江苏省南京市玄武区2026—2027学年苏科版九年级数学上学期第一次月考模拟练习卷

江苏省南京市玄武区苏科版2026—2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （测试范围：第一章、第二章 考试时间:120分钟 试卷满分:100分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题2分，满分12分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．相关数据显示，近年来高科技制造业日新月异，呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年9月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（     ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数的图象上有两点，，当时，与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 4．对于反比例函数，下列说法中错误的是（     ）． A．图象分布在第一、三象限 B．随的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 5．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 6．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点的坐标分别为，，，点在点的右侧．动点从点出发，沿运动到点，反比例函数的图象经过点．则在点的运动过程中，图象经过两次的点是（） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．方程的解是______________． 8．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 9．已知点在反比例函数的图象上，则_____． 10．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为________． 11．关于的一元二次方程必有一根为__________． 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 13．关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 14．如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 16．如图，点A是反比例函数图象上一点，直线过点A且交x轴，y轴于点B，C，过点A作轴于点D，若，．则k的值为 _____． 三、解答题（本大题共9小题，共计68分，其中17、18、19、20每题6分、21、22、23每题8分，24、25每题10分，解答题要有必要的文字说明） 17．用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．已知y与成反比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 19．根据素材完成任务． (1)【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个．求4月份到6月份生产数量的平均增长率； (2)【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个．批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 20．生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． (1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； (2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 21．小明利用数学画图软件，进行了如下操作： （Ⅰ）生成反比例函数的图像； （Ⅱ）过点生成轴的垂线，过点生成轴的垂线，分别交反比例函数的图像于点，，生成直线． 所得图形如图所示，根据信息，解答下列问题． (1)求，两点的坐标，以及直线的函数表达式． (2)在（1）的基础上，当在什么范围内时，反比例函数的值大于一次函数的值？（直接写出结果） 22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． (1)求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． (2)点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 23．在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 24．在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ） A．     B．     C．     D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 25．综合与实践：函数增减性的探究与应用 【阅读材料】 我们学习过，一次函数的图象是一条直线． 当时，图象从左向右上升，随的增大而增大； 当时，图象从左向右下降，随的增大而减小． 我们可以用“作差法”来证明这个性质： 设，对应的函数值分别为，． 计算差值： 因为，所以 （1）当时，，即，说明随的增大而增大； （2）当时，，即，说明随的增大而减小．这就是一次函数的增减性． 【问题探究】 (1)方法迁移 试用类似的方法证明：当时，反比例函数的增减性． (2)性质应用 我们规定：对于任意一个关于的函数，在自变量取值范围内，当时，都有，称该函数“单调递增”；当时，都有，称该函数“单调递减”．请判断：当时，函数是“单调递增”还是“单调递减”，并利用作差法证明你的结论． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A B B D B 1．C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：中未知数最高次数为1，不符合题意； 选项B：不是整式方程，且含有两个未知数和，不符合题意； 选项C：是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合题意； 选项D：中未知数最高次数为3，不符合题意； 故答案为C． 2．A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【详解】解：设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为． 3．B 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】根据反比例函数的解析式可判断该反比例函数图象分布的象限以及在每个象限内的增减性，结合两个点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵， ∴该反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ∵反比例函数的图象上有两点，，且， ∴这两点都在第二象限， ∴． 4．B 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∴A选项正确，不符合题意；B选项缺乏前提条件，错误，符合题意； ∵，， ∴图象与坐标轴无交点， ∴C选项正确，不符合题意； ∵若点在图象上， ∴，即， ∴点也在图象上， ∴D选项正确，不符合题意． 5．D 【知识点】求一元一次不等式解的最值、一元二次方程的根与系数的关系、公式法解一元二次方程 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 6．B 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、等腰三角形的定义 【分析】求出点的坐标，分段讨论点在和上运动时的取值范围，找出公共范围并验证选项． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，，点在点右侧， ∴，， ∴， 设，反比例函数解析式为，则， 当点在线段上运动时，，， ∴，即； 当点在线段上运动时，，， ∴，即， 若图象经过某点两次，则该点对应的值在两段运动中均能取到，且对应不同的点， ∴， 、，不在范围内，不符合题意； 、，在范围内，符合题意； 、，不在范围内，不符合题意； 、，不在范围内，不符合题意． 7．， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】方程左侧已经分解为两个一次因式的乘积，根据乘积为则至少一个因式为求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 8． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系，得两根之和为：， ∵已知一个根为， ∴， 解得：． 9．10 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】将点代入反比例函数，即可求出的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入函数解析式得， 解得． 10． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】先利用已知点的坐标求出正比例函数解析式，再联立两个函数解析式求解，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把点代入，得，解得， ∴正比例函数的解析式为， 联立两函数解析式，得， 解得或， ∴点的坐标为． 11． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解： ， 或， 则该方程必有一根为． 12．或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 13．59 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据根的判别式并结合，可求出，设方程的两个整数根为，根据根与系数的关系得，则，不妨设，利用、为正整数，可得出或，或，，从而得到对应的的值，即可求解． 【详解】解：设方程的两个整数根为， 根据题意得， ∵， ∴， ， 根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数， ∴， 不妨设， ∴或，或，， 解得或或， ∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 14． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】设，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：设， ∵正比例函数的图象经过点A，B， ∴，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B， ∴，， ∴， ∵点A在第一象限，点B在第三象限， ∴异号， ∴， 同理可得，， ∵过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 15． 【知识点】反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】作，连接，根据等腰直角三角形的性质得，再设点，则点，即可求出，，同理，最后根据求出答案． 【详解】解：过点D作，交x轴于点E， ∵等腰直角，， ∴，则点D是的中点． ， ， ∵， ∴． 设点， , ， ∴， ∴，，同理， ∴， 即， 解得． 16．/ 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、公式法解一元二次方程、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】设，求出，，，由得，由得，化简后得，即可解答． 【详解】解：设，由图可知， ∴， ∵轴于点D， ∴，， ∵直线过点A， ∴，即， 将代入得，， 解得, ∴，即， 将代入得，， ∴，即， 由图可知，B在x轴负半轴，C在y轴负半轴， ∴，， ∵，B在x轴负半轴， ∴， 整理得，即， ∴，， ∵， ∴，即，得， ∵ ∴ ∴ ，即， 将代入 得 解得 ∵， ∴． 17．(1) ， (2) ， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】（1）方程系数不适合因式分解，选用公式法求解； （2）移项后提取公因式，用因式分解法求解． 【详解】（1）解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， 移项得 ， 提取公因式得， ∴或， 解得，． 18．(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】本题主要考查了函数．熟练掌握待定系数法求函数解析式，求函数值，是解决问题的关键． （1）设该函数的解析式为根据时，，求得，即得； （2）把代入（1）中所得解析式即得． 【详解】（1）∵y与成反比例函数关系， ∴设该函数的解析式为， ∵时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为：； （2）∵， ∴当时，． 19．(1)平均增长率为 (2)实际售价应定为每个元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设该工厂4月份到6月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设涨价元，则售价为元，销量为个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为 ． 解得或（不合实际，舍去）， 答：4月份到6月份生产数量的平均增长率为； （2）解：设涨价元，则售价为元，销量为个， 每个利润为元， 由题意得， 整理得， 解得或， 尽可能让消费者得到实惠， ， ， 答：实际售价应定为每个元． 20．(1)反比例 (2)这个函数的解析式为； (3)它在该分辨率下的像素密度为． 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】（1）根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）利用待定系数法求解即可； （3）把代入求解即可． 【详解】（1）解：根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）解：设反比例函数解析式为， 将时，代入得： ， 解得， ∴这个函数的解析式为； （3）解：把代入得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为． 21．(1)点的坐标为；点的坐标为； (2)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）由题意得，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为，结合反比例函数解析式，即可求出坐标，再设直线的解析式为，并将A、B代入即可求解； （2）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为， ∴将代入得，， ∴点的坐标为， 将代入得： 解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将、代入解析式中， 得， 解得 ∴直线的函数表达式为； （2）解：由图象可得，反比例函数图像在一次函数图像上方时，对应的取值范围为或． 22．(1)点的坐标为，点的坐标为 ，反比例函数的表达式为 (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、利用平行四边形的性质求解、求反比例函数解析式 【分析】（1）将点 的横坐标代入正比例函数求出，从而得到点的坐标．利用对称性求出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数求出 ． （2） 利用平行四边形的对角线互相平分的性质，结合点的坐标，推导出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上， ， 点的坐标为， 正比例函数与反比例函数的图象交于 两点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为 ， 将点 代入反比例函数 ， 可得，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：∵点，点，点， 点在轴上，设点的坐标为 ． 线段的中点坐标为，即， 线段的中点坐标为，即， 当四边形为平行四边形时， 可得，，解得， 点D的坐标为． 23．(1)； (2)存在点B，使得，理由如下； 过点作轴交于，过点作轴交于点，过点作交于， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数为， ， ∴点A是的中点， 设点，， ， ， ， 把代入中，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式， 当时，，当时，， ，， ∵， ，，， ， 在中，， ，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ． ，， 是等腰直角三角形且， ． 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、角平分线的有关计算、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由在反比例函数图象上，得出，过点作轴交于，可证明，即可算出面积；②设，，则，，再根据点是线段的中点，得到，即可得解； （2）过点作轴交于，过点作轴交于点，先求出，由，求出，求出直线的解析式，得到，，可得到，过点作交于，根据，，即可得到． 【详解】（1）在反比例函数的图象上， ， 过点作轴交于， 平分，， ，，， ， 的面积的面积； 设，， ，， 点是线段的中点， ， ， ． （2）略 24．(1)，， (2)A (3)49 (4)3 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）利用多项式因式分解与系数对应关系，将三次方程写为的形式，展开后与原方程同次项系数对比，即可解答； （2）由（1）得到，，即可判断A，D选项；由于，，由于，的取值不确定，无法判断符号，即可判断B，C选项； （3）先根据（1）的结论求出，，再利用完全平方公式变形求解即可； （4）由和，推导出，，将a，c看作一元二次方程的两个实根，利用判别式建立关于b的不等式，求解b的最小值． 【详解】（1）解：∵一元三次方程的三个实数根为，，， ∴， 展开，得， 对比方程可得， ，，， ∵， ∴，，． （2）解：∵，，为方程的三个实数根， ∴由（1）可得，， ∴A选项正确，D选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故B选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故C选项错误． （3）解：∵的三个根分别为，，， ∴，， ∵， ∴． （4）解：∵，， ∴，， ∴a，c是方程的两个实数根， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正数的最小值为3． 25．(1)设，对应的函数值分别为，，     ，         因为，，所以 ①当时，， 即，说明随的增大而减小；         ②当时，， 即，说明随的增大而增大． (2)当   时，函数  是“单调递增” 设，对应函数值分别为，          因为，即．         因为， 所以，即，     所以当时，函数是“单调递增”． 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】（1）仿照【阅读材料】的方法解答即可； （2）利用作差法解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $