第十三章 三角形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 第十三章三角形单元复习提升卷，覆盖三角形分类、性质、特殊线段等核心知识点，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，融合几何直观与推理能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|三角形分类、三边关系、稳定性|第6题以古建筑屋架考稳定性，体现数学应用；第5题折纸观察特殊线段，培养几何直观| |填空题|6/12|三角形计数、边长计算、角平分线性质|第18题规律探究角平分线，渗透推理意识| |解答题|8/72|全等证明、平移旋转、综合探究|25题“问题背景-探究-解决”结构，26题分层设问，提升创新应用能力，符合核心素养要求|

第十三章 三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 2．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（     ） A． B． C．或 D． 3．下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图，是的中线，，若的周长比的周长多2，则的长为（     ） A．5 B．7 C．8 D．12 5．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（     ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 6．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（     ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 7．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，点A表示轮船的初始位置，点B表示轮船行进中某一时刻的位置，当轮船从点A行驶到距离灯塔最近点时，此时的度数为（     ） A． B． C． D． 8．已知一副三角板按如图方式摆放，其中，，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．一个等腰三角形两边长分别为4和9，则该三角形周长为（     ） A．17 B．22 C．17或22 D．13 10．如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交边于点D．若，则（     ） A． B． C． D． 11．一把直尺和一把含有角的直角三角板按如图方式摆放，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 12．如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图所示，图中共有三角形______个． 14．若三角形的两边长分别是3，4，最长边是奇数，则该三角形的周长是___________． 15．如图，，分别是的高和角平分线，若，，则___________． 16．如图，，若，则________． 17．如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为_____． 18．如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 20．（8分）如图，、分别是的高和中线，若，，，． （1）求的长； （2）求与的周长差． 21．（8分）如图，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，点A、B、C的对应点分别为点D、E、F． （1）直接写出坐标：D（____，____），E（_____，_____），F（_____，_____）． （2）画出平移后的三角形． （3）求三角形的面积． 22．（8分）如图，平分，，． （1）请说明：； （2）若，，求的度数． 23．（10分）如图，平分，，，，交于点F，点D，E，C在一条直线上． （1）求证：； （2）若，求________的度数．请从①，②中选择一项填在空格处（填写序号），并写出求解过程． 24．（10分）如图，在中，，，于点F，于点D，与交于点E，． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）若，求的长． 25．（10分）【问题背景】如图，直线，点E、F分别在直线、上，连接，点G在上，点M在的左侧，且在直线、之间，连接、． （1）【问题探究】如图1，连接并延长交于点H．若，，，求及的度数； （2）【问题解决】如图2，平分，分别延长、交于点Q，过点M作．若平分，，求的度数． 26．（10分） 【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 （2）如图2，，的平分线，相交于点F，若，，求的度数； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，平分， 平分，平分外角，平分外角，延长，交于点M．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十三章三角形（高效培优单元自测·提升卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 2 3 6 7 8 10 12 B C B B B C C 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.) 13.5 14.12 15.50 1 16.6 17.68° 60°+800 18. 22025 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19. 【答案】3b-a-c 【解析】解：，a,b,c是三角形的三边长， a+b>c,得a+b-c>0:a+c>b,得b-a-c<0:b+c>a,得a-b-c<0, =(a+b-c)-(a+c-b)+(b+c-a) 原式 =a+b-c-a-c+b+b+c-a =3b-a-c. 20 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 60 cm 【答案】(1)13；(2)7cm 【解析】(1)解：：CD是△ABC的高，∠ACB=90°， :号4c0-4cc 2 AC=5cm,BC=12cm,AB=13cm, 13×CD=2x5x12 .2 ,CD=60 cm 13: (2)解：CE是△ABC的中线， .AE=BE, .△BCE的周长-△ACE的周长 BC+CE+BE-(AC+CE+AE)=BC-AC=12-5=7cm 21. 【答案】(1)0,4，-1,1,3,1：(2)作图见解析：(3)6 【解析】(I)解：：把三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形 DEF ,点A、B、C的对应点分别为点D、B、F, :D(-2+2,1+3),E(-3+2,-2+3).F(1+2,-2+3) 即D(0,4),E1,)F3,1 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D EL十 (2) -5-4-32-1八012345x 1 S=二×4×3=6 (3)解： 2 22. 【答案】(1)证明解析：(2)54° 【解析】证明：(1)，AE平分∠CAB, ∴.∠2=∠EAB, ∠2=∠3， .∠EAB=∠3， .DE∥AB: (2)解：设∠EAB=∠2=∠3=x, :DE∥AB,AE平分∠CAB, .∠CDE=∠CAB=2x,∠CED=∠B, :DF⊥CA,即∠CDF=90°， .∠1=∠CDF-∠CED=90°-2x, :∠1=∠B, 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CED=∠B=90°-2x, .∠CED=∠1， .DF∥CB, .∠AEC=∠AFD,∠C=∠ADF=90°， :∠DFA=72°， ∠AEC=72°， .∠2=180°-∠C-∠AEC=18°，即x=18°， ∠B=90-2x=54° 23】 【答案】(1)证明见解析：(2)见解析 【解析】(1)证明：：BD平分∠ABC,∠ABD=75°， :.∠DBC=∠ABD=75°， :∠C=30°， .∠D=180°-75°-30°=75°， ∴.∠ABD=∠D, .AB∥CD: (2)解：①∠AFD: :AE∥BC, .∠AFB=∠CBD=75°， 4/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AFD=180°-75°=105°： ②∠A: :AE∥BC, .∠AFB=∠CBD=75°， ∠A=180°-75°-75°=30°， 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24】 15 【答案】(1)44°：(2)134°：(3)2 【解析】(1)解：：CF⊥AB, .∠BFC=90°， ∠B=46°， .∠BCF=180°-∠BFC-∠B=44°： (2)解：AD⊥BC, .∠EDC=90°， .∠DEC=180°-∠EDC-∠BCF=46°， .∠AEC=180°-∠DEC=134°： (3)解：CF⊥AB,AD⊥BC, .wCF-8c.4D 2 :AB=8,BC=10,AD=6, ,CF=BC,4D_10x615 AB 82. 25】 【答案】(1)∠AEH=30°，∠EMG=40°：(2)40° 【解析】(1)解：：AB/CD,∠DFE=70°，∠DHE=30°， 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AEF=∠DFE=70°，∠AEH=∠DHE=30°， .∠MEF=∠AEF-∠AEH=40° .∠EFM+∠FMG=180°， .EF∥MG, .∠EMG=∠MEF=40°. (2)解：设∠PGM=a, :GP平分∠AGM, :.∠AGP=∠PGM=a,∠AGM=2∠PGM=2a. :∠4GP与2EG0 为对顶角， ∠EGQ=∠AGP=a AB∥CD,MN∥CD, .AB∥CD∥MN, :.∠GMW=∠AGM=2a,∠NMF+∠MFD=180° .∠GMF=∠GMN+∠NMF=100°， .∠NMF=100°-2a, :.∠MFD=180°-∠NMF=80°+2a. ,FE平分∠MFD, <EFD= ∠MFD=40°+a 2 7/10 可学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 ,AB∥CD, ∠AEF=∠EFD=40°+a, ·.∠EOG=∠AEF-∠EG0=40° 26. 【答案】(1)110°，125°：(2)100°：(3)∠A的度数为60°或120° 【解析】(1)解：：∠A=70°， :.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°， :BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, ,∠PBC+∠PCB=(LABC+∠ACB)=55° :∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=1250 (2)解：如图，连接BC, E B :∠BEC=130°， .∠EBC+∠ECB=180°-∠BEC=50°. :∠A=70°， 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠EBA+∠ECA=I80°-（∠EBC+∠ECB)-∠A=60° ,∠ABE,∠ACE的平分线BF,CF相交于点F, :∠EBF+∠ECF=2(∠EBA+∠ECA4=30 :∠BFC=180°-（∠EBC+∠ECB)-(∠EBF+∠ECF)=1O0° (3)解：：BP平分∠ABC,BN平分外角∠EBC,∠ABC+∠EBC=180°， 1 ∠PBN=÷∠ABC+三∠EBC=90° 2 2 即∠MBN=90°， 因此30°只能是∠M或∠BNM. 根据三角形外角的性质得到∠EBC+∠FCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A, :BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB, :∠NBC+∠NCB=90°+∠A 1 :∠BNG=180r-(2NBC+∠NCB)=90-An∠BNM=90e-1 2 ，即 < :∠M=180°-∠MBN-∠BMM=∠A 分情况讨论： 若∠M=30°，则2 ∠A=30° ,解得∠A=60°： 90°-1∠A=30° 若∠BNM=30°，则2 ，解得∠A=120°： 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，∠A的度数为60°或120°. 10/10 第十三章 三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】B 【解析】解：∵在中，， ∴是直角三角形． 2．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】解：等腰三角形两底角相等， 设底角为， 若为顶角，则， 解得：， 若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立， ∴只能是顶角，底角为． 3．下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】解：A．∵，∴不能组成三角形，不符合题意； B．∵，∴能组成三角形，符合题意； C．∵，∴不能组成三角形，不符合题意； D．∵，∴不能组成三角形，不符合题意． 4．如图，是的中线，，若的周长比的周长多2，则的长为（     ） A．5 B．7 C．8 D．12 【答案】C 【解析】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多2， ∴， ∴， 解得． 5．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（     ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【解析】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， 即， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 6．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（     ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 【答案】C 【解析】解：人能直立在地面上，不是运用了三角形稳定性，故A不符合； 校门口的自动伸缩栅栏门是运用了四边形的不稳定性，故B不符合； 古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故C符合； 自行车能在地面上运动而不会倒，不是运用了三角形稳定性，故D不符合． 7．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，点A表示轮船的初始位置，点B表示轮船行进中某一时刻的位置，当轮船从点A行驶到距离灯塔最近点时，此时的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵当轮船行驶到距离灯塔C最近点时， ∴此时轮船位置（即点B）与灯塔C的连线垂直于航线， ∴， ∴， 在中，， ∴． 8．已知一副三角板按如图方式摆放，其中，，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．一个等腰三角形两边长分别为4和9，则该三角形周长为（     ） A．17 B．22 C．17或22 D．13 【答案】B 【解析】解：分两种情况讨论： ①若腰长为4，底边长为9， ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去该情况； ②若腰长为9，底边长为4， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴该三角形的周长为． 10．如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交边于点D．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵绕点C顺时针旋转，得到， ∴， 又∵， ∴． 11．一把直尺和一把含有角的直角三角板按如图方式摆放，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵直尺的两边互相平行， ∴， ∵该三角板为含有角的直角三角板， ∴， ∴． 12．如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：解：∵， ， ∴，即，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即，， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， 在中，，故③正确； ∵，若平分，则需， 但根据已知条件不能推出，因此不能推出平分，结论④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图所示，图中共有三角形______个． 【答案】5 【解析】解：图中有：，，，，，共5个． 14．若三角形的两边长分别是3，4，最长边是奇数，则该三角形的周长是___________． 【答案】12 【解析】解：设该三角形的第三边长为x， 由题意得，即， ∵该三角形的最长边为奇数， ∴，且x为奇数， ∴， ∴该三角形的周长为． 15．如图，，分别是的高和角平分线，若，，则___________． 【答案】 【解析】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴． 16．如图，，若，则________． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】解：如图，延长交于M， ∵平分，平分， ∴，， 可设，，则，， ∵，， ∴，， 即，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18．如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 同理可得 ， 归纳类推得，其中n为正整数， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 【答案】 【解析】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴，得；，得；，得， ∴原式 ． 20．（8分）如图，、分别是的高和中线，若，，，． （1）求的长； （2）求与的周长差． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 21．（8分）如图，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，点A、B、C的对应点分别为点D、E、F． （1）直接写出坐标：D（____，____），E（_____，_____），F（_____，_____）． （2）画出平移后的三角形． （3）求三角形的面积． 【答案】（1）0，4, ，1，3，1；（2）作图见解析；（3）6 【解析】（1）解：∵把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，点A、B、C的对应点分别为点D、E、F， ∴，，， 即，，； （2）； （3）解：． 22．（8分）如图，平分，，． （1）请说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明解析；（2） 【解析】证明：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵，平分， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 23．（10分）如图，平分，，，，交于点F，点D，E，C在一条直线上． （1）求证：； （2）若，求________的度数．请从①，②中选择一项填在空格处（填写序号），并写出求解过程． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析 【解析】（1）证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①； ∵， ∴， ∴； ②； ∵， ∴， ∴． 24．（10分）如图，在中，，，于点F，于点D，与交于点E，． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）若，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵，，， ∴． 25．（10分）【问题背景】如图，直线，点E、F分别在直线、上，连接，点G在上，点M在的左侧，且在直线、之间，连接、． （1）【问题探究】如图1，连接并延长交于点H．若，，，求及的度数； （2）【问题解决】如图2，平分，分别延长、交于点Q，过点M作．若平分，，求的度数． 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）解：∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：设， ∵平分， ∴，． ∵与为对顶角， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 26．（10分） 【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 （2）如图2，，的平分线，相交于点F，若，，求的度数； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，平分， 平分，平分外角，平分外角，延长，交于点M．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 【答案】（1），；（2）；（3）的度数为或 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的平分线，相交于点F， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分外角，， ∴，即， 因此只能是或． 根据三角形外角的性质得到， ∵平分外角，平分外角， ∴， ∴，即， ∴， 分情况讨论： 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述，的度数为或． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $