湖北华中科技大学附属中学2026-2027学年高二1班上学期数学周测3

高二1班数学周测3 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据数列的定义与性质来判断即可 【详解】数列的定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列，当知道首项和递推公式时，不一定可以写出这个数列的任何一项， 例如,若只知道首项是写不出后续项的，故①错，②中的,当时，故②错， 因为数列中的的取值为正整数，所以数列的图像是一个个孤立的点，故③对， 数列与数列排列顺序不一样，所以不是同一数列，故④错.所以正确的个数为1个. 2．已知等差数列中，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据等差数列的项的性质计算即可. 【详解】在等差数列中，由于，故，所以. 故选：D. 3．已知数列满足，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据数列的递推公式依次迭代即可； 【详解】由题意当时，得， 当时，得， 当时，得， 故选：C 4．已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累积法可得，根据与的关系计算即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 故选：C 5．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 6．四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设交于点，连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由平面，结合，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】连接，设交于点，连接， 因为四棱锥的底面是正方形，且每条侧棱的长都是底面边长的倍， 所以四棱锥为正四棱锥，可得平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，设底面边长为，则， 可得， 则， 假设在侧棱上存在一点，使得平面， 又因为平面，所以是平面的一个法向量， 设， 则， 由，可得，解得， 即当时，， 又因为平面，所以平面， 故侧棱上存在一点，使得平面，且. 7．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】先利用对称性将转化为（为原点关于直线的对称点），从而将问题转化为，求圆上动点到定点的最短距离，再由圆心到定点的距离减去半径即可得到最小值． 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 原点关于直线的对称点为，设， 则：，解得，所以， 由对称性，， 所以， 当为线与直线的交点时取等号， 所以问题转化为求圆上的动点到定点距离的最小值， 因为圆心到的距离为， 所以圆上点到 的最小距离为． 所以的最小值为． 8．如图，阴影部分的边界为四叶草曲线C，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆.记轴上的两个焦点为，，C在第一象限端点为P，若点P在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点，根据双曲线的定义求出，，则离心率可求. 【详解】 设分别为对应抛物线的焦点， 根据已知四点共圆，则， 根据图形的对称性可知，则, 设，，因为C在第一象限端点为P， 所以点P为抛物线和的交点， 将两边平方得到，将代入 得到， 解得，将代入解得，则， ，， 则，，因为点P在以，为焦点的双曲线上，，，则离心率为. 二、多选题 9．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（    ） A． B．四棱锥的外接球表面积为 C．的最小值为 D．与所成角的余弦值的最大值为 【答案】AC 【分析】A选项，证明线面垂直，得到线线垂直；B选项，找到外接球球心，求出外接球半径，进而求出表面积；C选项，将平面折到同一平面，进行求解即可；D选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式进行求解. 【详解】A选项，因为底面为正方形，所以⊥， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以，A正确； B选项，设，取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 又因为底面为正方形，所以， 即即为四棱锥的外接球球心， 因为，，所以，， 所以四棱锥的外接球半径为， 四棱锥的外接球表面积为，B错误； C选项，其中，，， 故，故， 将平面与平面展开到同一平面内，如图所示， 连接，交于点，此时取得最小值， 最小值为，C正确； D选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，，， 则， 所以，故， 故，， 所以，其中， 设与所成角为，则， 当时，， 若，则，令，则， 则， 因为，所以当，即，时， 取得最大值，最大值为， 若，则，令，则， 则， 因为，所以当，即时， 取得最大值，最大值为， 综上，与所成角的余弦最大值为，D错误 10．抛物线：（）的焦点为，直线：过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（    ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线性质判断A选项；利用抛物线定义将进行转化，再利用三角不等式求周长的最小值判断B选项；利用抛物线定义将进行转化后判断C选项；将直线方程与抛物线方程联立消元得到韦达定理，表示和点坐标，得到到轴的距离，进一步表示，再利用函数性质求最值即可判断D选项. 【详解】对于A，由直线：与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当，，共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率为，故，C错误； 对于D，由，得，， 所以，则， ，到轴的距离为， ，当且仅当时取得等号，故D正确． 11．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为，，，边长为斐波那契数的正方形所对应扇形面积记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据数列的递推公式可判断选项A，再根据累加法计算判断选项B，根据扇形的面积公式判断选项C，再次应用累加法及递推公式判断选项D. 【详解】由递推公式，可得，， 所以，A选项正确； 又由递推公式可得，，，类似的有， 累加得， 故错误，B选项错误； 由题可知扇形面积， 故， 故错误，C选项错误； 由， ， ， ， 类似的有， 累加得， 又，所以， 所以正确，D选项正确； 故选：AD. 三、填空题 12．设函数定义如下表，数列满足，且对任意自然数均有，则的值为________． 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 【答案】1 【分析】根据所给关系式推理数列的周期，根据周期计算的值． 【详解】由可得；；；；；……； 故数列为周期为4的周期数列， 因为，故． 13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算） 【答案】 【分析】根据题意将每等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案． 【详解】设第十等人得金斤，第九等人得金斤，以此类推，第一等人得金斤， 则数列构成等差数列，设公差为，则每一等人比下一等人多得斤金， 由题意得，即， 解得， 所以每一等人比下一等人多得斤金． 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前n项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题． 14．如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____. 【答案】 【分析】利用四点共面，求出相应最值，根据三元均值不等式求解即可 【详解】因为点分别为的三等分点， 所以， 又因为为中点，所以， 又，所以， 令，，，显然都为正数， 则， 因为四点共面，所以， 当且仅当时取等号，故， 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 因为，， 所以， 所以的最小值为. 四、解答题 15．已知数列满足，且 （1）求证，数列是等差数列； （2）求数列的通项公式并求其最大项． 【答案】①证明见解析；②；最大项为． 【分析】（1）利用等差数列的定义证明； （2）由（1）得到，然后论证其单调性求解. 【详解】（1）由题意得 ， ， ， 所以是等差数列，公差为，首项为1， （2）由（1）得， 所以， 而， 所以数列是递减数列， 所以数列的最大项为. 【点睛】方法点睛：数列单调性的判断方法：当数列是数列递增数列，则对恒成立；当数列是数列递减数列，则对恒成立， 16．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)， 故直线方程为：，化简可得：. 由于直线过，所以， 同理：方程：；方程：， 令，得，同理可得， ， 所以，所以为定值. 【分析】（1）首先求抛物线方程，再联立直线与抛物线方程，根据判别式，再结合条件，求斜率的取值范围； （2）首先利用坐标表示和的直线方程，再用坐标表示，即可证明. 【详解】（1）因为抛物线经过点，所以，解得， 设直线方程为，，，联立方程组可得， ，且解得，且， 又因为要与轴相交，故直线不能经过点，所以， 所以直线的斜率的取值范围是： （2）略 17．在如图（1）所示的平面图形中，四边形是直角梯形，，，，，和是两个正三角形．分别沿，将两个正三角形折起，使得平面和平面都与平面垂直，连接，，，得到如图（2）所示的几何体． (1)证明：平面平面． (2)求点D到平面的距离． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)设，的中点分别为M，N，连接，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以．     又，且，是平面内的两条相交线， ，是平面内的两条相交线，所以平面平面． (2) (3) 【分析】（1）利用面面平行判定定理的推论由，证明面面平行即可; （2）将点D到平面的距离看作三棱锥的高，利用等体积法求解即可; （3）设平面与平面夹角为，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过求解. 【详解】（1）略 （2）连接，可得，又， 所以平面，则，     在中，， 所以，    设点D到平面的距离为h，则． 易知平面，所以是三棱锥的高， 所以， 由，得，所以， 所以点D到平面的距离为． （3）如图，以M为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 可得，可取，，   所以．设平面的法向量为， 则，即，可得，可取，， 所以．    设平面与平面所成的角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．已知椭圆的离心率为，，为其左､右顶点，为椭圆上任意一点(除去，)且. （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线交曲线于，两点，又以为边的平行四边形交曲线于，，求的最大值，并求此时直线的方程. 【答案】（1）；（2）；. 【分析】（1）表示出MA，MB的直线斜率，根据条件求出参数a，b，从而求得椭圆方程. （2）△PQR的面积等价于△PQF1，设方程，联立圆锥曲线，求得弦长，表达出△PQR面积表达式，借助函数解决面积最值问题. 【详解】（1）令，则， ，又， ， 故所求椭圆的方程为. （2）由椭圆方程的对称性知平行四边形的另一边过点， 如图，，到的距离等于到的距离， 又，， 令直线的方程为 联立， 显然且，， 令，， 令，则， ， 在为单调递增函数， ， 当且仅当，即时，的最大值为，此时直线自方程为. 【点睛】方法点睛：利用联立直线与圆锥曲线方程得到面积的函数表达式，借助函数来解决最值问题. 19．在平面直角坐标系中，动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆的圆心的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设为坐标原点，过点且与坐标轴不垂直的直线与轨迹交于，两点，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由； (3)过点且不垂直于轴的直线与轨迹交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)存在，，理由如下： 因为，所以. 取的中点，连接，则，即，则. 设直线的方程为，，则， 联立，得. 则，， 因为直线与双曲线的右支交于不同两点， 所以，，得， 则，，即， 则，得， 因为，所以， 故的取值范围为. (3) 由曲线的对称性知定点必在轴上， 由题意可设直线的方程为，，， 由对称性知点， 故直线的方程为. 令得 .   联立，得. 由题意知，且恒成立，且，.   故定点横坐标.   故过定点，命题得证. 【分析】（1）根据内切和外切求出，再利用双曲线的定义可求； （2）化简得出，设直线的方程，与双曲线方程联立，利用斜率之积为可计算； （3）利用对称性可知定点必在轴上，设直线方程，与双曲线方程联立，求出直线的方程，令，得出为定值即可. 【详解】（1）圆可化为标准方程，故圆心，半径. 圆可化为标准方程，故圆心，半径   设圆的圆心为，半径为， 由外切与内切条件得，， 故，且， 故所求轨迹为双曲线的右支，其中，，得，. 故. 故轨迹的方程为. （2）略 （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二1班数学周测3 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知等差数列中，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知数列满足，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（    ） A． B． C． D． 7．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．如图，阴影部分的边界为四叶草曲线C，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆.记轴上的两个焦点为，，C在第一象限端点为P，若点P在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（    ） A． B．四棱锥的外接球表面积为 C．的最小值为 D．与所成角的余弦值的最大值为 10．抛物线：（）的焦点为，直线：过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（    ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则的最小值为 11．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为，，，边长为斐波那契数的正方形所对应扇形面积记为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．设函数定义如下表，数列满足，且对任意自然数均有，则的值为________． 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算） 14．如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____. 四、解答题 15．已知数列满足，且 （1）求证，数列是等差数列； （2）求数列的通项公式并求其最大项． 16．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 17．在如图（1）所示的平面图形中，四边形是直角梯形，，，，，和是两个正三角形．分别沿，将两个正三角形折起，使得平面和平面都与平面垂直，连接，，，得到如图（2）所示的几何体． (1)证明：平面平面． (2)求点D到平面的距离． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 18．已知椭圆的离心率为，，为其左､右顶点，为椭圆上任意一点(除去，)且. （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线交曲线于，两点，又以为边的平行四边形交曲线于，，求的最大值，并求此时直线的方程. 19．在平面直角坐标系中，动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆的圆心的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设为坐标原点，过点且与坐标轴不垂直的直线与轨迹交于，两点，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由； (3)过点且不垂直于轴的直线与轨迹交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $