第二章 §2.5 2.5.2　圆与圆的位置关系 知识点讲练 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 2.5.2　圆与圆的位置关系 学习目标　1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 导语 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食． 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系． 一、两圆位置关系的判断 1．代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| 注意点： (1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系． (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法． 例1　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)， 圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 解　圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离． (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含． 反思感悟　判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系． 跟踪训练1　(1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是(　　) A．4 B．6 C．16 D．36 答案　C 解析　圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1， ∵两圆有三条公切线， ∴两圆外切， ∴＝1＋，解得a＝16. (2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条． 答案　4 解析　到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5. 半径之和为3＋1＝4，因为5>4， 所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条． 二、相交弦及圆系方程问题 例2　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 解　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B两点坐标是方程组的解． ①－②，得x－y＋4＝0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程． 又圆C1的圆心(－3,0)，r＝， ∴C1到直线AB的距离d＝＝， ∴|AB|＝2＝2＝5， 即两圆的公共弦长为5. (2)方法一　解方程组 得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则＝， 解得a＝，故圆心为，半径为. 故圆的方程为2＋2＝， 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 方法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为，代入x－y－4＝0， 解得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2