湖北省团风中学2026-2027学年上学期高二数学周测B卷（3）

**基本信息** 聚焦统计概率与立体几何，通过居民用水分析、答题赢会员等真实情境，结合四棱锥体积计算、折叠问题等空间任务，考查数学眼光（数据意识、空间观念）与思维（推理能力、运算能力）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|中位数、向量数量积、古典概型|基础概念与运算结合，如第1题气温数据中位数| |多选题|3题|独立事件、线面关系|辨析空间线面位置关系（如第10题），考查逻辑推理| |填空题|3题|圆锥体积、互斥独立事件|第13题结合互斥与独立事件性质，强化概念理解| |解答题|5题|解三角形、频率分布直方图、立体几何证明与体积、概率应用、折叠问题|第16题居民用水分析体现数据观念，第18题答题顺序优化考查概率应用，第19题折叠问题综合空间想象与运算|

高二周考测试题B卷3 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某同学记录了我市2026年8月中旬连续6天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：31，29，32，35，35，34，则这6个数据的中位数为（      ） A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】C 【详解】气温数据从小到大依次为，所以其中位数为. 2．若则的最小值为（    ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】设， 所以，所以， 因为，所以，解得， 所以， 因为，所以，所以， 所以的最小值为. 3．在矩形中，，，设矩形所在平面内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由向量的加法运算可得，然后结合向量的数量积运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 ， 则. 4．将一枚均匀的骰子抛掷两次，事件：两次点数均为偶数；：第二次点数不小于3；则概率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用概率的加法公式，分别计算各概率后代入即可求解. 【详解】抛一枚均匀的骰子两次，样本空间共有个等可能的基本事件. 事件为两次点数均为偶数，第一次取偶数有3种结果，第二次取偶数也有3种结果， 故包含的基本事件数为，所以； 事件为第二次点数不小于3，则第二次可取3，4，5，6共4种结果，第一次任意取有6种结果， 故包含的基本事件数为，所以； 事件表示两次点数均为偶数且第二次点数不小于3， 则第一次取偶数有3种结果，第二次取不小于3的偶数有2种结果， 故包含的基本事件数为， 所以， 所以. 5．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，① 由得，② ①②得，， ①②得，， 因此. 6．如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 7．已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程，即可求解. 【详解】由点四点共面，且， 根据共面向量的基本定理，可得，解得． 8．四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接建立空间直角坐标系，再由共面，进而可得共面，由平面向量基本定理可得. 【详解】因为底面，底面为正方形，设，以为原点，分别为轴， 得各点坐标： ，是中点，得. 由，所以，，. 设，由，所以，， 所以. 因为平面，所以共面，因此共面，且不共线， 由平面向量基本定理，设，则， 所以，解得. 二、多选题 9．已知随机事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则事件与B相互独立 C．若A发生时B一定发生，则 D． 【答案】BD 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故A错误； 对于B，因为，，则， 因为， 所以事件与B相互独立，故B正确； 对于C，若A发生时B一定发生，则，则，故C错误； 对于D，， 因为，，所以，故D正确． 10．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】ABD 【分析】根据空间中线面位置关系的判定定理及性质定理依次判断即可. 【详解】对于A，若，，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，若，则或， 若，则，故B正确； 对于C，由面面垂直的性质定理可得， 只有当时，若，，，则成立，故C错误； 对于D，若，，则或， 因为，所以，故D正确. 11．在正方体中，，分别为的中点，是上的动点，则（ ） A．平面 B．平面截正方体的截面面积为8 C．三棱锥的体积与点的位置无关 D．过作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定定理和空间向量数量积的坐标表示公式，结合线面平行的判定定理、三棱锥的体积公式、球的截面性质、正方形截面的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，如图，以A为原点，为坐标轴建立空间直角坐标系， 则， ， ，， ，， ，平面，平面，故A正确； 对于B，如图，取中点，连接，则且， 可知，所以共面，则等腰梯形即为截面， 在正方体中，， 所以， ， 等腰梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为，故B错误； 对于C，可知在正方体中，，又平面，平面，所以平面， 因为P是上的动点，所以P到平面的距离为定值，故三棱锥的体积与P点的位置无关，故C正确； 对于D，设外接球心为O，过O作，垂足为，则以为圆心，为半径的圆是过AE面积最小的截面圆， 则，设， ，， ，解得， 则， 故截面圆的最小面积为，故D正确． 故选：ACD 三、填空题 12．某圆锥母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为_______． 【答案】 【详解】设圆锥底面圆半径为，高为，母线， 则圆锥的侧面积为，所以，， 故该圆锥的体积为． 13．若两个事件既互斥，又独立，，则__________. 【答案】0 【详解】因为事件，互斥，所以， 而又因为事件，独立，所以， 由可知，， . 14．已知等边的三个顶点都在平面的同一侧，且三条边在上的射影长分别为，，，则所在平面与所成的二面角的正弦值为_________． 【答案】 【分析】设等边的边长为，在上的投影分别为，作，，，，根据求出，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及平面的法向量，利用向量法即可求出答案. 【详解】如图，在上的投影分别为， 不妨设，，， 作，，，， 设等边的边长为， 则， ， ， 由得，， 化简得，解得， 又，所以， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的法向量， 则， 令，则，， 则， 则， 由题意得平面的一个法向量， 设所在平面与所成的二面角为， 则， 所以， 即所在平面与所成的二面角的正弦值为. 四、解答题 15．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水标准（单位：），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了位居民某年的月均用水量（单位：），绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计位居民某年的月均用水量的众数； (2)已知该市有万居民，估计全市居民中月均用水量低于的人数； (3)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准，估计的值. 【答案】(1)，众数为 (2)万 (3) 【分析】（1）由频率分布直方图性质列方程求，由众数定义和频率分布直方图求众数； （2）根据频率分布直方图得到位居民中月均用水量低于的频率，用频率估计概率，即可求解; （3）根据百分数定义列方程求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以， 由图可知，月均用水量位于的频率最大，由此众数为. （2）月均用水量低于的频率为， 所以全市居民中月均用水量低于的人数为万. （3）月均用水量不超过的频率为， 月均用水量不超过的频率为，因此， ，所以. 17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形是梯形，，平面，且 (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求该几何体的体积. 【答案】(1)已知，且，因此且， 又因为四边形是正方形，所以， 因为、， 且平面，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面， 又因为平面，根据面面平行的性质，因此平面 (2)证明：平面，， 平面，平面，，四边形是正方形， ，，，平面，平面 (3) 【分析】（1）根据已知条件得出，，再利用面面平行判定定理证平面平面，最后依据面面平行性质定理得出平面. （2）由平面，，可得平面，进而得到，结合，进而得证. （3）连接，将几何体分割成三棱锥和四棱锥，再利用棱锥体积公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）连接，因为平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，所以，AB是四棱锥的高，PD是三棱锥的高， 则， ， . 18．某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序.规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员.已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立. (1)若，且甲按题题题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率. (2)若，且第一次答题2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ (3)若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围. 【答案】(1) (2)要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题. (3) 【分析】（1）要拿到30天会员，必须三道题全部答对；三题答题相互独立，直接用独立事件概率乘法公式计算三题全对的概率； （2）第一题固定答题2，剩余只有两种答题顺序. 获奖条件是出现连续两题答对，分别写出两种顺序下获奖的概率，比较大小，选择概率更大的顺序即可； （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题，分别写出三种情况的概率，写出不等式组，求出的取值范围. 【详解】（1）甲获得30天会员的概率为. （2）当时，各种答题顺序的情况如下： 按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题3→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为； 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题. （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题. 若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率 若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的概率 因为，所以只需满足即可，即，解得. 因为，所以的取值范围为. 19．如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴， ∴，，即，，且， 平面POB，平面POB，∴平面POB. (2)存在点Q为PB的中点， 【分析】（1）连接BE，通过说明，，即可求证； （2）建系，设，得到， 求得平面法向量和直线方向向量，结合夹角公式列出方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知四边形ABED为菱形，∴， 在等腰梯形ABCD中，，∴为正三角形， ∴，同理， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， 以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则，，，，， ，，， 设，， 设平面AEQ的一个法向量为， 则即 取，，得，∴， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，， 则，即， 化简得：，解得λ=， ∴存在点Q为PB的中点，即时， 使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为． 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二周考测试题B卷3 一、单选题 1．某同学记录了我市2026年8月中旬连续6天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：31，29，32，35，35，34，则这6个数据的中位数为（      ） A．31 B．32 C．33 D．34 2．若则的最小值为（    ） A．0 B．2 C． D．1 3．在矩形中，，，设矩形所在平面内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 4．将一枚均匀的骰子抛掷两次，事件：两次点数均为偶数；：第二次点数不小于3；则概率（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 7．已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 8．四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知随机事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则事件与B相互独立 C．若A发生时B一定发生，则 D． 10．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 11．在正方体中，，分别为的中点，是上的动点，则（ ） A．平面 B．平面截正方体的截面面积为8 C．三棱锥的体积与点的位置无关 D．过作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为 三、填空题 12．某圆锥母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为_______． 13．若两个事件既互斥，又独立，，则__________. 14．已知等边的三个顶点都在平面的同一侧，且三条边在上的射影长分别为，，，则所在平面与所成的二面角的正弦值为_________． 四、解答题 15．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 16．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水标准（单位：），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了位居民某年的月均用水量（单位：），绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计位居民某年的月均用水量的众数； (2)已知该市有万居民，估计全市居民中月均用水量低于的人数； (3)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准，估计的值. 17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形是梯形，，平面，且 (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求该几何体的体积. 18．某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序.规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员.已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立. (1)若，且甲按题题题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率. (2)若，且第一次答题2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ (3)若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围. 19．如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 试卷第4页（共4页） 《高二周考测试题B卷3》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B D D C D BD ABD 题号 11 答案 ACD 1．C 【详解】气温数据从小到大依次为，所以其中位数为. 2．D 【详解】设， 所以，所以， 因为，所以，解得， 所以， 因为，所以，所以， 所以的最小值为. 3．B 【分析】根据题意，由向量的加法运算可得，然后结合向量的数量积运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 ， 则. 4．B 【分析】利用概率的加法公式，分别计算各概率后代入即可求解. 【详解】抛一枚均匀的骰子两次，样本空间共有个等可能的基本事件. 事件为两次点数均为偶数，第一次取偶数有3种结果，第二次取偶数也有3种结果， 故包含的基本事件数为，所以； 事件为第二次点数不小于3，则第二次可取3，4，5，6共4种结果，第一次任意取有6种结果， 故包含的基本事件数为，所以； 事件表示两次点数均为偶数且第二次点数不小于3， 则第一次取偶数有3种结果，第二次取不小于3的偶数有2种结果， 故包含的基本事件数为， 所以， 所以. 5．D 【详解】由得，① 由得，② ①②得，， ①②得，， 因此. 6．D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 7．C 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程，即可求解. 【详解】由点四点共面，且， 根据共面向量的基本定理，可得，解得． 8．D 【分析】直接建立空间直角坐标系，再由共面，进而可得共面，由平面向量基本定理可得. 【详解】因为底面，底面为正方形，设，以为原点，分别为轴， 得各点坐标： ，是中点，得. 由，所以，，. 设，由，所以，， 所以. 因为平面，所以共面，因此共面，且不共线， 由平面向量基本定理，设，则， 所以，解得. 9．BD 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故A错误； 对于B，因为，，则， 因为， 所以事件与B相互独立，故B正确； 对于C，若A发生时B一定发生，则，则，故C错误； 对于D，， 因为，，所以，故D正确． 10．ABD 【分析】根据空间中线面位置关系的判定定理及性质定理依次判断即可. 【详解】对于A，若，，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，若，则或， 若，则，故B正确； 对于C，由面面垂直的性质定理可得， 只有当时，若，，，则成立，故C错误； 对于D，若，，则或， 因为，所以，故D正确. 11．ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定定理和空间向量数量积的坐标表示公式，结合线面平行的判定定理、三棱锥的体积公式、球的截面性质、正方形截面的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，如图，以A为原点，为坐标轴建立空间直角坐标系， 则， ， ，， ，， ，平面，平面，故A正确； 对于B，如图，取中点，连接，则且， 可知，所以共面，则等腰梯形即为截面， 在正方体中，， 所以， ， 等腰梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为，故B错误； 对于C，可知在正方体中，，又平面，平面，所以平面， 因为P是上的动点，所以P到平面的距离为定值，故三棱锥的体积与P点的位置无关，故C正确； 对于D，设外接球心为O，过O作，垂足为，则以为圆心，为半径的圆是过AE面积最小的截面圆， 则，设， ，， ，解得， 则， 故截面圆的最小面积为，故D正确． 故选：ACD 12． 【详解】设圆锥底面圆半径为，高为，母线， 则圆锥的侧面积为，所以，， 故该圆锥的体积为． 13．0 【详解】因为事件，互斥，所以， 而又因为事件，独立，所以， 由可知，， . 14． 【分析】设等边的边长为，在上的投影分别为，作，，，，根据求出，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及平面的法向量，利用向量法即可求出答案. 【详解】如图，在上的投影分别为， 不妨设，，， 作，，，， 设等边的边长为， 则， ， ， 由得，， 化简得，解得， 又，所以， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的法向量， 则， 令，则，， 则， 则， 由题意得平面的一个法向量， 设所在平面与所成的二面角为， 则， 所以， 即所在平面与所成的二面角的正弦值为. 15．(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16．(1)，众数为 (2)万 (3) 【分析】（1）由频率分布直方图性质列方程求，由众数定义和频率分布直方图求众数； （2）根据频率分布直方图得到位居民中月均用水量低于的频率，用频率估计概率，即可求解; （3）根据百分数定义列方程求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以， 由图可知，月均用水量位于的频率最大，由此众数为. （2）月均用水量低于的频率为， 所以全市居民中月均用水量低于的人数为万. （3）月均用水量不超过的频率为， 月均用水量不超过的频率为，因此， ，所以. 17．(1)已知，且，因此且， 又因为四边形是正方形，所以， 因为、， 且平面，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面， 又因为平面，根据面面平行的性质，因此平面 (2)证明：平面，， 平面，平面，，四边形是正方形， ，，，平面，平面 (3) 【分析】（1）根据已知条件得出，，再利用面面平行判定定理证平面平面，最后依据面面平行性质定理得出平面. （2）由平面，，可得平面，进而得到，结合，进而得证. （3）连接，将几何体分割成三棱锥和四棱锥，再利用棱锥体积公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）连接，因为平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，所以，AB是四棱锥的高，PD是三棱锥的高， 则， ， . 18．(1) (2)要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题. (3) 【分析】（1）要拿到30天会员，必须三道题全部答对；三题答题相互独立，直接用独立事件概率乘法公式计算三题全对的概率； （2）第一题固定答题2，剩余只有两种答题顺序. 获奖条件是出现连续两题答对，分别写出两种顺序下获奖的概率，比较大小，选择概率更大的顺序即可； （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题，分别写出三种情况的概率，写出不等式组，求出的取值范围. 【详解】（1）甲获得30天会员的概率为. （2）当时，各种答题顺序的情况如下： 按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题3→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为； 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题. （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题. 若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率 若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的概率 因为，所以只需满足即可，即，解得. 因为，所以的取值范围为. 19．(1)连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴， ∴，，即，，且， 平面POB，平面POB，∴平面POB. (2)存在点Q为PB的中点， 【分析】（1）连接BE，通过说明，，即可求证； （2）建系，设，得到， 求得平面法向量和直线方向向量，结合夹角公式列出方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知四边形ABED为菱形，∴， 在等腰梯形ABCD中，，∴为正三角形， ∴，同理， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， 以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则，，，，， ，，， 设，， 设平面AEQ的一个法向量为， 则即 取，，得，∴， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，， 则，即， 化简得：，解得λ=， ∴存在点Q为PB的中点，即时， 使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为． 答案第12页（共12页） 答案第11页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $