1.4用一元二次方程解决问题 第3周周日作业 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本练习为九年级数学“用一元二次方程解决问题”同步练，分层设计清晰，通过基础巩固与拓展提升的梯度设置，培养学生数学建模能力与问题解决意识，契合“用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界”的核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|涵盖增长率、几何图形、销售利润等一元二次方程应用类型，覆盖单知识点到简单综合|结合生活情境（如篮球比赛、商场营业额），题型多样（选择、填空、解答），注重等量关系建立与方程求解，强化模型意识| |拓展提升|综合应用一元二次方程解决销售利润与售价关系的项目式问题|以“玩偶销售”为背景，整合利润计算、函数关系分析，需分类讨论与方案优化，培养创新意识与批判性思维|

九年级数学第3周周日作业(1.4用一元二次方程解决问题) 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1．（2026•南岗区校级开学）某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2026•北碚区校级模拟）某商场今年1月份的营业额为200万元，3月份的营业额达到288万元，若这两个月营业额的月平均增长率相同，则每个月的平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．25% D．30% 3．（2026•海安市）如图，某养鸡户用一段14m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长7.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为28m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC的长为（　　） A．3.5m或4m B．7m或8m C．4m D．7m 第3题图 第4题图 第5题图 4．（2026春•鼓楼区校级期末）明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地…算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）后，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+102＝（x+1）2 B．x2+102＝x2 C．（x﹣4）2+102＝x2 D．x2+102＝（x﹣4）2 5．（2026•呼图壁县）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止移动，经过（　　）s，四边形APQC的面积等于16cm2． A．2s B．4s C．2s或4s D．无法确定 6．（2026•九龙坡区）某大宗商品原价为100万元，连续两次降价m%后售价为81万元，则m的值为　 　 ． 7．（2026•立山区模拟）小明给Deepseek发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？Deepseek给出的答案是　 　 ． 8．（2026秋•同步）一个两位数个位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字与十位上的数字的平方和为13，则这个两位数为　 　 ． 9．（2026•让胡路区校级模拟）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了　 　 人． 10．（2026•高新区校级二模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 　 　 元． 11．（2026•凉州区一模）某电子技术有限公司研发某种新型产品，2022年试生产100万件，经调研发现，市场需求旺盛，公司决定今明两年逐步扩大生产量，预计到2024年年产量达到144万件，求该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率． 12．（2026春•钱塘区校级期中）某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个． （1）商场为了保证经营该商品赚得8750元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？ （2）商场是否能获得10000元的利润？若能，请计算售价是多少；不能，请说明理由． 13．（2026•清江浦区模拟）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量y（件）与销售单价x（元）（x≥50）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该纪念品的月销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 14．（2026春•柯桥区期末）某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元； 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元． （1）如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票　 　 元； （2）现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 15．（2026春•栾城区校级期末）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元． （1）每天可销售　 　 件，每件盈利　 　 元；（用含x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元； （3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由． 【拓展提升】 16．（2026春•路桥区期末）综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 (1)若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是　 　个，每天的利润为　 　元； (2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； (3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 九年级数学第3周周日作业(1.4用一元二次方程解决问题) 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1．（2026•南岗区校级开学）某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（　B　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2026•北碚区校级模拟）某商场今年1月份的营业额为200万元，3月份的营业额达到288万元，若这两个月营业额的月平均增长率相同，则每个月的平均增长率为（　B　） A．10% B．20% C．25% D．30% 3．（2026•海安市）如图，某养鸡户用一段14m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长7.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为28m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC的长为（　D　） A．3.5m或4m B．7m或8m C．4m D．7m 第3题图 第4题图 第5题图 4．（2026春•鼓楼区校级期末）明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地…算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）后，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　C　） A．x2+102＝（x+1）2 B．x2+102＝x2 C．（x﹣4）2+102＝x2 D．x2+102＝（x﹣4）2 5．（2026•呼图壁县）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止移动，经过（　A　）s，四边形APQC的面积等于16cm2． A．2s B．4s C．2s或4s D．无法确定 解：点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴点P从点A到点B的时间为6÷1＝6（秒），点Q从点B到点C的时间为8÷2＝4（秒）， 设Q运动的时间为ts（0＜t≤4），∴AP＝tcm，BQ＝2tcm，∴BP＝（6﹣t）cm， ∵四边形APQC的面积等于16cm2，∴，∴， ∴，解得，t1＝2，t2＝4， 当t＝4时，点Q和点C重合，不能围成四边形，应舍去，∴t＝2． ∴经过2s时，四边形APQC的面积等于16cm2．故选：A． 6．（2026•九龙坡区）某大宗商品原价为100万元，连续两次降价m%后售价为81万元，则m的值为 10 ． 7．（2026•立山区模拟）小明给Deepseek发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？Deepseek给出的答案是　 2 　 ． 8．（2026秋•同步）一个两位数个位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字与十位上的数字的平方和为13，则这个两位数为　 23 　 ． 解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x﹣1），依题意得：x2+（x﹣1）2＝13， 整理得：x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣2， 又∵x为非负整数，∴x＝3，∴x﹣1＝3﹣1＝2，即这个两位数为23，故答案为：23． 9．（2026•让胡路区校级模拟）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了　 14 　 人． 解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 根据题意列一元二次方程得，1+x+x（1+x）＝225，解得x1＝14，x2＝﹣16， 因为传染人数不能为负数，所以舍去，x2＝﹣16． ∴每轮传染中平均一个人传染了14人，故答案为：14． 10．（2026•高新区校级二模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 　 54 　 元． 解：设每千克这种商品应定价为x元，则降价（60﹣x）元，平均每天的销售量增加10（60﹣x）件， 由题意得：（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240， 整理得：x2﹣110x+3024＝0，解得：x1＝54，x2＝56， ∵要使销量尽可能大，∴x＝54，故答案为：54． 11．（2026•凉州区一模）某电子技术有限公司研发某种新型产品，2022年试生产100万件，经调研发现，市场需求旺盛，公司决定今明两年逐步扩大生产量，预计到2024年年产量达到144万件，求该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率． 解：设该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为x． 根据题意列一元二次方程得，100（1+x）2＝144， 整理得，100x2+200x﹣44＝0， 解得x1＝0.20＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为20%． 12．（2026春•钱塘区校级期中）某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个． （1）商场为了保证经营该商品赚得8750元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？ （2）商场是否能获得10000元的利润？若能，请计算售价是多少；不能，请说明理由． 解：（1）设每个售价提高x元，根据题意可得：（50+x﹣40）（500﹣10x）＝8750， 解得x1＝15，x2＝25，根据实际情况x＝15，∴50+15＝65（元）， ∴售价应定为65元； （2）不能，理由如下： 根据题意得，（50+x﹣40）（500﹣10x）＝10000， 整理得，x2﹣40x+500＝0， ∵Δ＝（﹣40）2﹣4×1×500＝﹣400＜0， ∴商场不能获得10000元的利润． 13．（2026•清江浦区模拟）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量y（件）与销售单价x（元）（x≥50）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该纪念品的月销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（50，1000），（60，800）代入y＝kx+b得：，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+2000（x≥50）； （2）根据题意得：（x﹣50）（﹣20x+2000）＝12000， 整理得：x2﹣150x+5600＝0， 解得：x1＝70，x2＝80． 答：该纪念品当月的销售单价为70或80元． 14.（2026春•柯桥区期末）某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元； 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元． （1）如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票　 40 　 元； （2）现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 解：（1）根据题意得：50﹣2×（25﹣20）＝50﹣2×5＝50﹣10＝40（元）， ∴人均需支付电影票40元．故答案为：40； （2）设该公司有x名员工参加观影， ∵50×20＝1000（元）， ∴x＞20． 当20＜x≤31时，[50﹣2（x﹣20）]x＝1008， 整理得：x2﹣45x+504＝0，解得：x1＝21，x2＝24； 当x≥32时，28x＝1008，解得：x＝36． 答：该公司有21名或24名或36名员工参加观影． 15．（2026春•栾城区校级期末）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元． （1）每天可销售　 （20+2x） 　 件，每件盈利　 （40﹣x）　 元；（用含x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元； （3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由． 解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元， 故答案为：（20+2x），（40﹣x）； （2）根据题意，得：（20+2x）（40﹣x）＝1200．解得：x1＝20，x2＝10， ∵扩大销售量，增加利润，∴x＝20， 答：每件童装降价20元，平均每天盈利1200元； （3）依题意，可列方程： （40﹣x）（20+2x）＝2000， 化简，得x2﹣30x+600＝0， Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0． 故方程无实数根． 故平均每天销售利润不能达到2000元． 【拓展提升】 16．（2026春•路桥区期末）综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 (1)若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是　 200　个，每天的利润为　2000 　元； (2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； (3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 解：（1）当该玩偶的售价定为40元时，每个玩偶的销售利润为40﹣30＝10（元）， 商店每天卖出该玩偶的数量是100+10×（50﹣40）＝200（个）， 每天的利润为10×200＝2000（元）． 故答案为：200，2000； （2）设该玩偶的售价为x元，则每个玩偶的销售利润为（x﹣30）元，每天可卖出100+10（50﹣x）＝（600﹣10x）个， 根据题意得：（x﹣30）（600﹣10x）＝2240， 整理得：x2﹣90x+2024＝0， 解得：x1＝44，x2＝46． 答：该玩偶的售价为44元或46元； （3）商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元，理由如下： 假设商店每天销售该玩偶的利润能达到2500元，设该玩偶的售价为y元，则每个玩偶的销售利润为（y﹣30）元，每天可卖出（600﹣10y）个， 根据题意得：（y﹣30）（600﹣10y）＝2500， 整理得：y2﹣90y+2050＝0， ∵Δ＝（﹣90）2﹣4×1×2050＝﹣100＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， 即商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $