山东省潍坊市寿光市第一中学（强基部）2026-2027学年高二上学期数学9.19周测卷

强基部25级周测—立体几何答案2026.919 1.A2.A3.C4.B5.C6.D7.B 【详解】在四棱柱ABCD-A,B,C,D中，由AAI/BB,AA⊥平面ABCD,得BB⊥平面ABCD, 又ACC平面ABCD,则BB,⊥AC,由底面ABCD是菱形，得AC⊥BD, 令ACOBD=O,连接BP,B,O,PO,由PA=PC,O是AC的中点，得PO⊥AC, 又BB,OBD=B,BB,BDC平面BDDB1,则AC⊥平面BDDB1, 又B,OC平面BDDB,因此BO⊥AC,∠B,OP为二面角B-AC-P的平面角， 由AB=1,A4=2,∠BAD=60°，点P为DD的中点， D 得a0+-0+9-怎.P=-F=5 A B 517-2 由余弦定理得cos∠B0P=P0+OB-PB-4+4 7W85 2PO.OB 2x v5 7 85 22 所以二面角及-AC-P的余弦值为y85 85 8.B将△ABD沿直线BD翻折至△PBD,使得点A到达点P的位置. 将底面BCD补成矩形BECD 则BD⊥PB,BD L BE,所以∠PBE即为二面角P-BD-C的平面角，为6O° 又PB=BE=1,所以△PBE为等边三角形 又PB,BEC平面PBE,PB∩BE=B,所以BD⊥平面PBE, 又BDC平面BECD,所以平面PBE⊥平面BECD B 所以取H为BB中点，则P阳=5为棱锥P-BECD的高 E H 又m1k5-9 2 %99 在△PCE中，PE=1,CE=√5，PE⊥CE,所以PC=2 在△PBC中，PB=l,BC=PC=2,所以Smc-) 设D到平面PBC的距离为h, 试卷第1页，共7页 则压→h=3-西 344 V155 15 设直线PD与平面PBC所成的角为O,则 h sin= V15 PD 210 9.CD 10.ACD 11.BD 11【详解】对于A,取BC中点G,连接FG, D C 正方体ABCD-AB,C1D,中，因为E,F分别是AD,DD的中点， A B F 所以EF∥AD,EG/IAB 因为EF￠平面ABCD,ADC平面ABCD,所以EF/I平面ABCD, G 同理可得EG//平面ABCD, 又EG,EFC平面EFG,EG∩EF=E,所以平面EFG/I平面ABC1D. 由面面平行的性质得，当点P在线段EG上运动时，FP11平面ABCD,故A错误 对于B,连接BE,FC,易知EF//BC,则BEFC为梯形，且B,E,F,C共面， 所以过B,E,F三点的平面截正方体所得截面为梯形BEFC: 在Rt△ABE中，BE=√AB2+AB=√P+2=√5，同理可得C1=√5 所以BBC为等腰梯形，又A0=BC=2万，BF=A0=V5, B正确 D 对于C,过点D作DG⊥BE,交BE的延长线于点G,连接FG, E 正方体ABCD-AB,CD,中，FD⊥平面ABCD,FD=DD=1 2 D 因为BGC平面ABCD,所以FDL BG. C(P) H 因为DG,FDC平面FDG,DG∩FD=D,所以BGL平面FDG B 又FGC平面FDG,所以BG⊥FG,则∠FGD即为平面BEF与平面ABCD的夹角. 8距所以DG=B4=2 易知RLADGE~RtaBAR,则DC=DE BE 6236 5 试卷第2页，共7页 FD FD sin∠DGF= 5 在RtADGF中， FG DG+FD 3 +12 5 动点P到平面BEF的距离等于动点P到BE的距离乘以平面BEF与平面ABCD的夹角的正弦值. 过点C作CH⊥BE,交BE于点H,易知，当点P与点C重合时，点P到BE的距离取得最大值，即CH. 2 易知RLACHB~RtABAE,则 CB CH 4v5 BE BA ,所以CH= BE·BA= 5 所以动点P到平面BBr的距离的最大值为cH:sm∠DGr-W5xy5_4,C错误 5x3=3’ 对于D,因为FDL平面ABCD,所以∠PD即为直线FP与平面ABCD所成角，则tamn∠FPD=5 4 DF DP 14 在Rt△FDP中， tan∠FPD√3√3， 4 4 所以动点P的轨迹为在平面ABCD上，以点D为圆心，以万为半径的圆 4 又万>2，所以点P的轨迹与正方形ABCD的交点在边AB,BC上，设为点M,N, 则MN即为点P的轨迹与底面ABCD内（含边界）相交的部分. D 在Rt△ADM中，cos∠ADM=AD-2-V5 A B PM42，则∠ADM=5 5 同理可得∠CDN=L,所以∠MDN= 6 Di 由张长公式得1=×4-23r,D正确 M 65-9 B 12.12x13.14.6 14【详解】由AB⊥BC,CD⊥BC,可将四面体补形成直棱柱， 过B作BE //CD,且BE=CD, 则BC⊥平面ABE,过C作CF //AB,且CF=AB, 则四面体ABCD补成直三棱柱CDF-BEA, 因为n=mr.BA,8c=cr, 所以ro-Bc=专eor-Ba 即原四面体体积等价于以。Bg为底、BC为高的直三棱柱体积的 设AB=a,CD=b,异面直线AB与CD所成角为60°，则AB与BE的夹角为60°， 试卷第3页，共7页 则a1BB的面积为：Sg=) 二ab sin60°， 2 由面体体积公式r专50=26-}山点2-26，解得西=12. 2 直三棱柱的外接球与四面体ABCD的外接球完全相同， 外接球的球心到平面ABs的距离为C-, 2 sin60°，即r=AE 根据正弦定理，△1BB的外接圆半径r满足：2r=Ag 5, 由余弦定理：AE2=a2+b2-2abc0s60°=ad2+b2-ab, 结合基本不等式a2+b2≥2ab,得AE2≥ab=12, D C 即A22,因此7心语2.外接球半径满E:发=r2矿-6， 即R≥V6,当且仅当a=b=2√3时取等号. 则四面体ABCD的外接球半径的最小值为√ B 15.【答案】(1)在△PBD中，E、F分别是PB和BD的中点， EF∥PD;又EFE平面PCD,PDC平面PCD, .EF∥平面PCD. (2)由题意得三棱锥P-BCD的高为PA=2, :四边形ABCD是正方形，SBD= 1 心SARCD=。×2×2=2, =×2x2= :三棱锥P-BCD的体积为'，-scD= 3 三棱锥B-PCD的体积为Vcn=,-8cD=3 4 16.【详解】(1)由题意知，平行六面体ABCD-AB,C,D的一条体对角线为CA, 且中点为M,已知C(3,4,2),M(1,1,1),所以A(-1,-2,0), 所以A4=V(-1+2)2+(-2-102+(0-3)2=19. (2)由题意知，M为体对角线BD,AC的中点， 由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得D(0,0,1),C(4,1,-1),所以BD=(-2,-2,0),DC=(5,-2,-5), 3 所以es(d.DG)=5+2+5×+(2y+036×256 -2×5+(-2)×(-2)+(-5)×0 -6 试卷第4页，共7页 17.【详解】(1))证明：因为AB‖CD,∠DAB=90°，则∠ADC=90°，即CD⊥AD. 因为平面ADE⊥平面ABCD,平面ADEO平面ABCD=AD,CDC平面ABCD,所以CD⊥平面ADE. (2)取DC中点M,连接BM,FM,取BM中点O,连接CO,FO 由(I)得CD⊥平面ADE,因为AB∥CD∥EF,所以EF⊥平面ADE,AB⊥平面ADE, 又因为DM=AB=EF=2,所以四边形ABFE,ABMD,DMFE均为矩形， 所以多面体ADE-BMF为直三棱柱， 因为△ADB为等边三角形，平面ADE⊥平面ABCD, 所以平面BMF⊥平面ABCD,△BMF为等边三角形，即BF=MF, 因为O为BM的中点，平面BMFO平面ABCD=BM,所以FO⊥平面ABCD, 所以∠FCO为直线FC与平面ABCD的夹角， 因为FM=MC=2,MO=1,所以FO=√5，Co=√5， 所以FC=VF02+C02=2√2， 即cos∠PCO=CO.V5_Vi0 FC2W24, 所以直线FC与平面ABCD夹角余弦值为@ 4 (3)存在，P为线段EF的中点， E 取AD中点N,连接NO,设点P在底面ABCD的投影为P',连接PP, 由(2)可知，直线EF在底面ABCD上的投影为直线NO,所以点P在线段NO上. 假设AP⊥BD,BD 1 PP',所以BD⊥平面APP,即BD⊥AP, 在正方形ABMD中，当BD⊥AP时，P为对角线AM,BD的交点， B 即P为线段NO的中点，所以P为线段EF的中点 试卷第5页，共7页 18.【答案】(I)因为ABIICD,AB⊥AD,则CD⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD, CDC平面ABCD,.CD⊥平面PAD,取PD的中点F,连接AF、EF, :AFc平面PAD,∴CD⊥AF,在正三角形PAD中，AF⊥PD,又CDOPD=D,CD、PDc平面PCD,.AF⊥ 平面PCD,E是PC中点，F是PD的中点，EF/CD,EF=CD,:AB/CD,CD=2AB,EFMB,EF=AB, .四边形ABEF是平行四边形，BEIAF,.BE⊥平面PCD (2)取AD的中点O,连接OP,在正三角形PAD中，OP⊥AD,AD=2,OP=V3,面PAD⊥面ABCD,面PADA 面ABCD=AD,OPc平面PAD,∴.OP⊥面ABCD,以O为原点，OA、AB、OP的方向分别为x、y、z轴的正 方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则oaao叭.aa0.a420叭.c4-l4oj.poa间.E号29} M-0一同，正（2号面-Q20.改平面ME和平百PMB的个达有量 PA=0 a-3c=0 分别为i=(a,b,c),m=(r,s,),由 0+2+e-0取=2，传-5v.2 i=0'得3 c=0 2 mPA=0 由 -51=0,取1=l,得m=(30,,则cosm,i 得 mi_6+24v19 m·AB=0 2g=0 m-闭√19√419， 则二面角E-PA-B的正弦值为 419 57 19 19 (3)在线段AE上不存在点Q满足条件，理由如下：假设在线段AE上存在点Q满足条件，设 B(1,2,0）,C(-1,4,0）,则(x-1,y,z)= 32 g1-2a5小，lg-网-@件 (j(a-r+ 无解，即在线段AE上不存在满足条件的点Q. (er-刘- 试卷第6页，共7页 19.【详解】(1)因为AB/CD,CDC平面SCD,AB丈平面SCD,所以AB/平面SCD, 又因为ABC平面SAB,平面SABO平面SCD=I,所以AB/l. (2)因为，SA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，AB=2,SA=√2AB, 依题意可得'，-AscD=Pu-s+V-sc+'M-ABcn, 所以an-md+雪md+8amd, 3 其中5am=2=4Se方×2x22=22 SB=SA?+AB2=23.SC=SA?+AC2=4, 因为s82+8C2=SC2,所以SB1BC,Sc=)×2V5×2=2W5, 2 即4×2W2=2W2d+2W3d,+4d,,解得√2d+√3d,+24,=4w2. (3)作PR11SC,与BC交于点R,连接RQ,如图. S 因为PR1sC,所以SP=CR BP BR 又ac2g4C-c0o0,所以0-9R-9 2C0 co co 2 BP BR OO 所以RQ/1BO, 因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC B 因为SA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以SA⊥BD, 因为A∩AC=ASA,ACC平面AC,所以BD⊥平面SAC, 又SCC平面AC,则BD⊥SC,所以PR⊥2R, 则∠OPR=a,∠ROP=B,且a+B= 2 所以ma+f=sma+cosa=ina+, 当a=匹时，simw+simB取得最大值为V2. 试卷第7页，共7页强基部2025级数学周测答题卡 三、 填空题（每小题5分，共15分） 12 衣 14. :11:1:-:-::1::1:1:1:1. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) A :i:i. 16.(15分) 17.(15分) E D A 18.(17分) P E D 19.(17分) S M P D B强基部25级周测一立体几何20269.19 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（共40分） 1.(本题5分)如图，△OBC是用斜二测画法画出的水平放置的△OBC的直观图，已知 ∠O'B'C'=90°，OC'=2√2，那么△OBC的面积为() A.4v2 B.8√2 C.4 D.8 B' 2.（本题5分)某圆锥的底面半径为1，侧面积为2π，则该圆锥的体积为() D A.r B.5元 C.π D.√3元 3 2 B 3.(本题5分)在正方体ABCD-A,B,CD中，以下直线与平面BCD平行的是(） F3-30 A.直线AC B.直线AB C.直线CD D.直线A4 4.(本题5分)已知，n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列命题正确的是() A.若m/a,nlla,则mlm B.若⊥，n⊥a,则m/n C.若mlla,mlB,则alB D.若B⊥a,m⊥B,则ml/a 5.(本题5分)在正四棱台ABCD-A,B,C,D,中，下列判断错误的是() A.AB//CD B.该棱台有12条棱 C.A,C,C,A四点不共面 D.平面ABCD/I平面ABCD 6.(本题5分)在棱长均为2的正三棱锥P-ABC中，点M是AC的中点，点N是侧面PBC上的一个动点，当MN∥ 平面PAB时，动点N的轨迹的长度是() A.3 2 B. C.3 D.1 7.(本题5分)四棱柱ABCD-AB,C1D1的底面ABCD是菱形，AA⊥平面ABCD,AB=1,A4=2,∠BAD=60°， 点P为DD的中点，则二面角B,-AC-P的余弦值为() A. 9v85 B.7V85 C.6v85 D.4V85 85 85 85 85 8.(本题5分)在平行四边形ABCD中，AB=1,AD=2,∠ADB=30°，现将△ABD沿直线BD翻折至△PBD,使 得点A到达点P的位置，且二面角P-BD-C的平面角等于60°，则PD与平面PBC所成角的正弦值为() A.3 B.5 C.v3 D.3 4 10 4 2 试卷第1页，共4页 二、多选题（共18分） 9.(本题6分)在正方体ABCD-AB,C,D中，设棱长为1，则下列结论正确的有() A.向量AB的模长为2 B.向量AC的坐标为(1,1,0) C.直线AA与平面ABCD垂直 D.异面直线AB与CC所成角为90° 10.（本题6分)已知m、n是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，则下列说法正确的是() A.若⊥a,n/1a,则m⊥n B.若m/1a,a11B,则m11B C.若m⊥a,n⊥B且/1n,则a//B D.若x∩B=n,n//m,则m至少与a,B中一个平行 11.(本题6分)正方体ABCD-ABCD的棱长为2，E,F分别是AD,DD的中点，点P是底面ABCD内（含 边界)一动点，则下列结论正确的为() D A.存在唯一的点P,使得FPI平面ABCD A B B.过8，B,F三点的平面截正方体所得截商面积是书 D C.动点P到平面BEF的距离的最大值为√互 P D.若直线P与平面ABCD所成角的正切值为V3 则动点P的轨迹长度为2V3π B 9 三、填空题（共15分） 12.(本题5分)将一个底面半径为1，高为4√3的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为 I3.(本题5分)在四面体ABCD中，AB=CD=2,E、F分别为边BC、AD的中点.若EF=√3，则直线AB与CD 所成的角的大小为 14.(本题5分)四面体ABCD中，AB⊥BC,CD1BC,BC=2√2，且异面直线AB与CD所成角为60°，若四 面体的体积为2√6，则四面体ABCD的外接球半径的最小值为 试卷第2页，共4页 四、解答题（共77分） 15.(本题13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD, PA=AD=2,E、F分别是PB和BD的中点， (1)证明：EF∥平面PCD; (2)求三棱锥B-PCD的体积. 16.（本题15分)已知空间直角坐标系中，平行六面体ABCD-AB,CD,满足：A(-2,1,3),B(2,2,1), C(3,4,2),D(-1,3,4),且平行六面体的体对角线的交点为M(1,1,1) (1)求侧棱AA的长： (2)求cos(BD,DC 17.（本题15分)如图，在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF,∠DAB=90°， 在=AD=EF=CD=2,△ADE为等边三角形，平面ADBL平面ABCD D (I)证明：直线CD⊥平面ADE; A (2)求直线FC与平面ABCD所成角的余弦值： B (3)在线段EF上是否存在点P,使得BDL AP,若存在，请求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 试卷第3页，共4页 18.(本题17分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB/1CD,AB⊥AD,侧面PAD为正三角形，平面 PAD⊥平面ABCD,且CD=2AB=2AD=4,E为PC的中点. (1)证明：BE⊥平面PCD (2)求二面角E-PA-B的正弦值. E (3)在线段AE上是否存在点Q,使A、B、C三点在以点Q为球心的球面上？ : D 若存在，求 4 AE 的值：若不存在，说明理由. 19.(本题17分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD,AC 与BD交于点O. M P (1)设平面SAB交平面SCD于直线1，求证：AB/11; (2)若AB=2,SA=√2AB,且M是棱SD的中点，点M到平面SAB,平面SBC,平面ABCD的 距离分别为d,d2,d.求√2d+√3d+2d的值： 3)若P,0分别是线段5B、线段AC上的点，且满足那ACC2CO设PQ与5心所成的角为4，P9与D所成的 角为B,求sina+sinB的最大值. 试卷第4页，共4页