与对数型函数有关的分段函数问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

与对数型函数有关的分段函数问题 一、单选题 1．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数，若，则（     ） A．1或3 B．或1 C．0或 D．1或 【答案】D 【详解】当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述，或. 2.（2025·安徽合肥·一模）若是上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论及的的单调性，再注意分段函数的内部衔接点的大小关系，即可得到的取值范围． 【详解】当时，若为单调递增函数，则； 当时，为单调递增函数， 若是上的增函数，需有，解得． 故选：B． 3．（2026·河北张家口·二模）已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数，二次函数与分段函数的单调性列式解不等式即可求得答案. 【详解】因为函数在上单调递增，， 所以，解得 又在上单调递增，即 ； 函数在上单调递增，即，解得， 综上，的取值范围是. 4.（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用求两个函数的值域，把等式成立问题转化为值域的包含关系，从而可求参数的范围. 【详解】对于，当时，，则； 当时，，故函数的值域为； 设，则的值域为. 因对任意，存在，使得成立,即成立， 故函数的值域是函数值域的子集， 故只需，即，解得. 5.（2026·安徽芜湖·一模）若函数（且）的值域是，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出时的值域，可知要使的值域是，则当时的值域为的子集，求解即可. 【详解】当时，单调递减，此时， 要使的值域是，则当时，的值域为的子集， 所以，解得， 即实数a的取值范围为， 故选：A 6.（2025·山东·一模）若函数（且）的值域是，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性求解函数的值域，结合分类讨论对数函数的单调性即可求解. 【详解】当时，单调递减，此时， 当时，，若，则在单调递增，此时， 因此要使的值域是，故，解得， 当，则在单调递减，此时， 此时无法满足的值域是，故不符合题意，舍去， 综上可得， 故选：A 7.（2026·山东德州·三模）对于正整数n，函数定义如下：，存在实数t，使得方程有四个不同实数解的所有正整数n的和为（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】B 【分析】对和时的函数根据的范围分析单调性，进而判断出方程的实数解的个数. 【详解】当时，， 所以当时，先减后增， 则存在实数，方程有两个不同的实数解； 当时，单调递减， 方程至多有一个实数解； 当时，， 所以当时，先减后增， 则存在实数，方程有两个不同的实数解； 当时，单调递增， 方程至多有一个实数解； 综上，当时，存在实数，方程有四个不同的实数解， 又为正整数，所以可取，和为. 8．（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分类讨论，再通过数形结合来研究函数零点个数，即可得参数范围. 【详解】当时，，对称轴为，所以在上单调递增，函数图象如下： 令，解得或， 即或，根据图象有2个解， 有1个解，所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下： 令，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又至少有7个零点，所以至少有2个解， 即，解得． 故选:D． 二、多选题 9．（24-25高一上·江西·期末），下列说法正确的有（    ） A．的减区间为 B．的值域为 C．若有3个零点，则 D．若有5个零点，则 【答案】BCD 【分析】根据函数的解析式，可画出函数草图，利用函数草图，可轻松判断ABC的真假；再结合分类讨论思想的应用，判断D的真假. 【详解】函数的草图如下： 由图象可知： 函数的减区间为和两个，不能用“并集”符号连接，故A错误； 函数值域为，故B正确； 若有3个零点，则，故C正确； 对D：结合函数草图：由 或 ； 由 或，解得：或或. 设，由题意方程有5个不同的根. 由， 若，则只有1解，且，此时方程有3个解； 若，则有2解，且或， 此时方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有6个解； 若，则有3解，且，，， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有7个解； 若，则有3解，且或或， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程有和两个解，所以方程有6个解； 若，则有3解，且，，， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程有1个解，所以方程有5个解； 若，则有2解，且或， 此时方程有，共2个解，方程有1个解，所以方程有3个解； 若，则有1解，且，此时方程至多有1个解. 综上：若有5个零点，则.故D正确. 故选：BCD 三、填空题 10．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数，若，则_________． 【答案】0或2 【分析】根据题意结合指、对数函数性质可得，分类讨论解方程即可. 【详解】因为恒成立，若， 则，且，可得， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：或. 11．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数，且，则的值为__________. 【答案】/ 【分析】根据给定的函数式及函数值求出，再判断代入求出目标值. 【详解】函数，当时，， 当时，，由，得，则，解得， 所以. 故答案为： 12．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）设，则_______. 【答案】 【分析】直接代入解析式，结合对数运算求解即可. 【详解】由题可知，， 因为，所以. 故答案为： 13．（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】作出函数的图象，依题意即函数与直线的交点横坐标，利用函数解析式，结合图象易得，，，利用二次函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】作出函数的图象，设，依题意，， 且，，解得，， 故，因函数在上单调递减，故， 即的取值范围是. 故答案为：. 14．（2026·安徽淮北·一模）已知函数若关于的方程有三个不同的实根，，，且，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】作出分段函数的图象，结合图形得到，进行对数运算求得，，最后利用指数函数的单调性求出结果． 【详解】作出函数的图象如下所示： 若方程有三个不同的实根，，，则必有． 因为，所以，则，得， 所以，则． 因为，所以，所以，所以， 所以故所求取值范围为． 四、解答题 15.（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数，且关于的方程有8个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】 【分析】先分析函数的图象与取值范围，结合方程及的根的个数，方程的根的分布要求，确定的取值范围，分析条件求解参数的取值范围； 【详解】当时，是开口向下的抛物线，对称轴， 顶点为，此时， 当时，， 若，则单调递减，且， 若，则单调递增且， 根据原方程的根的结构， 设，则原方程变为①， 原方程的根的个数由的取值及的根的个数共同决定， 的根的个数分析如下： 当时，若在有1个根；若在有2个根； 若在有2个根；若在有1个根； 若在无根； 当时，若在有2个根；若在有1个根； 若在无根； 若原方程有8个根，需满足①有两个不同的正根（否则根的总个数不是8个）， 对于每个的根的个数之和为4，结合的根的个数， 要使的根的个数为4个，需，此时当时，有2个根， 当时，有2个根，共4个根， 方程①，令， 需满足，解得， 故答案为：. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 与对数型函数有关的分段函数问题 一、单选题 1．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数，若，则（     ） A．1或3 B．或1 C．0或 D．1或 2.（2025·安徽合肥·一模）若是上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北张家口·二模）已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.（2026·安徽芜湖·一模）若函数（且）的值域是，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.（2025·山东·一模）若函数（且）的值域是，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 7.（2026·山东德州·三模）对于正整数n，函数定义如下：，存在实数t，使得方程有四个不同实数解的所有正整数n的和为（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 8．（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·江西·期末），下列说法正确的有（    ） A．的减区间为 B．的值域为 C．若有3个零点，则 D．若有5个零点，则 三、填空题 10．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数，若，则_________． 11．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数，且，则的值为__________. 12．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）设，则_______. 13.（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是______. 14．（2026·安徽淮北·一模）已知函数若关于的方程有三个不同的实根，，，且，则的取值范围是________． 四、解答题 15.（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数，且关于的方程有8个不相等的实数根，求的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $