精品解析：上海市杨浦区复旦大学附属中学2027届高三上学期模拟测试（1）数学试卷

2027届复旦大学附属中学高三数学模拟测试（1） 数学试卷 考试时间120分钟 满分150分 考生注意： 1.本试卷的选择题均为单选题； 2.解答题需要写出必要的计算说明过程； 3.试卷共4页，请作答在答题纸上； 4.请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号. 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 设集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，则，即， 而根据对数函数的性质，应有， 故集合， 因此. 2. 若复数（其中 表示虚数单位）， 则__________. 【答案】-3 【解析】 【详解】， 所以. 3. 已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为__________. 【答案】 【解析】 【详解】将点的坐标代入抛物线的方程， 得，解得. 所以抛物线的方程为，即， 其焦点为，准线为. 所以点到抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，为. 4. 根据如表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为 ，则回归系数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用回归直线必过样本中心点即可求解. 【详解】由题意得：，， 由，所以，解得. 5. 已知实数满足，则的最小值为______. 【答案】36 【解析】 【详解】已知实数满足，即，所以， 当且仅当时取等，解得，所以的最小值为36. 6. 若两个事件既互斥，又独立，，则__________. 【答案】0 【解析】 【详解】因为事件，互斥，所以， 而又因为事件，独立，所以， 由可知，， . 7. 若单位圆的内接四边形有一组对角相等，则四边形周长的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，利用勾股定理可得，进而利用基本不等式和三角形三边关系可求得四边形周长的取值范围. 【详解】不妨设，又因为四边形内接于圆，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 又因为， ， 所以，所以， 所以， 当且仅当，，即四边形为正方形时取等号， 又由三角形三边关系可得， 所以， 所以， 所以四边形周长的取值范围为. 8. 若函数，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用递推关系式变形推出函数周期，计算2026对周期的余数，转化为求较小自变量的函数值. 【详解】由，得，两式相加得， 即 ，所以 ，所以. ，，，， ，，， . . 9. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得基本事件的总数，以及这5个不同的数的中位数为5的基本事件的个数，再利用古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，从10个数中任取5个数，则基本事件的总数为， 又由这5个数的中位数是5的基本事件为， 所以这5个不同的数的中位数为5的概率为. 故答案为：. 10. 已知椭圆C的离心率为，其左右焦点分别为，上顶点为，若的外接圆半径为，则椭圆C的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助离心率和三角形外接圆的半径，求解椭圆的方程. 【详解】已知椭圆C的离心率为，所以， 因为，所以， 因为，，所以为等边三角形， 由题知，的外接圆半径为， 由正弦定理得，即，解得， 所以，， 所以椭圆C的方程为. 11. 请写出一个定义域为R的函数，使其存在区间和 ，使得在 上严格减，在 上严格增，且 在 处不可导：__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】构造“先严格减后严格增”且转折点不可导的函数，可利用绝对值函数的图象在顶点处连续但不可导的特征. 【详解】取，其定义域为. 取，，，则. 当时，，在上严格减； 当时，，在上严格增. 在处，左导数， 右导数，左右导数存在但不相等， 所以在处不可导. 故满足题意（答案不唯一）. 12. 已知等差数列共有5项，公差为，函数的对称轴为，其中，则有序实数对的个数为__________. 【答案】28 【解析】 【分析】先由对称轴条件得到下标和相等，按两数之和分组求出每组、，列出有序数对，剔除跨组重复的数对，统计得到答案. 【详解】由对称轴是，结合题意所以，即； 因为为等差数列，根据等差数列的性质可得， ，设，，统计满足条件的不同有序对. 5 项数列下标1，2，3，4，5，按分组，列出每组乘积、组内有序数对： ，，的情况有，共组； ，，的情况有，共组； ，，的情况有，，， ，共组； ，，的情况有，，，，共组； ，，的情况有，，，，，，，， ，共 组； ，，的情况有，，， ，共组； ，，的情况有，，， ，共 组； ，，的情况有，共组； ，：的情况有，共 组. 合计：，因为有序对重复一次，所以共计. 综上所述，有序实数对的个数为. 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 若随机变量，，若，，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得， 又，所以，所以， 解得，所以， 又因为，所以， 又，所以. 14. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线距离与圆半径之间的关系进行判定. 【详解】因为，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离. 故选：B. 15. 若的展开式中不存在常数项，则可能的取值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】由题意得的展开式为， 的展开式为， 要使的展开式中存在常数项， 则或， 即是2或3的整数倍， 所以可得的值可能是3，4，6，不可能是5. 若的展开式中不存在常数项，则可能的取值为5. 16. 已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程 都有两个相等的实根，若 ，则满足条件的不同实数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意得到(*)，记满足(*)式的不同实数的个数为，再结合二次函数的性质即可逐个求得，，，，，...，再通过观察得到数列的递推公式，再构造等比数列，从而得到它的通项公式，进而即可求解 【详解】依题意可得，即(*)， 记满足(*)式的不同实数的个数为， 将看成自变量，看成参数，则为与的交点个数， 当时，有一个交点，即有一个根； 当时，有2个交点，即有两个不同的根和，且， 当时，有2个交点，即有两个不同的根和， 由，则或，即； 则或或，即； 同理可得，，，... 通过观察可得，则，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为，即，， 所以满足(*)式的不同实数的个数为， 故满足条件的不同实数的个数为． 【点睛】 记满足(*)式的不同实数个数为，结合二次函数的性质求得，，，，，...，再观察得到递推公式，再构造等比数列是解答本题的关键． 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 求：函数的最大值.提示1：导数是判断函数单调性的重要工具；提示2：向量可以直观地从几何角度解决函数的最值；提示3：任何数据的方差都非负；请你选择其中两个提示，运用两种不同的方法解决函数的问题. 【答案】 【解析】 【分析】提示1：利用导数判断函数的单调性，根据单调性求最值即可；提示2：设，利用求解即可；提示3：构造随机变量X的分布，利用，列式求解即可. 【详解】若选提示1： 由题意，函数的定义域为 ，， 列表可得： x 极大值 所以在时取得极大值也为最大值； 若选提示2：设， 故， 当且仅当，即时取等， 所以最大值为. 若选提示3： 构造随机变量X的分布 则， ， ，代入解得，又， 所以最大值为 . 18. 如图所示正四棱台，其中，，棱台高为3. （1）证明： 平面求：三棱锥的体积； （2）设是中点，在直线、上各取一个点，使得三点共线，求：的长. 【答案】（1） 取中点为中点为，，如下图以下底面中心为坐标原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则由题设可得. 则. 设平面法向量为，则， 取，因，又平面，则 平面； 三棱锥体积为 （2）. 【解析】 【分析】（1）如下图建立空间直角坐标系，求出平面法向量，通过说明可完成证明；通过证明平面，可得所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和，据此可得答案； （2）设， ，据此可得，，然后结合三点共线，可得存在使 ，据此可得答案. 【小问1详解】 略； 由正棱台性质，与上下底面均垂直，则， 因为，平面， 所以平面，则所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和， 即： 【小问2详解】 由题意可得，设， 则，即. 又设 ， 则，即. 从而. 结合三点共线，则存在使 ， 则 ， 解得： ， 则，， . 19. 中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验.房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁截而制为长方体形状，例如下图所示. 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力.对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好.三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列： 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽， 抗弯截面系数 （1）假设上表中的三种梁的截面面积相等，试判断哪一种梁的截面形状最好并说明理由； （2）考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图所示，求：为何值时，其抗弯截面系数取得最大值. 【答案】（1）矩形截面的梁的截面形状最好 （2）时抗弯截面系数最大 【解析】 【分析】（1）由三种梁的截面面积相等，设截面面积均为，则；再将，，转化为关于的表达式，两两比较大小即可； （2）根据矩形内接于直径为的圆，根据勾股定理可得，将转化为关于变量的函数，再求函数的最大值，从而得到对应的的比值. 【小问1详解】 矩形截面的梁的截面形状最好，理由如下： 由三种梁的截面面积相等，设截面面积均为，则； ，. ，，； ，，即； ， ，得； ，即. . 对于两个截面积相同的梁，称较大的梁的截面形状更好， 矩形截面的梁的截面形状最好. 【小问2详解】 由，可得. 令，解得. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 时，取得极大值也就是最大值，此时； ； 即时，其抗弯截面系数取得最大值. 20. 设与双曲线相交于不同两点. （1）若双曲线的开口比等轴双曲线的开口更开阔，求：实数的取值范围； （2）若双曲线的两条渐近线的夹角为，求：双曲线的标准方程； （3）若，且两点都在双曲线的右支上，设线段的中点为，斜率为的直线经过点，设直线在轴上的截距为，求：的取值范围. 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）由双曲线离心率与双曲线开口程度关系可得答案； （2）由题设结合到角公式可得答案； （3）设 ，将直线与双曲线方程联立，然后由题设及韦达定理可得，最后由题设及不等式性质可得答案. 【小问1详解】 对于双曲线， ， 双曲线开口越开阔即双曲线离心率更大 ， 又等轴双曲线离心率为 ， ∴ ； 【小问2详解】 ， 从而双曲线渐近线为，斜率分别为， ， 因双曲线的两条渐近线的夹角为 ， ， 解得：或 ， ∴双曲线的标准方程为：或 . 【小问3详解】 设 ， 联立消去得： ， 由题设可得 ，由韦达定理可得： ， 从而：，得.由题可得，代入坐标， 可得： ，因， 则，令，则， 注意到，则. 21. 设函数在区间上可导，若对任意，都有，则称函数在区间上具有“非负增长性质”. （1）设，若函数在R上具有“非负增长性质”，求：的取值范围； （2）试判断在其定义域上是否具有“非负增长性质”并说明理由； （3）已知函数与定义域均为R，是具有零点的偶函数且满足在R上有“非负增长性质”，，求证：“与 重合”的充要条件为 在上有 “非负增长性质”. 【答案】（1） （2）具有，证明如下： ∵，定义域：，则， 令，则， 列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 所以在处取得极小值，也是最小值，， 即在上恒成立，故在定义域上具有“非负增长性质”. （3）∵具有“非负增长性质”，则：，① 且，∴， ∴，则，② 联立①②解得： ， 设存在使， 不妨考虑，构造 ， 则：， ∵，，则， ∴在上单调减，又， 故有，得， 同理对于，可构造证明， 故在R上成立， 充分性：若在R上具有“非负增长性质”，则：恒成立， 即，此时重合，充分性成立； 必要性：若，则， 此时，则在R上具有“非负增长性质”，必要性成立 ； 综上：“与重合”的充要条件为在R上具有“非负增长性质”. 【解析】 【分析】（1）根据“非负增长性质”的定义，列出不等式，根据二次不等式恒成立的条件，判断判别式的范围，进而求出参数范围； （2）根据题目定义，构造函数，判断函数最小值的性质，进而根据函数导数求出函数单调性，判断函数最小值，证明结果即可； （3）由充要条件构造恒成立的不等式，进而构造函数，根据题目定义，列出函数和函数导数符合的条件，列出不等式组，求出符合条件时的情况，进而说明结果. 【小问1详解】 ∵在R上具有“非负增长性质”， ∵， ∴在R上恒成立， ∴即，解得：. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届复旦大学附属中学高三数学模拟测试（1） 数学试卷 考试时间120分钟 满分150分 考生注意： 1.本试卷的选择题均为单选题； 2.解答题需要写出必要的计算说明过程； 3.试卷共4页，请作答在答题纸上； 4.请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号. 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 设集合，，则__________. 2. 若复数（其中 表示虚数单位）， 则__________. 3. 已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为__________. 4. 根据如表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为 ，则回归系数的值为__________. 5. 已知实数满足，则的最小值为______. 6. 若两个事件既互斥，又独立，，则__________. 7. 若单位圆的内接四边形有一组对角相等，则四边形周长的取值范围为______. 8. 若函数，则__________. 9. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概率是________． 10. 已知椭圆C的离心率为，其左右焦点分别为，上顶点为，若的外接圆半径为，则椭圆C的方程为__________. 11. 请写出一个定义域为R的函数，使其存在区间和 ，使得在 上严格减，在 上严格增，且 在 处不可导：__________. 12. 已知等差数列共有5项，公差为，函数的对称轴为，其中，则有序实数对的个数为__________. 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 若随机变量，，若，，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 14. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不确定 15. 若的展开式中不存在常数项，则可能的取值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 16. 已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程 都有两个相等的实根，若 ，则满足条件的不同实数的个数为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 求：函数的最大值.提示1：导数是判断函数单调性的重要工具；提示2：向量可以直观地从几何角度解决函数的最值；提示3：任何数据的方差都非负；请你选择其中两个提示，运用两种不同的方法解决函数的问题. 18. 如图所示正四棱台，其中，，棱台高为3. （1）证明： 平面求：三棱锥的体积； （2）设是中点，在直线、上各取一个点，使得三点共线，求：的长. 19. 中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验.房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁截而制为长方体形状，例如下图所示. 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力.对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好.三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列： 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽， 抗弯截面系数 （1）假设上表中的三种梁的截面面积相等，试判断哪一种梁的截面形状最好并说明理由； （2）考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图所示，求：为何值时，其抗弯截面系数取得最大值. 20. 设与双曲线相交于不同两点. （1）若双曲线的开口比等轴双曲线的开口更开阔，求：实数的取值范围； （2）若双曲线的两条渐近线的夹角为，求：双曲线的标准方程； （3）若，且两点都在双曲线的右支上，设线段的中点为，斜率为的直线经过点，设直线在轴上的截距为，求：的取值范围. 21. 设函数在区间上可导，若对任意，都有，则称函数在区间上具有“非负增长性质”. （1）设，若函数在R上具有“非负增长性质”，求：的取值范围； （2）试判断在其定义域上是否具有“非负增长性质”并说明理由； （3）已知函数与定义域均为R，是具有零点的偶函数且满足在R上有“非负增长性质”，，求证：“与 重合”的充要条件为 在上有 “非负增长性质”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $