江苏省南京市栖霞区2026-2027学年苏科版九年级数学上册10月份月质量检测模拟练习卷

江苏省南京市栖霞区2026-2027学年九年级数学上学期10月份月考模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （测试范围：第一章、第二章 考试时间:120分钟 试卷满分:100分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题2分，满分12分） 1．下列方程中一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 3．李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 4．已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，等边的边长为，反比例函数的图象交于点，交于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．已知方程的一个根为，则的值为__________． 8．一元二次方程有两个实数根，则所取的可能的值是______填一个即可 9．反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 10．点，在函数的图象上，若，则______（填“”、“”或“”） 11．某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 12．已知，则的值为________． 13．双曲线、在第一象限的图象如图所示，，过上的任意一点作轴的平行线交于点，交轴于点，如果，那么的函数表达式是______． 14．一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则，两点的坐标分别为________． 15．如图，在中，，，点D为线段上动点，点E为线段上动点，且满足，则的最小值为______；当取得最小值时，的长为______． 16．如图，点B在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，．若的面积为，则的值为____． 三、解答题（本大题共9小题，共计68分，其中17、18、19、20每题6分、21、22、23每题8分，24、25每题10分，解答题要有必要的文字说明）17．解方程： (1)； (2)． 18．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 19．已知y是x的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象； x 1 2 3 6 … y … (3)当时，利用函数图象直接写出函数y的最大值为___________． 20．暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元，用525元购买《奥德赛》电影票数量与用450元购买《牛来》电影票数量一样多． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额要达到1820元，单价应降低多少元？ 21．市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)运输公司平均运送速度v（单位：天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)运输公司原有100辆卡车，每天共可运送土石方．运送40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，公司至少应增加多少辆卡车？ 22．已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一个根． 23．综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标． 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C C D C B 1．C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程含有x，y两个未知数，故不是一元二次方程； B、方程未知数最高次数为3，故不是一元二次方程； C、方程是一元二次方程； D、方程中分母含未知数，故不是一元二次方程． 2．C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据增长率问题的公式列式即可．增长率问题的公式：，其中a是增长前的量，b是增长后的量，x是增长率，n是增长的次数． 【详解】解：教育经费的年平均增长率为x， 根据题意，得：． 3．C 【知识点】根据矩形的性质求面积、判断（画）反比例函数图象 【分析】根据矩形面积公式列出与的函数关系式，结合自变量的取值范围确定图象． 【详解】解：由题意得， ． 表示矩形的边长， ， 该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支． 4．D 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、求一元一次不等式的解集、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的增减性和一元一次不等式的解法．由点，点的横坐标特点及已知条件可以判断两点分别位于第二、四象限，从而根据反比例函数的增减性推出比例系数小于，求得的取值范围． 【详解】解：点的横坐标为，点的横坐标为， ，在y轴的两侧， 又，点，点在上， 点，点分别位于第二、四象限， 根据反比例函数的增减性，的比例系数小于，即， 解得． 5．C 【知识点】一元二次方程的解的估算 【详解】解：方程的解是使的值为1的． ∵当时，，当时，． ∴方程的一个解的取值范围是． 6．B 【知识点】反比例函数与几何综合、等边三角形的性质 【分析】过点、分别作轴的垂线，构造直角三角形，利用等边三角形性质表示出、坐标，代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点． 设，则． 为边长为5的等边三角形， ，． 在中，，， ，． 点在第三象限， ． 在中，，， ，． ，点在第三象限， ． 点、在反比例函数图象上， ． ． ， ． ，解得． ． 7． 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ 将代入原方程得 计算整理得 解得． 8．2（答案不唯一） 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【详解】解：一元二次方程有两个实数根， ， 解得， 取(答案不唯一)． 9． 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】根据反比例函数图象所在象限与比例系数的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，反比例函数经过点， ∴该反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴可得不等式 ，解得 ． 10．> 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】由，双曲线在第二、四象限，根据即可判断在第二象限，在第四象限，从而判定． 【详解】解：， 双曲线在第二、四象限， ， 在第二象限，在第四象限， ． 11． 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】设小组人数为，每个人给除自身外的成员送贺卡，总贺卡数等于人数乘以每人送出的贺卡数，列一元二次方程求解后舍去不合题意的负解即可． 【详解】解：设这个数学小组共有人， ∵每个人需要给组内除自己以外的人送贺卡， ∴总贺卡数可表示为， 据此列方程，得 ， 整理，得 ， 解得，． ∵人数不能为负数， ∴舍去， 即这个数学小组共有人． 12． 【知识点】换元法解一元二次方程、已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】将看作整体，利用换元法结合平方差公式化简方程，根据平方的非负性舍去不符合条件的根即可得到结果． 【详解】解：设， ∵任何数的平方都是非负数， ∴， 将代入原方程得：， 根据平方差公式展开得：，整理得：， 解得或， ∵， ∴舍去，因此． 13． 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】设双曲线的解析式为，由轴，可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义可得，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：设双曲线的解析式为， 轴， ， 在双曲线上，在双曲线上， ，， ， ， 双曲线的解析式为． 14．， 或， 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、代入消元法 【分析】利用交点联立方程，求出的值，即可求出两个交点的坐标． 【详解】解：联立方程组： 将①代入②， 两边同乘得，， 去括号得， 移项得，， 系数化为1得，， 因式分解：， 解得：或． 当时， 当时， ∴， 或，． 15． 【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、解一元二次方程——配方法、配方法的应用、等腰三角形的性质和判定、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】设，根据题意用含的代数式表示，进而表示；过点作于点，构造，利用勾股定理表示； 第一空利用二次函数配方法求的最小值； 第二空设，转化为关于的一元二次方程，利用根的判别式求W的最小值及对应的，进而求出即可． 【详解】解：设， ， ． ， ，+ ． 过点作于点， 在中，， ∴， ， ， 在上，， ， 在中，， 在线段上， ， 即． 解得． ， ，， 当时，取得最小值． ②设， 则． 两边平方得， 整理得． 为实数， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 此时方程可变形为， 解方程得， ． 16． 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】利用中心对称性质得出为中点，从而将的面积转化为的面积；再根据轴，将分割为 和 ，结合反比例函数的几何意义建立方程求解． 【详解】解：连接， 设交轴于点， ∵点与点关于原点对称， ∴为的中点，即， ∴， ∵， ∴ ， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴． 17．(1) (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 18．(1) (2)点不在这个反比例函数的图象上 【知识点】求反比例函数值、求反比例函数解析式 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 19．(1) (2) (3) 【知识点】用描点法画函数图象、求自变量的值或函数值、判断反比例函数的增减性、判断（画）反比例函数图象、求反比例函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法可求得反比例函数的解析式； （2）先完成表格，再描点、连线即可； （3）结合图象即可得到y的最大值． 【详解】（1）解：∵y是x的反比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴，解得：， ∴该反比例函数的表达式为； （2）略 （3）解：根据函数图象可知函数y的最大值为：当时，． 20．(1)《牛来》电影票单价为30元，《奥德赛》电影票单价为35元 (2)单价应降低4元 【知识点】分式方程的经济问题、营销问题(一元二次方程的应用)、解分式方程（化为一元一次）、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设《牛来》电影票的单价为元，则《奥德赛》电影票的单价为元，根据题意列出分式方程，即可求解； （2）设单价应降低元，根据题意列出一元二次方程，解方程得的值，再根据销售单价不得低于20元，确定的值，即可求解． 【详解】（1）解：设《牛来》电影票的单价为元，则《奥德赛》电影票的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解， ∴（元）． 答：《牛来》电影票单价为30元，《奥德赛》电影票单价为35元． （2）解：设单价应降低元， 由题意得，， 解得，， ∵销售单价不得低于20元， ∴， 解得， ∴， ∴． 答：单价应降低4元． 21．(1)与成反比例函数关系，函数解析式为（）． (2)公司至少应增加20辆卡车． 【知识点】实际问题与反比例函数、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）根据运送总量、速度、时间的等量关系推导函数表达式，根据函数解析式即可判断与成反比例函数关系； （2）先计算剩余土石方量，结合剩余时间要求，列不等式求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得，土石方总量为， ∵ 运送总量 = 平均运送速度 × 运送时间， ∴， ∴， 即v是t的反比例函数． （2）解：设公司应增加x辆卡车． 每辆卡车每天运送土石方量为（/天）， 运送40天后剩余土石方量为． ∵ 剩余任务需在50天内完成， ∴ ， 解得． 答：公司至少应增加20辆卡车． 22．(1)证明：∵， ∴， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根． (2)的值为，方程的另一个根为 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）运用根的判别式“，有两个不相等的实数根；，有两个相等的实数根；，无实数根；”即可求解； （2）将代入方程，得到，再代入方程，运用因式分解法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程，得 ， 解得， 将代入方程，得 ， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 23．(1)该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； (2)； (3)； 【知识点】用勾股定理解三角形、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 24．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2)点的坐标为或． 【知识点】反比例函数与几何综合、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）将点，的坐标分别代入即可求得，的值，将点的坐标代入即可求得的值，从而可得一次函数与反比例函数的表达式． （2）分射线交轴于点和射线交轴于点两种情况进行讨论，结合，即可得到，两点的横（或纵）坐标关系，进而可求得点的坐标． 【详解】（1）解：将点，的坐标分别代入， 得解得 一次函数的表达式为． 将点的坐标代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：分情况讨论： ①当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为； ②当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 25．(1)， (2)， (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数与几何综合 【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可； （2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果； （3）过C作轴交于点T，设，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入直线得，， 解得， ∴一次函数的解析式为， 再将代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去），， ∴； （2）解：在中，当时，，则， 作点E关于x轴的对称点，则， 根据轴对称性质，， ∴． 当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度． ， ∴的最小值为． 设直线的方程为． 将和代入得， 解得． ∴直线的方程为 令，得，解得． ∴点P的坐标为． （3）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点C的坐标为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $