23.4 解直角三角形的实际应用 专项训练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 按实际应用场景分5类系统训练，以题型为载体构建解直角三角形模型，突出三角函数工具性与建模思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |仰角俯角类|11题|含测角仪高度、双仰角等，涉及历史文化/科技场景|基于三角函数定义，通过作高构建直角三角形，核心是解Rt△| |方位角类|11题|航海、观测等方向角问题，含双观测点|利用方位角确定角度，结合距离构建直角三角形或斜三角形转化| |坡度坡比类|7题|水坝、斜坡改造等工程场景，坡比与坡角转化|坡比（垂直/水平）与三角函数关系，构建直角三角形求高度/长度| |实物建模类|1题|风电机风叶测量，复杂实物抽象几何模型|分解实物为基本几何元素，用仰角俯角建立方程求解| |创新考法|5题|项目式测量（塔高、坡道设计），多方法综合|融合方案设计与数据处理，体现数学建模与问题解决完整过程|

专题训练 解直角三角形的实际应用 类型1 仰角俯角类 类型2 方位角类 类型3坡度坡比类 类型4 实物建模类 类型5创新考法 类型1仰角俯角类 1.(26-27九年级上·北京·课堂例题)陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市， 故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座D点2米的A点处测量，塑像底部 C点的仰角为45°，顶部B点的仰角为60°，点B,C,D在同一条直线上，则塑像的高度BC为(). B A.(22-2米 B.√22米 C.(23-2米 D.(3-1米 2.(26-27九年级上·北京·课堂例题)“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火 箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为日，则此时火箭距海平 面的高度AL为() 0R A.sin0千米 B.a e千米 C.acos6千米 D.2千米 cose 3.(26-27九年级上·北京·课后作业)为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度.如 图，嘉嘉在与塔相距52m的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为40°，已知楼高10m,那么，灵霄塔的高 度是() 试卷第1页（共21页） A40° 52 A. +10m tan40° 10m tan40 52 C.(52tan40°+10)m D.(52sin40°+10)m 4.（2026浙江温州·三模)如图所示，“五一”期间小苏在瓯江口放风筝，已知风筝线长固定为24米，当风 筝到达A点时，测得此时仰角为a,n秒后，风筝到达B点，测得此时仰角为“B,测得风筝在这n秒内 上升的高度为()米 24 24 A. B. C.24cos B-24cosa D.24sin B-24sin a sin B-sin a cos B-cos a 5.(2026浙江台州模拟预测)为了测量旗杆的高度AB,在离旗杆10米的C处，用高1.2米的测角仪CD测 得旗杆顶部A的仰角为40°，求旗杆AB的高.（精确到0.1米，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） D 40° E B 试卷第2页（共21页） 6.（2026江苏泰州·三模)如图，小明在A处利用测角仪观测气球C的仰角为，然后他沿正对气球方向 前进了am到达B处，此时观测气球的仰角为B. B D (1)如果测角仪高度为bm,那么气球的高度是多少？. (2)如果测得a=40m,b=1m,a=27°，B=45°，那么气球的高度是多少？（精确到0.1m)(下列数据供 参考：sin27°≈0.45，c0s27°≈0.89，tan27°≈0.51) 7.(2026甘肃兰州中考真题)位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年(1539年)，因城墙沿陡峭 山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空的奇观而得名.如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最 高处烽火台距离地面的高度AB.测量方案如图2，小组成员先在水平地面点C处测得∠AEG=20°，然后 沿CB方向往前走200m到达点D处，测得∠AFG=35.9°，CE=DF=BG=1.5m(测角仪高度)，图中各 点都在同一竖直平面内.A,G,B三点共线，AB⊥BC,CE⊥BC,DF⊥BC,EG=CB.求最高处 烽火台距离地面的高度AB(结果精确到0.1m).参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36， sin35.9°≈0.59，c0s35.9°≈0.81，tan35.9°≈0.72. F G D 图1 图2 试卷第3页（共21页） 8.(2026辽宁营口·模拟预测)为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了 一块大型宣传牌，如下图.小明同学为测量宣传牌AB的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面 C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A、B、D、E在同一直 线上).然后，小明沿坡度i=1:1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行. 4 F45 60° 30P E (1)求点F到直线CP的距离（结果保留根号）： (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌AB的高度（结果精确到0.1米，√2≈1.41， √5≈1.73). 9.(2026陕西·模拟预测)某数学兴趣小组开展实践活动，测量某公园一座亭子的高度MO,在亭子的正 前方有一斜坡AB,坡角∠BAN=30°，斜坡的顶端B与亭子底端O的距离BO=6米，小组成员在斜坡的点 C处测得亭子顶端的仰角∠MCD=45°，BC=2米，已知OB‖CD川AN,MO⊥OB,所有点在同一平面内， 求亭子的高度MO.(结果保留根号) B 试卷第4页（共21页） 10.(2026江苏南京·模拟预测)如图①，AB、CD是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔.小明 和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为39°，铁塔顶端C的仰角为 27°，沿着EB向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为53°，已知∠ABE=∠CDE=90°，点E、 B、D构成的△EBD中，∠EBD=90°. A B D 270 6a59e60 公 B E 图① 图② (1)图②是图①中的一部分，求铁塔AB的高度： (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的角是_，若 将这个角记为a,则铁塔CD的高度是_：（用含α的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁 塔CD的高度，那么可以测量的线段是.（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：sn39°≈} c0s39°≈ 4:tan39≈4 ,in27≈9， 、5三2a27一2 -≤53。。8535an53o子> 试卷第5页（共21页） 11.(2026湖南长沙·三模)觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华项，是遗址公园标志性景点 之一·登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收 眼底·在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔AB的高度.如图，塔前有一座高为DE的 观景台，己知CD=20m,∠DCE=30°，点E,C,A在同一条水平直线上.在观景台C处测得塔顶部B 的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27° B 137 30人45° C (I)求DE的长： (2)求塔AB的高度（结果精确到1m,参考数据：tan27°≈0.5，√3≈1.73） 试卷第6页（共21页） 类型2 方位角类 12.（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测)如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200 米的P,2两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT 的长)可以表示为() 北 东 Q B. 200 200 A.200tan70°米 an200米 C.200sin70°米 D. an70加米 13.(2026湖北模拟预测)如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时 20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方 向上，则灯塔C与码头B的距离是海里.（结果保留根号） 北 东 70o 509 14.近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度.9月下旬，南海海域伏季休渔期 结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业.一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发 地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求该渔 船在航行过程中与小岛C的最近距离.（结果精确到整数，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73） 北 1609 45 B 试卷第7页（共21页） 15.(2026安徽模拟预测)如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处 测得北偏东23°方向上距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东 60°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只. 北 A 东 (1)求∠BAC及∠C的大小： (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数） (参考数据：c0s37°=0.8，sin37°=0.6，tan37°=0.75) 试卷第8页（共21页） 16.(2026四川内江·模拟预测)如图，在一笔直的海岸线上有A,B两个观测站，A在B的正西方向， AB=2,从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向.求船C离 观测站A的距离。 北 东 30 ⊙ 2km 试卷第9页（共21页） 17.（25-26八年级下·新疆塔城期末)如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远征号、“和平号轮船同 时离开港口，各自沿固定方向航行，“远征号沿东北方向行驶，“和平号沿西北方向行驶，“远征号每小 时航行16海里，“和平号每小时航行12海里，它们离开港口一段时间后分别位于点Q,R处，且相距30 海里。 远征 和平 R 2 P (1)求两船行驶多长时间分别位于点Q,R处？ (2)求PQ,PR的长度？ 18.(25-26八年级下山东济南·期末)如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里， 在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南 偏东37°的方向上. 北 B 东 37 53 76° (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离： (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的 方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间 4 3 （参考数据：sin53°=写，cos53°≈亏，tan53°≈ 3,tan76°≈4) 试卷第10页（共21页) 19.(25-26八年级下·重庆潼南·期末)某送货员送货的路线如图所示：A-B-C-D.己知B在A的北偏 东45°方向4km处，C在B的正东方2km处，D在C的南偏东30°方向，D在A的正东方.（参考数据： √5≈1.414，√3≈1.732,6≈2.449) 北 6 西 个，东 南 (1)求线段CD的长度；（结果精确到0.01kn) (2)已知送货员在送货过程中全程保持10/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D, 则送货员按既定路线A-B-C-D进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 20.(25-26八年级下.重庆江津.期末)如图，四边形ABCD是某机器狗试验场边沿，其中B位于A正东方 向100W3米处，D位于B的正北方向，D位于A的北偏东30°方向，且位于C的西北方向，B位于C的西 南方向. 北 西→东 南 D 45i C 309 45 B (1)求AD的长：（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力.若机器狗从B到D用时少说明 机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走B→A→D、B→C→D中哪条线路说明机器狗识别路径的能 力较强？请说明理由，（机器狗走两条线路的速度相同） 试卷第11页（共21页) 21.(2026安徽·二模)如图，快递小哥从A地出发前往正东方向距离1200的快餐店B地取外卖，送到B的 正南方向某小区C地，送完餐后，在C处又接到一单，到北偏西65°方向800m的火锅店D处取餐，D位 于A的南偏东37°方向，求快递小哥这个过程中总共走了多少米.（结果保留整数，参考数据：si65°≈0.91， c0s65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75) 北 B →东 379 D 22.(2026河南平顶山·三模)机器人竞走比赛（图1）是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试， 能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情.如图2，在某次比赛中，机器人从点 A沿北偏东45°方向直行120至点B,然后从点B沿南偏西28°方向直行至点C,若点C在点A的正东方 向，求A,C两点间的距离（结果精确到0.1m.参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53， √2≈1.41). 北 B →东 28° 1459 图1 图2 试卷第12页（共21页) 类型3坡度坡比类 23.水坝是人类治水的重要工程，类型多样.图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，己知背水坡 AB的坡度i为1：1.2，坝底的水平宽度BC为60cm,则背水坡AB的铅直高度AC为() B 图1 图2 A.50cm B.52cm C.62cm D.72cm 24.如图，大坝的横截面是梯形，斜坡AB的坡比k=1:2,背水坡CD的坡比i=1:1,若AB的长度为8√5 米，则斜坡CD的长度为() B k=1:2 i=1:1 D A.8米 B.4V10 C.4v2 D.82 25.(25-26九年级下·甘肃嘉峪关·期中)如图，在坡顶的A处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑 物BC,某同学沿着坡度为i=5:12的斜坡AP攀行26米到达了点A,点A距建筑物BC底端C为5米，在 坡顶A处又测得该建筑物的顶端B的仰角为76°，求建筑物项部B到PQ的距离（精确到0.1m).(参考数 据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4) B Ch\A 试卷第13页（共21页) 26.(2026·江苏宿迁中考真题)如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为15°的坡道向前走了100米 到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为10°的坡道向前走了150米到B地，求小 亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，CE‖AD,BD⊥AD,参考数据：sil5°≈0.26， cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sinl0°≈0.17，c0s10°≈0.98，tam10°≈0.18) B E -1..10° 15o D 27.(2026湖南娄底·模拟预测)为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四 边形ABCD为矩形.DE=10m,其坡度为i=1:V3,将步梯DE改造为斜坡AF,其坡度为i2=1:4,求 斜坡AF的长度（结果精确到0.01m,参考数据：√3≈1.732，V17≈4.122） 试卷第14页（共21页) 28.(2026山东菏泽·模拟预测)如图所示，已知BC是水平面，AB、AD、CD是斜坡.AB的坡角为42°， 坡长为300米，AD的坡角为60°，坡长为150米，CD的坡比i=1:2√2. (1)求坡顶A到水平面BC的距离： (2)求斜坡CD的长度.（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，√3≈1.73） 29.(2026四川巴中.中考真题)“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯2026年国际划联皮划艇马拉松世 界杯于5月23日在巴河之畔举行.一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面15m的空中 P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为42.3°和52.4°（点M、C、B、A在一条 直线上).已知河堤斜坡NC的长为12m,坡比为1：√3（计算结果保留整数）.（参考数据：sin42.3°≈0.67， cos42.3°≈0.74，tan42.3°≈0.91，sin52.4°≈0.79，cos52.4°≈0.61，tan52.4°≈1.30) 河堤 -河面 M CB A (1)求无人机距河面的高度PM: (2)求两艘皮划艇之间的距离AB. 试卷第15页（共21页) 类型4实物建模类 30.（2026江西宜春·模拟预测)玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图 1).玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇.某校初三数学兴趣小组在完 成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算这一课题开展数学实践活动，已知三片风 叶OA、OB、OC两两所成的角为120°，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶OC与塔架OD叠合时 (即O、C、D在同一直线上)，在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为37°，风 叶OA的端点A的仰角为60°，点A,B,C,D,E,O,在同一平面内.（参考数据：sin37°≈0.6，tam37°≈0.75， 3≈1.73.) B ○ 图1 图2 (1)求塔架OD的长度： (2)求风叶OA的长度.（精确到1米） 试卷第16页（共21页) 类型5 创新考法 31.（25-26九年级上·福建宁德阶段检测)综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校 九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报 告 课题 测量长安塔的高度AB 测量目 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题： 的 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神。 测量工 测角仪，皮尺等 具 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点 测量方 B的距离BC为m米.方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A 案 的仰角为a,从水平地面的C点向前走到点D处，测量CD的距离，并在D处 测得塔顶端A的仰角为阝. 图示 C m米B 图1 图2 请根据以上测量数据，回答问题： (1)根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高AB=」 米；（用含m,a的式子表示） (2)该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的BC无法直接测量，所以该小组采 用方案二的方法，若测得=37°，B=60°，CD=74.8米，请你利用所测数据计算塔高AB.(计算结果保 留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√3≈1.73) 试卷第17页（共21页) 32.(25-26九年级下·四川达州·期中)甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今己有一千多 年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①.某数学兴趣 小组开展“测量甘州木塔高度的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔OA垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B,C两处分别测得木塔顶端A 的仰角∠ADF,∠AEF的度数(O,C,B在同一条直线上)，再测得B,C两点之间的距离. 数据收集：测角仪BD=CE=1.5m,测得BC=30m,∠ADF=34.6°，∠AEF=63.4°. 问题解决：求甘州木塔OA的高度（结果精确到0.1m). 参考数据：sin34.6°≈0.57，c0s34.6°≈0.82，tan34.6°≈0.69，sin63.4°≈0.89，c0s63.4°≈0.45，ta163.4°≈2.00 根据上述方案及数据，请你完成求解过程 D B ○ 图① 图② 试卷第18页（共21页） 33.(2026陕西西安·模拟预测)为了测量学校旗杆（垂直于水平地面）的高度，班里三个兴趣小组设计了 三种不同的测量方案，如下表所示 课题 测量校园旗杆的高度 测量工 测角仪（测量角度的仪器），卷尺，平面镜等 具 测量小 A组 B组 C组 组 测量方 案示意 图 MP B 平面镜D 上车10：00测量上车10：30测量 (1)上述A,B,C三个小组中， 组不能测出旗杆的真实高度： (2)在A组测量中，线段AB表示旗杆的高度，线段CD,EF表示测角仪的高度，点A、B、C、D、E、F 在同一竖直平面内，CE表示两次测角仪摆放位置之间的距离，测角仪测得旗杆顶端A的仰角=53°， B=45°，CD=EF=1.5米，CE=14米，请你结合所学知识，利用A组测量的数据计算出旗杆AB的高度.（参 考数据：面53兮 试卷第19页（共21页) 34.(2026贵州中考真题)项目课题：设计无障碍坡道 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于1：20，如图①是小红 所在学校的无障碍坡道， 坡度= 坡面的铅直高度 坡面的水平宽度 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度AC=4.8米，坡角∠BAC=14°.为检测该坡道是否符合国家标准， 小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计. 图① 图② 图③ 任务： (I)如图②，根据已知数据，求出铅直高度BC的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由： (2)如图③，受地面条件限制，该坡道CA方向能用的水平宽度只有20米.小红设计了一个“回转坡道'的方 案示意图：在F处安装支柱DF=0.8米，在E处留EC=2米的通道，入口为点E,经过两个坡道ED与DB 再到达点B,且EF=16米.在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说 明理由：如果不符合，请提出修改建议.（参考数据：tan14°≈0.25，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97） 试卷第20页（共21页） 35.（2026山西阳泉·三模)项目学习 项目背景： 四美琉璃塔位于山西省太原市文瀛公园南湖东岸的假山上，塔高12层，整体造型玲珑精致，极具观赏性，某 校项目学习小组计划测量四美琉璃塔的高度. 方案设计： 如图，观察员在地面上的点C处进行观察，并测得琉璃塔顶部点A的仰角为25°，向前行进4到达假山的 坡底点D处，并测得琉璃塔顶部点A的御角为32，斜坡BD的坡度：-日 数据应用： 已知图中各点均在同一竖直平面内，点C,D,卫在同一条直线上，AB与水平地面垂直.请根据上述数据， 计算四美琉璃塔的高度AB.(结果精确到1m;参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47， sin32°≈0.53，c0s32°≈0.85，tan32°≈0.62) B D C 水平地面 试卷第21页（共21页) 专题训练 解直角三角形的实际应用 类型1 仰角俯角类 类型2 方位角类 类型3 坡度坡比类 类型4 实物建模类 类型5 创新考法 类型1 仰角俯角类 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】在中，，在中，，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴米． 2．（26-27九年级上·北京·课堂例题）“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】根据锐角的正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，千米， ∴． 3．（26-27九年级上·北京·课后作业）为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过A作于E，根据矩形的判定与性质得出，，在中，根据正切的定义求出，即可求解. 【详解】解：如图，过A作于E， 根据题意，得，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即灵霄塔的高度是. 4．（2026·浙江温州·三模）如图所示，“五一”期间小苏在瓯江口放风筝，已知风筝线长固定为24米，当风筝到达A点时，测得此时仰角为，n秒后，风筝到达B点，测得此时仰角为“”，测得风筝在这n秒内上升的高度为（     ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过作水平线的垂线，垂足为，过作于，过作于，证明四边形为矩形，可得，再分别求解，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作水平线的垂线，垂足为，过作于，过作于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 5.（2026·浙江台州·模拟预测）为了测量旗杆的高度，在离旗杆米的C处，用高米的测角仪测得旗杆顶部A的仰角为，求旗杆的高．（精确到米，） 【答案】9.6米 【详解】解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中， ∵米，， ∴（米）， ∴（米）． 答：旗杆的高是米． 6．（2026·江苏泰州·三模）如图，小明在A处利用测角仪观测气球C的仰角为，然后他沿正对气球方向前进了到达B处，此时观测气球的仰角为． (1)如果测角仪高度为，那么气球的高度是多少？． (2)如果测得，，，，那么气球的高度是多少？（精确到）（下列数据供参考：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中，利用角的正切值分别表示出和的长，即可得解； （2）将所给数值代入（1）所得式子计算求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 气球的高度是； （2）解：，，，， 则气球的高度是 7.（2026·甘肃兰州·中考真题）位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【分析】设，，证明四边形、四边形为矩形，根据、列方程求解即可． 【详解】解：设，，由题意知， ∵，，， ∴， 又∵， 即且， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为矩形， 同理可得四边形、四边形也为矩形， ∴，，， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ∴． 8．（2026·辽宁营口·模拟预测）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行． (1)求点F到直线的距离（结果保留根号）； (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，）． 【答案】(1)米 (2)4.3米 【分析】（1）过点作于，依题意知，，；得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论； （2）根据求出，在中，求出米，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作于， 依题意知，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， (米)， ∴点到地面的距离为米； （2）解：∵斜坡的坡度， ∴中，(米)， ∴米． ∵，， ∴， ∴． 在中，(米)， ∴(米)． 答：宣传牌的高度约为4.3米． 9．（2026·陕西·模拟预测）某数学兴趣小组开展实践活动，测量某公园一座亭子的高度，在亭子的正前方有一斜坡，坡角，斜坡的顶端与亭子底端的距离米，小组成员在斜坡的点处测得亭子顶端的仰角，米，已知，，所有点在同一平面内，求亭子的高度．（结果保留根号） 【答案】亭子的高度是米． 【分析】延长交的延长线于点，过点作于点，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值，求出，，，即可求出． 【详解】解：延长交的延长线于点，过点作于点， 由题可知，四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， ，， ，， 在中，， ， ， 亭子的高度是米． 10．（2026·江苏南京·模拟预测）如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】(1)米 (2)， (3)或点F到的距离 【分析】（1）解直角三角形表示出，，然后根据求解即可； （2）可以测量的角是，求出，然后解直角三角形表示出，最后在中，由正切可求； （3）测得长度或点F到的距离，利用解直角三角形和勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴米； （2）解：可以测量的角是， ∵米； ∴（米）， 在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴； （3）解：在点F处再测量长度或F到的距离，通过计算也可求出铁塔的高度， ①测得，如图， 在中，，（米）， ∴利用勾股定理可得，， 在中，米， ∴利用勾股定理可得，， ∴在中，； ②测得F到的距离为n，如图，过点F作于点G，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 11．（2026·湖南长沙·三模）觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1) (2)塔的高度约为． 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）在中，根据勾股定理求得，设．得出，过点作，垂足为．，．在中，，得出，进而建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，． 在中，，， ． 答：的长为． （2）由题意， 在中，，， ． 在中，设． ， ． ． 过点作，垂足为． 由题意，得，． ， ． 在中，， ． ，解得． ． 答：塔的高度约为． 类型2 方位角类 12．（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】在中，利用的长，以及的度数，根据三角函数即可求得的长． 【详解】解：根据题意得：在中，， ∴， ∴米． 即河宽为米． 13．（2026·湖北·模拟预测）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点B作于点F，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可． 【详解】解：如图， 由题意可得，，，（海里）， ， ． 过点B作于点F，如图： 在中，， （海里）， 在中，， （海里）． 即灯塔C与码头B的距离是海里． 14．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 【答案】该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里 【分析】过点作于点，在中，利用三角函数求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后根据即可求解． 【详解】解：由题意，得海里，，， 过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 海里， ， 解得海里． 答：该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里． 15．（2026·安徽·模拟预测）如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2)不明船只从被发现到被拦截行驶了海里，此时海监执法船行驶了海里 【分析】（1）根据方位角可以求出，根据平行线的性质即可求出； （2）过作，在中，解直角三角形得到与的长，在中，求出的长，由求出的长即可． 【详解】（1）解：如下图所示， ，， ，， ， ； （2）解：如下图所示，过点作， 在中，，，海里， 海里，海里， 在中，，， ，海里， 海里， 海里， 答：不明船只从被发现到被拦截行驶了海里，此时海监执法船行驶了海里． 16．（2022·四川内江·模拟预测）如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正西方向，，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向．求船离观测站的距离． 【答案】船离观测站的距离为 【分析】过点作于点，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系和三角函数，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，设， 由题意可知，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得， 在中，， ∴． 答：船离观测站的距离为． 17.（25-26八年级下·新疆塔城·期末）如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远征”号、“和平”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远征”号沿东北方向行驶，“和平”号沿西北方向行驶，“远征”号每小时航行16海里，“和平”号每小时航行12海里，它们离开港口一段时间后分别位于点Q，R处，且相距30海里． (1)求两船行驶多长时间分别位于点Q，R处？ (2)求的长度？ 【答案】(1)小时 (2)海里， 海里 【分析】（1）两船分别沿东北、西北方向行驶，则，，可得为直角三角形，设航行时间为,用含的式子表示两船的航程，即，的长，已知的长，使用勾股定理，可求出值，即可得到两船位于,处的航行时间． （2）用两船的航行速度乘以两船的航行时间的具体值，得到两船航程，即的长度． 【详解】（1）解：两船分别沿东北、西北方向行驶， 则， ∵， ∴为直角三角形， 设航行时间为，可得： 远征号航程： 海里，即， 和平号航程： 海里，即， 已知， 由勾股定理可得： ,即， 解得（舍去）， 所以两船行驶小时后分别位于点Q，R处． （2）解：由第一问可知，两船航行时间为小时， 所以远征号航程： （海里），即海里， 和平号航程： （海里），即海里． 18．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 【答案】(1)，C的距离约为30海里 (2)缉私艇所用时间是2小时 【分析】（1）先求出，再根据三角函数计算即可； （2）延长交于点M，由题意得，根据三角函数求出海里，海里，可知海里，进而可知缉私艇拦截走私船所用时间． 【详解】（1）解：在中，，， ， 在中，， （海里）， ，C的距离约为30海里； （2）解：延长交于点M，由题意得， 在中，（海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， （小时）， 答：缉私艇所用时间是2小时． 19．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，） (1)求线段的长度；（结果精确到） (2)已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 【答案】(1) (2)解：送货员按既定路线进行运送能按时送达，理由如下： 根据题意，得， ， ， 故需要时间为， 小于16分钟， 故送货员按既定路线进行运送能按时送达； 【分析】（1）根据，计算即可； （2）根据时间，计算比较解答即可，注意单位的统一； 【详解】（1）解：根据题意，得，，，，，四点共线，，垂足分别为点F，点E， ， 根据平行线间的距离处处相等，得， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2）略 20．（25-26八年级下·重庆江津·期末）如图，四边形是某机器狗试验场边沿，其中位于正东方向，位于的正北方向，位于的北偏东方向，且位于的西北方向，位于的西南方向． (1)求的长；（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力．若机器狗从到用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走、中哪条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由．（机器狗走两条线路的速度相同） 【答案】(1)米 (2)走说明机器狗识别路径的能力较强．理由： 米 由题意：在西北方向，在西南方向， ∴，， ∴，．是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理： ， ∴， 解得， ∴线路长度：米， 线路长度：米， ∵， ∴速度相同时，走用时更短． 故走说明机器狗识别路径的能力较强． 【分析】（1）先根据方位角确定的内角，因为在正东，在正北，所以，又已知在北偏东，可得到中其余角度，结合已知的长度，用三角函数或直角三角形边角关系计算的长． （2）先根据在西北方向、在西南方向，判断的形状，结合第（1）问求出的长度，计算的长度．再计算的长度，因为速度相同，所以比较两条路径的总长度，长度更小的路径用时更短，对应机器狗识别能力更强． 【详解】（1）解：D在正北，在正东， ∴，； ∵在北偏东， ∴，且米． 在中，由三角函数定义： ， 代入得： ． 答：的长为米． （2）略． 21.（2026·安徽·二模）如图，快递小哥从地出发前往正东方向距离的快餐店地取外卖，送到的正南方向某小区地，送完餐后，在处又接到一单，到北偏西方向的火锅店处取餐，位于的南偏东方向，求快递小哥这个过程中总共走了多少米．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 【答案】快递小哥这个过程中总共走了 【分析】过点作于点，过点作于点．在中求出，．在中求出，进而可求出快递小哥这个过程中总共走了多少米． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． 由图可知，四边形是矩形， ，． 根据题意，，， ， ． ， ， ， ， ． 答：快递小哥这个过程中总共走了． 22．（2026·河南平顶山·三模）机器人竞走比赛（图1）是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图2，在某次比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行至点B，然后从点B沿南偏西方向直行至点C，若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】 【分析】过点B作交的延长线于点D，如图所示，则．依次求出、，根据即可求出答案． 【详解】解：过点B作交的延长线于点D，如图所示，则． 由题意，可知，． 在中，． ∵，， ∴． ∴． 在中，， ∴ ∴ 答：A，C两点间的距离约为． 类型3 坡度坡比类 23．水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坡度的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：，坡度i为， ， ， ． 24．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过B、C作于点E，于点F，证明四边形为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理求得，再利用坡比概念求得，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． ∴四边形为矩形，则， ∵斜坡的坡比， ∴设，则， 在中，根据勾股定理，得， ，解得或（不合题意，舍去）， 则， 又∵背水坡的坡比， ， ，则． 25．（25-26九年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过作于，过作于，根据斜坡的坡度，得出，设，，由勾股定理可求得，值即可求解，从而得到的长；由题意得，在中，即可求解的长，再根据三个角是直角的四边形是矩形，得到四边形为矩形，从而有，由此可以得到的长． 【详解】解：如图，过作，垂足为,延长交于点． 斜坡的坡度， ． 设，， ， 又， ， ． 由题意得，， ，解得． ，， ， ， , 又， ， 四边形为矩形， , ． 建筑物顶部到的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角、矩形的判定及性质，解题的关键在于根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． 26.（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 【答案】小亮沿垂直方向上升了米 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，分别在直角三角形和直角三角形中，利用正弦分别求出和，于是可求出沿垂直方向上升的米数． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得四边形是矩形， ， 在直角三角形和直角三角形中， 、， 、， 、， （米）． 答：小亮沿垂直方向上升了米． 27．（2026·湖南娄底·模拟预测）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形．，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度（结果精确到，参考数据：） 【答案】20.61米 【分析】先利用勾股定理求出，再根据坡度的定义求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解 ∵坡度为， 在，， ， 在中，， ， ， 四边形ABCD为矩形， ， 斜坡的坡度为， ， ， 在中，， 斜坡的长度为20.61米． 28．（2026·山东菏泽·模拟预测）如图所示，已知是水平面，、、是斜坡．的坡角为，坡长为米，的坡角为，坡长为米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据： ，） 【答案】(1)坡顶A到水平面的距离约为210米； (2)斜坡的长度约为240米 【分析】（1）过点A作于E，根据正弦的定义求出，即可得到答案； （2）过点D作于F，于G，根据正弦的定义求出，进而求出，根据坡度的概念计算即可． 【详解】（1）解：（1）过点A作于E，  在中，米，  则（米），  答：坡顶A到水平面的距离约为210米； （2）解：过点D作于F，于G，  则四边形为矩形，  ，  在中，米，  则（米），  （米），  的坡比，  ，  ，  （米），  答：斜坡的长度约为240米． 29．（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得：，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意得：，，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：无人机距河面的高度的长为 （2）解：由题意得：， 由（1）可知：， 在中，， 在中，， ∴； 答：两艘皮划艇之间的距离的长为． 类型4 实物建模类 30．（2026·江西宜春·模拟预测）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 【答案】(1)塔架的长为75米； (2)风叶的长为49米． 【分析】（1）解直角三角形即可求解； （2）过点A作于点H，过点O作于点G，分别解直角三角形和直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为75米． （2）解：如图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为， ， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 解得， 米． 答：风叶的长为49米． 类型5 创新考法 31．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示    请根据以上测量数据，回答问题： (1)根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） (2)该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)99米 【分析】（1）根据正切的定义计算即可得出结果； （2）设米，则米，解直角三角形得出米，米，求出的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，，米， ∴（米）； （2）解：设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴， 解得， ∴（米）， 故塔高约为米． 32．（25-26九年级下·四川达州·期中）甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角，的度数（O，C，B在同一条直线上），再测得B，C两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】 【分析】由题意可知，四边形都是矩形可得．在中解直角三角形可得，在中解直角三角形可得，再根据列方程求得，进而求得的长即可． 【详解】解：由题意可知，四边形都是矩形． ∴． 在中， ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 答：甘州木塔的高度约为． 33．（2026·陕西西安·模拟预测）为了测量学校旗杆（垂直于水平地面）的高度，班里三个兴趣小组设计了三种不同的测量方案，如下表所示． 课题 测量校园旗杆的高度 测量工具 测角仪（测量角度的仪器），卷尺，平面镜等 测量小组 A组 B组 C组 测量方案示意图 (1)上述A，B，C三个小组中，_______组不能测出旗杆的真实高度； (2)在A组测量中，线段表示旗杆的高度，线段，表示测角仪的高度，点A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内，表示两次测角仪摆放位置之间的距离，测角仪测得旗杆顶端A的仰角，，，，请你结合所学知识，利用A组测量的数据计算出旗杆的高度．（参考数据：） 【答案】(1)C (2)9.5米 【分析】（1）根据C组测量时间不同判断即可； （2）连接交于点H，得到四边形为矩形，得到，，解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：因为C小组测量的和不是同一时刻的两物体的影长， 所以C小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度； （2）解：连接交于点H，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴米， ∴米． 答：旗杆的高度为9.5米． 34．（2026·贵州·中考真题）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【答案】(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在中，， ∴, 解得， 而， ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； (2)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点作于点， 由题意得，在中，，， ∴， ∴坡道符合标准； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴坡道符合标准， 又∵，满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准． 【分析】（1）根据坡度的定义解求，然后比较的坡度与国家标准即可； （2）过点作于点，分别在、中求出坡道、的坡度，再比较的长度与的大小即可． 【详解】（1）略 （2）略 35．（2026·山西阳泉·三模）项目学习 项目背景： 四美琉璃塔位于山西省太原市文瀛公园南湖东岸的假山上，塔高12层，整体造型玲珑精致，极具观赏性．某校项目学习小组计划测量四美琉璃塔的高度． 方案设计： 如图，观察员在地面上的点处进行观察，并测得琉璃塔顶部点的仰角为，向前行进到达假山的坡底点处，并测得琉璃塔顶部点的仰角为，斜坡的坡度． 数据应用： 已知图中各点均在同一竖直平面内，点在同一条直线上，与水平地面垂直．请根据上述数据，计算四美琉璃塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】延长交于点，则，设，则，，解直角三角形表示出，，然后列方程求出，然后求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，则． 根据题意，得，， ，斜坡的坡度， ， 设，则，． 在中，，， ． 在中，，， ． ． 解得． ，． ． 答：四美琉璃塔的高度约为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题训练 解直角三角形的实际应用 类型1 仰角俯角类 类型2 方位角类 类型3 坡度坡比类 类型4 实物建模类 类型5 创新考法 类型1 仰角俯角类 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 2．（26-27九年级上·北京·课堂例题）“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 3．（26-27九年级上·北京·课后作业）为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江温州·三模）如图所示，“五一”期间小苏在瓯江口放风筝，已知风筝线长固定为24米，当风筝到达A点时，测得此时仰角为，n秒后，风筝到达B点，测得此时仰角为“”，测得风筝在这n秒内上升的高度为（     ）米 A． B． C． D． 5.（2026·浙江台州·模拟预测）为了测量旗杆的高度，在离旗杆米的C处，用高米的测角仪测得旗杆顶部A的仰角为，求旗杆的高．（精确到米，） 6．（2026·江苏泰州·三模）如图，小明在A处利用测角仪观测气球C的仰角为，然后他沿正对气球方向前进了到达B处，此时观测气球的仰角为． (1)如果测角仪高度为，那么气球的高度是多少？． (2)如果测得，，，，那么气球的高度是多少？（精确到）（下列数据供参考：，，） 7.（2026·甘肃兰州·中考真题）位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 8．（2026·辽宁营口·模拟预测）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行． (1)求点F到直线的距离（结果保留根号）； (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，）． 9．（2026·陕西·模拟预测）某数学兴趣小组开展实践活动，测量某公园一座亭子的高度，在亭子的正前方有一斜坡，坡角，斜坡的顶端与亭子底端的距离米，小组成员在斜坡的点处测得亭子顶端的仰角，米，已知，，所有点在同一平面内，求亭子的高度．（结果保留根号） 10．（2026·江苏南京·模拟预测）如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 11．（2026·湖南长沙·三模）觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度（结果精确到，参考数据：，） 类型2 方位角类 12．（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 13．（2026·湖北·模拟预测）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里．（结果保留根号） 14．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 15．（2026·安徽·模拟预测）如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） 16．（2026·四川内江·模拟预测）如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正西方向，，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向．求船离观测站的距离． 17.（25-26八年级下·新疆塔城·期末）如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远征”号、“和平”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远征”号沿东北方向行驶，“和平”号沿西北方向行驶，“远征”号每小时航行16海里，“和平”号每小时航行12海里，它们离开港口一段时间后分别位于点Q，R处，且相距30海里． (1)求两船行驶多长时间分别位于点Q，R处？ (2)求的长度？ 18．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 19．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，） (1)求线段的长度；（结果精确到） (2)已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 20．（25-26八年级下·重庆江津·期末）如图，四边形是某机器狗试验场边沿，其中位于正东方向，位于的正北方向，位于的北偏东方向，且位于的西北方向，位于的西南方向． (1)求的长；（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力．若机器狗从到用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走、中哪条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由．（机器狗走两条线路的速度相同） 21.（2026·安徽·二模）如图，快递小哥从地出发前往正东方向距离的快餐店地取外卖，送到的正南方向某小区地，送完餐后，在处又接到一单，到北偏西方向的火锅店处取餐，位于的南偏东方向，求快递小哥这个过程中总共走了多少米．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 22．（2026·河南平顶山·三模）机器人竞走比赛（图1）是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图2，在某次比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行至点B，然后从点B沿南偏西方向直行至点C，若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 类型3 坡度坡比类 23．水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 24．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 25．（25-26九年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 26.（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 27．（2026·湖南娄底·模拟预测）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形．，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度（结果精确到，参考数据：） 28．（2026·山东菏泽·模拟预测）如图所示，已知是水平面，、、是斜坡．的坡角为，坡长为米，的坡角为，坡长为米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据： ，） 29．（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 类型4 实物建模类 30．（2026·江西宜春·模拟预测）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 类型5 创新考法 31．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示    请根据以上测量数据，回答问题： (1)根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） (2)该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 32．（25-26九年级下·四川达州·期中）甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角，的度数（O，C，B在同一条直线上），再测得B，C两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 33．（2026·陕西西安·模拟预测）为了测量学校旗杆（垂直于水平地面）的高度，班里三个兴趣小组设计了三种不同的测量方案，如下表所示． 课题 测量校园旗杆的高度 测量工具 测角仪（测量角度的仪器），卷尺，平面镜等 测量小组 A组 B组 C组 测量方案示意图 (1)上述A，B，C三个小组中，_______组不能测出旗杆的真实高度； (2)在A组测量中，线段表示旗杆的高度，线段，表示测角仪的高度，点A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内，表示两次测角仪摆放位置之间的距离，测角仪测得旗杆顶端A的仰角，，，，请你结合所学知识，利用A组测量的数据计算出旗杆的高度．（参考数据：） 34．（2026·贵州·中考真题）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 35．（2026·山西阳泉·三模）项目学习 项目背景： 四美琉璃塔位于山西省太原市文瀛公园南湖东岸的假山上，塔高12层，整体造型玲珑精致，极具观赏性．某校项目学习小组计划测量四美琉璃塔的高度． 方案设计： 如图，观察员在地面上的点处进行观察，并测得琉璃塔顶部点的仰角为，向前行进到达假山的坡底点处，并测得琉璃塔顶部点的仰角为，斜坡的坡度． 数据应用： 已知图中各点均在同一竖直平面内，点在同一条直线上，与水平地面垂直．请根据上述数据，计算四美琉璃塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $