2.7 函数与方程 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以零点问题为核心，构建从基础定理到高观点探究的递进式训练体系，注重数学思维与语言的综合应用 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |零点存在性定理|2考法/5题|区间判定、参数范围|从定理应用到单调性结合，夯实基础逻辑| |函数图象转化|2考法/6题|数形结合、绝对值分段|通过图象直观化，建立形与数的联系| |分段与复合函数|2考法/9题|零点分布、换元解析|从分段到复合，提升复杂函数分析能力| |零点对称性|2考法/6题|对称中心、零点数列|结合函数性质，深化数学抽象与推理| |同构构造|2考法/6题|指对同构、二次转化|通过构造思想，培养数学模型观念| |新定义与高观点|2考法/5题|周期递推、多项式根系|拓展数学视野，发展创新意识与应用能力|

2027届高三数学一轮复习专项训练 2.7 函数与方程 解析卷 答案速查表 1 考点一：零点存在性定理及其应用 1 考法1：区间端点函数值符号判定零点所在区间 1 考法2：结合单调性与零点存在性求参数范围 2 考点二：函数图象转化与零点交点求解 4 考法3：数形结合转化方程求交点个数 4 考法4：含绝对值方程的分段分析与求根 5 考点三：分段函数与复合函数的零点问题 7 考法5：分段函数零点分布与参数范围 7 考法6：换元法解析复合函数零点 10 考点四：函数零点的对称性与零点之和 13 考法7：利用对称中心与反函数图象求零点之和 13 考法8：零点数列的等差性与性质判定 14 考点五：同构构造与方程求根技巧 15 考法9：指对同构与双变量方程构造 15 考法10：换元转化二次方程求参数范围 17 考点六：零点与方程新定义及高观点探究 18 考法11：周期递推与新定义方程零点探究 18 考法12：多项式根系关系与高观点零点性质 21 2.7 函数与方程 方法总结 22 答案速查表 1 2 3 4 5 B B A C ACD 6 7 8 9 10 C D B 3 11 12 13 14 15 1、 B C ACD ACD 16 17 18 19 20 D A 21 22 23 24 25 D D -4 D ACD 26 27 28 29 30 C B B A 31 32 33 34 35 B BCD （1）； （2） D 36 （1）； （2）详见解析； （3）详见解析 考点一：零点存在性定理及其应用 考法1：区间端点函数值符号判定零点所在区间 1.（2025·沧州运东五校·二模）函数的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理计算区间端点函数值符号即可得出结论. 【解析】因为与均在定义域上单调递增，所以在上单调递增.又，∵，，∴.又∵，∴函数的零点所在区间是.故选：B. 2.（2026·重庆巴蜀中学·模拟）函数的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】利用基本初等函数的单调性判定函数在实数集上的单调递减性，再检验各整数点函数值的正负. 【解析】函数都是上的减函数，因此函数在上单调递减.而，，所以函数的零点所在的区间为.故选：B. 考法2：结合单调性与零点存在性求参数范围 3.（2026·河南新乡·模拟）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】分别将三个函数的零点方程转化为两函数图象的交点横坐标，结合特殊值与单调性分析交点位置. 【解析】对于函数，令，解得.对于函数，令，当时，当时，故交点横坐标，即.对于函数，令，易知，当时，故交点横坐标.因此，即.故选：A. 4.（2026·贵州毕节·一模）已知为函数的零点，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】先由单调性求出零点，再利用换底公式和基本不等式比较对数值与的大小. 【解析】与均在上单调递增，故在上单调递增，所以函数至多有一个零点.又由题干可知函数存在零点，因此为函数的唯一零点.又注意到，故.易知，因此须比较的大小.，由基本不等式可知，，而，即，所以，则，因此，得.综上所述，有.故选：C. 5.（2026·河北沧州八校·二模）（多选）已知函数在区间上有两个不同的零点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【思路】对参数按对勾函数的极值点位置进行分类讨论，利用极值与端点值的正负列出不等式组判定. 【解析】当时，函数在区间上单调递增，因此此时函数不可能有两个零点，不符合题意；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减，因此此时函数不可能有两个零点，不符合题意；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以此时，要想函数在区间上有两个不同的零点，只需，显然选项A正确；由，选项B不正确；因为，所以，因为，所以，因此选项C正确；由，由，因为，当且仅当时取等号，即当时取等号，所以，因此选项D正确.故选：ACD. 考点二：函数图象转化与零点交点求解 考法3：数形结合转化方程求交点个数 6.（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与函数图象的交点个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 无法确定 【答案】C 【思路】依据函数的定义，定义域内每一个自变量对应唯一的函数值，在定义域外则无对应点. 【解析】根据函数的定义，每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.若属于函数的定义域，则直线与函数图象有且仅有1个交点；若不属于函数的定义域，则交点个数为0.因此交点个数为0或1.故选：C. 7.（2025·河北衡水中学·一模）函数与函数的图象交点个数为（　　） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【思路】由对数函数的值域界定交点横坐标范围，在有效区间内分段考查正弦型函数的波动与交点情况. 【解析】由，当时，，而，所以两函数交点横坐标必在内.对于函数，周期为.在内：当时，从1增至2再减至，从增至，有1个交点；当时，从降至，从0.06增至1.39，有2个交点；当时，从升至2，从1.39增至2.06，有2个交点；当时，在为2，在为，从2.06增至2，在区间内部有2个交点.综合各区间交点个数，共计个交点.故选：D. 8.（2025·江西萍乡实验·一模）若关于的方程有且仅有两个实根，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】将绝对值方程分类讨论脱去绝对值，通过参变分离构造函数，借助导数分析单调性与极值确定参数范围. 【解析】定义域为.当时，方程即有且仅有两个实根，令，则，，令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，可得函数的大致图象如图所示， 所以有且仅有两个实根时，；当时，令，则有且仅有两个实根，因为当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以要使有且仅有两个实根，则，解得.综上实数的取值范围为. 考法4：含绝对值方程的分段分析与求根 9.（2026·山东德州·模拟）对于正整数，函数．对于实数，使得方程有四个不同实数解的所有正整数的和为（　　） A. 26 B. 27 C. 28 D. 29 【答案】B 【思路】分别分析分段函数在与时的图象特征与折起点，得出使两段均有两个解的参数条件并求和. 【解析】当时，，图象值域为；当时，，图象极小值为0，折起关键点为及边界点.要使水平直线与恰有4个交点，只需两段函数图象在折起后各能提供2个交点，即要求左支的翻折部分上限与右支的翻折部分上限有公共区间，且使得公共水平线存在，要求，故；同时在右端零点与左端渐近线之间保持图象形态，得到正整数满足题意，其和为.故选：B. 10.（2026·河北唐山·一模）已知，若，则＿＿＿＿＿＿． 【答案】3 【思路】对自变量按零点2分段去绝对值，分别转化为一元二次方程求解并检验定义域. 【解析】由题意可得：，当时，可得，即，解得或（舍去）；当时，可得，即，方程无解；综上所述：. 11.（2026·河北百师联盟·一模）已知函数，若函数，则的所有零点之积为＿＿＿＿＿＿；方程有三个不同的解，则实数的范围为＿＿＿＿＿＿． 【答案】1、 【思路】第一问利用对称性与对数运算性质求根的乘积；第二问将方程转化为过原点的直线与对数图象相切的临界状态. 【解析】由题，函数的零点即方程的根，作出函数的图象，如图， 与的图象共4个交点，从右到左依次是，当时，，则，得，故，即，同理，可得，所以，即的所有零点之积为1.作出函数的图象如图， 方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点，当时，，则，设切点为，所以曲线过原点的切线斜率，解得，所以曲线过原点的切线斜率，要使得与的图象有三个不同的交点，则，即，所以实数的取值范围为.故答案为：1、. 考点三：分段函数与复合函数的零点问题 考法5：分段函数零点分布与参数范围 12.（2026·四川雅安·一模）已知函数，则方程的实数根的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【思路】按定义域区间分段解出方程的根，并检验解是否落在对应的自变量取值范围内. 【解析】当时，则，可得或，由解得符合题意；由得无实数解，舍去.当时，则，解得符合题意.综上，方程有2个实数根.故选：B. 13.（2026·西安高新一中·模拟）已知函数，．若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】分离参数将方程转化为直线与函数图象的交点问题，数形结合确定范围. 【解析】函数，由，得，令函数，由函数有3个不同的零点，得方程有3个不同的解，即直线与函数的图象有3个交点，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象，当且仅当时，直线与函数的图象有3个交点，所以的取值范围是.故选：C. 14.（2026·山东菏泽·一模）（多选）函数图象是由函数与函数的图象“拼接”而成．则下列说法正确的有（　　） A. B. 若，则 C. 若有三个零点，则 D. 若关于的方程存在实数解，则实数满足或 【答案】ACD 【思路】分别画出拼接函数的图象，逐项验证函数值、单调性定义域、过定点割线的临界斜率以及复合方程的值域. 【解析】对于A，，故A正确；对于B，易知在上单调递增，故由，得，得，故B错误；对于C，函数有三个零点，等价于方程有三个不相等的实数根，等价于函数的图象与直线有三个交点，又直线恒过定点，如图， 当直线位于与之间（不包括两条直线）时满足条件，当直线位于时，；当直线位于时，联立与，消去整理得，由相切，得，解得，又，则，由图可知，故C正确；对于D，由上图得函数的值域为，而的图象是由的图象向右平移2026个单位得到，故的值域为，将条件转化为关于的方程存在实数解，所以，解得或，故D正确.故选：ACD. 15.（2026·安徽师大附中·检测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A. 若为正数，，则 B. 若为正数，，则 C. 若，则函数有唯一零点 D. 若，则函数的零点个数为奇数 【答案】ACD 【思路】利用分段阶梯函数的定义分别检验对称区间乘积、幂函数交点的唯一性以及对称零点成对分布的奇偶性. 【解析】对于选项A，当，则，不妨设，则，那么，当，同理可得.故选项A正确；对于选项B，若为正数，，当时，若，则，不一定有.故选项B错误；对于选项C，当，函数的零点即方程的根，也就是函数与图象的交点横坐标.当时，，由单调递增，所以单调递减，，当且仅当时取“=”号，从而为函数的零点；当时，，由单调递增，单调递减，，当且仅当时取“=”号，因此，函数有唯一零点.故选项C正确；对于选项D，当，函数的零点即方程的根，也就是函数与图象的交点横坐标.当时，，由单调递增，所以单调递减，，当且仅当时取“=”号，从而为函数的零点；当时，，由单调递增，单调递减，，当且仅当时取“=”号，若存在，使得，则，那么必存在，满足.从而若在有个零点，则对应的在相应地有个零点，，从而可知若，函数的零点个数为奇数个个，故选项D正确.故选：ACD. 16.（2026·江西宜春十校·联考）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】转化方程为两函数图象交点，画出图象后通过端点界限与切线斜率确定参数取值范围. 【解析】由函数恰有3个零点，则方程，即有3个不同的实数根，等价于图像有3个交点，，如图 由图像要有3个交点，根据图像可知：，当时，所以，即；当直线与相切时，，设切点为，且，所以，可得，所以，可得或（舍），所以可知.故答案为：. 考法6：换元法解析复合函数零点 17.（2026·云南玉溪一中·一模）已知函数，若的零点个数为4，则实数取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】令，先画出内层函数图象确定外层各区间根所对应的的解数，再由二次方程根的分布列不等式求解. 【解析】作出的图象， 令，那么转化为.要使零点个数为4，结合的图象，可知，或且，或且.令，根据二次函数根的分布，可得或或，即或或，解得：.故选：D. 18.（2026·湖南邵阳·联考）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】换元设，利用分段函数图象确定外层方程的根必须落在能产生4个解的区间内，再结合韦达定理求解. 【解析】由题意作出的大致图象如下， 设，则关于的方程有2个不同的根和，且关于的方程分别有4个不同的根.不妨设，易知关于的方程的判别式.（1）若，则，所以，且，得；（2）若，则，此时，符合题意，故.选A. 19.（2025·河南驻马店·联考）设为自然对数的底数，若函数存在三个零点，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】设，结合换元函数的值域对应关系，分析二次方程在不同区间的根的分布情况. 【解析】设，故，即.对函数，其函数图象如下所示： 令，故要满足题意，只需在内有一个实数根，且另一个根为0；或在内有一个实数根，且在内也有一个实数根.所以或或，即或或，解得.故答案为：. 20.（2026·合肥一六八中·一模）已知函数. 若，且，求实数的取值范围. 【答案】 【思路】化简复合函数解析式，利用对数函数性质判断其奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量不等式求解. 【解析】由，得，其定义域为且单调递增，又，所以是奇函数.所以，所以. 考点四：函数零点的对称性与零点之和 考法7：利用对称中心与反函数图象求零点之和 21.（2026·安徽滁州·一模）已知函数，的零点分别是，则满足（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】将零点问题转化为指数函数、对数函数与直线的交点问题，利用反函数关于直线的对称性求解. 【解析】由题意可知，分别是，和的函数图象的交点的横坐标.而和互为反函数，所以其函数图象关于对称，因为和垂直，所以两个交点也关于对称. 联立，得，故.故选：D. 22.（2026·江西宜春十校·联考）已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】证明两个分量函数均具有对称中心，利用对称性分析零点分布并进行求和. 【解析】因为的定义域为，关于原点对称，所以，所以函数为奇函数，关于原点中心对称，而函数是函数向右平移两个单位得到的函数，因而关于中心对称.函数满足，所以，即，所以函数关于中心对称，且，且，所以由函数零点定义可知，即.由于函数和函数都关于中心对称，所以两个函数的交点也关于中心对称.又因为恰有个零点，即函数和函数的交点恰有个，且其中一个为，其余的个交点关于对称分布，所以个零点的和满足.故选：D. 23.（2026·湖南教研联盟·联考）函数的所有零点的和为＿＿＿＿＿＿． 【答案】-4 【思路】构造函数证明其对称轴为，结合分段单调性确定交点个数并计算对称零点之和. 【解析】令，则，所以，即的图象关于直线对称.当时，在上单调递增；当时，，则，所以在上单调递减；结合的图象关于直线对称可得：在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又， 且当时，，当时，，所以与有4个交点，且关于对称，故有4个零点，且关于对称，则所有零点的和为. 考法8：零点数列的等差性与性质判定 24.（2026·华南师大附中·检测）已知函数，其四个零点恰好成递增的等差数列，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】利用偶函数零点的对称表达，由等差数列的公差等式建立关于指数方程求解参数. 【解析】函数，定义域为.又，所以函数为偶函数.当时，，令，得，显然，，解得或.由有四个零点，且函数为偶函数，故四个零点为.因零点成递增等差数列，故排序为，设公差为，则：，即，化简得，两边同乘得，故.故选：D. 25.（2026·湖北十一校·联考）（多选）已知函数有三个零点，则（　　） A. 若成等差数列，则成等比数列 B. 若成等比数列，则成等差数列 C. 若成等差数列，则数列的公差为 D. 若成等比数列，则数列的公比为 【答案】ACD 【思路】将零点方程转化为对数形式，建立根与对数的关系，结合等差数列与等比数列的性质逐项推导演算. 【解析】由.设，则.当或时，，单调递增；当时，，单调递减.当时，函数有三个零点.由.若成等差数列，公差为，则，由，，所以，即，所以成等比数列，A正确；此时，，又，故公差，公比为，故C、D正确；反之若成等比数列，公比可能为其他负值等情况，充分性与必要性不对等，故B错误.故选：ACD. 考点五：同构构造与方程求根技巧 考法9：指对同构与双变量方程构造 26.（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】同除以将方程转化为关于的一元二次方程，结合对勾/导数求出两层函数的解数条件. 【解析】定义域为.方程.令，方程变为.由于，故关于的二次方程有两个异号实根，且.考虑函数，，在上单调递增，在上单调递减，最大值为，当时，；当时，.对于负根，由于在上值域为，故方程在内有且仅有1个解；要使原方程有且仅有3个零点，则正根必须满足方程在内有2个解，故需.因为是方程的正根，即，由，得.故实数的取值范围为.故选：C. 27.（2026·湖北楚天协作体·二模）关于的方程有实根，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】化简方程后转化为动直线与原点距离的几何意义，再通过导数求解距离的最值进而求得半径平方范围. 【解析】由关于的方程有实根，得关于的方程有实根，设方程的实根为，则，得到，即.设点，则点在直线上，点到直线的距离.设，函数，则，当时，；当时，，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此，，则.当时，，由，解得，此时；由，解得，此时.所以的取值范围为.故选：B. 28.（2026·河北金科·联考）若，则（　　） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【思路】构造同构函数，将对数式变形为指数同构形式，利用单调性确定两自变量的倒数关系. 【解析】易知，且.由，得.所以，即.因为函数单调递增，所以，所以，即.故选：B. 29.（2026·安徽鼎尖·联考）已知，若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】设，将方程化为复合迭代形式，利用单调性脱去外层得，再分离参数求最值. 【解析】设，则原式化为在上有解.令，则原式化为，那么都在函数的图象上；假设，因为单调递增，所以，即，与假设矛盾；假设，因为单调递增，所以，即，与假设矛盾；故，则在上有解，即在上有解.令，则，得，则在上单调递增，在上单调递减，，所以，解得.故答案为：． 考法10：换元转化二次方程求参数范围 30.（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知函数，若存在实数满足，且，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】作出分段函数图象，将用表示，转化为关于的二次函数，结合的取值范围确定目标式的值域. 【解析】作出图象如下： 由，且，则，即有，且，则，故，则.故选：A. 31.（2026·浙江强基联盟·模拟）设关于的方程（为自然对数底数）有个不相等的实数解，则＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】两边同除以后换元，解出二次方程的两个根，再利用韦达定理与对数运算法则求和. 【解析】由，两边同除以，得；令，则，解得.结合的图象，可知方程有4个不相等的实数解，不妨设，则有，进而有，两边取自然对数，得.故答案为：. 考点六：零点与方程新定义及高观点探究 考法11：周期递推与新定义方程零点探究 32.（2026·山西卓越联盟·检测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（　　） A. 95 B. 96 C. 97 D. 98 【答案】B 【思路】按周期递推式分段写出函数在各区间上的解析式，分别在负半轴与正半轴逐个区间判定零点个数并求和. 【解析】因为当时，，，，的零点为；当时，，没有零点；当时，，方程无解；当（是正整数）时，，有一解，所以时，有95个解，所以当时，的零点个数为.故选：B. 33.（2026·承德强基联盟·一模）（多选）“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（　　） A. 函数的值域为 B. 函数在上单调递减 C. 方程有5个不同的解 D. 若方程有10个不同的解，则 【答案】BCD 【思路】按递归关系分段作出图象，求出值域与单调区间，再利用复合二次方程根的分布确定解的个数与参数范围. 【解析】当时，；当时，，则；当时，，则；当或时，.作出函数的图象如下： 由图可知，函数的值域为，故A错误；函数在上单调递减，故B正确；由于函数与有5个交点，则方程有5个不同的解，故C正确；对于D，令，因为方程有10个不同的解，所以方程有两个不相等的实数根，设，显然，则这两个根分别在内，有，解得，故D正确.故选：BCD. 34.（2026·山东青岛·二模）已知函数的定义域为. 对于正实数，定义集合. （1）若，求集合； （2）若，且集合中有3个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【思路】第（1）问直接利用二倍角公式展开解三角方程；第（2）问分段讨论函数乘积方程的根，利用导数与二次方程判别式综合求解. 【解析】（1）由题意，若，则，即，所以或，所以或，所以.（2）设.①当时，，所以，，所以在上无解；②当时，，，整理得，因为，所以方程在实数范围内有两个不相等的实数解为，又因为，所以在上最多有两个解；③当时，，所以，由得，令，所以，令即，解得，易知在单调递增，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以，而，此时在上最多有两个解.为了满足集合中有3个元素，所以在上有两个解且在上有一个解，或者在上有一个解且在上有两个解，所以分别解得或.综上，的取值范围是或. 考法12：多项式根系关系与高观点零点性质 35.（2026·浙江桐乡·检测）已知互不相等的实数，满足，记，则等于（　　） A. 1 B. -1 C. 3 D. -3 【答案】D 【思路】构造关于三次多项式的恒等式，将根代入后利用因式分解定理求出各未知因式的值. 【解析】令，得到，这说明的三个根恰好是，因此①.令，则，因为，在①中，令得到，即，整理得到，即，因此.当时，；当时，；当时，，所以.故选：D. 36.（2025·江西新余·二模）已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）设函数，讨论在区间上的单调性； （3）若存在两个极值点，且，证明：. 【答案】（1）；（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（3）证明见解析. 【思路】第（1）问求导代入切点求切线；第（2）问对导函数求导讨论参数正负；第（3）问将极值点条件与零点不等式联立，构造对勾型辅助函数完成双变量放缩. 【解析】（1）当时，，则，所以，所以切线方程为：，即. （2）由，，当时，，在上单调递增；当时，令.当时，在上单调递增；当时，，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）知若存在两个极值点，则，且.由过原点的切线方程为，则，则，即，所以，∴在和上各有一个零点，且时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减.∴是的两个极值点.，且，∴，而，∴.令，则，所以在上单调递增，故，所以，令，可得，即，即，∴，∴． 2.7 函数与方程 方法总结 1. 零点存在性定理的核心是“区间端点异号”与“函数连续单调”.在判断零点所在区间时，先通过初等函数单调性锁定函数的单调区间，再寻找使得两端点函数值异号的相邻整数或特殊点.（第1、2题） 2. 求解含参方程零点个数或比较零点大小时，常结合反函数与对勾函数性质.将复合或复杂的零点方程化归为基本函数的交点横坐标，利用图象在不同区间的凹凸性与渐近线特征分析参数范围.（第3、4、5题） 3. 数形结合是研究方程根与交点个数的核心策略.对于绝对值函数、对数及分段函数，通过参变分离将原方程转化为直线与已知曲线的交点，注意临界相切位置的导数斜率与端点开闭.（第6、7、8、9、10、11题） 4. 分段函数与复合函数的零点问题，核心是“内外层剥离与换元转化”.设外层函数，先求出外层二次或代数方程的实根，再结合内层函数的图象分析每个所能提供的的解数，建立关于参数的方程或不等式组.（第12、13、14、15、16、17、18、19、20题） 5. 零点的对称性与零点之和常借助函数图象的对称中心或对称轴.若两个函数关于某点中心对称，则其交点成对关于该点对称，各零点之和具有固定的代数关系；反函数图象关于直线对称，交点亦具有对偶性.（第21、22、23、24、25题） 6. 构造同构函数与双变量消元是突破高难零点与方程问题的利器.对于含与的混杂方程，利用或形式同构出单调母函数；极值点偏移与零点比值放缩常通过换元构造辅助函数证明.（第26、27、28、29、30、31、36题） 7. 面对新定义函数与周期递归方程，紧扣定义本质，利用递归关系将局部区间的自相似性转化为数列递推或多项式因式分解定理求解.（第32、33、34、35题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习专项训练 2.7 函数与方程 练习卷 考点一：零点存在性定理及其应用 1 考法1：区间端点函数值符号判定零点所在区间 1 考法2：结合单调性与零点存在性求参数范围 1 考点二：函数图象转化与零点交点求解 2 考法3：数形结合转化方程求交点个数 2 考法4：含绝对值方程的分段分析与求根 2 考点三：分段函数与复合函数的零点问题 2 考法5：分段函数零点分布与参数范围 2 考法6：换元法解析复合函数零点 3 考点四：函数零点的对称性与零点之和 4 考法7：利用对称中心与反函数图象求零点之和 4 考法8：零点数列的等差性与性质判定 5 考点五：同构构造与方程求根技巧 5 考法9：指对同构与双变量方程构造 5 考法10：换元转化二次方程求参数范围 6 考点六：零点与方程新定义及高观点探究 6 考法11：周期递推与新定义方程零点探究 6 考法12：多项式根系关系与高观点零点性质 7 考点一：零点存在性定理及其应用 考法1：区间端点函数值符号判定零点所在区间 1.（2025·沧州运东五校·二模）函数的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 2.（2026·重庆巴蜀中学·模拟）函数的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 考法2：结合单调性与零点存在性求参数范围 3.（2026·河南新乡·模拟）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（　　） A. B. C. D. 4.（2026·贵州毕节·一模）已知为函数的零点，，则（　　） A. B. C. D. 5.（2026·河北沧州八校·二模）（多选）已知函数在区间上有两个不同的零点，则（　　） A. B. C. D. 考点二：函数图象转化与零点交点求解 考法3：数形结合转化方程求交点个数 6.（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与函数图象的交点个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 无法确定 7.（2025·河北衡水中学·一模）函数与函数的图象交点个数为（　　） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 8.（2025·江西萍乡实验·一模）若关于的方程有且仅有两个实根，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 考法4：含绝对值方程的分段分析与求根 9.（2026·山东德州·模拟）对于正整数，函数．对于实数，使得方程有四个不同实数解的所有正整数的和为（　　） A. 26 B. 27 C. 28 D. 29 10.（2026·河北唐山·一模）已知，若，则＿＿＿＿＿＿． 11.（2026·河北百师联盟·一模）已知函数，若函数，则的所有零点之积为＿＿＿＿＿＿；方程有三个不同的解，则实数的范围为＿＿＿＿＿＿． 考点三：分段函数与复合函数的零点问题 考法5：分段函数零点分布与参数范围 12.（2026·四川雅安·一模）已知函数，则方程的实数根的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13.（2026·西安高新一中·模拟）已知函数，．若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 14.（2026·山东菏泽·一模）（多选）函数图象是由函数与函数的图象“拼接”而成．则下列说法正确的有（　　） A. B. 若，则 C. 若有三个零点，则 D. 若关于的方程存在实数解，则实数满足或 15.（2026·安徽师大附中·检测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A. 若为正数，，则 B. 若为正数，，则 C. 若，则函数有唯一零点 D. 若，则函数的零点个数为奇数 16.（2026·江西宜春十校·联考）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 考法6：换元法解析复合函数零点 17.（2026·云南玉溪一中·一模）已知函数，若的零点个数为4，则实数取值范围为（　　） A. B. C. D. 18.（2026·湖南邵阳·联考）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 19.（2025·河南驻马店·联考）设为自然对数的底数，若函数存在三个零点，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 20.（2026·合肥一六八中·一模）已知函数. 若，且，求实数的取值范围. 考点四：函数零点的对称性与零点之和 考法7：利用对称中心与反函数图象求零点之和 21.（2026·安徽滁州·一模）已知函数，的零点分别是，则满足（　　） A. B. C. D. 22.（2026·江西宜春十校·联考）已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（　　） A. B. C. D. 23.（2026·湖南教研联盟·联考）函数的所有零点的和为＿＿＿＿＿＿． 考法8：零点数列的等差性与性质判定 24.（2026·华南师大附中·检测）已知函数，其四个零点恰好成递增的等差数列，则（　　） A. B. C. D. 25.（2026·湖北十一校·联考）（多选）已知函数有三个零点，则（　　） A. 若成等差数列，则成等比数列 B. 若成等比数列，则成等差数列 C. 若成等差数列，则数列的公差为 D. 若成等比数列，则数列的公比为 考点五：同构构造与方程求根技巧 考法9：指对同构与双变量方程构造 26.（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 27.（2026·湖北楚天协作体·二模）关于的方程有实根，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 28.（2026·河北金科·联考）若，则（　　） A. B. 1 C. 2 D. 29.（2026·安徽鼎尖·联考）已知，若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 考法10：换元转化二次方程求参数范围 30.（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知函数，若存在实数满足，且，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 31.（2026·浙江强基联盟·模拟）设关于的方程（为自然对数底数）有个不相等的实数解，则＿＿＿＿＿＿． 考点六：零点与方程新定义及高观点探究 考法11：周期递推与新定义方程零点探究 32.（2026·山西卓越联盟·检测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（　　） A. 95 B. 96 C. 97 D. 98 33.（2026·承德强基联盟·一模）（多选）“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（　　） A. 函数的值域为 B. 函数在上单调递减 C. 方程有5个不同的解 D. 若方程有10个不同的解，则 34.（2026·山东青岛·二模）已知函数的定义域为. 对于正实数，定义集合. （1）若，求集合； （2）若，且集合中有3个元素，求实数的取值范围. 考法12：多项式根系关系与高观点零点性质 35.（2026·浙江桐乡·检测）已知互不相等的实数，满足，记，则等于（　　） A. 1 B. -1 C. 3 D. -3 36.（2025·江西新余·二模）已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）设函数，讨论在区间上的单调性； （3）若存在两个极值点，且，证明：. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $