3y=1, 1 y 3 4x+y=10① (2)解： 2x-3y=12②' 由②×2得：4x-6y=24③ 由①-③得：7y=-14,解得：y=-2, 将y=-2代入①得：4x-2=10,解得：x=3, x=3 “方程组的解为y=-2 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17. x+y=7 【详解】解：由方程组结构可得 x-y=1 两式相加(x+)+(x-)=7+1,2x=8,x=4. 将x=4代入x+y=7,4+y=7,y=3 x=4 ∴关于x、y的二元一次方程组的解为y=3 18. 2x+y=-1① 【详解】(1)解： 3x-y=6② ①+②得2x+y+3x-y=-1+6, 解得x=1, 把x=1代入①得2×1+y=-1, 解得y=-3 x=1 ∴这个相同的解为 y=-3 x=1 ax+by=13 (2)解：将y=-3代入1x-四=9 a-3b=13③ 得b+3a=9④' 由③得a=13+3b, 把a=13+3b代入④得b+313+3b)=9 解得b=-3, 把b=-3代入a=13+3b得a=13+3×(-3)=4, 当a=4 6-3助a*j-6x4-3=-1 19. 【详解】解：设甲班有x人，乙班有y人， [8x+10y=920 依题意，得： 5(x+y)=515 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [x=55 解得： y=481 答：甲班有55人，乙班有48人， 20, 【详解】(1)解：160×0.6=96（元）. 答：王先生家5月份应交电费96元. (2)解：设二档电价为x元/度，三档电价为y元/度， 180×0.6+220x+100y=352 依题意，得1180×0.6+220x+(460-400)y=316 x=0.7 解得y=0.9 答：二档电价为07元/度，三档电价为0.9元/度. (3)解：180×0.6+220×0.7+(600-400)×0.9=442（元）. 答：何女士家5月份应交电费442元. 13/13 第三章 一次方程与方程组全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 一元一次方程的概念辨析 题型2 方程的解的判断与简单代入 题型3 等式基本性质应用 题型4 解一元一次方程 题型5 列一元一次方程 题型6 二元一次方程（组）概念识别 题型7 二元一次方程组解的验证 题型8 代入消元法解方程组 题型9 加减消元法解方程组 核心提升：重难题型归纳 题型1 利用方程解求参数值 题型2 同解方程组求参数 题型3 看错系数还原方程求值 题型4 绝对值方程 题型5 二元一次方程组的特殊解法 题型6 二元一次方程组的应用 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 一元一次方程的概念辨析 1．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的三个判定维度：整式、一个未知数、未知数次数为1判断各选项． 【详解】解：A、符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，符合题意； B、分母含未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； C、含两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、未知数最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意． 2．下列式子中，一元一次方程的个数为（     ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程，逐个判断式子即可得出结果． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，逐个判断： ∵是只含一个未知数，未知数次数为1的整式方程，∴是一元一次方程． ∵不是等式，不属于方程，∴不是一元一次方程． ∵中未知数最高次数为2，∴不是一元一次方程． ∵含有两个未知数，∴不是一元一次方程． 对化简得， ∵整理后未知数最高次数为2， ∴不是一元一次方程． 综上，一元一次方程只有1个． 3．下列式子中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据一元一次方程的定义判断，一元一次方程需满足：是等式，只含一个未知数，未知数的最高次数为，且两边为整式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，未知数的次数都是，等号两边都是整式的方程， 、不是等式，不属于方程，故选项不符合题意； 、中只含个未知数，未知数次数为，两边均为整式且是等式，符合一元一次方程的定义，故选项符合题意； 、中含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，故选项不符合题意； 、是不等式，不是方程，故选项不符合题意． 4．下列各式中，属于一元一次方程的共有（     ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：①不是等式，故不是一元一次方程； ②是一元一次方程； ③含有和两个未知数，不是一元一次方程； ④中未知数的最高次数为，不是一元一次方程． 综上所述，只有②是一元一次方程，共1个． ◆题型2 方程的解的判断与简单代入 1．下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入各选项方程，验证左右两边是否相等即可判断． 【详解】解：将分别代入各选项方程： 选项A：左边，不符合； 选项B：左边右边，符合； 选项C：左边，不符合； 选项D：左边不符合． 2．若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程， 得， 即， 解得． 3．写出一个解为的一元一次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解使方程左右两边相等的性质是解题的关键．根据一元一次方程的解的定义，构造一个当时等式成立的一元一次方程即可． 【详解】解：设一元一次方程为（），将代入，得， ∴， 取，则， 得到方程， 故答案为：（答案不唯一）． 4．已知是关于的方程的解，则的值是_____． 【答案】1 【详解】解：把代入得：， 解得：． ◆题型3 等式基本性质应用 1．如果，那么a、b的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】解：由，移项得，计算得． ∵， ∴，即． 2．如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意； B、∵， ∴，原式变形正确，符合题意； C、∵， ∴， ∴，原式变形不正确，不符合题意； D、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意． 3．把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 【答案】 【详解】解： ∴ 4．已知，，( )． 【答案】108 【分析】已知，，把换成3个，计算出，代入数值，即可解答． 【详解】解：根据题意可得 可得 所以 所以． ◆题型4 解一元一次方程 1．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分母2和3的最小公倍数为6，去分母时需方程两边每一项同乘6，不可漏乘常数项． 【详解】解：方程两边同乘以6， 得． 2．方程：的解为______． 【答案】 【详解】解：， ， ， . 3．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得，． 4．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （2）根据去分母、移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项得，． （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得，． 5．解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ◆题型5 列一元一次方程 1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住总人数不变的等量关系列方程． 【详解】解：设车有辆． 每车坐3人且两车空时，总人数为． 每车坐2人且9人无车坐时，总人数为． 由总人数相等得． 2．学校为六年级购买科技书和文艺书共1200本，其中文艺书比科技书的2倍少60本，买来科技书多少本？如果设买来科技书x本，那么下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设买来科技书本，则文艺书有本， ∵ 两种书共1200本， ∴ ． 3．一家商店因换季将某种服装打折进行销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，则每件服装的标价是____________元． 【答案】 【分析】根据服装进价不变的等量关系，设标价为元，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设每件服装的标价是元，根据题意，得 ， 解得：， 即每件服装的标价是元． 4．某车间计划加工一批产品，如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成了任务．那么这批产品一共有____个． 【答案】 80 【分析】设预定完成任务的时间为小时，根据产品总数量不变列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设预定小时完成任务，产品总数为个， ∵实际先加工2小时，已经完成个，提高速度后每小时加工个，结果提前1小时完成， ∴提高速度后加工的时间为小时， 根据产品总数量相等列方程：， 解得， ∴产品总数为个． ◆题型6 二元一次方程（组）概念识别 1．下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的判断，根据定义解答，即含有两个未知数，且未知数的最高次数是1次的整式方程 ，即为二元一次方程． 【详解】解：A选项：只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意； B选项：含两个未知数，且含未知数的项的次数均为1，是整式方程，是二元一次方程，符合题意； C选项：含未知数的项的最高次数为2，不符合题意； D选项：的分母含未知数，不是整式方程，不符合题意． 2．在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项方程组共含三个未知数，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意． 3．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 4．下列方程：①；②；③；④中，_______是二元一次方程．（填序号） 【答案】②④ 【分析】根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，逐一判断给出的方程即可得到结果． 【详解】解：①中，项的次数为，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程； ② 是整式方程，含有两个未知数和，且含未知数的项的次数都是，符合定义，是二元一次方程； ③中，项的次数为，不符合定义，不是二元一次方程； ④ ，整理得，是整式方程，含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，符合定义，是二元一次方程． ◆题型7 二元一次方程组解的验证 1．已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入各选项验证， 代入A选项的两个方程： ，与方程右边相等，成立； ，与方程右边相等，成立，符合题意； 代入B选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入C选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入D选项的，得，方程不成立，不符合题意． 2．解为的方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴A，C选项的第一个方程不成立，排除A，C． ∵， ∴B选项的第二个方程不成立，排除B． ∵代入D选项，，，两个方程均成立， ∴D选项符合题意． 3．已知方程，若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足组内每个方程，因此将已知的解代入各选项验证，等式成立的即为所求方程． 【详解】解：将代入选项A，得 ，等式不成立， ∴A错误； 将代入选项B，得 ，等式成立， ∴B正确； 将代入选项C，得 ，等式不成立， ∴C错误； 将代入选项D，得 ，等式不成立， ∴D错误． 4．在下列方程组中，只有一个解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可通过化简方程组，根据两个方程系数的关系判断解的个数，两个一次方程对应未知数系数不成比例时，方程组只有一个解． 【详解】选项A：对于，将第二个方程两边同除以3，得，与第一个方程完全相同，因此方程组有无数个解，故A不符合要求； 选项B：对于，将第二个方程两边同除以2，得，与矛盾，因此方程组无解，故B不符合要求； 选项C：对于，将第一个方程两边同乘2，得，与矛盾，因此方程组无解，故C不符合要求； 选项D：对于，化简第二个方程得，两个方程未知数对应系数不成比例，联立可求得唯一解，因此方程组只有一个解，故D符合要求． ◆题型8 代入消元法解方程组 1．由方程组可得出关于与之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】消去方程组中的参数，即可得到与的关系式． 【详解】解：方程组， 将代入，得， 整理得． 2．用代入消元法解方程组，将②代入①，且去括号后，得___________． 【答案】 【详解】解：把②代入①得， 去括号得． 3．下面是小北解方程组的部分运算过程． 解：由①，得③，第一步 将③代入②，得，第二步 去括号，得，第三步 解得．第四步 (1)这道题的解法用的是______（选择你认为正确的序号填入）： ①加减消元法；②代入消元法 (2)上面的运算过程从第______步开始出现了错误； (3)请写出解该方程组的正确过程． 【答案】(1)② (2)三 (3)解：， 由①得③， 将③代入②，得， 去括号，得，解得， 将代入①得，解得， 所以该方程组的解为． 【分析】（1）根据题意即可得到答案； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； （2）由题中所给过程可知：在第三步开始出现错误，这步正确的格式为； （3）略． 4．用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键： （1）直接利用代入法进行求解即可； （2）将第一个方程变形后，利用代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得，解得； 把代入①，得； ∴方程组的解为； （2）， 由①，得， 把③代入②，得，解得； 把代入③，得； ∴方程组的解为． ◆题型9 加减消元法解方程组 1．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将每个选项中的方法计算出来再判断即可． 【详解】解：选项：，得，不能消去未知数，消元错误； 选项：，得，不能消去未知数，消元错误； 选项：，得，消去未知数x，符合加减消元要求，消元正确； 选项：，得，不能消去未知数，消元错误． 2．用加减法解方程组，由可得________． 【答案】 【分析】对①和②左右两边分别作差，化简即可得到结果． 【详解】解：计算的左边：， 计算的右边：， 因此可得． 3．解方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： ①②得，， 解得，， 把代入②得，， 解得， ∴方程组的解为． 4．解二元一次方程组： 【答案】 【详解】解： 由，得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以原方程组的解为． ◆题型1 利用方程解求参数值 1．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等式的性质将原方程变形为等于常数的形式，再对照表格中数据即可得到方程的解． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 两边同乘得， 由表格可知，当时，， ∴方程的解为． 2．已知关于x的方程有无数多个解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【分析】利用方程有无数多个解，可得，的值，即可求出的值． 【详解】解：， 整理得，即， 方程有无数多个解， ∴，， 解得，， ∴． 3．若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】2019 【分析】将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 4．若是关于x的方程的解，则k的值为_______ ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中即可求出k的值． 【详解】解：把代入关于x的方程中，得 ， 解得 ◆题型2 同解方程组求参数 1．已知方程组 与同解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个方程组同解，说明它们的解相同，因此先联立两个不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程所组成的方程组中解答即可求出的值． 【详解】解：∵两个方程组同解， ∴同时满足两个方程组中的所有方程， 由，解得， 把代入，得， ①②，得， ∴． 2．若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组就能得到a的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组和同解， ∴把代入，得， 解得：， 故选：B． 3．已知关于x，y的方程组与方程组同解，则_______． 【答案】81 【分析】先根据两个方程组的解相同重新组成方程组，并求出解，再将解代入求出a，b的值，进而求出代数式的值． 【详解】解：∵方程组与方程组同解， ∴， ，得， 将代入①，得， ∴方程组的解是． ∵两个方程组的解相同， ∴， 解得， ∴． 4．若方程组的解是，则方程组的解是___________． 【答案】 【分析】将待求方程组变形，使其与已知解的原方程组形式一致，对比对应项即可求出结果． 【详解】解：将待求方程组两边同时乘，变形得， ∵原方程组的解是， ∴对比两个方程组的结构可得， 解得． ◆题型3 看错系数还原方程求值 1．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据甲看错了方程①中的a，将代入②中可求得b的值，根据乙看错了②中的b，将代入①中可求得a的值，由此可求得的值． 【详解】解：甲看错了①中的a，但②是正确的，所以满足方程②： ∴，解得； 乙看错了②中的b，但①是正确的，所以满足方程①： ∴，解得． ∴． 2．在解关于，的方程组时，甲看错①中的，解得，；乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】甲看错①中的，但未看错②中的，因此甲的解满足方程②，可求出正确的；乙看错②中的，但未看错①中的，因此乙的解满足方程①，可求出正确的． 【详解】解：∵甲看错①中的，解得，， ∴将，代入②，得 ， 解得； ∵乙看错②中的，解得，， ∴将，代入①，得 ， 解得； ∴，． 3．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了，得到了方程组的解为，乙把字母看错了，得到方程组的解为．求的值． 【答案】 【分析】甲看错但解满足含的方程，代入甲的解求，乙看错但解满足含的方程，代入乙的解求，最后代入计算的值即可． 【详解】解：由题意，得 把代入中，得， 解得， 把代入中，得， 解得， ． 4．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则的值为_________． 【答案】1 【分析】将代入方程组得，将代入得，由①②③解得，代入所求式子即可得出结果． 【详解】解：∵甲同学正确地解出， ∴将代入方程组得， ∵乙同学因把c抄错了解得， ∴将代入得， 由①②③解得， ∴． ◆题型4 绝对值方程 1．假设a是常数，是方程的一个解．问方程的另一个解是多少？（   ） A． B． C．0 D．5 E．10 【答案】A 【分析】先把代入，求出，则原方程为，再解方程即可． 【详解】解：把代入，得： ， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，， ∴方程的另一个解是． 2．已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题利用零点分段法化简绝对值方程，确定x的取值范围，找出范围内所有整数x，再计算它们的和即可． 【详解】解：令得，令得， ∴分三种情况讨论： 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，等式恒成立，故此区间内所有x都满足方程； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 综上，满足方程的x的范围是， 其中整数为， 计算和得． 3．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】 【分析】先理解题意，结合，得出，又因为，故，则，再进行分类讨论，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当时，则，整理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 当时， ∵， ∴ 则，此为矛盾，此种情况不成立，舍去． ∴的值为． 4．若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】由，可知，得出，把代入得：，即，然后分两种情况求出x的值，再求出y的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴可化为， 把代入得：，即， 当时，，则即：，解得与不符，舍去； 当时，，则即：，解得，符合， 当时，则， ∴． 5．先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． （2）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，不成立； ∴原方程的解为． ◆题型5 二元一次方程组的特殊解法 1．若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都乘以5得到方程组，根据方程组的解得到方程组的解满足的条件，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即 ∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， ∴． 2．我们知道方程组的解是，现给出另一个方程组，则它的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将与看作整体，对应原方程组的未知数，利用已知解列方程组求解． 【详解】解：∵新方程组与原方程组结构相同， ∴ ， 解得． 3．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】利用换元法将待解方程组转化为与已知结构相同的方程组，结合已知解求解新方程组． 【详解】解：设，， 则方程组可化为， ∵已知方程组的解是， ∴代入换元关系式得， 解得． 4．已知方程组的解是，则方程组的解是______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组解的定义，将待求解方程组变形为与已知解的原方程组结构相同的形式，通过对应关系得到关于x，y的方程，求解即可得到结果； 【详解】解：∵方程组的解是， 将方程组的两边同时除以4，变形得， 对比原方程组可得， 解得， 因此方程组的解为． ◆题型6 二元一次方程组的应用 1．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图所示的算筹图用方程组的形式表述出来是，类似的，如图所示的算筹图，用方程组的形式表述为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知一个竖直的算筹数是1，一个横着的算筹数是10，每一横行是一个方程，第一个数是的系数；第二个数是的系数；第三个数是第三个和第四个算筹数相加的结果，前面的表示十位，后面的表示个位． 【详解】解：观察图2可知，第一个方程的的系数是 1，的系数是3，结果是18； 第二个方程的的系数是 2，的系数是4，结果是26， 可得图2的方程为． 2．甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在环形路上奔跑．若反向而行，每隔相遇一次，若同向而行，则每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，则可列方程组为_______________________． 【答案】 【详解】解：设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈， 若同时同地反向出发，相遇时两人跑的路程和刚好是1整圈，甲跑圈，乙跑圈，则列方程为：， 若同向而行：甲比乙快，同时同地同向出发，相遇时甲比乙多跑了1整圈，甲跑圈，乙跑圈，则列方程为：， 联立两个方程得：． 3．随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克． (1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案． 【答案】(1) A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克 (2) 共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 【分析】（1）根据两组不同架数组合的吊运总质量，列二元一次方程组求解两款无人机的单架次吊运量； （2）根据总吊运质量列二元一次方程，结合租用架数为正整数的条件，枚举所有符合要求的解． 【详解】（1）解：设A款无人机每架次满载可吊运水果千克，B款无人机每架次满载可吊运水果千克， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克． （2）解：设租用A款无人机架，B款无人机架， 根据题意，得 ， 整理得， ∵，均为正整数， ∴，即，且是3的正倍数， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 4．古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计元．” 小萱：“如果我们七年级租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车可少租辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有________人； (2)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 【答案】(1) (2)座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元． 【分析】（1）根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解方程得到a的值，再将其代入中，即可解答； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ， 参加此次活动的七年级师生共有420人． （2）解：设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元． 5．乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物，种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表： 农作物品种 每公顷所需人数（人） 每公顷所需投入资金（万元） A 5 8 B 3 6 已知农作物种植人员共27人，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共48万元．则A，B这两种农作物的种植面积一共有多少公顷？ 【答案】A、B两种农作物的种植面积一共有7公顷 【分析】设A种农作物的种植面积为x公顷，B种农作物的种植面积为y公顷，根据“农作物种植人员共27人，投入资金共48万元”列出方程组，求解即可解答． 【详解】解：设A种农作物的种植面积为x公顷，B种农作物的种植面积为y公顷， 根据题意，得， 解方程组，得， 所以， 答：A、B两种农作物的种植面积一共有7公顷． 1．下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以方程的定义为依据，从是否含未知数、是否为等式两个角度判断各选项． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，不是方程，不符合题意； C、含有未知数，但不是等式，不是方程，不符合题意； D、既含有未知数，又是等式，是方程，符合题意． 2．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 3．若关于x的方程的解是，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得：， 解得． 4．下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从未知数个数、最高次数、是否为整式三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：A：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合要求． B：含有两个未知数，不符合要求． C：中未知数最高次数为，不符合要求． D：分母含未知数，不是整式方程，不符合要求． 5．下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项B：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项C：，两边同乘3得，移项得，系数化为1得，符合要求； 选项D：，移项得，系数化为1得，不符合要求． 6．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得：． 7．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项中项的次数为2，不符合题意． 8．若m的2倍与n的倍的和等于6，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】将题目中的文字描述转化为代数式，根据等量关系列出方程． 【详解】解：∵ 的倍可表示为，的倍可表示为，二者的和等于， ∴ 可列方程为． 9．填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据等式的性质和等式的性质对各等式逐一变形即可求解． 【详解】解：（1）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （2）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （3）已知，根据等式的性质，等式两边同时除以，得； （4）已知，根据等式的性质，等式两边同时乘以，得． 10．若方程组，则的值是_____． 【答案】24 【详解】解：由可得， ∴ ． 11．解方程 ． 【答案】 【详解】解： 将方程中各分数分母的小数化为整数，得 方程两边同乘去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得． 12．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)． (2)． (3)． (4)． 【分析】（1）直接移项计算即可得结果； （2） 先去分母，再移项合并同类项，系数化为1求解； （3）移项合并同类项，系数化为1求解； （4）先去分母，再移项合并同类项，系数化为1求解． 【详解】（1）解：                  ． （2）解： 两边同乘18去分母得： 移项及合并得： 系数化为1得： ． （3）解： 移项及合并得： 系数化为1得：． （4）解： 两边同乘3去分母得： 移项及合并得： 系数化为1得：． 13．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2） ． 14．解方程组： 【答案】 $$\left\{ \begin{aligned} & x=1 \\ & y=2 \end{aligned} \right.$$ 【分析】先根据消去x，求出y，再将y的值代入①求出x，则此题可解． 【详解】解：， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解是． 15．解方程组： 【答案】 【分析】利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得， 得，解得， 将代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 16．解方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元一次方程的解法，解题步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （2）利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， 由得：， 由得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ∴方程组的解为． 17．如果关于m，n的二元一次方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？ 【答案】关于，的二元一次方程组的解为. 【分析】观察两组方程组形式完全一致，将整体替换m，整体替换n，代入已知解得到关于x、y的二元一次方程组，再联立加减消元算出x、y的值． 【详解】解：由方程组结构可得， 两式相加，，． 将代入，，． ∴关于x、y的二元一次方程组的解为． 18．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个方程组同解，联立不含参数的两个二元一次方程，加减消元求出； （2）将（1）求得的代入含的方程，得到关于的二元一次方程组，解出后代入式子计算立方值． 【详解】（1）解： 得， 解得， 把代入①得， 解得， ∴这个相同的解为 （2）解：将代入， 得， 由③得， 把代入④得， 解得， 把代入得， 当，时，． 19．长沙市某公园的门票价格如表所示： 购票人数 人 人 100人以上 票价 10元/人 8元/人 5元/人 某校九年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人不到60人，乙班不足50人，如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付515元，问甲，乙两班分别有多少人？ 【答案】甲班有55人，乙班有48人 【详解】解：设甲班有x人，乙班有y人， 依题意，得：， 解得：． 答：甲班有55人，乙班有48人． 20．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表中是某省的电价标准（每月），例如，方女士家5月份用电500度，电费二档电价三档电价元，李先生家5月份用电460度，交费316元． 阶梯 电量 电价 一档 电量 元/度 二档 电量 二档电价 三档 电量 三档电价 请解答下列问题： (1)若王先生家5月份用电160度，则电费多少元？ (2)求二档电价和三档电价分别为多少？ (3)若何女士家5月份用电600度，则电费多少元？ 【答案】(1)96元 (2)二档电价为0.7元/度，三档电价为0.9元/度 (3)442元 【分析】（1）根据所给收费标准列式求解即可； （2）设二档电价为x元/度，三档电价为y元/度，根据方女士和李先生家的电费建立方程组求解即可； （3）根据所给收费标准列式求解即可． 【详解】（1）解：（元）． 答：王先生家5月份应交电费96元． （2）解：设二档电价为x元/度，三档电价为y元/度， 依题意，得， 解得． 答：二档电价为0.7元/度，三档电价为0.9元/度． （3）解：（元）． 答：何女士家5月份应交电费442元． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一次方程与方程组全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 一元一次方程的概念辨析 题型2 方程的解的判断与简单代入 题型3 等式基本性质应用 题型4 解一元一次方程 题型5 列一元一次方程 题型6 二元一次方程（组）概念识别 题型7 二元一次方程组解的验证 题型8 代入消元法解方程组 题型9 加减消元法解方程组 核心提升：重难题型归纳 题型1 利用方程解求参数值 题型2 同解方程组求参数 题型3 看错系数还原方程求值 题型4 绝对值方程 题型5 二元一次方程组的特殊解法 题型6 二元一次方程组的应用 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 一元一次方程的概念辨析 1．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子中，一元一次方程的个数为（     ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列式子中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．下列各式中，属于一元一次方程的共有（     ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 ◆题型2 方程的解的判断与简单代入 1．下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 2．若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 3．写出一个解为的一元一次方程：______． 4．已知是关于的方程的解，则的值是_____． ◆题型3 等式基本性质应用 1．如果，那么a、b的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 2．如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 4．已知，，( )． ◆题型4 解一元一次方程 1．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 2．方程：的解为______． 3．解方程： (1) (2) 4．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 5．解方程． (1) (2) (3) ◆题型5 列一元一次方程 1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 2．学校为六年级购买科技书和文艺书共1200本，其中文艺书比科技书的2倍少60本，买来科技书多少本？如果设买来科技书x本，那么下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．一家商店因换季将某种服装打折进行销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，则每件服装的标价是____________元． 4．某车间计划加工一批产品，如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成了任务．那么这批产品一共有____个． ◆题型6 二元一次方程（组）概念识别 1．下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 3．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 4．下列方程：①；②；③；④中，_______是二元一次方程．（填序号） ◆题型7 二元一次方程组解的验证 1．已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 2．解为的方程组是（     ） A． B． C． D． 3．已知方程，若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 4．在下列方程组中，只有一个解的是（     ） A． B． C． D． ◆题型8 代入消元法解方程组 1．由方程组可得出关于与之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 2．用代入消元法解方程组，将②代入①，且去括号后，得___________． 3．下面是小北解方程组的部分运算过程． 解：由①，得③，第一步 将③代入②，得，第二步 去括号，得，第三步 解得．第四步 (1)这道题的解法用的是______（选择你认为正确的序号填入）： ①加减消元法；②代入消元法 (2)上面的运算过程从第______步开始出现了错误； (3)请写出解该方程组的正确过程． 4．用代入法解下列方程组： (1) (2) ◆题型9 加减消元法解方程组 1．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（     ） A． B． C． D． 2．用加减法解方程组，由可得________． 3．解方程组：． 4．解二元一次方程组： ◆题型1 利用方程解求参数值 1．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 2．已知关于x的方程有无数多个解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 3．若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 4．若是关于x的方程的解，则k的值为_______ ． ◆题型2 同解方程组求参数 1．已知方程组 与同解，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 3．已知关于x，y的方程组与方程组同解，则_______． 4．若方程组的解是，则方程组的解是___________． ◆题型3 看错系数还原方程求值 1．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 2．在解关于，的方程组时，甲看错①中的，解得，；乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了，得到了方程组的解为，乙把字母看错了，得到方程组的解为．求的值． 4．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则的值为_________． ◆题型4 绝对值方程 1．假设a是常数，是方程的一个解．问方程的另一个解是多少？（   ） A． B． C．0 D．5 E．10 2．已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 3．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 4．若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 5．先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． ◆题型5 二元一次方程组的特殊解法 1．若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 2．我们知道方程组的解是，现给出另一个方程组，则它的解是（     ） A． B． C． D． 3．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____． 4．已知方程组的解是，则方程组的解是______． ◆题型6 二元一次方程组的应用 1．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图所示的算筹图用方程组的形式表述出来是，类似的，如图所示的算筹图，用方程组的形式表述为（     ） A． B． C． D． 2．甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在环形路上奔跑．若反向而行，每隔相遇一次，若同向而行，则每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，则可列方程组为_______________________． 3．随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克． (1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案． 4．古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计元．” 小萱：“如果我们七年级租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车可少租辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有________人； (2)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 5．乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物，种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表： 农作物品种 每公顷所需人数（人） 每公顷所需投入资金（万元） A 5 8 B 3 6 已知农作物种植人员共27人，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共48万元．则A，B这两种农作物的种植面积一共有多少公顷？ 1．下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 2．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 3．若关于x的方程的解是，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 5．下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 8．若m的2倍与n的倍的和等于6，则可列方程为___________． 9．填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 10．若方程组，则的值是_____． 11．解方程 ． 12．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．解方程： (1)； (2)． 14．解方程组： 15．解方程组： 16．解方程（组）： (1)； (2)． 17．如果关于m，n的二元一次方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？ 18．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 19．长沙市某公园的门票价格如表所示： 购票人数 人 人 100人以上 票价 10元/人 8元/人 5元/人 某校九年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人不到60人，乙班不足50人，如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付515元，问甲，乙两班分别有多少人？ 20．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表中是某省的电价标准（每月），例如，方女士家5月份用电500度，电费二档电价三档电价元，李先生家5月份用电460度，交费316元． 阶梯 电量 电价 一档 电量 元/度 二档 电量 二档电价 三档 电量 三档电价 请解答下列问题： (1)若王先生家5月份用电160度，则电费多少元？ (2)求二档电价和三档电价分别为多少？ (3)若何女士家5月份用电600度，则电费多少元？ 1 / 14 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