23.4 解直角三角形 题型专练2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

华东师大版（2024）九年级上册 23.4 解直角三角形 题型专练 【题型1】解直角三角形 【典例】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB的长度为(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，则下列不正确的是(　　) A．∠B＝60° B．a＝5 C．b＝5 D．tanB＝ 【举一反三2】在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝6，则BC＝__________. 【举一反三3】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形． (1)∠B＝60°，a＝4； (2)a＝－1，b＝-3； (3)∠A＝60°，c＝2＋. 【举一反三4】解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°. 【题型2】解直角三角形的应用——长度、高度、宽度问题 【典例】一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要(　　) A．米2 B．米2 C．(4＋)米2 D．(4＋4tanθ)米2 【举一反三1】如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1、l2之间的距离为50 m，则古树A、B之间的距离为__________m. 【举一反三2】如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，已知∠B＝30°，∠C＝45°. (1)求B，C之间的距离；(保留根号) (2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：≈1.7，≈1.4) 【题型3】解直角三角形的应用——仰角俯角问题 【典例】一飞机从距离地面3 000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是(　　) A．6 000米 B．1000米 C．2000米 D．3000米 【举一反三1】如图所示，河对岸有水塔CD.今在A处测得塔顶C的仰角为30°，前进20米到达B处，又测得C的仰角为45°，则塔高CD(精确到0.1 m)是(　　) A．25.3 B．26.3 C．27.3 D．28.3 【举一反三2】如图所示，九年级某兴趣小组要测量校园内的教学楼AB的高度，在地面上C点用测角仪测得楼顶A点的仰角∠AFE＝60°，再沿着直线BC后退8 m到达点D，在D点又测得楼顶A的仰角∠AGE＝45°，已知测角仪的高度CF为1.6 m．教学楼AB的高度为__________m．(结果保留小数点后一位，≈1.73) 【举一反三3】如图，在高出海平面120 m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为30°，那么船与观测者之间的水平距离为__________米．(结果用根号表示) 【举一反三4】学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【题型4】解直角三角形的应用——方向角问题 【典例】如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是(　　) A．20(＋1)米/秒 B．20(－1)米/秒 C．200米/秒 D．300米/秒 【举一反三1】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为(　　) A．60 n mile B．60 n mile C．30 n mile D．30 n mile 【举一反三2】在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5 km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为__________． 【举一反三3】如图，小岛A在港口P的南偏东45°方向，距离港口81海里处．甲船从小岛A出发，沿AP方向以9海里/h的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏西60°方向，以18海里/h的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，它们行驶的时间为__________h．(结果保留根号) 【举一反三4】为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． (1)求∠APB的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【题型5】解直角三角形的应用——坡度坡角问题 【典例】某人沿倾斜角为30°的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为(　　) A．3米 B．3米 C．3米 D．2米 【举一反三1】如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20 cm，深为30 cm，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i＝1∶5，则AC的长度是(　　) A．200 cm B．210 cm C．240 cm D．300 cm 【举一反三2】某水库水坝的坝高为10米， 迎水坡的坡度为1∶2.4，则该水库迎水坡的长度为__________米． 【举一反三3】如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°. (1)求坝底AD的长度(结果精确到1米)； (2)若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料.(参考数据：≈1.414，≈1.732) 【举一反三4】如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.60) 华东师大版（2024）九年级上册 23.4 解直角三角形 题型专练（参考答案） 【题型1】解直角三角形 【典例】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB的长度为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵sinA＝，即＝，∴AB＝，故选D. 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，则下列不正确的是(　　) A．∠B＝60° B．a＝5 C．b＝5 D．tanB＝ 【答案】D 【解析】A.∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－30°－90°＝60°，故选项正确； B.sinA＝，则a＝c·sinA＝10·sin 30°＝10×12＝5，故选项正确； C.cosA＝，则b＝c·cosA＝10×＝5，故选项正确； D.tanB＝tan60°＝，故选项错误， 故选D. 【举一反三2】在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝6，则BC＝__________. 【答案】6 【解析】∵∠C＝90°，∴cosA＝＝， ∵AC＝6，∴AB＝12， ∴BC＝＝＝6.故答案为6. 【举一反三3】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形． (1)∠B＝60°，a＝4； (2)a＝－1，b＝-3； (3)∠A＝60°，c＝2＋. 【答案】解　(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°. 由tan B＝，得b＝atan B＝4tan 60°＝4. 由cos B＝，得c＝＝＝8. (2)由tan B＝＝＝， ∴∠B＝60°，∠A＝90°－∠B＝30°， 由sin A＝，得c＝＝＝2－2. (3)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°， 由sinA＝，得a＝csin A＝(2＋)×＝＋， 由cos A＝，得b＝ccosA＝(2＋)×＝1+. 【举一反三4】解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°. 【答案】解　∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30， ∵c＝8，∴b＝4，∴a＝＝＝12. 【题型2】解直角三角形的应用——长度、高度、宽度问题 【典例】一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要(　　) A．米2 B．米2 C．(4＋)米2 D．(4＋4tanθ)米2 【答案】D 【解析】在Rt△ABC中，BC＝AC·tan θ＝4tanθ(米)，∴AC＋BC＝4＋4tanθ(米)， ∴地毯的面积至少需要1×(4＋4tanθ)＝4＋4tanθ(米2)，故选D. 【举一反三1】如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1、l2之间的距离为50 m，则古树A、B之间的距离为__________m. 【答案】(50-) 【解析】如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N. 则AB＝MN，AM＝BN. 在直角△ACM，∵∠ACM＝45°，AM＝50 m， ∴CM＝AM＝50 m. ∵在直角△BCN中，∠BCN＝∠ACB＋∠ACD＝60°，BN＝50 m， ∴CN＝＝＝(m)，∴MN＝CM－CN＝50- (m)． 则AB＝MN＝(50-)m.故答案是(50-)． 【举一反三2】如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，已知∠B＝30°，∠C＝45°. (1)求B，C之间的距离；(保留根号) (2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：≈1.7，≈1.4) 【答案】解　(1)如图，作AD⊥BC于D.则AD＝10 m， 在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴AD＝CD＝10 m， 在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴tan30°＝， ∴BD＝AD＝10 m， ∴BC＝BD＋DC＝(10＋10)m. (2)结论：这辆汽车超速．理由： ∵BC＝10＋10≈27 m， ∴汽车速度＝27÷0.9＝30 m/s＝108 km/h， ∵108＞80，∴这辆汽车超速． 【题型3】解直角三角形的应用——仰角俯角问题 【典例】一飞机从距离地面3 000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是(　　) A．6 000米 B．1000米 C．2000米 D．3000米 【答案】C 【解析】如图所示：由题意得∠CAB＝60°，BC＝3000米， 在Rt△ABC中，∵sinA＝，∴AC＝＝＝2000米．故选C． 【举一反三1】如图所示，河对岸有水塔CD.今在A处测得塔顶C的仰角为30°，前进20米到达B处，又测得C的仰角为45°，则塔高CD(精确到0.1 m)是(　　) A．25.3 B．26.3 C．27.3 D．28.3 【答案】C 【解析】如图，过D 作CD⊥AD于D， 在Rt△CBD中，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD.在Rt△ACD中， ∵∠CAD＝30°，∴AD＝CD. 设CD＝x(米)，∵AB＝20，∴AD＝x＋20.∴x＋20＝x， ∴x＝＝10(＋1)≈27.3.即铁塔CD的高为27.3米．故选C. 【举一反三2】如图所示，九年级某兴趣小组要测量校园内的教学楼AB的高度，在地面上C点用测角仪测得楼顶A点的仰角∠AFE＝60°，再沿着直线BC后退8 m到达点D，在D点又测得楼顶A的仰角∠AGE＝45°，已知测角仪的高度CF为1.6 m．教学楼AB的高度为__________m．(结果保留小数点后一位，≈1.73) 【答案】20.5 【解析】设AE为x米，在Rt△AGE中，∠AGE＝45°， 则GE＝AE＝x米． 在Rt△AFE中，∠AFE＝60°， 故EF＝x·tan 30°＝x.GF＝GE－FE＝x-x＝8， 解得x≈18.9.故旗杆高度为18.9＋1.6＝20.5米． 答：旗杆AB的高度为20.5米． 【举一反三3】如图，在高出海平面120 m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为30°，那么船与观测者之间的水平距离为__________米．(结果用根号表示) 【答案】120 【解析】∵在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为30°，∴tan30°＝，∴船与观测者之间的水平距离BC＝＝120米． 【举一反三4】学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵，∴， ∴设， 则，， 在中，∵，∴，解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 【题型4】解直角三角形的应用——方向角问题 【典例】如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是(　　) A．20(＋1)米/秒 B．20(－1)米/秒 C．200米/秒 D．300米/秒 【答案】A 【解析】作BD⊥AC于点D.∵在Rt△ABD中，∠ABD＝60°， ∴AD＝BD·tan∠ABD＝200(米)，同理，CD＝BD＝200(米)． 则AC＝200＋200(米)．则平均速度是（200+200）÷10＝20(＋1)米/秒． 故选A. 【举一反三1】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为(　　) A．60 n mile B．60 n mile C．30 n mile D．30 n mile 【答案】B 【解析】如图作PE⊥AB于E. 在Rt△PAE中，∵∠PAE＝45°，PA＝60n mile，∴PE＝AE＝×60＝30n mile， 在Rt△PBE中，∵∠B＝30°，∴PB＝2PE＝60n mile， 故选B. 【举一反三2】在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5 km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为__________． 【答案】 km 【解析】如图．由题意可知，AB＝5km，∠2＝30°，∠EAB＝60°，∠3＝30°. ∵EF∥PQ，∴∠1＝∠EAB＝60°又∵∠2＝30°， ∴∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－30°＝90°. ∴△ABC是直角三角形．又∵MN∥PQ，∴∠4＝∠2＝30°. ∴∠ACB＝∠4＋∠3＝30°＋30°＝60°. ∴AC＝＝5÷＝ km. 【举一反三3】如图，小岛A在港口P的南偏东45°方向，距离港口81海里处．甲船从小岛A出发，沿AP方向以9海里/h的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏西60°方向，以18海里/h的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，它们行驶的时间为__________h．(结果保留根号) 【答案】(9－9) 【解析】设出发t小时后甲船在乙船的正东方向， 连接AB在P正南方向取点Q，则PQ⊥BA于Q， 在Rt△PQC中，∠CPB＝60°，∴PQ＝PBcos60°＝×18t＝9t， 在Rt△PQB中，∠APQ＝45°，∴PQ＝APcos45°＝(81－9t)， 则(81－9t)＝9t，解得t＝9－9， 答：当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为(9－9)h. 【举一反三4】为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． (1)求∠APB的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】解　(1)∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°， ∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°. (2)作PH⊥AB于H.∵∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝50， 在Rt△PBH中，PH＝PB·sin 60°＝50×＝25， ∵25＞25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的． 【题型5】解直角三角形的应用——坡度坡角问题 【典例】某人沿倾斜角为30°的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为(　　) A．3米 B．3米 C．3米 D．2米 【答案】A 【解析】由题意如图，AB＝6，∠BAC＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3， ∴某人沿倾斜角为30°的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为3米．故选A. 【举一反三1】如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20 cm，深为30 cm，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i＝1∶5，则AC的长度是(　　) A．200 cm B．210 cm C．240 cm D．300 cm 【答案】C 【解析】过B作BD⊥AC，由题可知，BD＝60 cm，AD＝60 cm. ∵tan∠BCA＝＝，∴CD＝300 cm，∴AC＝DC－AD＝300－60＝240(cm)． 故选C. 【举一反三2】某水库水坝的坝高为10米， 迎水坡的坡度为1∶2.4，则该水库迎水坡的长度为__________米． 【答案】26 【解析】∵大坝高10米，背水坝的坡度为1∶2.4，∴水平距离＝10×2.4＝24(米)． 根据勾股定理，可得背水面的坡长为＝26(米)． 【举一反三3】如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°. (1)求坝底AD的长度(结果精确到1米)； (2)若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料.(参考数据：≈1.414，≈1.732) 【答案】解　(1)作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形， ∴EF＝BC＝10米， ∵BE＝20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，∴AE＝50米， ∵CF＝20米，斜坡CD的坡角为30°， ∴DF＝＝20≈35米， ∴AD＝AE＋EF＋FD＝95米； (2)建筑这个大坝需要的土石料：12×(95＋10)×20×100＝105 000米3. 【举一反三4】如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.60) 【答案】解　过B作地平面的垂线段BC，垂足为C. 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°， ∴BC＝AB·sin ∠BAC＝12×0.515≈6.2(米)． 即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米． 学科网（北京）股份有限公司 $