5.3二次函数的应用 同步练习2026--2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 练习以二次函数应用为核心，分层设计梯度清晰，从单一知识点到综合应用，覆盖几何、运动、经济等真实情境，适配新授课知识巩固与建模能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|选择1-4、填空9-12|单一知识点应用，如长方形面积公式、增长率模型，培养符号意识与运算能力| |进阶层|选择5-8、填空13|动态问题与最值计算，如弹簧压缩速度、栅栏面积最值，发展推理意识与几何直观| |综合层|解答14-20|跨情境综合应用，如新能源充电站抛物线建模、利润最大化问题，强化模型观念与应用意识|

【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §5.3二次函数的应用 一、选择题（每小题3分 共24分） 1．（本题3分）已知长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则与之间的关系式为（  ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝6cm，AD＝4cm．点E沿A→B移动，同时点F沿A→D移动，且速度都为1cm/秒，设点E，F移动的时间为xs（其中0≤x≤4），△BEF的面积为ycm2，则y关于x的函数图象大致是（　　） A．B．C． D． 3．（本题3分）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（  ） A． B． C． D． 4．（本题3分）金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（  ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（  ） A． B． C． D． 6．（本题3分）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（  ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 7．（本题3分）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（  ） A． B． C． D． 8．（本题3分）一小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），按如图所示的图象，小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系式是，当小球的速度最大时，弹簧的长度是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分 共15分） 9．（本题3分）某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 10．（本题3分）如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是__________． 11．（本题3分）烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则最高点的高度为________米． 12．（本题3分）某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 13．（本题3分）我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下方法求得： 解： ∵，∴，∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下列问题，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，则当_____时，花园的面积最大是_____． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）某地为庆祝国庆举行焰火表演，表演时礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮点火升空到最高点处引爆，求从点火升空到引爆需要的时间和最高点高度． 15．（本题8分）某学生推铅球，铅球出手点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线弧（如图）运行，当运行到最高时，水平距离是． (1)试求铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式； (2)如果将轴平移至直线，轴平移至直线，原抛物线不动，在新的坐标系下，求原抛物线弧的函数表达式． 16．（本题8分）用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，长表示窗框的宽，（铝合金条的宽度忽略不计）． (1)求窗框的透光面积与窗框的宽之间的函数关系式． (2)如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？ (3)当窗框的透光面积不小于时，直接写出x的取值范围． 17．（本题9分）如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上．沿方向以的速度匀速运动，开始时点A与点M重合，运动到点A与点N重合时停止．设运动的时间为，运动过程中与正方形重叠部分的面积为．试写出关于t的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． 18．（本题9分）某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售；单价每千克降低1元，日均多售．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元．当销售单价定为多少时，每天可获得最大利润？最大利润为多少？ 19．（本题10分）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 20．（本题11分）问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §5.3二次函数的应用 一、选择题（每小题3分 共24分） 1．（本题3分）已知长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则与之间的关系式为（  ） A． B． C． D． 解：长方形的周长为，其中一边为， ∴， 长方形的另一边长为， 故选：D． 2．（本题3分）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝6cm，AD＝4cm．点E沿A→B移动，同时点F沿A→D移动，且速度都为1cm/秒，设点E，F移动的时间为xs（其中0≤x≤4），△BEF的面积为ycm2，则y关于x的函数图象大致是（　　） A．B．C． D． 解：由题意得AF＝x，AE＝x，∴BE＝6﹣x， 由三角形的面积公式得：y， 该函数是二次函数，且开口向下， 当x＝3时，y＝4.5，只有D选项符合题意，故选：D． 3．（本题3分）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（  ） A． B． C． D． 解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图： ∴设抛物线解析式为：， ∵观察图形可知抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴当水位上涨时，即当时，有， ∴，， ∴水面的宽度为：． 故选：A． 4．（本题3分）金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（  ） A． B． C． D． 解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 5．（本题3分）如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（  ） A． B． C． D． 解：由题意得：函数， ， 该函数图象开口向下，有最大值， 对称轴为， 将代入得：， 即小球速度的最大值为．故选：B 6．（本题3分）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（  ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 解：，， ∴当时，水火箭达到最高点．故选：B 7．（本题3分）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（  ） A． B． C． D． 解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长． 第一年（年）：市场规模增长到． 第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即． 因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为， 对应选项C． 其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除． 故选：C． 8．（本题3分）一小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），按如图所示的图象，小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系式是，当小球的速度最大时，弹簧的长度是（ ） A． B． C． D． 解：∵小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系式是 ∴该函数图象是开口向下的抛物线， 当时，取得最大值， ∵， 当时，小球的速度最大，此时弹簧被压缩了， ∵弹簧的初始长度为， ∴此时弹簧的长度为.故选：A 二、填空题（每小题3分 共15分） 9．（本题3分）某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 解：∵，且， ∴当时，y取得最大值， ∴最佳加工时间为3.75分钟． 10．（本题3分）如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是__________． 解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：． 11．（本题3分）烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则最高点的高度为________米． 解：二次函数，顶点横坐标为， 代入得：． 故答案为：51． 12．（本题3分）某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 解：9月份投入资金为20万元，每月增长率为x，则10月份投入资金为万元，11月份投入资金为万元， 故． 故答案为：． 13．（本题3分）我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下方法求得： 解： ∵，∴，∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下列问题，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，则当_____时，花园的面积最大是_____． 解：设，则，面积为， 由图可得：， ∵，∴， 又∵且， ∴， ∴当时，y取得最大值，此时． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）某地为庆祝国庆举行焰火表演，表演时礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮点火升空到最高点处引爆，求从点火升空到引爆需要的时间和最高点高度． 解：将整理成顶点式得：， ，∴当时，取得最大值，此时引爆， ∴从点火升空到引爆需要时间为4s， ∴最高点高度为（） 即从点火升空到引爆需要的时间为和最高点高度． 15．（本题8分）某学生推铅球，铅球出手点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线弧（如图）运行，当运行到最高时，水平距离是． (1)试求铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式； (2)如果将轴平移至直线，轴平移至直线，原抛物线不动，在新的坐标系下，求原抛物线弧的函数表达式． （1）解：由已知可设抛物线的函数表达式是（其中． 抛物线经过了点 解之，得． 故所求的函数表达式为， 令，得或．不合题意，舍去）． 自变量的取值范围是． （2）解：原抛物线的顶点在坐标原点，开口向下，且过点， 所以设抛物线的表达式为， 则解得：， 故所求抛物线弧的函数表达式是． 16．（本题8分）用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，长表示窗框的宽，（铝合金条的宽度忽略不计）． (1)求窗框的透光面积与窗框的宽之间的函数关系式． (2)如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？ (3)当窗框的透光面积不小于时，直接写出x的取值范围． （1）解：由题意可知， ，， ∴． ∴， 即． （2）∵， ∴当时，． 即当时，窗框的透光面积最大，最大透光面积是． （3）当时，即，即， 解方程得， 二次函数开口向上， 所以不等式的解集为． ． 17．（本题9分）如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上．沿方向以的速度匀速运动，开始时点A与点M重合，运动到点A与点N重合时停止．设运动的时间为，运动过程中与正方形重叠部分的面积为．试写出关于t的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． 解：如图，设与交于点R． 是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ． 18．（本题9分）某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售；单价每千克降低1元，日均多售．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元．当销售单价定为多少时，每天可获得最大利润？最大利润为多少？ 解：设销售单价为x元，每天可获得利润为y元． 由题意，得 ． ， 当时，． 答：当销售单价定为65元时，每天可获得最大利润，最大利润为1950元． 19．（本题10分）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ （1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得或， 为了让顾客得到更大的实惠，所以， 因此，这种干果每千克应降价9元； （3）设利润为元， 根据题意得， 配方得， 抛物线开口向下，当时，w取得最大值2250． 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 20．（本题11分）问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． （1）解：由题意，所在抛物线的顶点坐标为，点， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得，解得， 所在抛物线的解析式为，即； (2)解：不能覆盖着火点 理由如下，由题意得，， 对于， 令，则，解得或， ， ∴点， ∴点． 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面的保护半径为， ∴此抛物线与x轴的两个交点为和，即和， 将代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点在抛物线与x轴形成的区域的外侧， ∴不能覆盖着火点. $