陕晋宁青地区2025-2026学年高三上学期12月联合质量检测数学试卷

数学 本试卷4页。总分150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合M={-2,0,2},N=(x|x≤1)，则M∩N= A.{-1,0,1) B.(-2,0） C.(-1,1) D.(0,1,2)} 2.设复数z满足(1一i)z=2i,则|z|= ( 人号 B.1 C.√瓦 D.2 3.已知a∈R,则“>1”是“a<1"的 a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在△ABC中，点D满足BD=3D芯，则AD= A.A+A B.AB+3AC c.号店+号ac D.+子Ad 5.若直线ax十y一1=0与圆x2+y2-2x一8y+16=0相切，则a= A是 B-是 c D.- 6.若cos(a-牙)=号，则sin acos= 7 A.50 B品 c房 D 7.记数列{an)的前n项和为Sn,若a1=1,an+1一3Sn=1,则a5= A.64 B.81 C.256 D.1024 8.已知函数f(x)的定义域是R,f(x一1)的图象关于点(1,0)中心对称，若f(3)=0,且对任意x1,x2∈ 《-0,0,1≠，都有)二f型<0，则不等式81》≥0的解集为 x2一x1 A[-号u(行) B【-号U[哈) c.[-号ou[5,] D.(-号u(哈剖 第1页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列函数中，在区间(0，十∞)上是增函数的是 A.y=sin x B.y=2 C.y=lzl D.y=x-3 10.下列不等式一定成立的是 A.E+是≥2 √x B如z+品2≥ 4 C.x2+z+23 D.(e+2)>az 1.已知椭圆C器+y2=1(a>1D的离心率为若点P在C上，F,F,分别是C的左，右焦点，则下列结论 正确的是 A.IPF+PF2|=4 B若IPF,-PFl-2,则co3∠F,PF,=-} C.椭圆C内接矩形周长的最大值为4√⑤ D.满足△F,PF2是直角三角形的点P有4个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2日知酸e)一e附》一 13.已知函数f(x)=2sinx十cos2x,则f(x)的最大值是 14.在四面体ABCD中，AD⊥DC,AB⊥BC,AB=CD=4,AD=BC=6,若异面直线BD与AC所成的角为 60°，则BD=一· 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=2sin(ax十p)(o>0,一受<p<)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式； (2)将f(x)的图象向左平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象，在△ABC中，内角A,B,C所对的边 分别是a,b,c.若g(A)=1,a=√5，求△ABC面积的最大值. 第2页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 16.（15分) 已知函数f(x)=x3一12x, (1)若斜率为15的直线L与曲线y=f(x)相切，求L的方程， (2)记曲线y=f(x)在点(t,f(t)(t>2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最 小值 17.(15分) 已知等比数列{an)中，a2=6,a3=l8.在an与am+1之间插人n个数，使得这n十2个数依次构成一个公差 为d。的等差数列. (1)求数列{an},(d.)的通项公式； (2)是否存在三个不同的正整数m,k,p,且m十p=2k,使得数列{dn}中的三项dm,dk,d。成等比数列？ 若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. 第3页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(17分) 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱OO中底面长轴AB=A'B'=4,短轴 长为2√5，F1,F2分别为下底面椭圆的左、右焦点，F2为上底面椭圆的右焦点，AA'=4,MN为下底面上过点 F2的一条动弦（与AB不重合），点Q在下底面椭圆上（与点A,B不重合），Q'是Q在上底面的投影. (1)证明：O'F1∥平面B'MN; (2)求四面体QMNF,的体积的取值范围； (3)设平面F1F2Q与平面F1O'Q'的夹角为0，求QF,·QF2tan0的最小值. 19.(17分) 对于定义域为R的函数y=g(x),若存在常数T>0,使得y=cos(g(x)是以T为周期的周期函数，则称 y=g(x)为“余弦周期函数”，且称T为其“余弦周期”.使得y=si(g(x)是以T为周期的周期函数，则称y= g(x)为“正弦周期函数”，且称T为其“正弦周期”. (1)判断函数f(x)=z十c0s云是否为“余弦周期函数”，并说明理由， (2)已知y=g(x)是以T为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若g(0)=π，g(T)=5π，求g(2T)的值； (3)已知y=h(x)是以T为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”，且Hx∈R,h(x)>0恒成立，若存在a>0 和A>0,使得对任意x∈R,都有h(x十a)=Ah(x),证明：y=h(x)是周期函数. 第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 答案与解析 2026届高三联合质量检测·数学 一、选择题 0<3x-1<3或3x-1<-3·或 1.B【解析】因为M={-2.0,2),N=《x|x≤1).所 x>0 以M∩N={-2,0). -3<3x-1<0或3x-1>3或3x-1=3或3x 2.C【解析】由已知得1(1一i):|=|2.从而11一 x<0 il|:|=12il,即21：|=2，所以|：|=√2. 1=-8或3x-1=0时<<号或-号<x<0或 3.A【解析】因为a∈R,所以上>1"等价于0<a< =言或x=-号或x=了所以解集为[-号0)儿 1”,所以>1”是“a<1”的充分不必要条件 [哈引 4.B【解折】由题知A币-A店+B币-A+子心- 二、选择题更多试题与答案，关注微信公众号：三晋高中指南 A店+是(C-A)=A店+AC 9.BC【解析】对于A,易知y=sinx在(0，十o)上既 有增区间又有减区间，故A错误：对于B,易知指数 5.D【解析】圆的标准方程为(x一1)+(y一4)=1、 函数y=2在(0，+∞)上单调递增，故B正确：对于 圆心为(1.4)，半径为1，根据题意得圆心(1,4)到直 C,当x>0时，y=|x|=x,则y=|x|在(0，十∞)上 线ar十y-1=0的距离d=十4-1=1，解 是增函数，故C正确：对于D,幂函数y=x-3在 √a+1 (0.十∞)上是减函数，故D错误 得a=一子 10.ACD【解析】对于A,由题F>0.则F+≥ 6.A【解析】因为sin acos=2sin2a,sin2a= 2F· =2,当且仅当x=1时，等号成立，故 cos(?-2）=2eos(f-a）-1=2cos(e-f 1=名所以na60se=0 7 A正确：对于B,当nx=-1,即=2kx+号x。 7.C【解析】当n≥2时、am=3S-1十1，所以 6∈Z时：有nx+=一22，故不等式不 am+1-an=3an,即am+1=4am,当n=1时.a:= 定成立，故B错误：对于C,由x≥0，则x2+ 3S1+1=4=4a1,所以数列{an}是首项为1，公比g 4=+1+4-22+车 4 为4的等比数列，则a:=a1g'=256. 8.C【解析】因为∫(x一1)的对称中心为(1,0)，所以 1=3,当且仅当(x2十1)=4，即x=士1时，等号成 ∫(.x)的对称中心为(0,0)，所以y=∫(x)为奇函数， 因为x:)二/型<0，所以y=(x)在(-∞， 立，故C正确：对于Dx-x+2=(x-)°+ J:-tI 0),(0,十∞)上为减函数.因为∫(3)=0，所以 行>0，故1n(e+号)>lnx(c>0).D正确， -3)=0.3x=D≥0=/3x-1D>0或 x x>0 1AC【得折】周为e一-号=+r6=1. f3x-1)0或/3x-1)=0= 所以a=2,c=3.对于A,由椭圆的定义可得|PF,|十 x<0 x≠0， |PF:1=2a=4,故A正确：对于B.|PF|-|PF21= CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 2026届高三联合质量检测 ·全国二卷· 2,结合|PF,1+|PF,l=4,可知|PF,l=3,|PF:|= =8 1,从而由余弦定理可得cos∠F,PF:= h6g=故EF=AC-AE-CFP +-装=- 8 810 2PF,·PF 213- 后 .在平面ABC中，过B作 故B错误：对于C.由上可得椭圆方程为号+y= BG∥EF,且BG=EF,连接FG,DG,故四边形 1,令x=2=sina(0<a<受）则内接矩形 BEFG是平行四边形，则BG=F三辰，且 ∠DBG=60°，因为四边形BEFG是平行四边形，且 周长l=4(2cosa十sina)=4V5sin(a+p),其 BE⊥AC,所以四边形BEFG为矩形，所以BG⊥ 中sinp=2, cos= 后放当a十p=受时，内接矩 1 FG.又BG∥EF,EF⊥DF,故BG⊥DF,又DF∩ FG=F,所以BG⊥平面DFG,故BG⊥DG,又 形周长的最大值为4√5，故C正确：当P为短轴顶点 时，os∠R,PR,=1PF,+lPE,=EP_ ∠DBG=60°，所以BD=2BG=2X10=20V3 √13 13 2PF·PF:I 安经X号--日·所以∠P,P:>营所以当 ∠F,PF:=90°时，满足条件的点P有4个，当 ∠PF,F:=90°或∠PF2F,=90°时，满足条件的点 P各有2个，所以满足△F,PF,是直角三角形的点 P有8个，如图，D错误. 法二：BD·AC=(BC+CD)·(AB+BC)= BC+CD·AC=BC心：+CD·(AD+DC)= BC-CD:=6°-4=20，且AC=√AB+BC= 2√/3.又异面直线BD与AC所成的角为60°，所以 |cos(Bi,Ac)1=」 晒：恋=分所以 DIACI 三、填空题 20 12.-1【解析】((3)-∫(（g3)=∫(-1)= 2131BD 分，所以1励1=20区，即BD 13 (-1)2025=-1. 20√13 13 13.号【解折】了(x)=2sinx+cos2r=-2sinx+ 四、解答题 2sin.x+1,令1=sinx,则1∈[-1.1]，设g(t)= 15解：1油烟周知，号-行-子-受 -22+20+1=-2(-)+2,放当1=2 所以最小正周期为T=π， 即sinr=时fx)=2 3 所以。-祭-经-2 (2分) 14.20压【解析】法一：由题意得△ADC,△ABC均 又/（牙）=2sin(2×牙+g)=2. 13 为直角三角形，故AC=√AD十CD=√36十16= 即2X牙+9=受+2kx,k∈乙：得9=2km,k∈Z。 2√3，如图，分别作△ABC和△ADC斜边上的高 (4分) BE,DF,则在Rt△ABC中，根据面积公式可知 BE=DF=1是，放AE=CF=√AB-BE= 又因为-受<9<受· 13 所以9=0. ·2· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP ·数学， 答案与解析 所以∫(.x)=2sin2.x. (6分) 则s0)=12(3-12)-d·2_2wu+60-6) (2)由(1)知∫(.x)=2sin2x, (32-12) (32-129 (12分) 所以g(x)=∫(e+)=2sin(2x+) (7分) 令S'()>0,得1>√6 由g(A)=2sim(2A+若）=1， 令S'(u)<0,得2<1<6， 所以S()在区间(2，√6)上单调递减，在区间 得n(2A+)=号 (8分) (√6，+o∞)上单调递增， 因为A是△ABC的内角， 所以S()的最小值为S(6)=72. (15分) 所以2A+若∈（合，1）、 17.解：(1)设等比数列(a.)的公比为g, 则g==18=3 所以21+若-得A- a:6 (10分) 又a:=a19=3a1=6, 由余弦定理，得3=6+6：-2×号≥26- 所以a1=2,所以a.=2×3"-1, 所以am+1=2X3". (3分) bc=bc,更多试题与答案，关注微信公众号：三晋高中指南 在a。与an+1之间插人n个数组成一个公差为d. 所以bc≤3，当且仅当b=c时，等号成立，(12分) 的等差数列， bcsin A1 1 2×3X 则am+1=an十(n+2-1)d., 因此，△ABC的面积为S= 2 即2X3"=2X3"-1+(n+1)dn, √335 则dn=4X3- 24Γ n十1 (6分) (2)不存在，理由如下： 即△ABC的面积的最大值为3 (13分) 假设在数列(dn》中存在三项dm,d,d。成等比 16.解：(1)因为∫(x)=x3-12x, 数列， 则(d)=dnd。, (7分) 所以f'(x)=3.x2-12, (1分) 324-: 设切点为(xo,x8-12xo), -行× p+1,即 k+1)F= 则3.x一12=15，即x6=9,得x。=士3. (3分) 3m+p-2 (m+1)(p+1) (10分) 所以∫(3)=33-12×3=-9，f(-3)=-33+ 12×3=9, 因为m十p=2k, 所以(k+1)2=(m+1)(p+1), (12分) 所以切点为(3，一9)，（一3,9）. (5分) 即k2+2k+1=mp+m+p+1, 所以1的方程为y十9=15(x一3)或y一9=15(x十3)， 即k2=mp, 即15.x-y-54=0或15.x-y+54=0.(6分) (k=mp, (2)由题意得切点为(1,13一121)，显然t≠0， 联立 2k=m+p 因为y=∫(x)在点(1,3一121)处的切线方程为 解得m=p=k,与题设矛盾， y-(13-121)=(312-12)(.x-1), 故在数列(dn}中不存在三项dm,d,d。成等比数列. 整理得y=(312-12)x-213. (7分) (15分) 令x=0,得y=-23, 18.(1)证明：如图，连接B'F2, 213 0 令y=0,得x=3r-121 (8分) 所以s)=×1-21…n2- 216 30-121>2), (10分) ·3· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 2026届高三联合质量检测 ·全国二卷· 由题意得2a=4,2b=23, 则Q且学+号=1 则a=2,b=3,c=√a2-b=1, OQ=(xoy00),0Fi=(0,-1,-4). 所以F,F2=2c=2,O'B'=a=2, 易得平面F,F,Q的一个法向量是n1=(0,0,1), 所以F,F:∥O'B'且F1F:=O'B'. 设平面F,O'Q'的法向量是n:=(r,s,q), 则四边形OB'F:F1是平行四边形， (2分) 所以B'F:∥O'F. O'Q·n:=rxo+syo=0, 则 又因为O'F,丈平面B'MN,B'F:C平面B'MN, oF,·n:=-s-4g=0, 所以O'F,∥平面B'MN. (4分) 令q=xo,得n:=(4yo,-4.xoxo), (12分) (2)解：以O为坐标原点建立如图所示的空间直角 则cos0=|cos(n1,n:)l= lxol 坐标系. √16y+17.x8 所以tan0=4y+g xo 所以a0=16计-16（言一专》 x (13分) 又QF=(-x0-1-yo0).QF:=(-xo1-yo0), 所以QF,.QF:=x8+(y。+1)(y。-1)=x8+ g-1=-了x+3. 下底面椭圆方程为号+号-1，。 (5分) o丽.Q丽an0=(-3xi+3)16(年-号） 设M(x1y1,0),N(x2y,0),MN:y=tx+1, [y=tx+1. 16(导+号-号)英中0<x, (15分) 联立y,x +3=1, 令m=x8∈(0,3]. 得(312+4)x2+61.x-9=0, (6分) 由函数性质知y=是+行在(0,3]上单调递减· m 且△=144(2+1)>0， 61 9 故c@,a丽ar0=16(号+号-3）=32 所以x1十x:=一30+4212：=一30+ (7分) (17分) 所以|x1-x:|=√(x1+x:)-4x1x= 12√+1 312+4 10.1)解：x)=x+c0s克 令l=+I≥1. 则f(x十4x)=x+4x十cost4红=x十4x十 2 12L 则|x1一xz|= 12 0中3+2 (8分) cos 2' 因为y=31+}在[1，+)上单调递增， 故cos(∫(x+4π)=cos(x+4r+cos乞)= 所以x1-x:|∈(0,3]， cos(+cos)-cos(f()), 由题可得Va=号Sanm,·AM'=号SA,= 所以(x)=x十co号是“余弦周期函数”.(4分) 号×2lF,Fllx-xl=音x-xl∈04. (2)解：因为y=g(x)是以T为“正弦周期”的“正 (10分) 弦周期函数”， (3)解：F,(0,-1,0),F:(0,1.0),0'(0,0,4). 所以sin(g(x十T)=sin(g(.x)对所有x成立. 设Q(.x0y00), (5分) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP ·数学 答案与解析 即g(x+T)=g(.x)+2kπ(k∈Z)或g(x+T)= 所以对Hx∈R,都有h(x十T)=h(x), π-g(.x)十2kπ(k∈Z). (6分) 故y=h(x)是周期函数. (15分) 若g(x+T)=g(.x)+2kπ(k∈Z). 若A>1,则同理可证（取n为负整数即可）. 则g(T)=g(0)+2kx(k∈Z), 综上y=h(x)是周期函数，得证 (17分) 则5x=元十2k元，k=2. 法二：假设y=h(x)不是周期函数， 则g(x+T)=g(.x)+4r. 则h(x+T)=h(x)与h(x十a)=h(x)均不恒 所以g(2T)=g(T+T)=g(T)十4x=5π十4x=9元. 成立 (8分) 显然A≠1， (11分) 若g(x十T)=π-g(x)+2kx(k∈Z), 因为h(x十T)=h(x)不恒成立， 则g(T)=π-g(0)+2kx(k∈Z), 所以存在x。∈R,使得h(x。十T)≠h(xo), 则5x=-x+2kx6=号e么.矛盾。 因为A∈(0,1)U(1,+∞)， 所以存在n∈Z,使得0<A"h(x。)≤1且0< 综上，g(2T)=9元. (10分) A"h(x。+T)≤1， (3)证明：法一：若A=1,则由h(x十a)=h(x)可 其中若A>1,取n为负整数：若0<A<1.取n 知y=h(x)为周期函数. (11分) 为正整数. (13分) 若0<A<1,则对任意x。∈R,存在正整数n,使得 由h(x+a)=Ah(x)可得，h(x+na)=A"h(x), 0<A"h(xo)≤1且0<A"h(x。十T)≤1. 由y=h(x)是以T为一个“余弦周期”的“余弦周 由h(.x十a)=Ah(x)可得，h(x十na)=A"h(x), 期函数”，可得cos(h(x+T))=cos(h(x), 由y=h(x)是以T为一个“余弦周期”的“余弦周 所以cos(A“h(x。十T))=cos(h(x。十a+T))= 期函数”，可得cos(h(x十T)=cos(h(x), cos(h (xo+na))=cos(A"h(xo)), (15分) 所以cos(A"h(x。+T))=cos(h(x。+na+ 因为y=cosx在(0,1]上单调递减. T))=cos(h(zo+na))=cos(A"h(zo)),(13) 所以A"h(xo十T)=A"h(xo), 因为y=cosx在(0,1]上单调递减， 所以Ah(xo十T)=A"h(xo), 即h(x。十T)=h(xo),矛盾，假设不成立.(16分) 即h(x。+T)=h(xo), 综上，y=h(x)是周期函数，得证. (17分) ·5· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP