第四章 一元一次方程全章高频重点题型突破（十九大高频+十大重难题型，专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 以题型分层为框架，系统覆盖一元一次方程从概念到应用的全维度考法，通过基础与综合题型递进训练运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|19题型|涵盖等式性质、方程定义、解法及12类基础应用题，聚焦概念辨析与直接应用|从概念（定义、解）到技能（解法）再到简单应用，形成完整认知链| |核心提升|10题型|包含复杂方程、参数综合、绝对值方程及5类应用综合题，突出多知识点融合|在基础上深化，通过综合题训练推理意识，实现从单一到复杂问题的迁移|

第四章 一元一次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 等式的性质 题型2 判断是否是方程 题型3 列方程 题型4 方程的解及其求参 题型5 一元一次方程的定义及求参 题型6 解一元一次方程 题型7 已知一元一次方程的解求参数 题型8 一元一次方程解的关系 题型9 求绝对值方程 题型10 配套问题 题型11 工程问题 题型12 销售盈亏问题 题型13 方案选择问题 题型14 几何问题 题型15 动点问题 题型16 水电费问题 题型17 行程问题 题型18 日历问题 题型19 古代问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 等式的性质综合 题型2 解复杂的一元一次方程 题型3 已知一元一次方程的解求参数综合 题型4 绝对值方程计算综合 题型5 一元一次方程应用综合——配套问题 题型6 一元一次方程应用综合——销售问题 题型7 一元一次方程应用综合——方案问题 题型8 一元一次方程应用综合——动点问题 题型9 一元一次方程应用综合——行程问题 题型10 一元一次方程的新定义问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 等式的性质 1．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐项判断正误即可． 【详解】解： A．若，不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得，A说法正确，不合题意； B．若，不等式两边同时除以，不等号方向改变，可得，B说法正确，不合题意； C．若，当时，；当时，，因此不一定成立，C说法错误，符合题意； D 对任意实数，都有，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，D说法正确，不合题意． 2．（25-26七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 【答案】C 【分析】根据等式的性质、去括号法则、合并同类项法则把方程变形，逐一判断各步骤的依据即可得到结果． 【详解】解：步骤为去括号变形，依据乘法分配律，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤是等式两边同时减去，依据等式的性质，故步骤符合题意； 步骤为合并同类项变形，依据合并同类项法则，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤4是等式两边同时除以，依据等式的性质，故步骤符合题意； 依据“等式的性质”变形的是步骤和步骤. 3．（2026·山西太原·三模）下列变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质与不等式的基本性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：根据等式性质，等式两边同时加(或减)同一个数，等式仍然成立，∵，两边同时加，得，∴ A变形正确； 根据等式性质，等式两边同时乘(或除以)同一个不为的数，等式仍然成立，∵，两边同时除以，得，∴B变形正确； ∵， ∴， 根据不等式性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∵，两边同时除以正数，得，∴C变形正确； ∵无法确定的符号，当时，不等式两边同时除以，不等号方向改变，若，可得，因此D变形错误． ◆题型2 判断是否是方程 4．（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 【答案】C 【详解】解：A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，而解方程是求方程的解的过程，因此A错误； B．含有未知数的等式才叫做方程，仅仅是式子（比如）不是方程，因此B错误； C．表示两边相等关系的式子叫做等式，这是等式的定义，因此C正确； D． 因此不是该方程的解，D错误． 5．（25-26七年级下·河南南阳·周测）下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可； 【详解】根据方程的定义可知：，是方程，有个． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式是方程的有_____ ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 【答案】②③④ 【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断． 【详解】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程； ②＋y＝5，是方程； ③x2﹣2x＝1，是方程； ④x2﹣2x＝x﹣y，是方程； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程； 故答案为：②③④． 【点睛】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键． ◆题型3 列方程 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意，列出下列方程． (1)x的5倍与2的和等于x的与4的差； (2)一支球队参加比赛，开局9场保持不败，共积21分．比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，则该队共胜的场数为多少场． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据实际问题抽象出一元一次方程，正确结合已知得出等量关系是解题关键． （1）先表示出x的5倍与2的和为，再表示出x的与4的差为，再根据相等关系列方程即可； （2）根据所得的总积分为21分，可以列出相应的方程． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：设该队前9场比赛共胜了x场，则平了场．根据题意，． 8．（24-25七年级下·河北衡水·开学考试）设某数为x，“比某数的大1的数是4”，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，某数的为，则根据题意可得． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 9．（26-27七年级上·全国·课后作业）如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列方程，解题关键是弄清题意，把这周产生的可回收垃圾的质量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，得到最终的结果． 根据题目中的数量关系：这周产生的可回收垃圾的质量上一周产生的可回收垃圾的质量，假设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克，上一周产生的可回收垃圾的质量是20千克，代入列出方程即可． 【详解】解：设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克． 根据题意得，，即 方程可变换成：和，不能变换为． 故选：C． ◆题型4 方程的解及其求参 10．（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 【答案】2025 【分析】把方程的解代入原方程，经过变形得到的整数值，再整体代入代数式求值． 【详解】解：将代入方程： ， ， 移项：， ． 11．（25-26七年级下·四川宜宾·阶段检测）已知关于x的方程有无数多个解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【分析】利用方程有无数多个解，可得，的值，即可求出的值． 【详解】解：， 整理得，即， 方程有无数多个解， ∴，， 解得，， ∴． 12．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知是方程的解，则_____ ． 【答案】4 【分析】本题考查方程的解的定义，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据方程的解的定义，将代入原方程求出的值，再利用绝对值的性质计算的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． ◆题型5 一元一次方程的定义及求参 13．（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知是关于的一元一次方程，那么此方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，根据一元一次方程的定义，未知数的次数为1且系数不为零，确定的值，再代入方程求解，熟练掌握一元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴，且， 当时，，满足条件， 此时方程为， 解得：， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·山东德州·期末）如果方程是关于的一元一次方程，那么等于_______． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为，且系数不能为零． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程，因此的指数，且系数． 解方程，得， 所以或． 当时，，系数为零，不符合条件； 当时，，符合条件． 故答案为：3． 15．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）在下列各式中：①；②；③；④；⑤，一元一次方程有_________个． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是关键．判断一元一次方程的依据是：方程中只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，且为整式方程，根据一元一次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：①，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程； ②，只含一个未知数，且次数为1，是一元一次方程； ③，含有两个未知数，不是一元一次方程； ④，含有二次项，不是一元一次方程； ⑤，只含一个未知数，且次数为1，是一元一次方程； 因此一元一次方程有2个， 故答案为：2． ◆题型6 解一元一次方程 16．（25-26六年级下·上海·期末）解方程：． 【答案】 【分析】按去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为的步骤计算求解． 【详解】解： ， 方程两边同乘，得 ， 去括号，得 ， 移项合并同类项，得 ， 系数化为，得 ． 17．（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再依次移项、合并同类项、系数化为1求解． （2）先去分母（等式两边同乘分母最小公倍数6），再依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解． 【详解】（1）解：去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为1：． （2）解：方程两边同乘6去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为1：． 18．（25-26七年级上·全国·期末）解方程： 【答案】 【详解】解： 解得． ◆题型7 已知一元一次方程的解求参数 19．（25-26七年级下·重庆万州·期中）某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘12，因而求得的方程的解为，试求a的值，并求出原方程的正确解． 【答案】， 【分析】把代入到去分母后的方程可得，可得原方程为，进一步解方程即可. 【详解】解：， 该同学去分母时得到的错误方程为，， ∵是方程的解， ∴把代入得， ∴， ∴， 得． 把代入到原方程中得， 整理得，， ∴， 解得． 20．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知关于x的方程的解比关于y的方程的解小，求a的值． 【答案】 【分析】先求得关于x的方程的解，从而得到关于y的方程的解，然后代入方程，得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：解方程， 得； 由题意可知，关于y的方程的解为， 将代入方程中，得， 解得． 21．（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)填空：方程与方程______同解方程（填“是”或“不是”）； (2)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值； (3)若关于x的两个方程与是同解方程，求符合要求的正整数m，n的值． 【答案】(1)是 (2) (3)，或 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据定义进行判断即可； （2）先解方程得到，再根据同解方程的定义得到方程的解为，则，解方程即可； （3）分别求出方程与的解，再根据这两个方程是同解方程得到，再根据m，n都是正整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程与方程是同解方程； （2）解：∵， ∴， ∵方程与关于x的方程是同解方程， ∴方程的解为， ∴， ∴； （3）解：解方程得：， 解方程得：； ∵关于x的两个方程与是同解方程， ∴， ∴， ∵m，n都是正整数， ∴是正整数， ∴或， 当时，； 当时，． ◆题型8 一元一次方程解的关系 22．（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值． 【答案】 【分析】先分别解出两个一元一次方程，用、表示方程的解，根据解互为相反数得到、的关系式，再整体代入代数式计算即可． 【详解】解：， 移项得， 解得， ， 去分母得， 展开整理得， 解得， 两个方程的解互为相反数， ，即， 去分母得， 整理得， 两边同除以得， ． 23．（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于的方程①：的解比方程②： 的解大2，求的值以及方程②的解． 【答案】，方程②的解为 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．用含的式子分别表示出方程①和方程②的解，根据方程①的解比方程②的解大2列出关于的方程，求解可得的值，将的值代入方程②中即可解得的值． 【详解】解：解得：， 解得：， ∵方程①的解比方程②的解大2， ∴，解得：， 将代入方程②中得：， 解得：． 24．（25-26七年级下·河南新乡·阶段检测）已知方程与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程，分别解出两个方程的解，根据题意，两个方程的解互为相反数，则，求出，即可． 【详解】解：方程， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为，得； 方程：， 去分母，方程两边同时乘以，， 去小括号，得，， 移项，合并同类项得：， 系数化为，得； ∵两个方程的解互为相反数， ∴， ． ◆题型9 求绝对值方程 25．（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解绝对值方程，熟练掌握解绝对值方程是解题的关键．当时，解方程得；当时，解方程，得，但此时不满足，应舍去． 【详解】解：若，则， 解得， 此时，符合题意； 若，则， 解得， 此时，与假设不符， 所以不符合题意，舍去； 所以方程的解为：． 26．（2025七年级上·北京·专题练习）已知，求x的值． 【答案】8 【分析】本题考查解绝对值方程，分与两种情况，根据绝对值的意义将方程转化为一元一次方程，求解并检验即可． 【详解】解：当时，原方程可化为， 解得， 当时，原方程可化为， 解得， 此时，不符合， 所以不符合题意，舍去， 所以x的值为8． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 【答案】或 【分析】根据示例，分两种情况，当和时，先去掉绝对值符号，再解方程即可． 【详解】解：当，即时， 原方程为， 即， 解得； 当，即时， 原方程为， 即， 解得． 综上所述，方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解题的关键是能正确去掉绝对值符号． ◆题型10 配套问题 28．（2026·陕西西安·模拟预测）某中学手工社团有名同学，平均每人每天可制作个书签套盒或张装饰贴纸，已知个书签套盒与张装饰贴纸配成一套，为使每天制作的手工产品刚好配套．社团应该分配制作书签套盒和装饰贴纸的同学各多少名？ 【答案】分配5名同学制作书签套盒，25名同学制作装饰贴纸。 【分析】设出制作书签套盒的同学人数，据此表示出制作装饰贴纸的同学人数，根据配套要求得到两种产品的数量关系，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设社团应该分配名同学制作书签套盒，则分配名同学制作装饰贴纸， 根据题意，每天制作的书签套盒总数量为个，每天制作的装饰贴纸总数量为 张， 由1个书签套盒与4张装饰贴纸配成一套，可得等式： ， 解得， 制作装饰贴纸的同学人数为（名）， 答：社团应该分配5名同学制作书签套盒，25名同学制作装饰贴纸． 29．（25-26七年级下·海南海口·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ (2)若每副眼镜的成本为150元，该车间每天生产的眼镜的总成本为多少元？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)18000元 【分析】（1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据“一副镜架要配两个镜片”列方程求解； （2）根据题意列式求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：生产镜架10人，生产镜片12人． （2）解：由（1）可知，每天生产的镜架数量为（个）， 即每天生产120副眼镜， 故总成本为（元） 答：该车间每天生产的眼镜的总成本为18000元． 30．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生27人，女生23人 (2)2名 【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可； （2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2倍，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级一班女生人数为人，则男生人数为 人， 根据题意，得 ， 解得， 则 ， 答：七年级一班有男生27人，女生23人； （2）解：设有名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为 人，做盒底的人数为 人， 盒身总数为 个，盒底总数为 个， 根据配套关系，得 ， 解得， 答：有2名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． ◆题型11 工程问题 31．（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快．某社区在一次改造中，预算施工费用为万元，计划由甲、乙两队先后接力施工天完成．已知甲队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，乙队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，请通过计算说明预算施工费用是否够用？ 【答案】 预算施工费用够用，实际总施工费用为万元 【分析】以总工作量为等量关系列一元一次方程，求出甲、乙两队的施工天数，再计算总费用与预算对比． 【详解】解：将此次改造的总工作量看作单位，设甲队施工天，则乙队施工天， ∵甲队单独施工完成此次改造需要天，乙队单独施工完成此次改造需要天， ∴甲队单日完成总工作量的，乙队单日完成总工作量的， ∵两队总工作量为， ∴， 解得， 乙队施工天数：（天）， 总施工费用：（万元）， ∵， ∴ 预算施工费用够用． 32．（25-26七年级下·吉林长春·期中）某工厂计划加工一批零件，甲车间单独加工需要10天完成，乙车间单独加工需要15天完成．若两车间先合作加工3天，再由甲车间完成剩余部分，还需要多少天才能加工完这批零件？ 【答案】天 【分析】设还需要x天才能加工完这批零件，根据题意列出一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】解：设还需要x天才能加工完这批零件， 根据题意，得 解得 答：还需要5天才能加工完这批零件． 33．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【答案】(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可； （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． ◆题型12 销售盈亏问题 34．（25-26七年级下·浙江宁波·开学考试）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下： (1)降价前每件衬衫的利润率为多少？ (2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 【答案】(1)降价前每件衬衫的利润率为 (2)每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标 【分析】（1）根据利润率公式列式计算即可； （2）设每件衬衫降价元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标，根据销售收入进货成本利润，建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ， 答：降价前每件衬衫的利润率为． （2）解：设每件衬衫降价元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标， 由题意得：， 解得， 答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标． 35．（25-26七年级下·河南南阳·期末）某企业生产一种产品，每件的成本为400元，销售价为510元，第一季度销售了件．为了进一步扩大市场，该企业决定在降低生产成本的同时降低销售价．经过市场调研，预测第二季度这种产品每件销售价降低，销售量将提高． (1)填空：第二季度这种产品每件销售价为 元，销售量为 件（用含的代数式表示）； (2)在保持总销售利润（总销售利润（销售价成本）销售量）不变的情况下，该产品每件的成本应降低多少元？ 【答案】(1)， (2)该产品每件的成本应降低元 【分析】（1）用原销售价乘以即可得到第二季度每件销售价；用原销售量m乘以即可得到第二季度销售量； （2）设该产品每件的成本应降低x元，利用两个季度的总销售利润相等，建立关于x的方程，求解方程即可得到结果． 【详解】（1）解：第二季度这种产品每件销售价为元， 销售量为； （2）解：设该产品每件的成本应降低x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该产品每件的成本应降低元． 36．（25-26七年级下·山东烟台·期末）烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间．某水果店用元购进甲、乙两个品种大樱桃共150千克进行销售，这两个品种大樱桃每千克的进价、预售价如下表： 品种 进价（元千克） 预售价（元千克） 甲 12 20 乙 18 30 (1)求该水果店购进甲、乙两个品种大樱桃各多少千克？ (2)销售过程中，甲品种大樱桃按预售价全部售出；乙品种大樱桃按预售价售出一部分后，其余部分按八折全部售出，两个品种大樱桃共获利元．求乙品种大樱桃按预售价售出了多少千克？ 【答案】(1)购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； (2)乙品种大樱桃按预售价售出了50千克 【分析】（1）设购进甲品种大樱桃千克，根据总重量得到乙品种的购进重量，结合总进价列出一元一次方程，求解得到两种樱桃的购进重量； （2）设乙品种大樱桃按预售价售出了千克，分别计算甲和乙两部分的利润，根据总获利列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲品种大樱桃千克，则购进乙品种大樱桃千克． 解得， ∴购进乙品种大樱桃（千克）， 答：购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； （2）解：设乙品种大樱桃按预售价售出了千克，则按八折售出了千克， 由题意得，甲品种总利润为（元），乙品种打折后的售价为（元/千克） ∵总获利为1360元， ∴ 解得， 答：乙品种大樱桃按预售价售出了50千克． ◆题型13 方案选择问题 37．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 【答案】(1)在A票务中心购票实际付款更少， 理由：（元）， （元）， （元）， ， 所以在A票务中心购票实际付款更少； (2)这张飞机票原价是700元． 【分析】（1）机票原价为930元，A票务中心机票按原价打七五折销售，即，再加上每张票额外加收的手续费35元即可；B票务中心机票按原价优惠，免收任何手续费，即； （2）设飞机票原价是元，根据“两家票务中心购票实付款一样多”列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设飞机票原价是元， 根据题意，得， 解得， 答：这张飞机票原价是700元． 38．（24-25六年级下·山东烟台·期中）学校本学期开展“红色烟台”为主题的研学活动，组织200名学生参观磁山“红色革命纪念馆”和烟台山“人民纪念碑”，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600元，票价信息如下表： 地点 学生票价 磁山“红色革命纪念馆 20元/人 烟台山“人民纪念碑” 15元/人 (1)参观两个景点的学生各有多少名？ (2)若学生都去参观烟台山“人民纪念碑”，则能节省票款多少元？ 【答案】(1)参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有120名，参观烟台山“人民纪念碑”的学生有80名. (2)能节省票款600元. 【分析】（1）设参观其中一个景点的学生人数为，根据总人数表示出另一个景点的学生人数，再结合总票款列出一元一次方程，求解即可得到两个景点的参观人数； （2）计算出全部学生参观烟台山的总票款，用原总票款减去该费用，即可得到节省的票款． 【详解】（1）解：设参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有名，则参观烟台山“人民纪念碑”的学生有名， 根据题意列方程得： 解得：， （名） 答：参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有120名，参观烟台山“人民纪念碑”的学生有80名； （2）解：全部学生参观烟台山“人民纪念碑”的总票款为 （元）， 节省票款为（元）， 答：能节省票款600元． 39．（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． ◆题型14 几何问题 40．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）一个如图所示的长方形，恰好被分成6个正方形，已知最小正方形A的面积是1． (1)求正方形F的边长． (2)求长方形的面积． 【答案】(1)正方形F的边长为4 (2)长方形的面积为143 【分析】（1）设正方形F的边长为x，根据长方形对边相等结合图形可列出关于x的一元一次方程，求出x即可； （2）由（1）求出的正方形F的边长，可得正方形E，D，C，B的边长，把所有正方形的面积相加即可求解． 【详解】（1）解：∵最小正方形A的面积是1， ∴最小正方形A的边长是1， 设正方形F的边长为x，由图可得正方形E的边长为x，则正方形D的边长为，正方形C的边长为，正方形B的边长为， 由题意，得， 解得． ∴正方形F的边长为4． （2）解：由（1）知，正方形F和E的边长为4，正方形D的边长为5，正方形C的边长为6，正方形B的边长为7， ∴长方形的面积为， ∴长方形的面积为143． 41．（25-26七年级上·广西河池·期末）为响应国家“强化青少年体育锻炼，提升学生体质健康水平”的号召，教育部联合国家体育总局推行青少年体育锻炼提升行动，要求中小学生保证每天校内、校外各1小时体育活动时间，熟练掌握至少2项终身受益的体育技能．我县为给学生提供足够的运动场地，每个学校都修建了田径运动场．如图是某校田径运动场的平面图，中间长方形的长为a米，两端是半径为r米的两个半圆，每条跑道的宽为1.2米，共4个跑道．若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程，请解答下列问题： (1)第1跑道的周长为 米；第4跑道的周长为 米．（用含字母a，r的代数式表示） (2)若，且要求第1跑道总长度为200米．（取3） ①求r的值；（结果精确到个位） ②在①的条件下，在200米比赛中，若4条跑道上的同学并排在同一起跑线起跑，公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请计算出第2道的起跑线应在第1道起跑线前面多少米的位置？ ③在①的条件下，若操场中心（除跑道外）需铺设塑胶和人工草，单价为100元/平方米，则学校共需付多少铺设费用？ 【答案】(1)， (2)①；②不公平，第2道的起跑线应在第1道起跑线前面约9.2米的位置；③学校共需付256700元铺设费用 【分析】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，一元一次方程的应用； （1）根据第1跑道的总长度为直跑道加上半径为米的圆形跑道长即可；第4跑道的总长度为直跑道加上半径为米的圆形跑道长即可； （2）①由题意建立方程，再解方程即可；②计算第1跑道和第2跑道的总长度，即可得出起跑线应该提前的位置，③计算操场中心（除跑道外）的面积，再根据总价等于面积乘以单价即可求解. 【详解】（1）解：由题意可得：第1跑道的总长度为米； 第4跑道的总长度为米； （2）①当，时，依题意得，， 解得，， ②第1跑道的总长度为米；第2跑道的总长度为米； ∵（米）， ∴并排在同一起跑线起跑不公平，第2道的起跑线应在第1道起跑线前面约米的位置． ③（平方米）， （元）， 答：学校共需付256700元铺设费用． 42．（25-26七年级上·河南漯河·期末）【综合与实践】小明准备了一个长方体无盖容器和足够多的三种型号的钢球，他先往容器里注入一定量的水（如图），使水在容器内的高度为（水足以淹没所有的钢球，探究过程中钢球表面的水忽略不计），然后在容器中放入钢球．实验发现，每放入1个型号钢球，水面上升；每放入1个型号钢球，水面上升；每放入1个型号钢球，水面上升．在实验过程中，容器内只能同时放入两种型号的钢球． (1)【实验一】小明先放入型号钢球8个，又放入型号钢球若干个，此时容器内的水的高度正好为，求容器内型号钢球的个数； (2)【实验二】小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入B型号和其他型号的钢球共10个后，水面升高到，求此时容器内不同型号的钢球各有多少个？ 【答案】(1)容器内型号钢球的个数为11个． (2)此时容器内有型号钢球4个和型号钢球6个． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设容器内型号钢球的个数为x个，根据题意列出一元一次方程，求出解； 对于（2），分两种情况：①当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意列出方程求出解； ②当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意列出方程求出解． 【详解】（1）解：设容器内型号钢球的个数为x个，根据题意，得 ， 解得， 答：容器内型号钢球的个数为11个； （2）解：分两种情况：①当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）； ②当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意，得 ， 解得，则， 综上，此时容器内有型号钢球4个和型号钢球6个． ◆题型15 动点问题 43．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示，且A，B两点之间的距离为．数轴上A，B两点对应的数分别为，2，P为数轴上一动点，且表示的数为m． (1)【发现问题】A，B两点之间的距离是_____________； (2)【解决问题】 ①若，则_____________， ②若点P到、两点的距离比为，则点P表示的数为_____________． (3)【创新应用】现在点P从A点处出发以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时Q从点B处出发，以个单位长度/秒的速度向左运动，当点P与点Q之间的距离是2个单位长度时，直接写出点P表示的数． 【答案】(1) (2)①或②或 (3)或 【分析】（1）利用数轴上两点距离公式，代入两点对应的数，求出绝对值即可得到两点之间的距离； （2）①先利用数轴上两点距离公式得出，列出绝对值方程，分两种情况去掉绝对值符号求解即可；②由距离比列出含绝对值的比例等式，利用比例的基本性质化简，分两种情况去掉绝对值解方程得到结果； （3）设移动了秒时，点P与点Q之间的距离是2个单位长度，则点P、点Q对应的数分别为、；根据题意列出绝对值方程，解出，再回代即可求出点P表示的数． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：①由题意得， ， ， 或， 或； ②点P到、两点的距离比为， ， ， ， 或， 或； （3）解：设移动了秒时，点P与点Q之间的距离是2个单位长度， 由题意得， ， 化简得或， 解得或， ，， 点P表示的数为或． 44．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点运动到点时又立即以原速度向点运动，点不停地以原速度往返于点与点之间．当运动到秒时，动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1) (2) ①秒； ②秒或秒或秒或秒或秒 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）先得到点表示的数，再列式计算即可得到答案； （）①根据问题中的等量关系，正确列出方程，解方程即可； ②根据点与点间的距离为个单位长度，分四种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为， 点表示的数为：， 点运动到线段的中点时，它所表示的数是； （2）①根据题意得， 解得， 当点运动秒时，点追上点； ②点到所用的时间为：（秒）， 当时， 点在点的右侧，点与点之间的距离为个单位长度， 则， 解得：， 点在点的左侧，点与点之间的距离为个单位长度， 则， 解得：， 点从点往点所用时间为（秒）， 当时，， 解得：， （秒）， 当点运动（秒）时，点运动到点， 此时点运动到的点表示的数为， 当时， ， 解得或，均符合范围； 综上所述，点运动秒或秒或秒或秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 45．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）已知是数轴上三点，点表示的数为，． (1)点表示的数是___，点表示的数是______； (2)动点P、Q分别从同时出发，点P以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P的运动时间为秒． ①用含的代数式表示：点表示的数为______，点表示是数为_______； ②当时，点之间的距离为_______； ③当点之间的距离等于4个单位长度时，求的值． 【答案】(1)，； (2)①，；②7；③2或． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）①根据题意即可列出代数式；②先求出点表示的数，再由数轴上两点之间的距离公式求解即可；③分类讨论，根据数轴上两点之间的距离公式建立方程求解． 【详解】（1）解：∵点在点左边，点表示，， ∴点表示的数，； 又∵点在点右边，， ∴点表示的数为：； （2）解：①点向右运动，点向左运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， ②∵点表示的数为，点表示的数为， ∴当时，点表示的数为，点表示的数为， ∴点之间的距离为； ③∵点表示的数为，点表示的数为， 当点在点左边时，，解得2 当点在点左边时，，解得 故的值为2或 ◆题型16 水电费问题 46．（25-26七年级上·福建福州·期末）某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过时，按2元/计算：月用水量超过时，其中的仍按2元/计算，超过部分按2.5元/计算．设某户家庭月用水量； (1)当时，水费为________元； 当时，水费为________元；（用含x的式子表示） (2) 月份 10月 11月 12月 用水量 15 22 a 小花家第四季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费125元，请你求出小花家12月份用水量a的值？ 【答案】(1)当时，水费为34元；当时，水费为元 (2)小花家12月份用水 【分析】（1）根据收费方式，求出水费，列出代数式即可； （2）根据题意和收费方式，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：当时，水费为元； 当时，水费元； （2）解：由题意得，小花家10月份，11月份共交水费（元）， 则12月份水费为（元） ， ∴， ∴小花家12月份的用水量为，超过20吨的部分为， ， 解得：． 答：小花家12月份用水量为． 47．（25-26七年级下·河南周口·期中）为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 【答案】(1)3 (2)39 (3)该户居民2月份的用水量为． 【分析】（1）根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）根据分段计算即可； （3）先判断得出用水量超过，进入第三阶梯，设该户居民2月份的用水量为，由三段缴水费和为56元即可列方程求解． 【详解】（1）解：（元）； （2）解：用水量属于第二阶梯(大于且小于或等于)，需分段计算： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 总水费：元； （3）解：第一阶梯水费：元， 第二阶梯水费：元， 前两阶梯总水费：元， 因为，所以用水量超过，进入第三阶梯， 设该户居民2月份的用水量为， 根据题意，得， 解得． 答：该户居民2月份的用水量为． 48．（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表．（注：水费按月结算） 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出，不超出的部分 3元 超出的部分 4元 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费______元； (2)若某户居民3月份用水立方米，则该户居民3月份应缴纳水费多少元（用含的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），合计缴纳水费34元，求该户居民5月份用水多少？ 【答案】(1) (2)元 (3) 【分析】由题中价目表，分段讨论求解即可． 【详解】（1）解：由价目表可知，当时，则应缴纳水费元； （2）解：由价目表可知，当用水立方米时，则应缴纳水费元； （3）解：设该户居民5月份用水，则4月份用水， 5月份用水量多于4月份， ，即 则由价目表可知，分三种情况： ①5月份用水超出且不超出，4月份用水不超出，则 ， 解得； ②5月份用水超出且不超出，4月份用水超出且不超出，则 ， 方程无解，不符合题意； ③5月份用水超出，4月份用水不超出，则 ， 解得，与条件矛盾，不符合题意； 综上所述，该户居民5月份用水． ◆题型17 行程问题 49．（25-26七年级下·重庆·开学考试）小新周末去爬山，路程由一段坡路和一段平路组成．去时，上坡路段用了0.8小时，平路用了0.3小时；原路返回时，平路速度保持不变，下坡速度比上坡速度快1.5千米/小时，下坡路段用了0.5小时．已知往返的总路程为6.4千米． (1)求小新上坡时的平均速度； (2)小新在平路路段的平均速度是多少？ 【答案】(1) 小新上坡时的平均速度为2.5千米/小时 (2) 小新在平路路段的平均速度为4千米/小时 【分析】（1）设小新上坡时的平均速度为千米/小时，则下坡速度为千米/小时，根据上坡和下坡的路程相等建立方程求解即可； （2）求出坡路的长度，进而求出平路的长度，再根据速度等于路程除以时间可得答案． 【详解】（1）解：设小新上坡时的平均速度为千米/小时，则下坡速度为千米/小时， 由题意得， 解得， 答：小新上坡时的平均速度为千米/小时； （2）解：千米， 千米， 千米/小时， 答：小新在平路路段的平均速度是4千米/小时． 50．（26-27七年级上·全国·开学考试）【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先送乙到车站，再原路返回接同时出发正在步行的甲，最后送甲到车站，三段行程时间相加即可； （2）先送乙后将其放下，再返程与步行的甲相遇，最后载甲到车站，根据摩托车总行驶时间列方程求解． 【详解】（1）解：叶老师送乙到车站的时间为，此时甲步行的路程为， 叶老师和甲的距离为 ， 叶老师返回接甲，相向而行，相遇时间为， 相遇后叶老师送甲到车站的时间与相等，即， 总时间． （2）解：叶老师送乙小时，行驶路程为，此时甲步行路程为， 叶老师与甲的距离为， 叶老师返回与甲相遇的时间为，相遇时甲一共步行的路程为 ，剩余到车站的路程为， 叶老师送甲到车站的时间为， 根据摩托车总行驶时间列方程得，解得． 51．（25-26六年级下·山东烟台·期中）在环形跑道上赛跑时，我们常说“套圈”这个词，它的意思是：两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，快者每追上慢者一次，就说明快者比慢者多跑一整圈（即环形跑道的周长）． 请根据上述说明，解决以下问题： (1)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，出发200秒后，甲第一次追上乙，求乙的速度； (2)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、不同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，甲第40秒第一次追上乙，第240秒第二次追上乙，求出发时两人相距多少米？ 【答案】(1)乙的速度为4米/秒． (2)出发时两人相距80米 【分析】（1）设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒，根据甲追上乙时，甲比乙多走400米建立方程求解即可； （2）设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒，根据从第一次相遇开始到第二次相遇甲比乙多走400米建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 根据题意，得， 解得， 答：乙的速度为4米/秒； （2）解：设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 根据题意，得， 解得， 所以 所以甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒， （米） 答：出发时两人相距80米． ◆题型18 日历问题 52．（26-27七年级·全国·小升初衔接）下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： (1)请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； (2)圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能，理由如下： 设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为， 则由题意得， 解得， 则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130． 【分析】（1）设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为，根据“五个数的和为115”建立方程求解，即可画图； （2）同（1）列方程求解即可． 【详解】（1）解：设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为， 则由题意得， 画图如下见答案； （2）略 53．（2026·宁夏银川·一模）下图是2026年1月的月历表．在月历表上，可以用一个正方形框任意圈出相邻的4个数（例如：2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为_____．（用含的代数式表示） (2)小丽计算得到圈出的4个数之和为45．小丽算对了吗？说明理由． (3)对于任意一组这样圈出的四个数，一定能整除它们之和的最大整数是_____． 【答案】(1) (2) 小丽算错了，理由如下： 设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为， ∵圈出的4个数之和为45， ∴， 解得：， 根据题意得：x为整数， ∴不符合题意， ∴小丽算错了； (3)4 【分析】（1）根据月历表的特点列式即可． （2）设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为，根据题意列出方程，解方程即可得到答案． （3）设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为，进一步求和，结合分配律即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为． （2）略 （3）解：设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为， ∴， ∴对于任意一组这样圈出的四个数，一定能整除它们之和的最大整数是． 54．（25-26九年级下·安徽六安·阶段检测）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题：探究月历与幻方的奥秘 (1)活动一 ：图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． ①移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是 ，b是 ②移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是 ，d是 ； （注：用含n的代数式表示c和d．） (2)活动二：移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律： 每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等； ①若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是 ； ②若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是 （用含n的代数式表示g）． 【答案】(1)①5；11；②； (2)①11；② 【分析】（1）①②观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列式求解即可； （2）①根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可；②先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：①由图可知：； ②由图可知：； （2）解：①由题意得，， ∴； ②∵最小的数为， ∴其他8个数分别为， ∴， 解得． ◆题型19 古代问题 55．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 【答案】尺 【分析】设木头长x尺，根据“不同测量方法中绳长不变”列方程求解即可． 【详解】解：设木头长x尺， 根据题意，得， 解得， 答：木头长尺． 56．（25-26七年级上·山东济南·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 【答案】 共有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题的关键是抓住“鸡的价钱不变”这一等量关系，通过两种不同的出钱方式列出方程． 设人数为未知数，根据“每人出9钱多11钱”和“每人出6钱少16钱”分别表示鸡价，令两式相等列方程求解；再将人数代入表达式求出鸡价． 【详解】解：设共有人共同出钱买鸡．， ， ， ． 鸡的价钱为：． 答：有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱． 57．（25-26七年级上·山西晋中·期末）《九章算术》“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数，鸡价各几何？” 题目大意：几个人合伙买鸡，若每人出9钱，则会多出钱；若每人出6钱，则还少了钱．合伙人数、鸡价各是多少？ 以下是智慧小组的部分分析过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 先寻找问题中涉及到的量和等量关系，然后设未知数，设合伙人数为人，再表示其他未知量，根据等量关系：________，列出方程． 发现两次的合伙人数是不变的，所以可以设鸡价为y钱，列出方程________． 任务： (1)请你将上述分析过程的空白补充完整； (2)选择其中一种方法解决以上“盈不足”问题． 【答案】(1)鸡价相等； (2)合伙人数为9人，鸡价为钱 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握相关量之间的等量关系是解题的关键． （1）根据和表示的含义，即可求解；根据鸡的价格为y钱，用含有y的式子将两次的人数分别表示出来，即可求解； （2）根据（1）中的方程，解方程，求出人数和鸡价，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知和都表示的是鸡的价格， 等量关系为鸡价相等， 根据鸡的价格为y钱，根据题意可得． （2）解：方法一，， 解得， ， 故合伙人数为9人，鸡价为钱； 方法二，， 解这个方程，得， ， 故合伙人数为9人，鸡价为钱． 答：合伙人数为9人，鸡价为钱． ◆题型1 等式的性质综合 58．（2026·江苏南京·二模）实数a，b，c满足，且．下列结论：①；②a与b异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】③④ 【分析】先根据变形得到，结合绝对值性质和等式性质判断③④，再根据已知绝对值的大小关系判断，的符号关系，分类讨论的符号判断①②，即可得到正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故④正确； 且， ∵， ∴等式两边同时除以，得， 整理得，故③正确． ∵， 假设，异号，则， ∵， ∴， ∴，这与已知条件矛盾， 故假设不成立，，必为同号，故②错误． 又因为， 所以的符号与，的符号相反， 分两种情况讨论： 当时，，，此时； 当时，，，此时， 因此不一定成立，故①错误． 综上，正确结论的序号是③④． 59．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知，则代数式的值为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，整体代入求值，解题的关键是掌握等式的基本性质． 通过对已知等式进行变形，求出的值，再整体代入所求代数式进行计算． 【详解】解：已知， 移项得， 根据等式的性质，两边同时除以， 得， 将代入， 得， 故答案为：5． 60．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，等式的性质：性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．需根据等式的两条基本性质对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：A、由两边除以，得，A选项变形正确，不符合题意； B、，即，由两边乘，得，B选项变形正确，不符合题意； C、由两边减6，得，C选项变形正确，不符合题意； D、当时，成立，但此时，故由直接得出是错误的，D选项变形错误，符合题意． 故选：D． ◆题型2 解复杂的一元一次方程 61．（25-26七年级上·河南·期末）方程的解是（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，先将所求式子进行变形，再根据解一元一次方程的解题方法计算即可得解，正确将所求式子进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：D． 62．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程．先把各项的分子都化成，逆用乘法分配律，得到，据此求解即可． 【详解】解：整理得， 整理得， 整理得， ∵， ∴， 解得． 63．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程（三）——去分母，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过观察方程的结构，发现若每个分数的值均为4，即各个分子都为分母的4倍，则其和为12，从而使方程成立，由此解出x的值． 【详解】解：，，， 、、都依次增加4， ，，都依次增加4， 由，解得：， 此时， 将代入， 得， 此时， 将代入， 得， 此时， 所以是方程的根， 故答案为：． ◆题型3 已知一元一次方程的解求参数综合 64．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若关于x的方程的解均为正整数，则整数a的值是 ___． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，正确计算是解题的关键．分别求解两个方程，得到第一个方程的解为，第二个方程的解为，要求两者均为正整数，从而确定整数的值． 【详解】解：解方程，， 方程化为， 两边减去得， 两边乘以得， 两边乘以 得，即， 所以（）； 解方程，， 方程变为， 两边乘以得， 去括号得， 移项得，即， 所以 （）． ∵两个方程的解均为正整数， ∴和都为正整数． ∴为正整数，且是的正因数，即； 同时是的正因数，即或，但， 所以，故， 解得 ． 验证当时，第一个方程的解为，第二个方程的解为，均为正整数，满足条件． 故答案为 2． 65．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的3没有乘以6由此得到方程的解为． (1)试求的值； (2)求原方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解含分母的一元一次方程，熟练掌握解含分母的一元一次方程的步骤，是解题的关键． （1）按小明错误的解法去分母后，再把代入去分母后的方程中，即可求得a的值； （2）把（1）中求出的a的值代入方程中，解方程即可． 【详解】（1）解：（1）按方程左边的3没有乘以6， 去分母，得， 去括号，得, 移项、合并同类项，得， 把代入，得， 解得． （2）把代入原方程，得． 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 66．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据一元一次方程的解求参数． 将代入方程，化简后得到关于k的等式，由等式对任意k成立，可得k的系数和常数项均为零，从而求出m和n的值，再计算． 【详解】解：∵总是的解， 代入方程：， 化简得， 两边同乘6得：， 即， 移项得：， 即， ∵该式对任意k成立， ∴， 解得， ∴． 故选：A． ◆题型4 绝对值方程计算综合 67．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1），（2），（3）． 例：解绝对值方程： 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为和． (1)问题（1）：依例题的解法，方程的解是__________． (2)问题（2）：尝试解绝对值方程：． (3)问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查解绝对值方程，理解题干中解绝对值方程的方法是解题的关键． （1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （3）分为三种情况：①当时，②当时，③当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）①当时，原方程可化为，解得, ②当时，原方程可化为，解得， 方程的解是或， 故答案为：或； （2）①当时，原方程可化为，解得, ②当时，原方程可化为，它的解是， 方程的解为或； （3）①当时，， 原方程可化为，解得； ②当时，， 原方程可化为 ，化简得 ，该等式不成立，故方程在此范围内无解 ③当时，， 原方程可化为，解得； 综上，方程：的解为或． 68．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程“和解方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． (3)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． 【答案】(1)②④ (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解“和解方程”的定义是解题的关键． （1）先求出对应方程的解，再根据“和解方程”的定义判断即可； （2）先求出对应方程的解，再根据“和解方程”的定义得到关于a的方程，解方程即可得到答案； （3）分和两种情况，分别解原方程求出原方程的解，再根据“和解方程”的定义得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程得， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 解方程得， ∵， ∴方程是“和解方程”； 解方程得， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 解方程得， ∵， ∴方程是“和解方程”； （2）解：解方程得， ∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得； （3）解：当，即时， ∵， ∴， 解得， ∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得； 当，即时， ∵， ∴， 解得， ∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得； 综上所述，或． 69．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程： 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值方程，根据绝对值的定义从最外层绝对值开始，逐步根据绝对值的定义去掉绝对值符号，分情况讨论并排除无解的情况，最终求解的值. 【详解】解： ， ， 或， ∴或（不合题意，舍去）， 则， 或， 或（不合题意，舍去）， 或． ◆题型5 一元一次方程应用综合——配套问题 70．（25-26七年级上·辽宁营口·期末）在数学综合实践活动课中，同学们准备用某种规格的长方形彩纸制作几何体．经讨论，形成了如下制作方案： 请你根据制作方案，完成下面的问题： 几何体制作方案 步骤1裁剪长方形彩纸：一张长方形彩纸可按图1方式裁为2块小长方形纸片，或按图2方式裁为3块小正方形纸片． 步骤2制作“三角插”和“圆部式”基本单元：图1中裁出的一块小长方形纸片可折成一个“三角插”基本单元，图2中裁出的一块小正方形纸片可折成一个“圆部式”基本单元． 步骤3制作几何体：40个“三角插”基本单元和10个“圆部式”基本单元，可做成一个几何体． 若有210张长方形彩纸全部用来制作几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作“三角插”和“圆部式”基本单元，才能制作尽可能多的几何体？最多能制作多少个几何体？ 【答案】用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式”，最多能制作9个几何体． 【分析】本题考查了列一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 根据题意在不浪费纸张的前提下，设210张长方形彩纸中，有x张按图1剪裁，则共能制作个“三角插”，有张按图2剪裁，则共能制作个“圆部式”，列出一元一次方程即可求出结果． 【详解】解：设210张长方形彩纸中，有x张按图1剪裁，则共能制作个“三角插”，有张按图2剪裁，则共能制作个“圆部式”，根据题意得： ， 解得， 当时， 即用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式”，最多能制作9个几何体． 71．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． (1)按照这样的生产方式，该车间每天有多少人生产A型部件？ (2)春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 【答案】(1)按照这样的生产方式，该车间每天有24人生产A型部件 (2)补充新工人后每天能配套生产32套该产品 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，利用已知条件设出未知数和列出正确的方程是解题的关键． （1）根据已知条件列出x人生产A型部件，则有人生产B型部件，再利用已知条件列出方程即可求解； （2）根据已知条件列出安排y个老员工生产A型部件，则安排个老员工生产B型部件，再根据已知条件列出方程，注意引入的新工人只能独立进行B型部件的加工，再解方程即可求解． 【详解】（1）解：设有x人生产A型部件，则有人生产B型部件， 根据题意：得， 解得：， 答：按照这样的生产方式，该车间每天有24人生产A型部件； （2）解：设安排y个老员工生产A型部件，则安排个老员工生产B型部件， 根据题意：得， 解得：， ∴（套）， 答：补充新工人后每天能配套生产32套该产品． 72．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）小敏和小强假期到某工厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有14张白板纸，最多可做几个包装盒？（列一元一次方程解答） (2)现有27张白板纸，最多可做几个包装盒？ 为了解决问题（2），小敏和小强分别设计了自己的解决方案． 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 小强：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖；余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 【答案】(1)12个 (2) 解：小敏方案不行，设x张做盒身， 根据题意，得， 解得，不符合题意； 小强的方案可行，设余下的白板纸y张做盒身， 根据题意，得， 解得， 所以， 所以最多可做23个包装盒． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确寻找等量关系是解本题的关键． （1）设张白板纸做盒身，则有张做盒盖，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果： （2）对于小敏，设张做盒身，根据题意列出方程，求出方程的解得到的 值；对于小强，设余下的白板纸张 做盒身，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，检验即可； 【详解】（1）解：设x张白板纸做盒身，则有张做盒盖， 根据题意，得， 解得， 所以． 答：最多可做12个包装盒． （2）略 ◆题型6 一元一次方程应用综合——销售问题 73．（25-26七年级上·福建福州·期末）一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件的部分 元/件 超过100件不超过300件的部分 元/件 超过300件的部分 元/件 (1)小明买这种商品花了590元，列方程求购买这种商品多少件？ (2)若小明花了n元（），恰好购买件这种商品，求n的值． 【答案】(1)购买这种商品250件 (2)的值为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．判断购买商品所在的档，并能根据不同的档计算花费是解决本题的关键． （1）先判断购买件数的范围，在根据所在档计算花费； （2）根据：购买件商品的花费，列出关于n的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设购买这种商品x件， 购买100件的费用为（元），购买300件的费用为（元）， ∵， ∴， 根据题意，， 解得， 答：购买这种商品250件； （2）解：当时， 根据题意，得 解得：（不合题意，舍去）， 当时， 根据题意，得 解得：． 答：n的值为1000． 74．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）某杭帮菜品牌店为了吸引顾客，特推出两种优惠方式（不能同时使用）： 方案 优惠内容 方案A：购代金券 购买“90代100”（实付90元获得100元代金券），消费每满100元可使用1张代金券，单桌最多使用3张． 方案B：会员打折 花9.9元购买会员卡，付款时可享受所有菜品、酒水8.5折优惠． 小明第一次到该店消费，请根据以上方案，解决下列问题： (1)若小明在该店消费160元，用方案A购买了一张代金券，求实际付款多少元？ (2)若小明用方案B实际付款210.5元（含会员卡费用），优惠前消费金额为多少元？ (3)若消费金额超过200元，小明发现用方案A比方案B实付金额贵了13元，优惠前消费金额为多少元？（结果精确到个位） 【答案】(1)150元 (2)236元 (3)286元或353元 【分析】（1）1张100元代金券，购买代金券花费90元 ，求出剩余需支付的现金，再加上购买代金券的费用，则可得实际付款总额． （2）设优惠前消费金额为x元 ，根据方案B的优惠方式列方程求出x的值即可． （3）设优惠前消费金额为x元 分两种情况讨论：①当时，可得方程；②当时，可得方程：．求出x的值即可． 本题考查一元一次方程的应用，理解题目中的两个方案的优惠方式是解题关键． 【详解】（1）解：消费160元可使用1张100元代金券，购买代金券花费90元 ， 剩余需支付的现金为：（元）， ∴实际付款总额为：（元）， 答：实际付款150元． （2）解： 设优惠前消费金额为x元 ，方案B中，根据题意得 ， ， 解得． 答：优惠前消费金额为236元． （3）解： 设优惠前消费金额为x元，分两种情况讨论： ①当时 方案A实际付款为： ， 方案B实际付款为： ， 根据题意列方程： ， 解得， 286在范围内，符合条件； ②当时 ， 方案A实际付款为： ， 方案B实际付款为：， 根据题意列方程：， 解得， ，符合条件． 答：优惠前消费金额为286元或353元． 75．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）无锡素有“江南果蔬之乡”的美誉，阳山水蜜桃与马山杨梅享誉全国（均为国家地理标志产品）．某精品水果在依托本地供应链优势，开展助农惠民活动．该店用12800元购进水蜜桃和杨梅共1000斤．以下是该店近期经营数据及促销政策： 产品 进价（元／斤） 售价（元／斤） 阳山水蜜桃 12 18 马山杨梅 14 20 (1)该水果店购进水蜜桃和杨梅各多少斤？ (2)因物流环节存在自然损耗．水蜜桃损耗率为，杨梅损耗率为．损坏的不能销售．已知全部售出的总利润为4980元，求的值．（总利润总收入总成本） (3)若在（2）的损耗率下，该水果店第二次进货时，农户给出了如下优惠方案： “水蜜桃”优惠方案 一次性购买数量 不超过100斤 超过100斤的部分 价格 原价 八折 “杨梅”优惠方案 商品总额 补贴方式 不超过3000元 无补贴 超过3000元，不超过5000元 直减200元 超过5000元 先享总价抵扣，再减200元 已知购进阳山水蜜桃支付3312元，马山杨梅支付5386元，则水蜜桃购进________斤；将第二次购进的两种水果全部卖完，一共可获得利润多少元？ 【答案】(1)该水果店购进水蜜桃斤，则购进杨梅斤 (2) (3)320，一共可获得利润元． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设该水果店购进水蜜桃斤，根据该店用12800元购进水蜜桃和杨梅共1000斤，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于两种水果的总售价之和减去总进价，列出方程进行求解即可； （3）设水蜜桃购进斤，根据优惠方法列出方程进行求解，设杨梅购进斤，根据优惠方法列出方程进行求解，再根据总利润等于两种水果的总售价之和减去总进价，列出算式计算即可． 【详解】（1）解：设该水果店购进水蜜桃斤，则购进杨梅斤，由题意，得： ， 解得； ； 答：该水果店购进水蜜桃斤，则购进杨梅斤； （2）解：由题意，得：， 解得； （3）解：设水蜜桃购进斤， 由题意，得：， 解得； 故答案为：320； 设杨梅购进斤，则， 解得， （元）； 答：一共可获得利润元． ◆题型7 一元一次方程应用综合——方案问题 76．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）学校举行迎新活动，需要购买中国结，已知A型中国结的单价比B型中国结的单价多9元，购买15个A型中国结与20个B型中国结所花费用相等． (1)问A、B型两种中国结的单价分别是多少元？ (2)由于活动方案改变，还需购买单价为20元/个的C型中国结，若三种中国结都要买，在总经费不变且用完的情况下，需要减少A，B型两种中国结的购买数量，其中B型中国结的减少数量是A型中国结减少数量的2倍．设A型中国结减少m个． ①求B型、C型中国结分别购买多少个？（用含m的代数式表示） ②如何购买可以买到中国结的总数量最多，请给出购买方案． 【答案】(1)A单价为36元/个，B单价为27元/个 (2)①B种中国结购买个；C种中国结购买个；②购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式的表示及方案选择问题． （1）设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个，根据A、B种中国结费用相同列方程求单价即可； （2）①先计算出总费用，根据A种中国结数量得到B种中国结和C种中国结购买数量表达式； ②由①计算中国结总数，再由三种中国结的个数都是正整数得到m的取值，当时，总数达到最多，为47个，从而得到A、B、C种中国结购买数量． 【详解】（1）解：设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个， 则根据题意可得， 解得， ∴A单价为36元/个，B单价为27元/个． （2）解：①∵原计划购买15个A型中国结和20个B型中国结，现计划用这笔总经费购买三种中国结， ∴原计划总费用为（元）， ∵A种中国结减少m个，则B种中国结减少个， ∴B种中国结购买个， C种中国结购买数量为： ； ②中国结总数， 三种中国结的个数都是正整数， ， 故当时，总数达到最多，为47个， 购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个． 77．（25-26七年级上·福建厦门·期末）某市的城乡居民医疗保险实行门诊费用分段累计报销制度，各级医院的报销比例如表所示．为有效引导居民合理选择医院进行诊疗，该市推行分级诊疗政策：由一级医院转诊至更高级别的三级医院后，在三级医院产生的诊疗费用执行基准报销比例． 全年门诊累计费用（单位：元） 三级医院报销比例 一级医院报销比例 基准报销比例 0~500 不报销 不报销 不报销 500~3000的部分 3000~100000的部分 超过100000的部分 不报销 不报销 不报销 说明：①全年门诊累计费用指自然年度内在本市所有参保的医院门诊诊疗的总费用； ②相同疾病在不同级别医院产生的诊疗费用相同． (1)王先生本年度第一次在参保医院门诊进行诊疗， ①若在三级医院诊疗产生1300元的费用，求王先生实际支付的诊疗费用； ②若在三级医院诊疗的实际支付费用比在一级医院诊疗的实际支付费用多400元，求王先生本次诊疗产生的费用； (2)本市某位患者本年度门诊累计费用为元（的范围是），目前因患病需到三级医院门诊就诊，预计本次诊疗费用为元，全年门诊累计费用不超过100000元，现有两种方案： 方案一：直接到三级医院就诊； 方案二：先到一级医院办理转诊（需支付挂号、检查等费用200元，该费用计入全年门诊累计费用，并执行一级医院报销比例），然后转诊至三级医院就诊． 根据以上信息，用含和的式子分别表示两种方案的实际支付费用，并直接判断哪种方案实际支付的费用更少． 【答案】(1)①王先生实际支付900元；②本次诊疗费用为2500元； (2) 方案一：累计费用，本次费用的自付部分， 当时，； 当时，； 当时，； 方案二：累计总费用， 当时，； 若，； 若，； 若，； 当时，； 若，； 若，； 当时， 若，则（方案一省钱）； 若，则； 若，则（方案二省钱）； 当时， 若，则（方案一省钱）； ，则； 若，则（方案二省钱）． 【分析】本题考查的是列代数式和一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）①先判断1300元属于500～3000元区间，按三级医院报销比例，计算自付费用； ②设诊疗费为x元，分别列出三级、一级医院自付费用表达式，根据费用差列方程求解； （2）分别计算两方案自付费用，通过作差比较大小，判断即可． 【详解】（1）解：①1300元属于500～3000元区间，三级医院报销比例为， 自付费用（元）， 答：王先生实际支付900元； ②设本次诊疗费用为x元， 三级医院自付：， 一级医院自付：， 根据题意：， 解得， 答：本次诊疗费用为2500元； （2）解：已知的范围是，全年累计， 方案一（直接三级医院）： 累计费用，本次费用的自付部分， 当时，全部不报销，， 当时，中不报销，其余报销， ∴， 当时，中不报销，段报销， 超过部分报销， ∴， 方案二：先到一级医院转诊，先支付200元(一级医院，计入累计，按一级医院比例)，再转诊至三级医院支付b元(按基准比例)，累计总费用，需分和讨论． 当时，； 若，即，则200元和b均不报销，． 若，即， 则200元不报，b中元不报，其余元按基准报销(自付)， ． 若，即，则200元不报，b中段2500元自 ，超过3000部分自付， ． 当时，； 若，即，则200元中元不报，其余元按一级医院报销(自付)，故；b全部在0段，自付，故 ． 若，即， 则同上，b中元自付，超过部分自付， ， 当时，在区间内，，，令相等解得， 若，则（方案一省钱）； 若，则； 若，则（方案二省钱）； 当时，在区间内，，， 令相等解得， 若，则（方案一省钱）； 若，则； 若，则（方案二省钱）． 78．（25-26七年级上·浙江台州·期末）综合与实践 停车场的收费方案选择问题 素材一 小张开车去公司上班，公司附近有一个停车场提供了两种收费方案． 方案一：不购买月卡时，每天停车6小时内（含6小时），收费4元，超过6小时的部分每小时收费元（不足1小时按1小时计算）． 方案二：购买99元月卡后，每天停车5小时内（含5小时）免费，超过5小时的部分每小时收费1元（不足1小时按1小时计算）． 素材二 小张平均每月上班22天，每天停车时间相同． 解决问题 问题1 若小张上班期间每天停车8小时，则她选择方案一时平均每月的费用为__________元；选择方案二时平均每月的费用为__________元． 问题2 若小张上班期间每天停车小时（为正整数），她应选择哪种方案，使平均每月的费用更省钱？请说明理由． 问题3 已知方案二的月卡价格调整为元（为整数，且）． ①若小张上班期间每天停车小时，要使两种方案平均每月费用相同，求的值； ②若小张上班期间每天停车时间在小时之间，且方案一平均每月费用比方案二的倍少63元，求的值． 【答案】问题1：154；165；问题2：当正整数时，选择方案一更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，选择方案二更省钱； 问题3：①88；②m的值为62． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意列方程求解． 问题1：按两种方案的分段规则，分别算出单日费用，再乘22天得到月费； 问题2：按停车时长分区间，分别列费用表达式，通过比较和等式求分界点来判断； 问题3：①按小时计为8小时，列等式求m；②对小时按整小时算，代入关系式求整数m． 【详解】解：问题1：方案一：每天费用：元， 每月费用：元； 方案二：每天额外费用：元， 每月费用：元， 所以，方案一每月费用为154元，方案二每月费用为165元， 故答案为：154；165； 问题2：设每天停车t小时（t为正整数）， 分情况讨论：①当时， 方案一：每天4元，每月元， 方案二：每月费用元，因为，所以选方案一； ②当时， 方案一：每天4元，每月88元， 方案二：每月费用：，因为，所以选方案一； 当时，方案一每月费用：， 方案二每月费用：， 令， 解得； 当时，， 选方案一； 当时，费用相同，两者均可； 当时，，选方案二； 问题3：①方案一每月费用：元， 方案二每月费用：， 令两者相等：， 解得， 所以，m的值为88； ②方案一每月费用：若时，元， 若时，元， 方案二每月费用：若时：， 若时，， 根据题意：方案一费用方案二费用， 即当时：， 解得， 当时：， 解得， 所以，m的值为62． ◆题型8 一元一次方程应用综合——动点问题 79．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在数轴上点O是数轴原点，A到O的距离为10，B到O的距离为6． (1)点A表示的数为________，点B表示的数为________，A，B两点之间的距离为________． (2)点C是数轴上一点，且满足点A与点C之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则点C在数轴上表示的数为________． (3)在点B处有两只电子蚂蚁P、Q，蚂蚁P以每秒2个单位长度的速度向右移动，当蚂蚁P移动到O点时，蚂蚁Q才从B点出发，并以每秒4个单位长度的速度向右移动，设蚂蚁P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两只蚂蚁相距4个单位长度？ 【答案】(1)点A表示的数为10，点B表示的数为，A，B两点之间的距离为16 (2)C在数轴上表示的数为或 (3)当为秒、秒或秒时，P、Q相距4个单位长度 【分析】（1） 根据点在原点左右直接读出数值，用距离公式算AB长度； （2）设C表示数，由距离倍数关系列绝对值方程分三种情况求解； （3） 先求出到的时间，分（未出发）、（已出发）两段，写出P，Q对应数，根据距离为 4 列方程计算． 【详解】（1）解：∵ A在原点右侧，， 表示10； 在原点左侧，， 表示； ． ∴点A表示的数为10，点B表示的数为，A，B两点之间的距离为16． （2）解：设点表示的数为，由题意得 ． ① 当时：， ， ∴； ② 当时：， ， ， ∴； ③ 当时：， ， （舍去，不在此区间）． 故C在数轴上表示的数为或． （3）解：从到用时：秒，分两段讨论． 秒时，对应的数：． ① ，未出发，在： ， ， （）， ∴； ② ，出发时长为秒，对应数：， ， ， 或 ， 解得：或 综上，当为秒、秒或秒时，P、Q相距4个单位长度． 80．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图：长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，同时点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点在上运动时，______． (2)当点在上运动时，时，求线段的长． (3)当时，求出的值． (4)当点在上运动时，连接、，直接写出的面积是时，的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据题意，，则； （2）计算得，此时点与点重合，因此； （3）分类讨论，点在边上时，，，根据题意可列方程，解得或；当点在边上时，同样的方法计算出的值，并删去不符合题意的值即可； （4）先利用三角形面积计算出，再分类讨论，当点在点上方时，，可列方程，解得；当点在点下方时，，列方程，解得，舍去不符合题意的情况即可． 【详解】（1）解：∵长方形中，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，当点在上运动时， ∴， ∴； （2）解：∵长方形中，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，当点在上运动时，， ∴点的运动路程为，（秒）， ∵同时点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动， ∴， ∵， ∴点与点重合， ∴； （3）解：∵长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动， ∴点走完需要的时间为：（秒）；点走完需要的时间为： （秒）， ①当时，点在边上， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或（与题设矛盾，舍去）； ②当时，点在边上， ∴， 同理可得，，即， 解得或（与题设矛盾，舍去）； 综上所述，的值为或； （4）解：∵点在上运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当点在点上方时，如图， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当点在点下方时，如图， ∴， 同理，， 解得， ∵， ∴不符合题意； 综上所述，． 81．（25-26七年级下·吉林四平·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A出发，沿折线运动，到点D停止；点P以每秒的速度运动6秒，之后以每秒的速度运动，设点P运动的时间是x（秒），点P运动的路程为，的面积是． (1)点P共运动________秒； (2)当时，求y的值； (3)用含x的代数式表示y； (4)当的面积S是长方形面积的时，直接写出x的值． 【答案】(1)10 (2)8 (3)当时，；当时， (4)或 【分析】（1）根据路程，速度，时间的关系解决问题即可； （2）分前面6秒，后面1秒的路程分别求解； （3）分类讨论，当时和当时，路程与时间的关系； （4）当点在中点和中点时，，由此即可解答． 【详解】（1）解：点运动的路程为：， 点共运动的时间为:秒， （2）解：当时，； （3）解：当时，； 当时，． （4）解：当在的中点和中点时，， ， ①当， ， 解得； ②当在的中点时， 当时, ， 即， 将代入中， 即， 解得， ∴x的值或． ◆题型9 一元一次方程应用综合——行程问题 82．（25-26七年级下·云南昆明·期末）由于车辆前后轮胎的磨损并不一致，因此当车辆行驶一定里程之后，需进行前后轮胎换位．设轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶a公里，则每公里的磨损量为．某品牌的轮胎安装在某车前轮行驶6万公里报废，安装在后轮行驶4万公里报废，如果此车行驶若干公里后将前后轮胎进行一次换位，使得前后两对轮胎同时报废，那么此品牌的轮胎从安装到报废最多可以行驶（     ） A．4.5万公里 B．4.8万公里 C．5万公里 D．5.2万公里 【答案】B 【分析】利用一元一次方程求解，设总行驶路程为万公里，根据总磨损量为两个轮胎各，结合前后轮每公里磨损量，列方程求解即可． 【详解】解：设此品牌轮胎从安装到报废最多可行驶万公里， ∵ 前轮万公里报废，总磨损量为， ∴ 前轮每公里磨损量为； 同理，后轮万公里报废，可得后轮每公里磨损量为， ∵ 全程中前轮位置总行驶路程为万公里，后轮位置总行驶路程为万公里，两个轮胎同时报废时总磨损量为， ∴ 列方程得： 通分得： 整理得： 解得： 即最多可行驶万公里． 83．（2026·北京东城·二模）某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米/小时，师生步行的平均速度为4千米/小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”． （1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时________分钟（不考虑上、下车时间）； （2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为________分钟（不考虑上、下车时间）． 【答案】 【分析】（1）分别计算步行和乘车的时间，求和后换算单位即可得到结果； （2）总耗时最少时所有组同时到达，每组乘车路程和步行路程分别相等，结合巴士行驶总时间等于全体到达终点的总时间列方程求解，即可得到最少总耗时． 【详解】解：（1）（小时），（分钟）； （2）设每组乘车千米，则步行千米，全体到达终点的总时间为小时， 将人分为组，巴士送完一组需要空车返回接下一组，共空车返回次， ∵车速和步行速度比为， ∴每次空车返回路程为， 巴士行驶总路程为，行驶总时间也为， 因此， 联立等式得， 解得， 将代入得总时间（小时），（分钟）． 84．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． 【方案预设】 (1)预设方案：叶老师将乙送到车站后，回去接甲，再将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案：叶老师骑摩托车带着乙出发的同时甲步行出发．将乙送到车站后，回去接甲并将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (3)预设方案：叶老师骑摩托车行驶送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，与此同时，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先送乙到车站，再原路返回接原地未动的甲，最后送甲到车站，三段行程时间相加即可； （2）叶老师送乙到车站时甲同步步行，之后返程与甲相向而行后相遇，再载甲去车站，将送乙、返程相遇、送甲三段时间求和即可； （3）先送乙后将其放下，再返程与步行的甲相遇，最后载甲到车站，根据摩托车总行驶时间列方程求解． 【详解】（1）解：据题可知，叶老师将乙同学送到车站所需时间为， 叶老师送完乙同学后返回所需时间为， 叶老师再将甲同学送到车站所需时间为， 综上，叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间为． （2）解：据题可知，叶老师将乙同学送到车站所需时间为， 此时叶老师与甲同学之间的距离为， 则叶老师返程接甲所需时间为， 叶老师接到甲时，甲距离学校，距离车站， 故叶老师从相遇点将甲送到车站所需时间为， 综上，叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间为． （3）解：当叶老师将学生乙送到路上某一处时，叶老师与甲同学的距离为， 叶老师返回接甲所需的时间为， 甲同学在叶老师返程过程中又前进了， 此时甲同学距离车站， 则叶老师从相遇点送甲同学到车站的时间为， 由叶老师骑摩托车一共行驶， 可得， 解得． ◆题型10 一元一次方程的新定义问题 85．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“平衡方程”．例如：方程和为“平衡方程”． (1)若关于x的方程与方程是“平衡方程”，求m的值； (2)若“平衡方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“平衡方程”，利用整体思想，则关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】(1)6 (2)或 (3)2028 【分析】本题考查解一元一次方程的应用，新定义下的运算，绝对值，掌握知识点是解题的关键． （1）先分别求出两个方程的解，再根据“平衡方程”的定义，得到，求出m的值即可； （2）先求出另一个方程的解为，由“平衡方程”的两个解的差为6，得到，求出n的值即可； （3）先求出方程，得，推导出方程的解为，继而将方程，化为，得到，解得，即可解答． 【详解】（1）解：解，得 ， 解，得 ， ∵关于x的方程与方程是“平衡方程”， ∴， 解得． 答：m的值为6； （2）解：∵“平衡方程”的两个解的和为1，其中一个解为n， ∴另一个方程的解为， ∵“平衡方程”的两个解的差为6， ∴， 即， ∴或， 解得或． （3）解：解方程，得 ∵关于x的一元一次方程和是“平衡方程”， ∴方程的解满足： ， 方程，可变形为： ， 对比方程与变形后的方程，得 ， 即， 解得． 86．（25-26七年级上·广东中山·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“相反方程”．例如：方程的解为，的解为，其中2和互为相反数，我们就称方程和为“相反方程”． (1)请说明方程和是“相反方程”； (2)若关于x的方程和是“相反方程”，求m的值； (3)若关于y的方程的“相反方程”的解，也是关于y的方程的解，求n的值． 【答案】(1) 解：解方程，得， 解方程，得， ∵3与是相反数， ∴方程与是“相反方程”． (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的求解及对“相反方程”定义的理解． （1）分别求解两个方程，再判断它们的解是否互为相反数； （2）先求出第一个方程的解，根据“相反方程”的定义得到第二个方程的解，再将其代入第二个方程求出m的值； （3）先求出第一个方程的解，进而得到其“相反方程”的解，再将该解代入第二个方程求出n的值． 【详解】（1）略 （2）解：解方程，得． ∵关于x的方程和是“相反方程”， ∴是方程的解， 将代入，得， 解得． （3）解：解方程：，得， ∴的“相反方程”的解是， 将代入方程，得， 解得． 87．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整数”方程；如果有两个“整数”方程，其中一个方程的解是另一个方程的解的k倍（其中k为整数且），则称这两个方程有“整k倍”关系．例如一个“整数”方程的解是，另一个“整数”方程的解为，因为，所以方程与方程有“整倍”关系． 按此定义解答下列问题： (1)下列方程是“整数”方程的有______（请填序号）； ①；②；③． (2)已知关于x的方程与关于y的方程有“整3倍”关系，求a的值； (3)若关于x的方程与关于y的方程有“整k倍”关系，请直接写出整数m的值． 【答案】(1)②③ (2)或 (3)或3 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的解和解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据定义判断即可； （2）先求出的解，然后分两种情况求解即可； （3）先分别求出方程的解为，方程的解为，然后分两种情况，根据“整k倍”的定义求解即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ，故①不是“整数”方程； ②， ， ， ， ，故②是“整数”方程； ③， ， ， ， ，故③是“整数”方程． 故答案为：②③； （2）解：， ， ， ， ， ， “整数”方程与关于y的“整数”方程是“整3倍”关系， 或， 当时，； 当时，，解得； 当时，代入，得， 解得； 当时，代入，得， 解得． 综上所述，或． （3）解：或3． 方程的解为， 方程的解为， ①当时， 为整数，，且m为整数， ， 解得或， ∵， ， 此时与，符合“整数”方程的定义，且为非零整数，符合要求； ②当时， 为整数，，且m为整数， ， 解得或， ∵， ， 此时与，符合“整数”方程的定义，且为非零整数，符合要求； 综上所述，或3． 88．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】根据图形剪切前后周长的变化规律列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：由题意得，原正方形的周长为 ， 观察图形可知，剪掉两个小正方形后，图形的周长比原正方形的周长增加了4条长为的边， 图2中图形的周长为， 图2中图形的周长为18， ，解得 ． 89．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）若方程是关于x的一元一次方程，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义（只含一个未知数、未知数的次数为1且一次项系数不为0），列出关于m的条件求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，且， 由，得或, 又∵，即 ∴． 90．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山，距绿水．某天，一辆汽车匀速行驶，上午10：00途经王家庄，下午13：00途经青山，15：00途经绿水，王家庄距翠湖的路程有多远？设王家庄距翠湖，下列所列方程，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题目意思，根据题意正确列出方程求解是解题的关键．根据速度、时间和路程列方程求解即可． 【详解】解：设王家庄距翠湖，由题意，从王家庄到青山用时3小时，从青山到绿水用时2小时，速度， 根据速度相同，得，故选项A正确，不符合题意； 根据路程时间速度，得，故选项B正确，不符合题意； 根据路程时间速度，得，故选项C正确，不符合题意； 方程中的x为行程速度，是由王家庄到翠湖路程列方程，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 91．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）某同学在解关于x的方程去分母时，方程右边的没有乘以6，因而求得方程的解为，则a的值和方程的正确的解分别是多少？（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照该同学的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得，解得，再按照正确的解题过程求解即可得到答案． 【详解】解：该同学的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1，得：， ∵该同学解得， ∴， ∴； 正确解法如下：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1，得：， 故选：D． 92．（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）把一堆书分给几名学生，如果每人分到4本，那么多4本；如果每人分到5本，那么最后1名学生只分到3本．可以得到一共有___________本书． 【答案】 【分析】设一共有名学生，用含x的式子和表示总书本数，根据总书本数相等列出方程，求解即可． 【详解】解：设一共有名学生， 根据题意得，， 解得， ， 则一共有本书． 93．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据一元一次方程的解求参数，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 先解方程得到，由于两方程解互为相反数，故第一个方程的解为，代入第一个方程求解． 【详解】解：解方程，得； ∵ 两方程的解互为相反数， ∴ 方程的解为， 将代入方程，得， 即， 移项得， 即 ， 解得． 故答案为：1． 94．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）若关于x的一元一次方程 的解是，那么关于y的一元一次方程 的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解， 通过整体代换，将关于 的方程转化为关于 的方程，利用已知方程的解求解． 【详解】解：因为关于 的一元一次方程 的解为 ， 所以关于 的方程 ， 即，所以 ，解得 ． 故答案为：． 95．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．若关于x的方程与方程互为“成双方程”，m的值为________． 【答案】18 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2，分别求出两个方程的解，再列方程求解m． 【详解】解： ， ， ， ， ， ； ， ， ； 由题意，方程的解之和为2， 即， 整理，得， 移项，得， 解得 ； 故答案为：18． 96．（25-26七年级下·重庆万州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 97．（25-26六年级下·黑龙江大庆·期中）大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：．根据以上信息，回答下列问题： (1)点A、B在数轴上分别表示实数x和． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果，求x的值． (2)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)最小值是5，x的取值范围是 【分析】（1）①，即可得到答案； ②由题意可得：，即可得到答案； （2）代数式表示数轴上数x所对应的点到4和所对应的两点距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据分析，可得①； ②如果，则， 或， 解得或． （2）解：代数式表示数轴上数x所对应的点到4和所对应的两点距离之和， 当时，代数式的最小值是：， 即代数式的最小值是5，x的取值范围是． 98．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，理解“和一方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“和一方程”的定义，列出关于m的方程，即可求解； （2）根据“和一方程”的定义，可得另一个解为，再根据两个“和一方程”的解的差为7，列方程即可求解； （3）根据“和一方程”的定义，可得一元一次方程的解为，把方程变形为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 解得：， ∵方程与是“和一方程”， ∴， 解得：． （2）解：∵两个“和一方程”的一个解为，则另一个解为， ∵两个“和一方程”的解的差为7， ∴或， 解得：或． （3）解：，解得：， ∵一元一次方程和是“和一方程”， ∴一元一次方程的解为， ∵方程变形为， ∴方程的解，满足， ∴． 99．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某超市在“双11”期间推出优惠活动，优惠的具体方案如表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元的部分 不予优惠 超过200元但不超过400元的部分 给予9折优惠 超过400元的部分 给予8折优惠 (1)若小亮一次购买原价元的商品，他实际付款________元；若一次购买原价元的商品，他实际付款________元； (2)若小亮在该超市一次购物元，当超过元但不超过元时，他实际付款________元（用含的代数式表示，要求写化简后结果）； (3)如果小亮一次购物实际付款556元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 【答案】(1)； (2) (3)这次购买商品的原价是620元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意并分段计算是关键． （1）根据表格中的优惠方案直接计算即可； （2）根据优惠方案列出代数式即可； （3）先分析购买商品的原价的范围，结果超过400元．设商品原价为x元，根据题意列方程并求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，元中，不超过元的部分没有优惠，元的部分打九折， ∴原价元的商品实际付款元， 同理，原价元的商品实际付款元． 故答案为：；． （2）解：由题意可知，实际付款（元）． 故答案为：． （3）解：当原价为400元时，实际付款为（元）， ∵， ∴原价超过400元， 设商品的原价为x元， 根据题意，可列方程， 解得，， 答：他这次购买商品的原价是620元． 100．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在数轴上，点O为原点，点表示的数为，点表示的数为，且a，b满足． (1) ___________； ___________； (2)动点分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度． ①几秒时，点与点距离6个单位长度？ ②动点分别从点，点出发的同时，动点也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点与点之间的距离为，点与点Q之间的距离为，点O与点之间的距离为．设运动时间为秒，请问：是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此值和这个定值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)，6 (2)①8秒或20秒时，点P与点Q距离6个单位长度； ②存在，当n的值为4时，使得在运动过程中，的值是定值，定值为34. 【分析】本题考查一元一次方程的应用，涉及数轴上的动点问题，整式加减中的无关型问题； （1）由绝对值和平方的非负性可得答案； （2）设运动时间为t秒，P表示的数为，Q表示的数为， ①根据点P与点Q距离6个单位长度得，即可求解； ②R表示的数是，可表示出，，，即得，当时，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：； 故答案为：，6； （2）解：①运动时间为t秒，P表示的数为，Q表示的数为， ∵点P与点Q距离6个单位长度， ∴， 解得：或， ∴8秒或20秒时，点P与点Q距离6个单位长度； ②存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值， 由题意可知，R表示的数是， ∵， ∴，，，， ∴ ， 当，即时，的值为34， 即n的值为4时，的值是定值，定值为34； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一元一次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 等式的性质 题型2 判断是否是方程 题型3 列方程 题型4 方程的解及其求参 题型5 一元一次方程的定义及求参 题型6 解一元一次方程 题型7 已知一元一次方程的解求参数 题型8 一元一次方程解的关系 题型9 求绝对值方程 题型10 配套问题 题型11 工程问题 题型12 销售盈亏问题 题型13 方案选择问题 题型14 几何问题 题型15 动点问题 题型16 水电费问题 题型17 行程问题 题型18 日历问题 题型19 古代问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 等式的性质综合 题型2 解复杂的一元一次方程 题型3 已知一元一次方程的解求参数综合 题型4 绝对值方程计算综合 题型5 一元一次方程应用综合——配套问题 题型6 一元一次方程应用综合——销售问题 题型7 一元一次方程应用综合——方案问题 题型8 一元一次方程应用综合——动点问题 题型9 一元一次方程应用综合——行程问题 题型10 一元一次方程的新定义问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 等式的性质 1．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 3．（2026·山西太原·三模）下列变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ◆题型2 判断是否是方程 4．（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 5．（25-26七年级下·河南南阳·周测）下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式是方程的有_____ ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） ◆题型3 列方程 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意，列出下列方程． (1)x的5倍与2的和等于x的与4的差； (2)一支球队参加比赛，开局9场保持不败，共积21分．比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，则该队共胜的场数为多少场． 8．（24-25七年级下·河北衡水·开学考试）设某数为x，“比某数的大1的数是4”，可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．（26-27七年级上·全国·课后作业）如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（　　） A． B． C． D． ◆题型4 方程的解及其求参 10．（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 11．（25-26七年级下·四川宜宾·阶段检测）已知关于x的方程有无数多个解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 12．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知是方程的解，则_____ ． ◆题型5 一元一次方程的定义及求参 13．（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知是关于的一元一次方程，那么此方程的解为_____． 14．（25-26七年级上·山东德州·期末）如果方程是关于的一元一次方程，那么等于_______． 15．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）在下列各式中：①；②；③；④；⑤，一元一次方程有_________个． ◆题型6 解一元一次方程 16．（25-26六年级下·上海·期末）解方程：． 17．（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 18．（25-26七年级上·全国·期末）解方程： ◆题型7 已知一元一次方程的解求参数 19．（25-26七年级下·重庆万州·期中）某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘12，因而求得的方程的解为，试求a的值，并求出原方程的正确解． 20．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知关于x的方程的解比关于y的方程的解小，求a的值． 21．（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)填空：方程与方程______同解方程（填“是”或“不是”）； (2)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值； (3)若关于x的两个方程与是同解方程，求符合要求的正整数m，n的值． ◆题型8 一元一次方程解的关系 22．（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值． 23．（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于的方程①：的解比方程②： 的解大2，求的值以及方程②的解． 24．（25-26七年级下·河南新乡·阶段检测）已知方程与关于的方程的解互为相反数，求的值． ◆题型9 求绝对值方程 25．（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：． 26．（2025七年级上·北京·专题练习）已知，求x的值． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． ◆题型10 配套问题 28．（2026·陕西西安·模拟预测）某中学手工社团有名同学，平均每人每天可制作个书签套盒或张装饰贴纸，已知个书签套盒与张装饰贴纸配成一套，为使每天制作的手工产品刚好配套．社团应该分配制作书签套盒和装饰贴纸的同学各多少名？ 29．（25-26七年级下·海南海口·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ (2)若每副眼镜的成本为150元，该车间每天生产的眼镜的总成本为多少元？ 30．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． ◆题型11 工程问题 31．（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快．某社区在一次改造中，预算施工费用为万元，计划由甲、乙两队先后接力施工天完成．已知甲队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，乙队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，请通过计算说明预算施工费用是否够用？ 32．（25-26七年级下·吉林长春·期中）某工厂计划加工一批零件，甲车间单独加工需要10天完成，乙车间单独加工需要15天完成．若两车间先合作加工3天，再由甲车间完成剩余部分，还需要多少天才能加工完这批零件？ 33．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ ◆题型12 销售盈亏问题 34．（25-26七年级下·浙江宁波·开学考试）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下： (1)降价前每件衬衫的利润率为多少？ (2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 35．（25-26七年级下·河南南阳·期末）某企业生产一种产品，每件的成本为400元，销售价为510元，第一季度销售了件．为了进一步扩大市场，该企业决定在降低生产成本的同时降低销售价．经过市场调研，预测第二季度这种产品每件销售价降低，销售量将提高． (1)填空：第二季度这种产品每件销售价为 元，销售量为 件（用含的代数式表示）； (2)在保持总销售利润（总销售利润（销售价成本）销售量）不变的情况下，该产品每件的成本应降低多少元？ 36．（25-26七年级下·山东烟台·期末）烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间．某水果店用元购进甲、乙两个品种大樱桃共150千克进行销售，这两个品种大樱桃每千克的进价、预售价如下表： 品种 进价（元千克） 预售价（元千克） 甲 12 20 乙 18 30 (1)求该水果店购进甲、乙两个品种大樱桃各多少千克？ (2)销售过程中，甲品种大樱桃按预售价全部售出；乙品种大樱桃按预售价售出一部分后，其余部分按八折全部售出，两个品种大樱桃共获利元．求乙品种大樱桃按预售价售出了多少千克？ ◆题型13 方案选择问题 37．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 38．（24-25六年级下·山东烟台·期中）学校本学期开展“红色烟台”为主题的研学活动，组织200名学生参观磁山“红色革命纪念馆”和烟台山“人民纪念碑”，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600元，票价信息如下表： 地点 学生票价 磁山“红色革命纪念馆 20元/人 烟台山“人民纪念碑” 15元/人 (1)参观两个景点的学生各有多少名？ (2)若学生都去参观烟台山“人民纪念碑”，则能节省票款多少元？ 39．（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ ◆题型14 几何问题 40．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）一个如图所示的长方形，恰好被分成6个正方形，已知最小正方形A的面积是1． (1)求正方形F的边长． (2)求长方形的面积． 41．（25-26七年级上·广西河池·期末）为响应国家“强化青少年体育锻炼，提升学生体质健康水平”的号召，教育部联合国家体育总局推行青少年体育锻炼提升行动，要求中小学生保证每天校内、校外各1小时体育活动时间，熟练掌握至少2项终身受益的体育技能．我县为给学生提供足够的运动场地，每个学校都修建了田径运动场．如图是某校田径运动场的平面图，中间长方形的长为a米，两端是半径为r米的两个半圆，每条跑道的宽为1.2米，共4个跑道．若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程，请解答下列问题： (1)第1跑道的周长为 米；第4跑道的周长为 米．（用含字母a，r的代数式表示） (2)若，且要求第1跑道总长度为200米．（取3） ①求r的值；（结果精确到个位） ②在①的条件下，在200米比赛中，若4条跑道上的同学并排在同一起跑线起跑，公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请计算出第2道的起跑线应在第1道起跑线前面多少米的位置？ ③在①的条件下，若操场中心（除跑道外）需铺设塑胶和人工草，单价为100元/平方米，则学校共需付多少铺设费用？ 42．（25-26七年级上·河南漯河·期末）【综合与实践】小明准备了一个长方体无盖容器和足够多的三种型号的钢球，他先往容器里注入一定量的水（如图），使水在容器内的高度为（水足以淹没所有的钢球，探究过程中钢球表面的水忽略不计），然后在容器中放入钢球．实验发现，每放入1个型号钢球，水面上升；每放入1个型号钢球，水面上升；每放入1个型号钢球，水面上升．在实验过程中，容器内只能同时放入两种型号的钢球． (1)【实验一】小明先放入型号钢球8个，又放入型号钢球若干个，此时容器内的水的高度正好为，求容器内型号钢球的个数； (2)【实验二】小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入B型号和其他型号的钢球共10个后，水面升高到，求此时容器内不同型号的钢球各有多少个？ ◆题型15 动点问题 43．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示，且A，B两点之间的距离为．数轴上A，B两点对应的数分别为，2，P为数轴上一动点，且表示的数为m． (1)【发现问题】A，B两点之间的距离是_____________； (2)【解决问题】 ①若，则_____________， ②若点P到、两点的距离比为，则点P表示的数为_____________． (3)【创新应用】现在点P从A点处出发以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时Q从点B处出发，以个单位长度/秒的速度向左运动，当点P与点Q之间的距离是2个单位长度时，直接写出点P表示的数． 44．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点运动到点时又立即以原速度向点运动，点不停地以原速度往返于点与点之间．当运动到秒时，动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 45．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）已知是数轴上三点，点表示的数为，． (1)点表示的数是___，点表示的数是______； (2)动点P、Q分别从同时出发，点P以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P的运动时间为秒． ①用含的代数式表示：点表示的数为______，点表示是数为_______； ②当时，点之间的距离为_______； ③当点之间的距离等于4个单位长度时，求的值． ◆题型16 水电费问题 46．（25-26七年级上·福建福州·期末）某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过时，按2元/计算：月用水量超过时，其中的仍按2元/计算，超过部分按2.5元/计算．设某户家庭月用水量； (1)当时，水费为________元； 当时，水费为________元；（用含x的式子表示） (2) 月份 10月 11月 12月 用水量 15 22 a 小花家第四季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费125元，请你求出小花家12月份用水量a的值？ 47．（25-26七年级下·河南周口·期中）为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 48．（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表．（注：水费按月结算） 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出，不超出的部分 3元 超出的部分 4元 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费______元； (2)若某户居民3月份用水立方米，则该户居民3月份应缴纳水费多少元（用含的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），合计缴纳水费34元，求该户居民5月份用水多少？ ◆题型17 行程问题 49．（25-26七年级下·重庆·开学考试）小新周末去爬山，路程由一段坡路和一段平路组成．去时，上坡路段用了0.8小时，平路用了0.3小时；原路返回时，平路速度保持不变，下坡速度比上坡速度快1.5千米/小时，下坡路段用了0.5小时．已知往返的总路程为6.4千米． (1)求小新上坡时的平均速度； (2)小新在平路路段的平均速度是多少？ 50．（26-27七年级上·全国·开学考试）【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 51．（25-26六年级下·山东烟台·期中）在环形跑道上赛跑时，我们常说“套圈”这个词，它的意思是：两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，快者每追上慢者一次，就说明快者比慢者多跑一整圈（即环形跑道的周长）． 请根据上述说明，解决以下问题： (1)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，出发200秒后，甲第一次追上乙，求乙的速度； (2)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、不同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，甲第40秒第一次追上乙，第240秒第二次追上乙，求出发时两人相距多少米？ ◆题型18 日历问题 52．（26-27七年级·全国·小升初衔接）下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： (1)请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； (2)圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由． 53．（2026·宁夏银川·一模）下图是2026年1月的月历表．在月历表上，可以用一个正方形框任意圈出相邻的4个数（例如：2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为_____．（用含的代数式表示） (2)小丽计算得到圈出的4个数之和为45．小丽算对了吗？说明理由． (3)对于任意一组这样圈出的四个数，一定能整除它们之和的最大整数是_____． 54．（25-26九年级下·安徽六安·阶段检测）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题：探究月历与幻方的奥秘 (1)活动一 ：图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． ①移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是 ，b是 ②移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是 ，d是 ； （注：用含n的代数式表示c和d．） (2)活动二：移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律： 每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等； ①若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是 ； ②若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是 （用含n的代数式表示g）． ◆题型19 古代问题 55．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 56．（25-26七年级上·山东济南·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 57．（25-26七年级上·山西晋中·期末）《九章算术》“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数，鸡价各几何？” 题目大意：几个人合伙买鸡，若每人出9钱，则会多出钱；若每人出6钱，则还少了钱．合伙人数、鸡价各是多少？ 以下是智慧小组的部分分析过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 先寻找问题中涉及到的量和等量关系，然后设未知数，设合伙人数为人，再表示其他未知量，根据等量关系：________，列出方程． 发现两次的合伙人数是不变的，所以可以设鸡价为y钱，列出方程________． 任务： (1)请你将上述分析过程的空白补充完整； (2)选择其中一种方法解决以上“盈不足”问题． ◆题型1 等式的性质综合 58．（2026·江苏南京·二模）实数a，b，c满足，且．下列结论：①；②a与b异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_______． 59．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知，则代数式的值为______． 60．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 ◆题型2 解复杂的一元一次方程 61．（25-26七年级上·河南·期末）方程的解是（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 62．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）解方程：． 63．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）方程的解为_____． ◆题型3 已知一元一次方程的解求参数综合 64．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若关于x的方程的解均为正整数，则整数a的值是 ___． 65．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的3没有乘以6由此得到方程的解为． (1)试求的值； (2)求原方程的解． 66．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则的值为（    ） A． B． C． D． ◆题型4 绝对值方程计算综合 67．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1），（2），（3）． 例：解绝对值方程： 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为和． (1)问题（1）：依例题的解法，方程的解是__________． (2)问题（2）：尝试解绝对值方程：． (3)问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 68．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程“和解方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． (3)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． 69．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程： ◆题型5 一元一次方程应用综合——配套问题 70．（25-26七年级上·辽宁营口·期末）在数学综合实践活动课中，同学们准备用某种规格的长方形彩纸制作几何体．经讨论，形成了如下制作方案： 请你根据制作方案，完成下面的问题： 几何体制作方案 步骤1裁剪长方形彩纸：一张长方形彩纸可按图1方式裁为2块小长方形纸片，或按图2方式裁为3块小正方形纸片． 步骤2制作“三角插”和“圆部式”基本单元：图1中裁出的一块小长方形纸片可折成一个“三角插”基本单元，图2中裁出的一块小正方形纸片可折成一个“圆部式”基本单元． 步骤3制作几何体：40个“三角插”基本单元和10个“圆部式”基本单元，可做成一个几何体． 若有210张长方形彩纸全部用来制作几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作“三角插”和“圆部式”基本单元，才能制作尽可能多的几何体？最多能制作多少个几何体？ 71．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． (1)按照这样的生产方式，该车间每天有多少人生产A型部件？ (2)春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 72．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）小敏和小强假期到某工厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有14张白板纸，最多可做几个包装盒？（列一元一次方程解答） (2)现有27张白板纸，最多可做几个包装盒？ 为了解决问题（2），小敏和小强分别设计了自己的解决方案． 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 小强：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖；余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． ◆题型6 一元一次方程应用综合——销售问题 73．（25-26七年级上·福建福州·期末）一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件的部分 元/件 超过100件不超过300件的部分 元/件 超过300件的部分 元/件 (1)小明买这种商品花了590元，列方程求购买这种商品多少件？ (2)若小明花了n元（），恰好购买件这种商品，求n的值． 74．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）某杭帮菜品牌店为了吸引顾客，特推出两种优惠方式（不能同时使用）： 方案 优惠内容 方案A：购代金券 购买“90代100”（实付90元获得100元代金券），消费每满100元可使用1张代金券，单桌最多使用3张． 方案B：会员打折 花9.9元购买会员卡，付款时可享受所有菜品、酒水8.5折优惠． 小明第一次到该店消费，请根据以上方案，解决下列问题： (1)若小明在该店消费160元，用方案A购买了一张代金券，求实际付款多少元？ (2)若小明用方案B实际付款210.5元（含会员卡费用），优惠前消费金额为多少元？ (3)若消费金额超过200元，小明发现用方案A比方案B实付金额贵了13元，优惠前消费金额为多少元？（结果精确到个位） 75．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）无锡素有“江南果蔬之乡”的美誉，阳山水蜜桃与马山杨梅享誉全国（均为国家地理标志产品）．某精品水果在依托本地供应链优势，开展助农惠民活动．该店用12800元购进水蜜桃和杨梅共1000斤．以下是该店近期经营数据及促销政策： 产品 进价（元／斤） 售价（元／斤） 阳山水蜜桃 12 18 马山杨梅 14 20 (1)该水果店购进水蜜桃和杨梅各多少斤？ (2)因物流环节存在自然损耗．水蜜桃损耗率为，杨梅损耗率为．损坏的不能销售．已知全部售出的总利润为4980元，求的值．（总利润总收入总成本） (3)若在（2）的损耗率下，该水果店第二次进货时，农户给出了如下优惠方案： “水蜜桃”优惠方案 一次性购买数量 不超过100斤 超过100斤的部分 价格 原价 八折 “杨梅”优惠方案 商品总额 补贴方式 不超过3000元 无补贴 超过3000元，不超过5000元 直减200元 超过5000元 先享总价抵扣，再减200元 已知购进阳山水蜜桃支付3312元，马山杨梅支付5386元，则水蜜桃购进________斤；将第二次购进的两种水果全部卖完，一共可获得利润多少元？ ◆题型7 一元一次方程应用综合——方案问题 76．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）学校举行迎新活动，需要购买中国结，已知A型中国结的单价比B型中国结的单价多9元，购买15个A型中国结与20个B型中国结所花费用相等． (1)问A、B型两种中国结的单价分别是多少元？ (2)由于活动方案改变，还需购买单价为20元/个的C型中国结，若三种中国结都要买，在总经费不变且用完的情况下，需要减少A，B型两种中国结的购买数量，其中B型中国结的减少数量是A型中国结减少数量的2倍．设A型中国结减少m个． ①求B型、C型中国结分别购买多少个？（用含m的代数式表示） ②如何购买可以买到中国结的总数量最多，请给出购买方案． 77．（25-26七年级上·福建厦门·期末）某市的城乡居民医疗保险实行门诊费用分段累计报销制度，各级医院的报销比例如表所示．为有效引导居民合理选择医院进行诊疗，该市推行分级诊疗政策：由一级医院转诊至更高级别的三级医院后，在三级医院产生的诊疗费用执行基准报销比例． 全年门诊累计费用（单位：元） 三级医院报销比例 一级医院报销比例 基准报销比例 0~500 不报销 不报销 不报销 500~3000的部分 3000~100000的部分 超过100000的部分 不报销 不报销 不报销 说明：①全年门诊累计费用指自然年度内在本市所有参保的医院门诊诊疗的总费用； ②相同疾病在不同级别医院产生的诊疗费用相同． (1)王先生本年度第一次在参保医院门诊进行诊疗， ①若在三级医院诊疗产生1300元的费用，求王先生实际支付的诊疗费用； ②若在三级医院诊疗的实际支付费用比在一级医院诊疗的实际支付费用多400元，求王先生本次诊疗产生的费用； (2)本市某位患者本年度门诊累计费用为元（的范围是），目前因患病需到三级医院门诊就诊，预计本次诊疗费用为元，全年门诊累计费用不超过100000元，现有两种方案： 方案一：直接到三级医院就诊； 方案二：先到一级医院办理转诊（需支付挂号、检查等费用200元，该费用计入全年门诊累计费用，并执行一级医院报销比例），然后转诊至三级医院就诊． 根据以上信息，用含和的式子分别表示两种方案的实际支付费用，并直接判断哪种方案实际支付的费用更少． 78．（25-26七年级上·浙江台州·期末）综合与实践 停车场的收费方案选择问题 素材一 小张开车去公司上班，公司附近有一个停车场提供了两种收费方案． 方案一：不购买月卡时，每天停车6小时内（含6小时），收费4元，超过6小时的部分每小时收费元（不足1小时按1小时计算）． 方案二：购买99元月卡后，每天停车5小时内（含5小时）免费，超过5小时的部分每小时收费1元（不足1小时按1小时计算）． 素材二 小张平均每月上班22天，每天停车时间相同． 解决问题 问题1 若小张上班期间每天停车8小时，则她选择方案一时平均每月的费用为__________元；选择方案二时平均每月的费用为__________元． 问题2 若小张上班期间每天停车小时（为正整数），她应选择哪种方案，使平均每月的费用更省钱？请说明理由． 问题3 已知方案二的月卡价格调整为元（为整数，且）． ①若小张上班期间每天停车小时，要使两种方案平均每月费用相同，求的值； ②若小张上班期间每天停车时间在小时之间，且方案一平均每月费用比方案二的倍少63元，求的值． ◆题型8 一元一次方程应用综合——动点问题 79．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在数轴上点O是数轴原点，A到O的距离为10，B到O的距离为6． (1)点A表示的数为________，点B表示的数为________，A，B两点之间的距离为________． (2)点C是数轴上一点，且满足点A与点C之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则点C在数轴上表示的数为________． (3)在点B处有两只电子蚂蚁P、Q，蚂蚁P以每秒2个单位长度的速度向右移动，当蚂蚁P移动到O点时，蚂蚁Q才从B点出发，并以每秒4个单位长度的速度向右移动，设蚂蚁P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两只蚂蚁相距4个单位长度？ 80．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图：长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，同时点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点在上运动时，______． (2)当点在上运动时，时，求线段的长． (3)当时，求出的值． (4)当点在上运动时，连接、，直接写出的面积是时，的值． 81．（25-26七年级下·吉林四平·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A出发，沿折线运动，到点D停止；点P以每秒的速度运动6秒，之后以每秒的速度运动，设点P运动的时间是x（秒），点P运动的路程为，的面积是． (1)点P共运动________秒； (2)当时，求y的值； (3)用含x的代数式表示y； (4)当的面积S是长方形面积的时，直接写出x的值． ◆题型9 一元一次方程应用综合——行程问题 82．（25-26七年级下·云南昆明·期末）由于车辆前后轮胎的磨损并不一致，因此当车辆行驶一定里程之后，需进行前后轮胎换位．设轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶a公里，则每公里的磨损量为．某品牌的轮胎安装在某车前轮行驶6万公里报废，安装在后轮行驶4万公里报废，如果此车行驶若干公里后将前后轮胎进行一次换位，使得前后两对轮胎同时报废，那么此品牌的轮胎从安装到报废最多可以行驶（     ） A．4.5万公里 B．4.8万公里 C．5万公里 D．5.2万公里 83．（2026·北京东城·二模）某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米/小时，师生步行的平均速度为4千米/小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”． （1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时________分钟（不考虑上、下车时间）； （2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为________分钟（不考虑上、下车时间）． 84．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． 【方案预设】 (1)预设方案：叶老师将乙送到车站后，回去接甲，再将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案：叶老师骑摩托车带着乙出发的同时甲步行出发．将乙送到车站后，回去接甲并将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (3)预设方案：叶老师骑摩托车行驶送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，与此同时，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求的值． ◆题型10 一元一次方程的新定义问题 85．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“平衡方程”．例如：方程和为“平衡方程”． (1)若关于x的方程与方程是“平衡方程”，求m的值； (2)若“平衡方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“平衡方程”，利用整体思想，则关于y的一元一次方程的解为________． 86．（25-26七年级上·广东中山·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“相反方程”．例如：方程的解为，的解为，其中2和互为相反数，我们就称方程和为“相反方程”． (1)请说明方程和是“相反方程”； (2)若关于x的方程和是“相反方程”，求m的值； (3)若关于y的方程的“相反方程”的解，也是关于y的方程的解，求n的值． 87．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整数”方程；如果有两个“整数”方程，其中一个方程的解是另一个方程的解的k倍（其中k为整数且），则称这两个方程有“整k倍”关系．例如一个“整数”方程的解是，另一个“整数”方程的解为，因为，所以方程与方程有“整倍”关系． 按此定义解答下列问题： (1)下列方程是“整数”方程的有______（请填序号）； ①；②；③． (2)已知关于x的方程与关于y的方程有“整3倍”关系，求a的值； (3)若关于x的方程与关于y的方程有“整k倍”关系，请直接写出整数m的值． 88．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 89．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）若方程是关于x的一元一次方程，则（    ） A． B．1 C． D．0 90．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山，距绿水．某天，一辆汽车匀速行驶，上午10：00途经王家庄，下午13：00途经青山，15：00途经绿水，王家庄距翠湖的路程有多远？设王家庄距翠湖，下列所列方程，错误的是（   ） A． B． C． D． 91．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）某同学在解关于x的方程去分母时，方程右边的没有乘以6，因而求得方程的解为，则a的值和方程的正确的解分别是多少？（   ） A．， B．， C．， D．， 92．（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）把一堆书分给几名学生，如果每人分到4本，那么多4本；如果每人分到5本，那么最后1名学生只分到3本．可以得到一共有___________本书． 93．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则____． 94．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）若关于x的一元一次方程 的解是，那么关于y的一元一次方程 的解是______． 95．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．若关于x的方程与方程互为“成双方程”，m的值为________． 96．（25-26七年级下·重庆万州·期中）解方程： (1)； (2)． 97．（25-26六年级下·黑龙江大庆·期中）大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：．根据以上信息，回答下列问题： (1)点A、B在数轴上分别表示实数x和． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果，求x的值． (2)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围． 98．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 99．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某超市在“双11”期间推出优惠活动，优惠的具体方案如表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元的部分 不予优惠 超过200元但不超过400元的部分 给予9折优惠 超过400元的部分 给予8折优惠 (1)若小亮一次购买原价元的商品，他实际付款________元；若一次购买原价元的商品，他实际付款________元； (2)若小亮在该超市一次购物元，当超过元但不超过元时，他实际付款________元（用含的代数式表示，要求写化简后结果）； (3)如果小亮一次购物实际付款556元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 100．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在数轴上，点O为原点，点表示的数为，点表示的数为，且a，b满足． (1) ___________； ___________； (2)动点分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度． ①几秒时，点与点距离6个单位长度？ ②动点分别从点，点出发的同时，动点也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点与点之间的距离为，点与点Q之间的距离为，点O与点之间的距离为．设运动时间为秒，请问：是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此值和这个定值；若不存在，请说明理由 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $