江苏省南京市栖霞区苏科版2026—2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟练习卷

江苏省南京市栖霞区苏科版2026—2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （测试范围：第一章、第二章 考试时间:120分钟 试卷满分:100分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题2分，满分12分） 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（     ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 4．若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 5．若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D．4 6．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．设，是方程的两实数根，则____________． 8．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 9．某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 10．已知反比例函数（其中是任意实数）图象上三点，，，则，，的大小关系是__________．（用“”连接） 11．如图是反比例函数的图象，请写出一个符合要求的整数k的值：___________． 12．将点向上平移个单位长度落到函数的图象上，则的值为__． 13．如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 14．如图，点A与点B分别在函数与的图象上，线段的中点M在y轴上．若的面积为3，则的值是________． 15．如图，，是等腰直角三角形，点在函数的图象上，斜边、都在横轴上，则点的坐标是______． 16．在平面直角坐标系中，对于，若点的坐标为（其中为常数且），则称点为点的“的和谐点”．已知点在函数的图象上运动，且点是点的“的和谐点”，若，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共计68分，其中17、18、19、20每题6分、21、22、23每题8分，24、25每题10分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程： (1)． (2) 18．已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 19．下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． (1)直接写出各字母表示的数值：_______；______；______； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点、连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，并直接写出当时自变量x的取值范围． 20．某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为．已知整个长方形空地的长为30m、宽为，求道路的宽． 21．过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 22．已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长， 且矩形的对角线长为，求的值． 23．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)请直接写出不等式的解集； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 24．如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴相交于点C，的面积为． (1)求反比例函数的解析式； (2)若将直线向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线的交点情况； (3)P为坐标轴上的一点，若的面积等于面积的一半，请直接写出符合条件的点P坐标． 25．直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C C C D C 1．A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个角度判断各选项． 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 2．C 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 3．C 【知识点】判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数图象所在象限 【详解】解：反比例函数中， 该反比例函数的图象在二、四象限， 故选：C． 4．C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 5．D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， 当时，， ∴方程有2个相等的实数根，满足题意． 6．C 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、用勾股定理解三角形 【分析】设，，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ， 解得（负数舍去）． 7． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：，是方程的两实数根 根据根与系数的关系可得，， ∴ ． 8． 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】该方程为一元二次方程，有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，据此列不等式求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， ∵, , ， ∴， 计算得， ∴， 解得． 9． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】十一月加工量=九月加工量（+月平均增长率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为， 根据题意，可列方程为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 10． 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】先根据得出反比例函数（其中是任意实数）的图象位于一、三象限，然后根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：， 反比例函数（其中是任意实数）的图象位于一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，在第三象限，点在第一象限， ∴，，， ∵， ， ∴． 11．4（答案不唯一） 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、求反比例函数解析式 【详解】解：由反比例函数的图象，可知， ∴整数k可取4．（答案不唯一） 12． 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、求反比例函数值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】先根据点平移的坐标变化规律得到平移后点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入反比例函数解析式求解的值即可． 【详解】解：根据点平移的坐标变化规律，向上平移个单位长度，横坐标不变，纵坐标加，可得平移后点的坐标为， 平移后的点落在函数的图象上， 将代入得 ，即 ， 解得． 13． 9 【知识点】利用平行四边形的性质求解、反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】连接、，设交轴于点，利用反比例函数系数的几何意义分别求出和的面积，进而得到的面积，最后根据平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 14．6 【知识点】线段中点的有关计算、已知式子的值，求代数式的值、反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】设，，代入双曲线得到，，根据三角形的面积公式求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，作轴于C，轴于D， ∴轴， ∵M是AB的中点， ∴， 设，， 代入得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 15． 【知识点】三线合一、反比例函数与几何综合、斜边的中线等于斜边的一半、公式法解一元二次方程 【分析】过点、分别作轴的垂线，利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的性质，设出点、的坐标，代入反比例函数解析式求出相关线段长度，进而求得点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵是等腰直角三角形，斜边在轴上， ∴， 设的坐标为，代入得， ， ∴， ∴，即点的坐标为， ∵是等腰直角三角形，斜边在轴上， ∴， 设，则点的横坐标为，纵坐标为，即， 将点坐标代入得， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 16． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】由点是点的“的和谐点”，可设点坐标，表示出点坐标，由点在函数的图象上，就得到点在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点、的坐标，过作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段为，此时最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：设， 点是点的“的和谐点”， ， 点在函数的图象上， ，， 即：或（舍去）， ， 点在直线上运动， ∴当直线时，的长最小， 设直线与轴、轴相交于点、，过点作，垂足为， 则、， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 17．(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解：原方程移项得， 因式分解得， 则或， 解得，； （2）解：原方程因式分解得， 整理得， 则或， 解得，． 18．(1) (2) 【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）解：当时，则， 解得． 19．(1)；2； (2) (3)，或 【知识点】判断（画）反比例函数图象、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数值、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据表格数据先求得，进而分别将，代入解析式求得的值； （2）根据表格数据，描点，连线，即可求解； （3）过与两点画出直线，再根据函数图象，写出一次函数在反比例函数图象上方时的自变量取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵时， ∴， 当时，， 当时，； （2）略 （3）直线图略 当时自变量x的取值范围为，或 20． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、利用平移解决实际问题 【分析】通过平移，可得绿化图形拼成长方形，其长，宽．再根据长方形面积的计算方法列式即可求解． 【详解】解：设道路宽为．依题意得： 整理得： ∴或 （宽为） 不合实际，舍去． 答：道路的宽为． 21．(1) (2)能，理由如下： 当时，， 当时， ∴， ∴李某此次消毒能达到最佳效果． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】（1）由求正比例函数关系式，代入反比例函数，求反比例函数关系式； （2）分别把代入正比例函数关系式和反比例函数关系式，求出相应的时间，再把时间差和7分钟比较，超过7分钟则能达到消毒的效果． 【详解】（1）由题意：设时，， 把点代入得：， ， ∴ 设时，， 把点代入得：， ， ∴ ∴y与x的函数关系式为； （2）略 22．(1)证明：在方程中， ，，， ∴ ． ∵， ∴，即， ∴该方程总有两个实数根． (2)的值为． 【知识点】求不等式组的解集、根据矩形的性质求线段长、一元二次方程的根与系数的关系、用勾股定理解三角形、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）由根的判别式得，即可得证； （2）由勾股定理得，由根与系数关系得，，即可求解． 【详解】（1）证明略． （2）解：，是一个矩形两邻边的长， ， ， 由根与系数关系得，， ，， 解得，（舍去），， 故的值为． 23．(1)或 (2) (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】（1）不等式的几何含义是一次函数图象在反比例函数图象上方，找到两个图象交点的横坐标可直接写出的取值范围； （2）先把点代入反比例函数求出，然后算出点坐标，再将、两点代入，解出，； （3）求出一次函数与轴交点，把拆成和，以为公共底，分别算面积再相加． 【详解】（1）解：据图可知，当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上方， 故不等式的解集为或． （2）解：把代入， 可得， 解得， 则反比例函数的解析式为， 把代入， 可得， 则点的坐标为， 把，代入， 可得， 解得， 故一次函数的解析式为． （3）解：如图，连接、，直线与轴交于点， 对于直线， 当时，解得， 则点的坐标为，即， 故． 24．(1) (2)平移后的直线与双曲线只有一个交点 (3)或或或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】（1）令直线与y轴的交点为点D，过点B作轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及的面积是即可得出的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，可得反比例函数的解析式； （2）根据平移的性质找出平移后的直线的解析式将其代入反比例函数解析式中，整理后根据根的判别式的正负即可得出结论； （3）连接，先求出的面积，进而得到，再分点在轴、轴上，结合面积公式求解即可． 【详解】（1）解：过点B作轴于点E，如图所示． 令直线中，则，解得：， 即． ∵的面积是， ∴， 解得：． 结合题意可知点B的纵坐标为1， 当时，有， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， 即反比例函数的解析式为； （2）解：将直线向下平移1个单位得到的直线的解析式为， 将代入到中，得：， 整理得：，解得，又， ∴平移后的直线与双曲线只有一个交点； （3）解：连接， 联立直线与曲线， 即，整理得， 解得， ， 设直线与轴的交点为， 令，则， ， ， ， 当点在轴时，设， ， 则， ，，解得或， 或； 当点在轴时，设， ， 则， ，，解得或， 或； 综上，或或或． 25．(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $