青海西宁市大通回族土族自治县2027届高三上学期摸底考试数学试卷

青海省大通县2027届高三摸底考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知平面向量，，若，则 A． B． C． D． 4．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯 A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏 5．已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，且，则 A． B． C． D． 6．若直线与圆有公共点，则实数的值不可能是 A．1 B．0 C． D． 7．已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为 A． B． C． D． 8．已知，且，若函数在R上单调递减，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．高考体检是考生参加高考的重要环节，某组考生的身高（单位：cm）分别是170，167，162，175，178，180，则这组数据的 A．极差为18 B．40%分位数为170 C．平均数为170 D．方差为 10．将函数的图象向左平移（）个单位长度得到函数的图象．若的图象关于点对称，则 A．的值可以为，是的一个周期 B．的最小值为，是的一个周期 C．的最小值为，的图象关于直线对称 D．的值可以为，的图象关于直线对称 11．已知抛物线：的焦点为，点在圆：上，则 A．的焦点为 B．圆与的准线相交 C．圆上到轴距离为3的点有4个 D．存在与圆和抛物线都相切的直线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，当x时，取得极小值0，则________． 13．在等比数列中，，，则________． 14．从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出2个奇数数字和2个偶数数字，组成奇数数字相邻且没有重复数字的四位数，则这样的四位数的个数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某种产品今年6月份到10月份的月份代码与月利润（万元）的数据统计如下， 月份 6月 7月 8月 9月 10月 1 2 3 4 5 3.7 4.7 4.9 5.4 6.3 （1）求关于的经验回归方程，并预测今年12月份该产品的月利润； （2）现从这5个月中随机抽取2个月，记这2个月中共有个月的月利润不低于5万元，求的分布列与数学期望． 附：经验回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：， 16．（本小题满分15分） 在中，内角，，的对边分别是，，，且 （1）求角； （2）若的面积为4，，求边上的高． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点是棱上的一点（不同于端点），且． （1）求证：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题满分17分） 已知双曲线的焦距为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，其中，． （1）求的方程； （2）是否存在过点的直线与交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若在上有两个零点，求实数的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海省大通县2027届高三摸底考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C 9．ABD 10．BD 11．ACD 12．1 13．10 14．180 15．解：（1）由，， 1分 ， 2分 ， 3分 所以，， 5分 所以关于的经验回归方程为． 6分 12月份对应代码为7，当时，， 由此预测该产品12月份的月利润为7.36万元． 7分 （2）由题知的取值可能为0，1，2， 8分 则，，， 11分 的分布列为 0 1 2 故． 13分 16．解：（1）由正弦定理及，得， 3分 因为，所以，，所以． 5分 又，所以． 7分 （2）因为的面积为4，，所以，解得． 9分 由余弦定理，得， 所以． 12分 设边上的高为，则，解得，即边上的高为． 15分 17．（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以． 1分 因为底面是矩形，所以，又，平面，平面， 所以平面． 3分 因为平面，所以． 4分 又，，平面，平面，所以平面． 5分 又平面，所以． 6分 又因为，所以为的中点，所以． 7分 （2）解：不妨设，则，，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，所以，，，，．设平面PBC的一个法向量，所以令，解得，，所以． 9分 设平面AEC的一个法向量，所以令，解得，，所以． 11分 设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值是． 15分 18．解：（1）记C的焦距为，由题意可得，即， 1分 设直线的倾斜角为，则， 2分 直线的斜率为， 所以，解得， 5分 所以，则C的方程为． 6分 （2）假设存在过点的直线与交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形，则直线的斜率显然存在，设的方程为，M，N， 由消去整理得， 8分 由解得且， 9分 则所以． 11分 记的中点为，则， 12分 当时，，符合题意． 13分 当时，为使构成以为顶点的等腰三角形，只需，所以， 即，整理得，解得（舍）或， 15分 所以直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 17分 19．（1）解：的定义域为，． 当时，，在上单调递增； 2分 当时，由得，由得，由得， 在上单调递减，在上单调递增． 4分 （2）解：因为在上有两个零点，所以，由得， 令，则， 所以，时，；时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 6分 有极大值，也就是最大值为， 又，时，， 7分 所以在上有两个零点时，，所以，即的取值范围是． 8分 （3）证明：因为有两个极值点，， 所以，有两个实数根，， 9分 所以，， 10分 设， 将代入，得所以． 13分 所以要证，只需证，即． 14分 设，则． 令，则，可知在上为增函数． 15分 又，所以时，，在上为增函数． 所以，即成立， 16分 所以成立． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $青海省大通县2027届高三摸底考试 数学答题卡 条形码粘贴处 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、准考 考 证 夕 注 证号填写清楚。 2.选择题使用2B铅笔填涂：如需改动，用橡皮擦干 意 净后，再选择其他答案标号：非选择题使用黑色 事 碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序 [0] [0 [0][0][0] [0][0][0] [0 在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 项 [1] [1][1 [1][1][1[1J 的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效 [2 [2][2][2][2 1[ [2 3.保持卡面清洁，不折叠、不破损 [3 [3][3][3][3] 3 123 「4 [4][4 [4][4] 填 正确填涂：■ [5 [5] [5 [5 [5 [5 错误填涂：中这的C口p口 [6 [6] [6 6 ] [6 范 [7 缺考 ◇ [7 [7 8 [8][8][8] [8][8 例 ■ 标记 9 [91[9][9][9][9][9] [9 [9 选择题（请用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 6CA][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7 CA][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A]LB][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写）】 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高三摸底考试·数学第1页（共2页）27-L-029C 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高三摸底考试·数学第2页（共2页）27-L-029C 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！