分段函数的零点问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

分段函数的零点问题 一、单选题 1．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·山东青岛·期末）设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽六安·期末）已知函数若函数恰有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数，且，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（    ） A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点 C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点 三、填空题 11．（26-27高三上·江西上饶·阶段检测）已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是______． 12．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数总存在，使得关于的方程有四个实数解，则实数的取值范围是_________． 13．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数的图像与直线，有四个不同的交点，若这四个交点的横坐标分别为，则的取值范围是______． 14．（2026高三下·全国·专题练习）若，方程恰有四个互不相等的实数根，则的取值范围是______. 四、解答题 15．（26-27高三·全国·一轮复习）设函数 (1)若，求的最小值； (2)若恰有2个零点，求实数a的取值范围． 16．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）已知函数，若关于x的方程有3个不同的零点，求a的取值范围； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 分段函数的零点问题 一、单选题 1．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，令，得到，解得或（舍）， 当时，，令，得到，即，解得， 所以函数的零点个数为个. 2．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】画出函数的图象，如图： 因为关于的方程恰有3个不同的实数解， 不妨设，则，根据二次函数的对称性可得， 所以，即的取值范围是. 3．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出分段函数图象，由四个根确定参数，分别利用抛物线的对称性和对数函数的对称性，求出和，最后通过换元，利用对勾函数的单调性求出比值的取值范围． 【详解】画出函数图象如图所示， 由有四个根，结合图象可知，直线与函数图象有四个交点， 所以，，且 令得： 所以，因此 所以，令，因为，所以， 所以，令， 根据对勾函数单调性，在上单调递增，所以， 所以 4．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，先解出的根，又由得到，再利用函数的图象即可得的取值范围. 【详解】当时，，则；当时，则，得. 因为，所以. 又关于的方程有且只有一个实数解，所以有且只有一个实数解. 如图，作出函数的图象，又，由图可得. 5．（25-26高二下·山东青岛·期末）设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得 ，把零点个数问题转化为求解函数的图象与直线的交点个数问题. 【详解】令可得 当时，，联立方程可得，解得， 此时仅一个交点； 当时，，联立方程解得， 此时仅一个交点； 当时，，由图象可知仅有一个交点， 综上所述，函数的图象与直线有3个交点. 6．（25-26高二下·安徽六安·期末）已知函数若函数恰有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查分段函数的图像与性质，需要将复合函数分层转化，将条件转化为有6个实数根，结合函数图像分析解的个数. 【详解】令，则恰有6个零点，等价于有三个不同的解， 且对应有6个实数根，由函数的图像，如图所示 则，，，， 当时，二次函数最大值在时取得，即， 则, 则二次函数与直线各有两个交点， 所以要满足有6个实数根， 则需即，解得. 故的取值范围为. 7．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得方程的根即为方程与的根，画出函数的图象，数形结合即可求出的取值范围. 【详解】由题可得，方程的根即为方程与的根． 结合函数的图象可知，有2个不同的根，则要有3个不同的根，才能使方程有5个实数根， 所以，由图象可知． 8．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质以及利用导数确定函数单调性，继而得到的图象，结合图象得出的取值范围． 【详解】为二次函数，对称轴为， 所以时，单调递减， 令，， 所以在单调递增， 则函数的图象如下： 函数仅有一个零点，即只有一个交点， ． 二、多选题 9．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用分段函数零点问题转化为方程的解的问题，再利用数形结合，来分析四个零点的分布，再结合对数运算即可判断各选项. 【详解】当时，令，得； 当时，令，解得或； 画出函数的大致图象如图所示. 若方程有四个不同的零点，，，，且， 则由图象可知，故A错误． 由图象可知，且， 所以，故，故B正确. 因为，所以，又， 由，根据对勾函数的单调性可知：在上单调递减， 则， 所以，故C错误． 由的两根为，，且， 则， 又因为，所以，故D正确. 10．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数，且，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（    ） A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点 C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点 【答案】CD 【分析】令得，利用换元法将函数分解为和，作出函数的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】令，得， 设，则方程等价为. ①若，作出函数的图象如图： 因为，所以方程有两个根其中，， 由，此时有两解， 由，此时有两解， 共有4个解，即函数有4个零点； ②若，作出函数的图象如图： 因为，所以方程有一个根，其中， 由，此时只有1个解， 即函数有1个零点. 三、填空题 11．（26-27高三上·江西上饶·阶段检测）已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是______． 【答案】. 【分析】方程有三个不同的根等价于直线与函数图象有个不同的交点，比较分段点处左右函数值大小，结合图象单调性得到参数范围. 【详解】如下图所示，当时，若要满足题意，需要，解得； 当时，， 此时函数在上单调递增，在上单调递减， 故不存在，使得关于的方程有三个不同的根； 当时，若要满足题意，需要，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为. 12．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数总存在，使得关于的方程有四个实数解，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】换元分层，先看外层方程得到两个中间变量，再要求每个中间变量代入内层都能产生两个x解，转化为存在参数满足不等式，求出a的范围. 【详解】令 ，原方程化为 ,要使原方程有 4 个实数解，需同时满足： 方程 有2 个不同实根 ； 每个根 对应的方程 都有2 个不同实根,总解数为 . 时， 单调递增，值域 ； 时， 单调递减，值域 . 因此方程 的解的个数：，2 个解（两段各 1 个）；，1 个解（仅 段）；，无解. 同理， 有 2 个不同实根，当且仅当 ,此时两个根为：（）；（）, 要使每个根 对应的方程 都有2 个不同实根，需要满足(), 即，所以，则， 因为，，，所以， 所以，因为，的值域为， 所以，所以实数的取值范围是. 13．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数的图像与直线，有四个不同的交点，若这四个交点的横坐标分别为，则的取值范围是______． 【答案】． 【分析】画出函数图象，根据图象得出的取值范围和之间的关系，进而求解. 【详解】画出函数图象： 由图象可知当函数与有四个不同的交点时， 不妨设，则， 所以，即， 所以，所以， 令，即， 所以， 所以. 14．（2026高三下·全国·专题练习）若，方程恰有四个互不相等的实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】画出的图象，数形结合进行求解. 【详解】， 同一坐标系内，画出与的图象如下： 由图可知，恰有四个互不相等的实数根，则， 设，则， 故， 由于，故，所以. 四、解答题 15．（26-27高三·全国·一轮复习）设函数 (1)若，求的最小值； (2)若恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1). (2)∪[2，＋∞）． 【详解】（1）若，则；作出的图像，如图所示，的最小值为. （2）设， ①若时，与轴有一个交点，则， 此时函数图像在上与轴也只有一个交点，或，， 又因为，所以. ②若函数的图像与轴没有交点，， 若，即，此时或它们均不在范围内， 此时在无零点，此时不符合题意，故舍去 当时，或， 此时函数的图像在与轴有两个交点，符合题意，此时. 综上所述，实数a的取值范围为. 16．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）已知函数，若关于x的方程有3个不同的零点，求a的取值范围； 【答案】( 【分析】令，将复杂的方程转化为二次方程，由分段函数的图象可知要使原方程有3个不同的零点，必须满足，，利用二次函数的性质列不等式，求出a的取值范围，再检验端点. 【详解】设，则，令， 要使关于x的方程有3个不同的零点， 即方程有个根， 由的图象可得：，， 当，， 则，即，解得：， 当，， 则，即，无解. 当时，方程的根为，对应个，满足题意； 当时，方程的根为，对应个，不满足题意； 故a的取值范围为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $