5.3 二次函数的应用 同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版（2024）九年级上册 5.3 二次函数的应用 同步练习 一、选择题 1．昭通壮蓝牛队为备战年月底举行的云南省城市足球联赛（简称“滇超联赛”），开展定位球战术训练．现以足球被踢出的位置为原点，水平向右为x轴正方向（指向球门），竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．已知足球飞行轨迹满足二次函数关系式：，其中y表示足球离地面的高度（单位：米），x表示从足球被踢出的位置到球门方向的水平距离（单位：米）．根据该函数模型计算足球从踢出到落地的水平距离为（ ） A．6米 B．米 C．米 D．米 2．已知二次函数的图象经过点(－1，－9)，(1，－3)和(3，－5)三点，则该函数的表达式为 （      ） A．y＝x2＋3x－5 B．y＝－x2＋3x－5 C．y＝x2－3x＋5 D．y＝－x2－3x＋5 3．如图，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x(s)，△ADP的面积为y(cm2)，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是 （      ）  A． B． C． D． 4．数学活动课上，老师向同学们讲学校正在规划筹建周长为400 m的跑道的消息，鼓励同学们试着给要建的跑道画一个示意图．要求跑道的两端是半圆形，中间是直线跑道，且跑道中间矩形面积最大．下面是四位同学给出的示意图，你认为正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD分别表示两个不同位置的水面宽度，O为拱桥顶部，水面AB宽为10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，水面上升2.5米到达警戒水位CD位置时，水面宽为（　　）米． A．5 B．2 C．4 D．8 6．已知二次函数的图象的顶点是(1，-2)，且经过点(0，-5)，则二次函数的表达式是 A．y=-3(x+1)2-2 B．y=3(x+1)2-2 C．y=-3(x-1)2-2 D．y=3(x-1)2-2 7．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为（　　）米． A．0.5 B．0.6 C．1 D．1.5 8．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ） A． B． C． D． 9．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB．有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10； ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2； ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（ ） A． B． C． D． 11．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 12．如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F在AB上，分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是__________． 14．小峰家要在一面长为38米的墙的一侧修建4个同样大小的猪圈，并在如图所示的5处各留1.5米宽的门，已知现有的材料共可修建长为41米的墙体，则能修建的4个猪圈的最大面积为__________． 15．如图，某工厂有一块形如四边形ABCD的铁皮，其中∠A=∠B=90°，AD=8 dm，AB=20 dm，BC=24 dm.为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮BEFG（阴影部分）备用，点E，F，G分别在AB，CD，BC上，设矩形铁皮的边FG=x dm，矩形BEFG的面积为S dm2，要使矩形BEFG的面积最大.则x的取值为__________ . 16．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=-x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为__________． 17．如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） __________ ；（2） __________ ． 三、解答题 18．某二次函数过点(2,4),且当x=1时,y有最值为6.求其表达式. 19．如图1，排球场长为18，宽为9，网高为，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为，即，这时水平距离，以直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系．如图 (1) 若球向正前方运动即x轴垂直于底线 ① 求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式不必写出x取值范围 ② 判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由． (2) 若球过网后的落点是对方场地①号位内的点如图1，点P距底线1m，边线，则发球点O在底线距离右边线__________米参考数据：取 20．投掷实心球是2025年我市中考体育选考考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为2米，当水平距离达到4米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米．   (1) 求关于的函数表达式； (2) 根据2025我市中考体育考试评分标准（男生），实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分10分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． 21．拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度AB为60m，拱顶C离地面高18m，拱桥的形状是一条抛物线； (1) 以AB的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2) 当水面宽度小于或等于30m时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为4m，是否需要采取紧急措施； (3) 某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为8m，竖直距离为6m，已知足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？ 22．已知抛物线过点和． (1) 抛物线的对称轴是__________； (2) 若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边． ① 求点的坐标； ② 设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式； ③ 点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值． 北师大版（2024）九年级上册 5.3 二次函数的应用 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．昭通壮蓝牛队为备战年月底举行的云南省城市足球联赛（简称“滇超联赛”），开展定位球战术训练．现以足球被踢出的位置为原点，水平向右为x轴正方向（指向球门），竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．已知足球飞行轨迹满足二次函数关系式：，其中y表示足球离地面的高度（单位：米），x表示从足球被踢出的位置到球门方向的水平距离（单位：米）．根据该函数模型计算足球从踢出到落地的水平距离为（ ） A．6米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【解析】解：由题可得：∵足球落地时， ∴， 提取公因式得：， 解得：，， ∴水平距离为米． 故选：C． 2．已知二次函数的图象经过点(－1，－9)，(1，－3)和(3，－5)三点，则该函数的表达式为 （      ） A．y＝x2＋3x－5 B．y＝－x2＋3x－5 C．y＝x2－3x＋5 D．y＝－x2－3x＋5 【答案】B 【解析】设该函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c， ∵二次函数的图象经过点(－1，－9)，(1，－3)和(3，－5)三点， ∴ 解得 ∴该函数的表达式为y＝－x2＋3x－5. 3．如图，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x(s)，△ADP的面积为y(cm2)，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是 （      ）  A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得AP＝2x，△ABC是等边三角形， 当点P从A运动到C的过程中，AD＝AP＝x，则PD＝x，如题图所示， 则y＝AD·PD＝x·x＝x2(0≤x≤2)； 当点P从C运动到B的过程中，BP＝8－2x，则BD＝(8－2x)×＝4－x，PD＝(4－x)，PC＝2x－4，如图所示， AD＝AB－BD＝x， ∴y＝AD·PD ＝x·(4－x) ＝－x2＋2x(2<x≤4). 综上，B选项符合题意. 4．数学活动课上，老师向同学们讲学校正在规划筹建周长为400 m的跑道的消息，鼓励同学们试着给要建的跑道画一个示意图．要求跑道的两端是半圆形，中间是直线跑道，且跑道中间矩形面积最大．下面是四位同学给出的示意图，你认为正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设矩形的长为x m，半圆的直径是d，中间的矩形区域面积是S m2， 根据题意，知S=dx，且2x+πd=400．S=dx=•πd•2x≤ ()=， 当且仅当πd=2x=200，即x=100时等号成立，此时d=， 所以应设计矩形的长为100 m，宽约为63.7 m时，矩形面积最大． 5．如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD分别表示两个不同位置的水面宽度，O为拱桥顶部，水面AB宽为10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，水面上升2.5米到达警戒水位CD位置时，水面宽为（　　）米． A．5 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系， ∵水面AB宽为10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，∴B（5，-12.5）， 设抛物线的解析式为y=ax2， 把B（5，-12.5）代入y=ax2得-12.5=25a， ∴a=-，∴抛物线的解析式为y=-x2， ∵水面上升2.5米到达警戒水位CD位置， ∴设D（x，-10），代入y=-x2得-10=-x2， ∴x=±2，∴CD=4，∴水面宽为4米． 6．已知二次函数的图象的顶点是(1，-2)，且经过点(0，-5)，则二次函数的表达式是 A．y=-3(x+1)2-2 B．y=3(x+1)2-2 C．y=-3(x-1)2-2 D．y=3(x-1)2-2 【答案】C 【解析】∵二次函数图象的顶点为(1，-2)， 设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-2，由于抛物线过点(0，-5)，则有 a(0-1)2-2=-5，解得a=-3， 因此抛物线的解析式为y=-3(x-1)2-2. 7．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为（　　）米． A．0.5 B．0.6 C．1 D．1.5 【答案】A 【解析】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系， 由题意可得A(0，2.5)，B(2，2.5)，C(0.5，1)， 设函数解析式为y=ax2+bx+c， 把A、B、C三点分别代入得出c=2.5， 同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1，解得a=2，b=-4，c=2.5． ∴y=2x2-4x+2.5=2(x-1)2+0.5． ∵2＞0，∴当x=1时，y=0.5米． 故选：A. 8．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： 当时，取最大值，最大值为 故选：C. 9．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB．有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10； ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2； ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】解：设这个菜园垂直于墙的一边AB的长为x m．则BC的长为（30﹣2x）米， ∵墙长为18m，AD≥AB， ∴ 解得， ∴x的取值范围为6≤x≤10， 故①错误； 根据题意得：x（30﹣2x）＝100， 解得x1＝5，x2＝10， ∵6≤x≤10， ∴x＝10， ∴AB的长有1个值满足该矩形菜园的面积为100m2， 故②错误； 根据题意得：S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣）2+， ∵﹣2＜0，6≤x≤10， ∴当x＝时，S有最大值，最大值为， 故③正确． 故选：B． 10．如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，设米，则米， ，墙长为25米， ， 解得， 令矩形场地的面积为， ， 所以当时，有最大值， 即围成矩形场地的最大面积是， 故选：B． 11．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴底面积， ∵，且，， ∴， ∴， 故选：C． 12．如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：，， ∴． 如图，当点M在上运动时，，． 过点M作于点F． 在中，， ． ． 当点M在点A时，，即， 解得（负值已舍去）． ； 如图，当点M在AC上运动时，，． 过点M作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 故选：D． 二、填空题 13．如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F在AB上，分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是__________． 【答案】50≤S≤68 【解析】设AF=x，则BF=10-x， 由题意，得S=x2+(10-x)2，S=2x2-20x+100，S=2(x-5)2+50． ∵a=2＞0，∴x=5时，S最小=50． ∵2≤x≤8，当x=2时，S=68，当x=8时，S=68． ∴50≤S≤68． 14．小峰家要在一面长为38米的墙的一侧修建4个同样大小的猪圈，并在如图所示的5处各留1.5米宽的门，已知现有的材料共可修建长为41米的墙体，则能修建的4个猪圈的最大面积为__________． 【答案】平方米 【解析】设垂直于墙的长为x米，则平行于墙的长为41-5(x-1.5)=48.5-5x， ∵墙长为38米，∴48.5-5x≤38，即x≥2.1， ∵总面积S=x(48.5-5x)=-5x2+48.5x， ∴当x=-=4.85米时，S最大值==(平方米)． 15．如图，某工厂有一块形如四边形ABCD的铁皮，其中∠A=∠B=90°，AD=8 dm，AB=20 dm，BC=24 dm.为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮BEFG（阴影部分）备用，点E，F，G分别在AB，CD，BC上，设矩形铁皮的边FG=x dm，矩形BEFG的面积为S dm2，要使矩形BEFG的面积最大.则x的取值为__________ . 【答案】15 【解析】如图，过点D作DH⊥BC于点H，交EF于点M，则MH=FG=x dm，EM=BH=AD=8 dm，DH=AB=20 dm， ∴DM=DH-MH=(20-x)dm，CH=BC-BH=24-8=16(dm)， 设EF=y dm，则MF=EF-EM=(y-8)dm， ∵四边形BEFG是矩形， ∴EF∥BC， ∴△DMF∽△DHC， 根据三角形相似的性质可得=，即=，∴y=-x+24， ∴S=xy=x=-x2+24x=-(x-15)2+180， ∴当x=15时，面积最大，为180 dm2. 16．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=-x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为__________． 【答案】l=-2m2+8m+12 【解析】把x=m代入抛物线y=-x2+6x中，得AD=-m2+6m， 把y=-m2+6m代入抛物线y=-x2+6x中，得-m2+6m=-x2+6x，解得x1=m，x2=6-m， ∴C的横坐标是6-m，故AB=6-m-m=6-2m， ∴矩形的周长是l=2（-m2+6m）+2（6-2m），即l=-2m2+8m+12． 17．如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） __________ ；（2） __________ ． 【答案】8 ； 12 【解析】观察图象可知，当时，点与点重合， ∵动点P，Q均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴； 故答案为：；；由图象可知，当时，，此时， 过点作于点，如图：则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴； 故答案为：12． 三、解答题 18．某二次函数过点(2,4),且当x=1时,y有最值为6.求其表达式. 【答案】解：设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2+6. ∵函数图象过点(2，4)， ∴a(2－1)2+6＝4，解得a＝-2， ∴此二次函数的解析式为y＝-2(x－1)2+6. 19．如图1，排球场长为18，宽为9，网高为，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为，即，这时水平距离，以直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系．如图 (1) 若球向正前方运动即x轴垂直于底线 ① 求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式不必写出x取值范围 ② 判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由． (2) 若球过网后的落点是对方场地①号位内的点如图1，点P距底线1m，边线，则发球点O在底线距离右边线__________米参考数据：取 【答案】(1) ① 设抛物线的表达式为：， 将代入上式，则 解得：， 抛物线的表达式为：； ② 当时，， 当时，， 这次发球过网，但出界了； (2) 如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q， 在中，， 当时，， 解得：或舍去， ， 而， 故， ， 发球点O在底线上且距右边线米处． 故答案为： 20．投掷实心球是2025年我市中考体育选考考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为2米，当水平距离达到4米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米．   (1) 求关于的函数表达式； (2) 根据2025我市中考体育考试评分标准（男生），实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分10分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． 【答案】(1) 依题意设关于的函数表达式为：， 将代入得：， 解得， 关于的函数表达式为； (2) 该生在此项考试中未得满分，理由如下： 令，则， 解得舍去， ∵， 该生在此项考试中未得满分． 21．拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度AB为60m，拱顶C离地面高18m，拱桥的形状是一条抛物线； (1) 以AB的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2) 当水面宽度小于或等于30m时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为4m，是否需要采取紧急措施； (3) 某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为8m，竖直距离为6m，已知足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？ 【答案】解： (1) 由题意可知：A（﹣30，0），B（30，0），C（0，18），C点为顶点； 设拱桥所在抛物线的表达式为：y＝ax2+18， 代入A（﹣30，0），得：0＝302a+18， 解得：， ∴拱桥所在抛物线的表达式为：； (2) 将y＝14代入得：， 解得：， 所以此时水面宽度为 m， 又∵， 所以需要采取紧急措施； (3) 若人朝x轴正方向踢足球，则由题意可知，足球最高点的坐标为（8，24）， 该点也是足球轨迹抛物线的顶点，因此可设足球轨迹抛物线表达式为：y＝m（x﹣8）2+24， 代入C（0，18）得：18＝（0﹣8）2m+24， 解得：， ∴， 令x＝30，得， 所以球会落在桥上． 22．已知抛物线过点和． (1) 抛物线的对称轴是__________； (2) 若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边． ① 求点的坐标； ② 设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式； ③ 点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) 解： 对称轴为直线 (2) ① ∵ 在对称轴 上，关于对称轴对称， ∴ ∵ ，，且 两式相减得 设， 令，则， 由根与系数的关系得 ， 又 ， 代入得： ， 解得 即 ② 轴且过 ， 故 ， 联立抛物线： 整理得 设 ， 由根与系数的关系得 则： 的高为 ，故面积 ∵，， 当 时，根号内取最小值5， 故， 此时抛物线解析式为 ③ ∵点在②中所求抛物线上，横坐标为，则纵坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为． ∴，，，分三种直角情况讨论： ，， 点为直角顶点时：， ∴，即 解得： 点为直角顶点时：， ∴，即 解得： 点为直角顶点时：， ∴，即 解得： 综上所述，的值为，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $