湖北随州市曾都区第一高级中学2026-2027学年高二上学期数学综合练习3（9.17）

**基本信息** 覆盖立体几何、向量、概率等模块，通过三棱锥重心范围、电路保险匣概率等问题，考查空间观念与运算推理能力，适配高二周测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|圆锥体积、向量投影、复数虚部|基础概念辨析，如第4题空间基底坐标转换| |多选题|3/18|空间坐标系对称、电路概率|情境真实性，如第10题电路畅通概率计算| |填空题|3/15|向量共线、阳马（文化传承）|跨学科融合，如第13题《九章算术》阳马问题| |解答题|5/77|向量运算、解三角形、四棱锥线面角|分层设计，如第19题概率应用考查数据意识与逻辑推理|

曾都一中2026年秋高二上学期数学综合3 考试范围：必修二+选修一1.1-1.3；考试时间：2026-9-17--18:30--20:30 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆锥与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 2．已知非零向量、满足在方向的投影向量是，且，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 3．已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 4．若是空间的一个基底，且向量，则叫做向量在基底下的坐标．已知是空间的一个基底，而是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设表示事件“3件产品全不是次品”，表示事件“3件产品全是次品”，表示事件“3件产品中至少有1件是次品”，则下列结论正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与互斥但不对立 C. 任意两个事件均互斥 D. 与对立 6．已知轴上一点到点与点距离相等，则点的竖坐标为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7．在空间直角坐标系中，点在平面的投影的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，为的重心，，，，其中，，若交平面于点，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 第8题图 第10题图 第11题图 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在空间直角坐标系中，已知点，（与点不重合），则下列结论正确的是（   ） A．若点，关于平面对称，则 B．若点，关于轴对称，则 C．若，则 D．若，则 10．如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E. 盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是（ ） A. A，B两个盒子串联后畅通的概率为 B. D，E两个盒子并联后畅通的概率为 C. A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为 11．如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______． 13．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则_______. 14．如图为竖平面内的一些通道，图中线条均表示通道，一钢珠从入口处自上而下沿通道自由落下，则落入B处的概率是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 16.（15分）已知、、分别为的内角、、的对边． （1）满足，，且，求； （2）在（1）的条件下，若，且的面积为，求的周长； （3）在锐角中，若，求的取值范围． 17．（15分）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，.设． (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证：. 18．（17分）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 19.（17分）在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮通过的概率． (2)若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 学科网（北京）股份有限公司 曾都一中2026年秋高二上学期数学综合3答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C C A B D A C A BC ACD ABD 12.0 13.1 14. 15.【详解】（1），，，， 又，，. 因此，，. （2），. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. （3）在上的投影向量为. 16. （1）由，，且， 所以，即，化简整理得， 再由正弦定理得， 因为，，所以，且，所以． （2） 因为，所以， 由余弦定理可得 即，所以，所以的周长为． （3）因为，又由余弦定理，所以， 化简得， 因为，即，由正弦定理可得（*）， 又因为， 代入（*）化简得：，即， 又因为，，则，所以，即， 因是锐角三角形，故，解得， 由， 因为，所以，所以，所以的取值范围是. 17.（1）， . （2）因为， 所以，， ， 所以. （3）因为．所以. 18.（1）连接，交于点O，连接，因为四边形是正方形，所以O为中点， 又M为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2)因为平面，平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 连接，则直线与平面所成角的平面角为， 又平面，所以， 在正方形中，， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 在中，，， 所以直线与平面所成角为． 19.（1）设事件“甲通过第一轮比赛”，事件“甲通过第二轮比赛”， 事件“乙通过第一轮比赛”，事件“乙通过第二轮比赛”， 由题知相互独立，且． 记事件“乙恰好有一轮通过”，则，   又互斥， 所以当时， ， 即当时，乙恰好有一轮通过的概率为. （2）（i）记事件“甲、乙都恰好有一轮通过”，事件“甲、乙两轮都通过”， 则 ，①         ，②     由①②，得，解得.       （ii）记事件“甲两轮都通过”，事件“乙两轮都通过”，事件“甲、乙两人至少有一人两轮都通过”， 则，    则．    或. $