1.4 用一元二次方程解决问题 同步作业 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，采用双卷分层设计，主体题目确保知识巩固路径统一，少量差异题实现防抄袭与分层需求，配套双版答案提升教学效率。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点的概念理解与基本运算|常规题型巩固运算能力，匹配新授课基础目标| |提升层|综合知识点的应用与问题解决|差异题设计培养创新意识，实现适度提升|

防抄袭同步作业 · 通用说明文档 初中数学 · 授课教师参考 一、资料整体介绍 本资料是面向初中数学课堂的同步作业，专为防治作业抄袭而设计.兼顾分层作业和题型练习两个功能. 整套资料由四份文件组成：本说明文档、甲卷、乙卷、答案解析（详见板块四）. 甲、乙两卷主体题目完全一致，仅在极少数题目上设置差异【换题目数据，调整选项位置等细微差异】，既保留常规作业形态，又让抄袭无处遁形. 二、防抄袭设计说明 以下仅说明成品特性，便于教师快速了解资料结构： 1　 双卷结构：资料分为甲、乙两套学生卷，并为教师配套【教师速抄版答案】与【详细分步解析版】两套答案，批改时各取所需. 2　 少量差异题：随机选取少量题目制作差异试题，其余题目在甲、乙两卷中保持一致，最大程度减轻教师的批改与讲评负担. 三、教师使用指导 · 发卷：甲、乙两卷随机发放即可；学生不仔细审题无法分辨自己拿到的是哪一版. · 批改：绝大多数题目两卷答案相同，可照常批改；少数差异题请对照《答案解析》首页的差异题提示，核对该生所答卷面的答案. · 讲评：直接使用《答案解析》中的分步解析版，甲、乙两卷通用，无需分别准备. 四、配套文件说明 本套资料共包含以下 4 份文件，均可单独打印与分发： 文件 说明 通用说明文档 防抄袭设计说明与教师使用指引（即本文件） 甲卷 学生练习卷 乙卷 学生练习卷 答案解析 教师用：速抄版答案 + 分步解析版，首页标注差异题 学科网（北京）股份有限公司 $九年级上 1.4 用一元二次方程解决问题　同步作业·答案与解析 本次防抄袭差异题题号 甲、乙卷仅以下题目的题干内部数字不同（解题方法相同、答案不同），其余各题两卷完全一致.批改时以该生所答卷面为准： 　　第 2 题、第 6 题、第 15 题 第一部分　答案速查版（批改用） 甲、乙卷答案或解法不同者只列一次；不同者行首标「异」并以两栏并排（左甲/右乙）呈现，乙栏标红.（空答案题显示「详见解析」） 1．B．8000（1+x＝12000 【异】2． 【甲】 72（1+x＝100 【乙】 50（1+x＝72 3．A．x（60﹣x）＝864 4．x（30+2﹣2x）＝120 5．（32﹣x）（20﹣x）＝540 【异】6． 【甲】 6 【乙】 7 7．（800+1000x）（1+x）＝892.5 8．C．11支 9．C．2米 10．（1）当羊圈的长为40m、宽为16m，或长为32m、宽为20m时，能围成一个面积为640的羊圈；（2）羊圈的面积不能达到650． 11．B．10人 12．C．（20+2x）（40﹣x）＝1250 13．54 14．（1）每天销售T恤衫的利润为1152元；（2）每件T恤衫的销售价应定为75元；（3）小明每天不能获得1200元的利润． 【异】15． 【甲】 9个 【乙】 11个 16．（1）每天可销售450件商品，商场获得的日盈利是6750元；（2）每件商品售价为60元或80元时，商场日盈利可达到8000元． 17．（1）二、三这两个月的月平均增长率为25%；（2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 18．（1）BQ＝x cm，PB＝（8﹣2x）cm；（2）当x时，△PBQ为等腰三角形；（3）存在，当x＝2时，四边形APQC的面积等于20cm． 19．小道进出口的宽度应为1米 第二部分　分步详解（讲评用） 第 1 题　基础层　【来源：2026•厦门校级模拟】 【解答】 A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 　　设每月增长率为x， 　　则二月份销量为8000（1+x），三月份销量为二月份的（1+x）倍，即8000（1+x． 　　∵一月份的8000辆增加到三月份的12000辆， 　　∴8000（1+x＝12000． 　　答：B．8000（1+x＝12000 第 2 题　基础层　【来源：2026•鼓楼区一模】 【解答】 【甲卷】 题干：某商品经过两次涨价，由每件72元涨至100元，求这两次涨价的平均增长率．设平均增长率为x，则可以列方程为 ___ ． 根据题意得：72（1+x＝100． 【乙卷】 题干：某商品经过两次涨价，由每件50元涨至72元，求这两次涨价的平均增长率．设平均增长率为x，则可以列方程为 ___ ． 【解答】解：根据题意得：50（1+x＝72． 故答案为：50（1+x＝72． 第 3 题　基础层　【来源：2025•遵义期末】 【解答】 A．x（60﹣x）＝864 B．x（x﹣60）＝864 C．x（60+x）＝864 D．[x+（x+60）]＝864 　　∵矩形田地的长与宽共60步，且这个矩形的宽为x步， 　　∴这个矩形的长为（60﹣x）步． 　　∵这个矩形田地的面积为864平方步， 　　∴根据题意得：（60﹣x）x＝864． 　　答：A．x（60﹣x）＝864 第 4 题　基础层　【来源：2026•建邺区校级月考】 【解答】 　　∵木栏长30m，且EF＝2m，AB＝xm， 　　∴BC＝30+EF﹣2AB＝（30+2﹣2x）m． 　　根据题意得：x（30+2﹣2x）＝120． 第 5 题　基础层　【来源：2025•三原县期末】 【解答】 　　∵道路的宽为x米， 　　∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形． 　　依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540． 第 6 题　基础层　【来源：2025•汉中期末】 【解答】 【甲卷】 题干：《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有 ___ 个人． 设诸侯共有x人，则每人行礼（x﹣1）次， 由题意得：， 即：﹣x﹣30＝0， 解得：＝6，＝﹣5（不合题意，舍去）， 故诸侯共有6人． 【乙卷】 题干：《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖二十一次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为21次），则诸侯有 ___ 个人． 【解答】解：设诸侯共有x人，则每人行礼（x﹣1）次， 由题意得：x（x﹣1）＝21， 即：﹣x﹣42＝0， 解得：＝7，＝﹣6（不合题意，舍去）， 故诸侯共有7人． 故答案为：7． 第 7 题　基础层　【来源：2025•浦东新区期末】 【解答】 　　若存款的年利率为x，这样到期后账户里有892.5元， 　　则第一年提取200元后存款为1000×（1+x）﹣200， 　　（800+1000x）（1+x）＝892.5． 第 8 题　提升层　【来源：2026•中山市校级二模】 【解答】 A．9支 B．10支 C．11支 D．12支 　　设参加比赛的球队有x支， 　　依题意得，x（x﹣1）＝110， 　　整理得：﹣x﹣110＝0， 　　解得：＝11，＝﹣10（不符合题意，舍去）， 　　∴共有11支球队参加比赛． 　　答：C．11支 第 9 题　提升层　【来源：2025•成都期末】 【解答】 A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 　　设劳动基地中的道路宽为x米， 　　由题意得，（34﹣2x）（18﹣x）＝480， 　　整理得：﹣35x+66＝0， 　　解得：＝2，＝33（不符合题意，舍去）， 　　即劳动基地中的道路宽为2米， 　　答：C．2米 第 10 题　提升层　【来源：2026•垦利区期末】 【解答】 　　（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m． 　　根据题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝640． 　　解得＝16，＝20． 　　当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40； 　　当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32． 　　当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640的羊圈； 　　（2）不能，理由如下： 　　由题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝650． 　　整理得，﹣36x+325＝0． 　　∵Δ＝（﹣36﹣4×325＝﹣4＜0， 　　∴一元二次方程没有实数根． 　　∴羊圈的面积不能达到650． 　　答：（1）当羊圈的长为40m、宽为16m，或长为32m、宽为20m时，能围成一个面积为640的羊圈；（2）羊圈的面积不能达到650． 第 11 题　提升层　【来源：2025•南郑区期末】 【解答】 A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 　　设参加聚会的人有x人，则每人需赠送出（x﹣1）份礼物， 　　依题意得：x（x﹣1）＝90， 　　整理得：﹣x﹣90＝0， 　　解得：＝10，＝﹣9（不符合题意，舍去）， 　　∴参加聚会的人有10人． 　　答：B．10人 第 12 题　提升层　【来源：2025•天河区期末】 【解答】 A．（20+x）（40﹣2x）＝1250 B．20×（40﹣x）＝1250 C．（20+2x）（40﹣x）＝1250 D．40×（20+2x）＝1250 　　由题意，∵总利润＝单件利润×销售量，且纪念品的单价降了x元， 　　∴（40﹣x）（20+2x）＝1250． 　　答：C．（20+2x）（40﹣x）＝1250 第 13 题　提升层　【来源：2026•高新区校级二模】 【解答】 　　设每千克这种商品应定价为x元，则降价（60﹣x）元，平均每天的销售量增加10（60﹣x）件， 　　由题意得：（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240， 　　整理得：﹣110x+3024＝0， 　　解得：＝54，＝56， 　　∵要使销量尽可能大， 　　∴x＝54， 第 14 题　提升层　【来源：2025•赣州期末】 【解答】 　　（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 　　降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． 　　（2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， 　　∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． 　　∴x＝5或x＝25． 　　又∵优惠最大， 　　∴x＝25． 　　∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 　　小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． 　　（3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 　　根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， 　　∴﹣30x+200＝0． 　　∴＝10，＝20． 　　∵每件T恤衫的利润率不低于55%， 　　∴100﹣x﹣60≥60×55%． 　　∴x≤7． 　　∴x无解． 　　∴小明每天不能获得1200元的利润． 　　答：（1）每天销售T恤衫的利润为1152元；（2）每件T恤衫的销售价应定为75元；（3）小明每天不能获得1200元的利润． 第 15 题　提升层　【来源：2026•利津县期末】 【解答】 【甲卷】 题干：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 ___ 小分支． 设每个支干长出x个小分支，则1+x+＝91， 解得：＝9，＝﹣10（舍去）， ∴每个支干长出9个小分支． 【乙卷】 题干：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是133，每个支干长出 ___ 小分支． 【解答】解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+＝133， 解得：＝11，＝﹣12（舍去）， ∴每个支干长出11个小分支． 故答案为：11个． 第 16 题　拓展层　【来源：2025•卢龙县期末】 【解答】 　　（1）当每件商品售价为55元时，比每件商品售价50元高出5元， 　　即55﹣50＝5（元）， 　　则每天可销售商品450件，即500﹣5×10＝450（件）， 　　商场可获日盈利为（55﹣40）×450＝6750（元）． 　　每天可销售450件商品，商场获得的日盈利是6750元； 　　（2）设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元． 　　则每件商品比50元高出（x﹣50）元，每件可盈利（x﹣40）元， 　　每日销售商品为500﹣10×（x﹣50）＝1000﹣10x（件）． 　　依题意得方程（1000﹣10x）（x﹣40）＝8000， 　　整理，得﹣140x+4800＝0， 　　解得x＝60或80． 　　每件商品售价为60或80元时，商场日盈利达到8000元． 　　答：（1）每天可销售450件商品，商场获得的日盈利是6750元；（2）每件商品售价为60元或80元时，商场日盈利可达到8000元． 第 17 题　拓展层　【来源：2024•常德期末】 【解答】 　　（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得： 　　256（1+x＝400， 　　解得：，（不合题意舍去）． 　　二、三这两个月的月平均增长率为25%； 　　（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得： 　　（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250， 　　解得：＝5，＝﹣70（不合题意舍去）． 　　当商品降价5元时，商场获利4250元． 　　答：（1）二、三这两个月的月平均增长率为25%；（2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 第 18 题　拓展层　【来源：2026•合肥校级期中】 【解答】 　　（1）∵∠B＝90°，AC＝10，BC＝6， 　　∴AB＝8． 　　∴BQ＝x，PB＝8﹣2x； 　　（2）由题意，得 　　8﹣2x＝x， 　　∴x． 　　∴当x时，△PBQ为等腰三角形； 　　（3）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20， 　　则， 　　解得＝＝2． 　　假设成立，所以当x＝2时，四边形APQC面积的面积等于20． 　　答：（1）BQ＝x cm，PB＝（8﹣2x）cm；（2）当x时，△PBQ为等腰三角形；（3）存在，当x＝2时，四边形APQC的面积等于20cm． 第 19 题　拓展层　【来源：2024•海淀区校级期中】 【解答】 　　设小道进出口的宽度为x米， 　　依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532． 　　整理，得﹣35x+34＝0． 　　解得，＝1，＝34． 　　∵34＞20（不合题意，舍去）， 　　∴x＝1． 　　小道进出口的宽度应为1米． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $九年级上 1.4 用一元二次方程解决问题　同步作业 九年级上 1.4 用一元二次方程解决问题　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 · 分层题型目录 题型一　增长率问题 1–2 题型二　面积问题 3–5 题型三　握手问题 6 题型四　利息问题 7 提升练习 · 分层题型目录 题型一　双循环问题 8 题型二　面积问题 9–10 题型三　握手问题 11 题型四　销售利润问题 12–14 题型五　传播问题 15 拓展练习 · 分层题型目录 题型一　销售利润问题 16 题型二　增长率问题 17 题型三　动点问题 18 题型四　面积问题 19 基础练习 题型一　增长率问题 1．【A】【来源：2026•厦门校级模拟】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ___ ） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 2．【A】【来源：2026•鼓楼区一模】某商品经过两次涨价，由每件50元涨至72元，求这两次涨价的平均增长率．设平均增长率为x，则可以列方程为 ___ ． 题型二　面积问题 3．【A】【来源：2025•遵义期末】中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（ ___ ） A．x（60﹣x）＝864 B．x（x﹣60）＝864 C．x（60+x）＝864 D．[x+（x+60）]＝864 4．【A】【来源：2026•建邺区校级月考】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），墙对面有一个2米宽的门（EF），另外三边用木栏围成，木栏长30m．若养鸡场面积为120，设AB＝xm，则列方程得 ___ ． 5．【A】【来源：2025•三原县期末】如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为 ___ ． 题型三　握手问题 6．【A】【来源：2025•汉中期末】《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖二十一次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为21次），则诸侯有 ___ 个人． 题型四　利息问题 7．【A】【来源：2025•浦东新区期末】小杰将1000元压岁钱按一年定期存入银行，到期后取出200元用来购买学习用品，剩下的800元和应得的利息又全部按一年定期存入银行．若存款的年利率为x，这样到期后账户里有892.5元，由题意可列方程： ___ ． 提升练习 题型一　双循环问题 8．【B】【来源：2026•中山市校级二模】村“BA”是指乡村篮球赛，近年来，村“BA”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛110场，则参加比赛的球队有（ ___ ） A．9支 B．10支 C．11支 D．12支 题型二　面积问题 9．【B】【来源：2025•成都期末】如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（ ___ ） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 10．【B】【来源：2026•垦利区期末】如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 题型三　握手问题 11．【B】【来源：2025•南郑区期末】在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ___ ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 题型四　销售利润问题 12．【B】【来源：2025•天河区期末】某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了x元，则x满足的方程为（ ___ ） A．（20+x）（40﹣2x）＝1250 B．20×（40﹣x）＝1250 C．（20+2x）（40﹣x）＝1250 D．40×（20+2x）＝1250 13．【B】【来源：2026•高新区校级二模】某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 ___ 元． 14．【B】【来源：2025•赣州期末】小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？（3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 题型五　传播问题 15．【B】【来源：2026•利津县期末】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是133，每个支干长出 ___ 小分支． 拓展练习 题型一　销售利润问题 16．【C】【来源：2025•卢龙县期末】商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ （2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？ 题型二　增长率问题 17．【C】【来源：2024•常德期末】某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 题型三　动点问题 18．【C】【来源：2026•合肥校级期中】如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 题型四　面积问题 19．【C】【来源：2024•海淀区校级期中】如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532，求小道进出口的宽度． 学科网（北京）股份有限公司 $九年级上 1.4 用一元二次方程解决问题　同步作业 九年级上 1.4 用一元二次方程解决问题　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 · 分层题型目录 题型一　增长率问题 1–2 题型二　面积问题 3–5 题型三　握手问题 6 题型四　利息问题 7 提升练习 · 分层题型目录 题型一　双循环问题 8 题型二　面积问题 9–10 题型三　握手问题 11 题型四　销售利润问题 12–14 题型五　传播问题 15 拓展练习 · 分层题型目录 题型一　销售利润问题 16 题型二　增长率问题 17 题型三　动点问题 18 题型四　面积问题 19 基础练习 题型一　增长率问题 1．【A】【来源：2026•厦门校级模拟】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ___ ） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 2．【A】【来源：2026•鼓楼区一模】某商品经过两次涨价，由每件72元涨至100元，求这两次涨价的平均增长率．设平均增长率为x，则可以列方程为 ___ ． 题型二　面积问题 3．【A】【来源：2025•遵义期末】中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（ ___ ） A．x（60﹣x）＝864 B．x（x﹣60）＝864 C．x（60+x）＝864 D．[x+（x+60）]＝864 4．【A】【来源：2026•建邺区校级月考】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），墙对面有一个2米宽的门（EF），另外三边用木栏围成，木栏长30m．若养鸡场面积为120，设AB＝xm，则列方程得 ___ ． 5．【A】【来源：2025•三原县期末】如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为 ___ ． 题型三　握手问题 6．【A】【来源：2025•汉中期末】《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有 ___ 个人． 题型四　利息问题 7．【A】【来源：2025•浦东新区期末】小杰将1000元压岁钱按一年定期存入银行，到期后取出200元用来购买学习用品，剩下的800元和应得的利息又全部按一年定期存入银行．若存款的年利率为x，这样到期后账户里有892.5元，由题意可列方程： ___ ． 提升练习 题型一　双循环问题 8．【B】【来源：2026•中山市校级二模】村“BA”是指乡村篮球赛，近年来，村“BA”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛110场，则参加比赛的球队有（ ___ ） A．9支 B．10支 C．11支 D．12支 题型二　面积问题 9．【B】【来源：2025•成都期末】如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（ ___ ） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 10．【B】【来源：2026•垦利区期末】如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 题型三　握手问题 11．【B】【来源：2025•南郑区期末】在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ___ ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 题型四　销售利润问题 12．【B】【来源：2025•天河区期末】某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了x元，则x满足的方程为（ ___ ） A．（20+x）（40﹣2x）＝1250 B．20×（40﹣x）＝1250 C．（20+2x）（40﹣x）＝1250 D．40×（20+2x）＝1250 13．【B】【来源：2026•高新区校级二模】某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 ___ 元． 14．【B】【来源：2025•赣州期末】小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？（3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 题型五　传播问题 15．【B】【来源：2026•利津县期末】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 ___ 小分支． 拓展练习 题型一　销售利润问题 16．【C】【来源：2025•卢龙县期末】商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ （2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？ 题型二　增长率问题 17．【C】【来源：2024•常德期末】某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 题型三　动点问题 18．【C】【来源：2026•合肥校级期中】如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 题型四　面积问题 19．【C】【来源：2024•海淀区校级期中】如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532，求小道进出口的宽度． 学科网（北京）股份有限公司 $