专题03 分式方程的压轴问题（压轴题专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

**基本信息** 以“化归整式、增根辨析、参数讨论”为核心，通过题型模版构建从特殊解法到综合应用的系统性训练，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法总结|明确两条底线原则，聚焦三大核心方向|从分式方程转化本质出发，构建解法基础| |题型归纳|3类题型+多变式|特殊方程分5类技巧（统一分母等），无解问题分4类讨论，新定义强调规则转化|从具体解法到参数综合，再到新情境应用，层层递进| |压轴挑战|15道综合题|融合增根、参数、新定义等综合应用|对接中考压轴考法，提升模型意识与创新思维|

专题03 分式方程的压轴问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解特殊分式方程 类型二、分式方程无解问题 类型三、新定义的分式方程 —攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 分式方程压轴问题是初中数学代数板块的核心重难点，所有题型均围绕“化归整式、增根辨析、参数讨论”三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是去分母转化必须严防漏乘与取值范围扩大，二是无解与特殊解判定必须严格区分整式方程无解与增根导致无解的分类讨论。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解特殊分式方程 典例1 方程的解是_______. 【答案】 【详解】解：原方程变形为：， 整理得， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 检验：当时，原方程所有分母都不为0， 故是原方程的解. 题型模版 一、分母相同或互为相反数型 题型特征：方程中多个分式的分母完全相同，或者互为相反数（如 与 ），直接去分母计算较为繁琐或易错。 解题技巧： 统一分母：若分母互为相反数，利用 提取负号，将分母化为相同形式。 直接去分母：在方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程。 规范检验：解出整式方程的根后，必须代入最简公分母检验，确保分母不为 。 二、分离常数（化带分式）型 题型特征：分子与分母中未知数的最高次数相同，且系数成比例（如 、 ），直接通分会导致计算量剧增。 解题技巧： 拆项变形：将分子凑成分母的形式，将分式拆分为“整数部分 + 真分式部分”（如 ）。 化简求解：分离常数后，方程两边的整数部分往往可以相互抵消，使方程大幅简化，再按常规方法求解。 三、倒数型（互为倒数关系） 题型特征：方程中含有形如 的结构，或者可以通过换元转化为这种结构。 解题技巧： 整体换元：设 ，将原方程转化为关于 的一元二次方程或简单方程。 求解回代：解出 的值后，再代回 ，去分母解出 的值。 注意范围：换元后需保证 ，且解出的 需满足换元条件。 四、连乘与裂项相消型 题型特征：方程的一边是多个分式的连乘，且分母呈现连续自然数或等差数列的乘积形式。 解题技巧： 裂项变形：利用公式 将每个分式拆开。 正负抵消：展开后观察，中间的项会两两相互抵消，通常只剩下首项和末项。 化简求解：将剩余项合并，得到一个简单的整式方程进行求解。 五、交叉相乘型（比例型） 题型特征：方程呈现 的形式，且 均为含未知数的代数式。 解题技巧： 交叉相乘：直接利用比例的基本性质，化为 的整式方程。 展开移项：展开括号，将所有项移到等号一边，合并同类项。 防增根：解出结果后，必须检验是否使原方程的分母 或 为 。 变式1-1计算下列各式： (1)___________； (2)___________； (3)___________． (4)试根据所学知识找到计算上面算式的简便方法，并利用你找到的简便方法求下面的等式中值： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式= = =； （2）解：原式= = = =； （3）解：原式= = = =； （4）解：原式左边 ， ∴， ∴， 解得． 经检验，是原方程的解． 变式1-2阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 【答案】（1），；，； （2）； （3）总共倒出的水量是，水不能被倒完，因为； （4） 【分析】（1）观察题目给出的、等例子，发现分母为两个连续正整数的乘积时，分式可拆分为这两个数的倒数之差．因此直接推导得，推广到一般式； （2）倒出次的总水量是前个分式的和，即．根据（1）的规律，将每一项拆为两个倒数的差，拆项后中间项相互抵消，最终仅剩首项和末项，相加即可得到结果； （3）将每一项()拆为，抵消中间项后得到和为，分析的取值，因为正整数，，故，即总倒出水量始终小于，因此水不能被倒完； （4）将方程左边的每一项()拆为，抵消中间项后左边化简为，因此化简后的方程为，求解此分式方并检验即可． 【详解】（1）解：根据已知规律，， 可得；(为正整数)； 故答案为：，；，． （2）解：倒出次后总水量为； （3）解：倒出次后总水量为． ∵(为正整数)，即总倒出水量始终小于， ∴容器中的水不能被倒完； （4）解：原方程左边=， 因此方程化为， 两边同时减去，得， 两边同乘()，得， 解得； 检验：将代入分母，，，…，， ∴是原方程的解； 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式的规律探索、异分母分式的减法以及解分式方程，核心是裂项相消法的综合应用．从具体的数字规律出发，提炼出的通用裂项规律，再通过“消去中间项、保留首尾项”的技巧，把复杂的分式求和转化为简单的计算问题． 变式1-3 类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，，，……，则依据此规律_______． ②请你利用拆项法进行因式分解：． (2)若，满足，求的值． (3)受此启发，解方程：． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． （1）①类比题材即可得解； ②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得， 故答案为：； ②； （2）解：∵满足，即 ∴，， 解得，， ∴， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 类型二、分式方程无解问题 典例2 若关于x的方程的解为整数，且不等式组无解，则这样的非负整数a有（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】先解分式方程，根据解为整数得到a的所有可能取值，再结合不等式组无解得到a的取值范围，最后筛选出符合条件的非负整数a并统计个数即可． 【详解】解：对分式方程，两边同乘（）， 去分母，得 ，整理得 ， 当时，方程左边为，右边为，方程无解，故， ∴ ， ∵ 方程的解为整数，且， ∴ 是的整数约数，即，解得， 解不等式组， 解第一个不等式得 ， ∵ 不等式组无解， ∴ ， 筛选符合条件的非负整数，得，共个． 题型模版 一、产生增根型无解 题型特征：题目给出一个含有参数的分式方程，并明确告知该方程“无解”或“产生增根”，要求求出参数的值。 解题技巧： 去分母化整：将分式方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程。 令公分母为零：令最简公分母等于 ，解出可能产生增根的 的值。 代回求参：将求出的增根代入化简后的整式方程中，解出参数的值。 二、整式方程本身无解型 题型特征：分式方程去分母后得到的整式方程（通常为一元一次方程）本身无解，导致原分式方程也无解。 解题技巧： 化为标准形式：将去分母后的整式方程整理为 的形式。 利用无解条件：根据一元一次方程无解的条件，令未知数系数 且常数项 。 求解参数：由 解出参数值，并代入检验是否满足 。 三、增根与整式无解并存型（综合型） 题型特征：题目给出含参分式方程“无解”，但无解的原因既可能是因为产生了增根，也可能是因为化简后的整式方程本身无解。 解题技巧： 分类讨论：必须从两个角度分别求解。 情况一（增根）：令最简公分母为 求出可能的增根，代入整式方程求出对应的参数。 情况二（整式无解）：令整式方程的未知数系数为 ，且常数项不为 ，求出对应的参数。 合并结果：将两种情况求出的参数值综合起来，即为最终答案。 四、分式方程有解型（无解问题的逆向考查） 题型特征：给出含参分式方程“有解”或“解为正数/负数”，要求求参数的取值范围。 解题技巧： 正常求解：将分式方程化为整式方程，解出用参数表示的 的表达式。 排除增根：令求出的 不等于使最简公分母为 的值，排除导致无解的参数。 附加条件：根据题目要求（如解为正数），列出不等式（如 ），解出参数的范围。 综合取值：将不等式解集与排除增根的条件取交集。 变式2-1关于的分式方程无解，则的值为_____． 【答案】1或 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键．解分式方程可得，由于方程无解，分两种情况求解即可． 【详解】解： 原方程可化为， 即（其中）． 去分母得， 整理得． 当时，整式方程无解，此时； 当时，解为， 若此解为增根，则，解得． 故a的值为1或． 故答案为：1或． 变式2-2已知分式方程，请在下列三个条件中任意选择一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 【答案】①；②或2；③12 【分析】①根据方程增根的情况求解即可；②根据题意得出，再由方程无解求解即可；③将代入原方程求解即可． 【详解】解：①去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：； ②方程两边同时乘以，得， ， 方程无解， 或， 或， 或2； ③将代入原方程得， 解得：， m的值为12． 变式2-3若关于x的方程无解，求实数a的值． 【答案】 或 【分析】本题先将分式方程化为整式方程，得到用表示的结果，根据分式方程无解的条件可知，整式方程的根是原分式方程的增根，增根使原分式方程分母为0，据此代入计算即可得到的值． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得 整理得 解得 因为原分式方程无解， 所以是原方程的增根 原方程分母为0时，或 当时，解得 当时，解得 因此实数的值为或． 类型三、新定义的分式方程 典例3 新定义：我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．阅读以上材料，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则 ， ； (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，且），求的值． 【答案】(1)，（顺序可互换） (2) (3) 【分析】（1）令两数之和等于，两数之积等于15即可； （2）根据定义得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形计算所求代数式； （3）先将原方程变形凑出十字分式方程的形式，得到，的表达式，代入所求式子约分化简得到结果． 【详解】（1）解： 为“十字分式方程”，可化为， ，．（顺序可互换） （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ，， ； （3）解： ， ， ， ，且， ， ，， ，， ． 题型模版 一、新运算规则与分式方程结合型 题型特征：题目引入一种新的运算符号（如 ），并给出其代数法则，要求解关于 的分式方程（如 ）。 解题技巧： 翻译规则：严格按照题目给定的“新规则”，将新运算符号转化为常规的分式方程。 化简求解：利用分式方程的标准解法（去分母、解整式方程）进行求解。 双重检验：解出结果后，不仅要检验是否使原分式方程的分母为 ，还要检验是否满足新定义规则中的隐含条件（如新运算要求除数不能为 ）。 二、新概念条件与分式方程型 题型特征：给出一个全新的数学概念（如“关联数”、“和谐分式”），并附带特定的等式条件，要求根据该概念列出分式方程求解。 解题技巧： 精准转化：首先准确理解新概念的内涵，将其文字描述转化为含有未知数的分式等式。 规范去分母：在方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程。注意：不要与分式加减法的通分混淆，去分母时分母会消失。 防漏根：解出整式方程的根后，必须代入原分式方程的最简公分母中进行检验，防止增根。 三、程序流程与分式方程型 题型特征：以框图或流程图的形式，给出一个包含分式运算的数值处理程序，已知输入值或输出值，要求求另一个未知量。 解题技巧： 理清逻辑：顺着或逆着程序的执行逻辑，明确输入值与输出值之间的代数关系。 建立方程：根据程序中的运算步骤，列出包含未知数的分式方程。 条件验证：求出的解不仅要使分式有意义，还要符合流程图中所有的判断条件（如“若结果大于 ”），不符合则需舍去。 四、分式值为零与分式方程综合型 题型特征：给出一个含有参数的分式，结合新定义条件，要求该分式的值为 或满足特定方程。 解题技巧： 双条件限制：牢记分式值为 必须同时满足两个条件：① 分子等于 ；② 分母不等于 。 严禁盲目约分：在求解分式有意义的条件或分式为零的条件时，绝对不能先约分再求解。约分会改变未知数的取值范围，导致扩大取值范围而漏掉分母不为 的限制。 逻辑连词：注意“且”与“或”的区别。分母不为 时，各个因式均不能为 ，需用“且”连接（如 且 ）。 五、互为相反数代数式与分式方程型 题型特征：新定义的分式方程中，分母或分子出现互为相反数的代数式（如 与 ），要求化简或求解。 解题技巧： 符号变形：互为相反数的代数式可以约分，但在变形时必须注意符号。若为奇次方，变形时需多提取一个负号（如 ）；若为偶次方，则直接变形即可。 整体通分：遇到括号内的加减法，先通分计算括号内部。通分时可加括号将某一部分看作一个整体，避免符号出错。 步步为营：此类题目符号极易出错，一个符号错误会导致整道题全错，建议在草稿纸上清晰写出每一步的变形过程。 变式3-1材料：已知a、b均为不为0的常数，A是含x的一次整式，若分式的值为0，则或，因为，即，所以分式方程的两个解为、，我们把这样的方程称为“孪生分式方程”． 示例1：分式方程可写成，故此方程是“孪生分式方程”，所以该方程的两个解为：，，即，； 示例2：方程可写成，故此方程是“孪生分式方程”，所以该方程的两个解为：，，即，； 阅读以上材料，解答下列问题： (1)分式方程是“孪生分式方程”吗？请说明理由． (2)已知分式方程的两个解为，，求代数式的值； (3)已知关于x的分式方程，其中，该分式方程的两个解记为、，且满足，若的值为整数，求t的整数值． 【答案】(1)是“孪生分式方程”，理由见解析 (2)20或13 (3)或 【分析】（1）将方程转化为即可判断； （2）将方程转化为，可根据“孪生分式方程”的定义求得，，进一步可得，或，，即可求得答案； （3）将方程转化为，可根据“孪生分式方程”的定义求得，，所以，即可根据整除的性质求得答案． 【详解】（1）解：是“孪生分式方程”；理由如下： 方程可写成，故此方程是“孪生分式方程”，所以该方程的两个解为：，，即，； （2）解：分式方程可写成，即， 故此方程是“孪生分式方程”， 所以该方程的两个解为：，，即，； 所以，或， 所以或； （3）解：分式方程可写成， 故此方程是“孪生分式方程”， ， 所以该方程的两个解为：，，即，； ， 该式的值为整数，t为整数，且， ， 或， 或． 变式3-2定义：若分式有意义，且满足，则称b是a的一个“优数”，并规定a的所有优数b的取值范围叫做a的“优数界”．例如：当时，由且，解得，所以3的“优数界”为． （1）当时，则的“优数界”为______． （2）已知分式方程的解为，若是m的一个“优数”，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】（1）根据定义，列出不等式组且，分情况解分式不等式； （2）先解分式方程，用含的式子表示，同时注意分母不为0；再根据“是的一个“优数”，结合优数定义列出不等式组，求解范围． 【详解】解：（1）由题意得： ， ：分子，分式值大于，说明分母； ：移项得， ， ， ， 已知，要使，则分子，即， 综上，的“优数界”为． （2）解分式方程， 两边同乘： ， 展开整理： ， ， ， 分式分母不为0：，即， ， ， 由“是的优数界”， 设，根据定义： ， ， 条件1：， ， （与分母限制一致）； 条件2：，代入： ， ， 即， 由①知与同号， 情况1：， ， ， 解②， ， ， 无解； 情况2：， ， ， ， ， ， 解得， 综上，． 变式3-3 定义：若分式与的和为（为正整数），则称分式、互为“阶分式”．例如：∵分式与的和为，∴分式与互为“阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数，互为倒数，为正整数，求证：分式与互为“阶分式”； (3)分式与互为“阶分式”，若为整数，则整数的值为__________ 【答案】(1) (2)证明：∵，互为倒数， ∴， ∴， ， ∴分式与互为“阶分式”． (3) 或 【分析】（1）将两个分式求和，根据结果判断即可； （2）由倒数的意义可得，再与求和即可； （3）根据题意可得分式方程，求解得，结合整数的性质可得或，排除其中无意义的根即可． 【详解】（1）解：， ∴分式与互为“阶分式”； （2）略 （3）解：∵分式与互为“阶分式”， ∴， 解得， ∵、都是整数， ∴是的因数，即或， 当时，，，原分式无意义，故舍去； 当时，，，符合题意； 当时，，，原分式无意义，故舍去； 当时，，，符合题意； 综上所述，或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分式方程无解包含两种情况，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，本题先将分式方程化为整式方程，再结合无解的条件计算的值． 【详解】解：方程两边同乘得， 解得， ，是整式方程，始终有解， ∴当或时，原方程分母为零，无解． 令，则，解得； 令，则，解得． ∴或时，原方程无解． 2．现有以下四个说法：①分式是最简分式；②若分式的值为0，则的值为；③若关于的方程有增根，则的值为3；④若关于的方程无解，则的值为2．其中正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将分式的分子分母因式分解，得到分子分母有公因式，可判断①；根据分式值为需满足分子为且分母不为，可判断②；将分式方程去分母整理，根据增根使原分式方程的最简公分母等于0，可判断③；分式方程无解分两种情况：情况1：整式方程无解；情况2：整式方程有解，但解为增根，可判断④． 【详解】解：①∵，分子分母有公因式，可约分， ∴不是最简分式，①错误； ②分式的值为需满足分子为且分母不为， ，且， 解得：，②正确； ③对方程， 两边同乘去分母得：， 整理得， ∵方程有增根， 增根满足，即， 把代入整式方程得：， 解得，③正确. ④将整理得， 分式方程无解分两种情况： 情况1：整式方程无解，此时，即，此时，方程无解； 情况2：整式方程有解，但解为增根，由③可知，，方程也无解， ∴的值为或，④错误， 综上，正确的说法共个． 3．关于x的分式方程无解，则m的取值范围（     ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【分析】分式方程无解分两种情况，一是去分母得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，结合增根定义分类讨论即可求出的值． 【详解】解：给原方程两边同乘去分母得， 整理化简得， 移项整理得， 分两种情况讨论： 情况1：整式方程无解： ∵一次项系数为0，常数项不为0时整式方程无解， ∴且， 解得，符合要求； 情况2：整式方程有解，但解为原分式方程的增根， 原分式方程公分母为，增根满足，即或， 将代入，得，即，等式不成立，舍去； 将代入，得，解得，符合要求； 综上，或． 4．设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的值为（     ） A．4 B．2 C．1 D．2或0 【答案】D 【分析】先根据新运算的定义将原方程转化为分式方程，再整理为整式方程，分一次方程无解、分式方程产生增根两种情况讨论，求出的可能值即可 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 去分母得 整理得 方程无解分两种情况： ① 当一次项系数为时，方程无解，即 ，得，此时，等式不成立，方程无解. ② 分式方程产生增根时，原方程分母，得增根，把代入，得 ，解得. 综上，的值为或 5．若分式方程无解，那么m的值应为_________． 【答案】 【分析】先解分式方程得出，再根据分式方程无解，得出，即，由此计算即可得出结果． 【详解】解：去分母，得， 整理，得， ∴． ∵分式方程无解， ∴，即． ∴． 6．设，，为非零实数． （1）若满足，，，则________； （2）若满足，，，则________． 【答案】 【分析】（1）先化简所求代数式，可知其等于，将已知三个等式相加即可求解. （2）对每个等式两边取倒数，整理后移项配方，利用平方的非负性求出的值，再计算和. 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴. （2）∵为非零实数，，，， ∴，，， 整理得① ，②，③； ∴得： ， 移项得： ， 配方得： ， 即， ∴，，， 解得：，，，经检验符合题意； ∴. 7．若10，15，是按从小到大顺序排列的一组“调和数”，则的值为____________． 【答案】30 【分析】根据“调和数”的定义，列出方程并求解 【详解】解：由题意，，且满足，即． 计算右边：， 所以． 移项得． 通分计算：，， 因此． 所以，解得． 验证：为从小到大排列的整数，符合题意． 故答案为： 【点睛】本题考查了分式方程以及“调和数”定义，解决本题的关键是掌握分式方程计算以及“调和数”的概念. 8．已知，且，则x的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式的化简与一元一次方程的求解，熟练掌握利用已知等式进行降次代换是解题的关键．先由已知推导出和，再将分式中的高次幂用的低次幂表示，化简分式后得到关于的方程，进而求解的值． 【详解】解：由，得，， ∴， ， ∴化简为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：． 9．阅读材料：对于非零实数，若关于的分式的值为零，则解得又因为所以关于的方程的解为 (1)方程的解为： (2)若关于的方程的解为求的值； (3)若关于的方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得 或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程的解为，则原方程变形为，方程的解为或(看成整体)，则有，整理得，再代入将所求代数式即可． 【详解】（1）解：关于的方程的解为， 方程的解为， 故答案为：； （2）解：关于的方程的解为 ， ， 故答案为：19； （3）解：方程变形为， 方程的解为， 则或， ， 整理得， 故答案为3． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握题干知识，求分式方程的解，完全平方公式变形求值，整体代入法求代数式求值，是解题的关键． 10．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． (1)下列各式中，是根分式的是_______； A．    B．    C．    D． (2)写出根分式中的取值范围_______（直接写出答案）； (3)已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数x的值． 【答案】(1)B (2)且 (3)①不存在，经检验，是方程的增根；② 【分析】本题考查了二次根式的性质，解分式方程，正确的计算是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件进行计算即可求解； （3）①根据题意列出方程，解方程即可求解，最后要检验； ②先计算 ，根据是一个整数，求得的值，最后检验即可求解． 【详解】（1）解：A．的分子不是二次根式，不是根分式， B．的分母是整式，是根分式， C．的分母不是整式，不是根分式， D．不符合根分式的形式，不是根分式， 故选：B； （2）由题意得：且， 解得：且， 故x的取值范围是：且， 故答案为：且， （3）当与时， ①不存在的值使得，理由如下： ， ， ， ， 解得：， 经检验，是增根，原方程无解； 即不存在的值使得； ② ， ∵是一个整数， ∴是一个整数， 或， 解得：或或或1， 当时，意义；当或1时。不是无理数；当时，符合题意． 11．若分式方程 有增根，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根． 本题的增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值． 【详解】解：方程两边都乘，得， ∵增根为， ∴， ∴． 12．解关于的方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，灵活掌握解方程的方法是做题的关键．根据方程的构成发现规律，将原方程变形再计算即可． 【详解】解：原方程变形得，， 化简得，， ， ， ， ， 即， 解得，， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为． 13．已知关于x的分式方程：． (1)当时，请解这个分式方程； (2)若该分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）把代入方程计算即可求出解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】（1）解：当时，原方程为：， 方程两边同乘以得：， ， ． 经检验：是这个方程的解． 所以原方程的解是． （2）解：方程两边同乘以得：， ， 因为这个方程无解，所以，所以， 将代入，得，所以． 14．已知关于x的分式方程． (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 【答案】(1) (2)、1或3 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程求参数是解题的关键， （1）将代入，把分式方程去分母转化为整式方程，计算即可求出方程的解； （2）把分式方程去分母转化为整式方程，由于分式方程无解，得到或，解可求得一个的值，将，代入整式方程即可求出另外两个的值． 【详解】（1）解：当，方程为 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：把代入最简公分母得： ∴是原分式方程的解． （2）解：方程两边同乘得： 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴或， ①当时，； ②当时， 解得：或， 当时，； 当时，； ∴的值可能为、1或3. 15．阅读下列材料并解决问题：，，，，． (1)______ ______ (2)利用上述结论计算： ； (3)解方程：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解分式方程，分数的混合运算，理解题意，熟练掌握分数混合运算法则以及分式方程的解法是解题的关键． （1）将原式化为，即进行计算即可； （2）将原式化为…，即进行计算即可； （3）将原方程化为，再根据分式方程的解法进行解答即可． 【详解】（1）解：，，，…，， ； 故答案为：，； （2）解：原式… ； （3）解：， ， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分式方程的压轴问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解特殊分式方程 类型二、分式方程无解问题 类型三、新定义的分式方程 —攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 分式方程压轴问题是初中数学代数板块的核心重难点，所有题型均围绕“化归整式、增根辨析、参数讨论”三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是去分母转化必须严防漏乘与取值范围扩大，二是无解与特殊解判定必须严格区分整式方程无解与增根导致无解的分类讨论。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解特殊分式方程 典例1 方程的解是_______. 题型模版 一、分母相同或互为相反数型 题型特征：方程中多个分式的分母完全相同，或者互为相反数（如 与 ），直接去分母计算较为繁琐或易错。 解题技巧： 统一分母：若分母互为相反数，利用 提取负号，将分母化为相同形式。 直接去分母：在方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程。 规范检验：解出整式方程的根后，必须代入最简公分母检验，确保分母不为 。 二、分离常数（化带分式）型 题型特征：分子与分母中未知数的最高次数相同，且系数成比例（如 、 ），直接通分会导致计算量剧增。 解题技巧： 拆项变形：将分子凑成分母的形式，将分式拆分为“整数部分 + 真分式部分”（如 ）。 化简求解：分离常数后，方程两边的整数部分往往可以相互抵消，使方程大幅简化，再按常规方法求解。 三、倒数型（互为倒数关系） 题型特征：方程中含有形如 的结构，或者可以通过换元转化为这种结构。 解题技巧： 整体换元：设 ，将原方程转化为关于 的一元二次方程或简单方程。 求解回代：解出 的值后，再代回 ，去分母解出 的值。 注意范围：换元后需保证 ，且解出的 需满足换元条件。 四、连乘与裂项相消型 题型特征：方程的一边是多个分式的连乘，且分母呈现连续自然数或等差数列的乘积形式。 解题技巧： 裂项变形：利用公式 将每个分式拆开。 正负抵消：展开后观察，中间的项会两两相互抵消，通常只剩下首项和末项。 化简求解：将剩余项合并，得到一个简单的整式方程进行求解。 五、交叉相乘型（比例型） 题型特征：方程呈现 的形式，且 均为含未知数的代数式。 解题技巧： 交叉相乘：直接利用比例的基本性质，化为 的整式方程。 展开移项：展开括号，将所有项移到等号一边，合并同类项。 防增根：解出结果后，必须检验是否使原方程的分母 或 为 。 变式1-1计算下列各式： (1)___________； (2)___________； (3)___________． (4)试根据所学知识找到计算上面算式的简便方法，并利用你找到的简便方法求下面的等式中值： 变式1-2阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 变式1-3 类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，，，……，则依据此规律_______． ②请你利用拆项法进行因式分解：． (2)若，满足，求的值． (3)受此启发，解方程：． 类型二、分式方程无解问题 典例2 若关于x的方程的解为整数，且不等式组无解，则这样的非负整数a有（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 题型模版 一、产生增根型无解 题型特征：题目给出一个含有参数的分式方程，并明确告知该方程“无解”或“产生增根”，要求求出参数的值。 解题技巧： 去分母化整：将分式方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程。 令公分母为零：令最简公分母等于 ，解出可能产生增根的 的值。 代回求参：将求出的增根代入化简后的整式方程中，解出参数的值。 二、整式方程本身无解型 题型特征：分式方程去分母后得到的整式方程（通常为一元一次方程）本身无解，导致原分式方程也无解。 解题技巧： 化为标准形式：将去分母后的整式方程整理为 的形式。 利用无解条件：根据一元一次方程无解的条件，令未知数系数 且常数项 。 求解参数：由 解出参数值，并代入检验是否满足 。 三、增根与整式无解并存型（综合型） 题型特征：题目给出含参分式方程“无解”，但无解的原因既可能是因为产生了增根，也可能是因为化简后的整式方程本身无解。 解题技巧： 分类讨论：必须从两个角度分别求解。 情况一（增根）：令最简公分母为 求出可能的增根，代入整式方程求出对应的参数。 情况二（整式无解）：令整式方程的未知数系数为 ，且常数项不为 ，求出对应的参数。 合并结果：将两种情况求出的参数值综合起来，即为最终答案。 四、分式方程有解型（无解问题的逆向考查） 题型特征：给出含参分式方程“有解”或“解为正数/负数”，要求求参数的取值范围。 解题技巧： 正常求解：将分式方程化为整式方程，解出用参数表示的 的表达式。 排除增根：令求出的 不等于使最简公分母为 的值，排除导致无解的参数。 附加条件：根据题目要求（如解为正数），列出不等式（如 ），解出参数的范围。 综合取值：将不等式解集与排除增根的条件取交集。 变式2-1关于的分式方程无解，则的值为_____． 变式2-2已知分式方程，请在下列三个条件中任意选择一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 变式2-3若关于x的方程无解，求实数a的值． 类型三、新定义的分式方程 典例3 新定义：我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．阅读以上材料，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则 ， ； (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，且），求的值． 题型模版 一、新运算规则与分式方程结合型 题型特征：题目引入一种新的运算符号（如 ），并给出其代数法则，要求解关于 的分式方程（如 ）。 解题技巧： 翻译规则：严格按照题目给定的“新规则”，将新运算符号转化为常规的分式方程。 化简求解：利用分式方程的标准解法（去分母、解整式方程）进行求解。 双重检验：解出结果后，不仅要检验是否使原分式方程的分母为 ，还要检验是否满足新定义规则中的隐含条件（如新运算要求除数不能为 ）。 二、新概念条件与分式方程型 题型特征：给出一个全新的数学概念（如“关联数”、“和谐分式”），并附带特定的等式条件，要求根据该概念列出分式方程求解。 解题技巧： 精准转化：首先准确理解新概念的内涵，将其文字描述转化为含有未知数的分式等式。 规范去分母：在方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程。注意：不要与分式加减法的通分混淆，去分母时分母会消失。 防漏根：解出整式方程的根后，必须代入原分式方程的最简公分母中进行检验，防止增根。 三、程序流程与分式方程型 题型特征：以框图或流程图的形式，给出一个包含分式运算的数值处理程序，已知输入值或输出值，要求求另一个未知量。 解题技巧： 理清逻辑：顺着或逆着程序的执行逻辑，明确输入值与输出值之间的代数关系。 建立方程：根据程序中的运算步骤，列出包含未知数的分式方程。 条件验证：求出的解不仅要使分式有意义，还要符合流程图中所有的判断条件（如“若结果大于 ”），不符合则需舍去。 四、分式值为零与分式方程综合型 题型特征：给出一个含有参数的分式，结合新定义条件，要求该分式的值为 或满足特定方程。 解题技巧： 双条件限制：牢记分式值为 必须同时满足两个条件：① 分子等于 ；② 分母不等于 。 严禁盲目约分：在求解分式有意义的条件或分式为零的条件时，绝对不能先约分再求解。约分会改变未知数的取值范围，导致扩大取值范围而漏掉分母不为 的限制。 逻辑连词：注意“且”与“或”的区别。分母不为 时，各个因式均不能为 ，需用“且”连接（如 且 ）。 五、互为相反数代数式与分式方程型 题型特征：新定义的分式方程中，分母或分子出现互为相反数的代数式（如 与 ），要求化简或求解。 解题技巧： 符号变形：互为相反数的代数式可以约分，但在变形时必须注意符号。若为奇次方，变形时需多提取一个负号（如 ）；若为偶次方，则直接变形即可。 整体通分：遇到括号内的加减法，先通分计算括号内部。通分时可加括号将某一部分看作一个整体，避免符号出错。 步步为营：此类题目符号极易出错，一个符号错误会导致整道题全错，建议在草稿纸上清晰写出每一步的变形过程。 变式3-1材料：已知a、b均为不为0的常数，A是含x的一次整式，若分式的值为0，则或，因为，即，所以分式方程的两个解为、，我们把这样的方程称为“孪生分式方程”． 示例1：分式方程可写成，故此方程是“孪生分式方程”，所以该方程的两个解为：，，即，； 示例2：方程可写成，故此方程是“孪生分式方程”，所以该方程的两个解为：，，即，； 阅读以上材料，解答下列问题： (1)分式方程是“孪生分式方程”吗？请说明理由． (2)已知分式方程的两个解为，，求代数式的值； (3)已知关于x的分式方程，其中，该分式方程的两个解记为、，且满足，若的值为整数，求t的整数值． 变式3-2定义：若分式有意义，且满足，则称b是a的一个“优数”，并规定a的所有优数b的取值范围叫做a的“优数界”．例如：当时，由且，解得，所以3的“优数界”为． （1）当时，则的“优数界”为______． （2）已知分式方程的解为，若是m的一个“优数”，则m的取值范围为______． 变式3-3 定义：若分式与的和为（为正整数），则称分式、互为“阶分式”．例如：∵分式与的和为，∴分式与互为“阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数，互为倒数，为正整数，求证：分式与互为“阶分式”； (3)分式与互为“阶分式”，若为整数，则整数的值为__________ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A． B． C．或 D．或 2．现有以下四个说法：①分式是最简分式；②若分式的值为0，则的值为；③若关于的方程有增根，则的值为3；④若关于的方程无解，则的值为2．其中正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．关于x的分式方程无解，则m的取值范围（     ） A． B． C．且 D．或 4．设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的值为（     ） A．4 B．2 C．1 D．2或0 5．若分式方程无解，那么m的值应为_________． 6．设，，为非零实数． （1）若满足，，，则________； （2）若满足，，，则________． 7．若10，15，是按从小到大顺序排列的一组“调和数”，则的值为____________． 8．已知，且，则x的值为________． 9．阅读材料：对于非零实数，若关于的分式的值为零，则解得又因为所以关于的方程的解为 (1)方程的解为： (2)若关于的方程的解为求的值； (3)若关于的方程的解为，求的值． 10．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． (1)下列各式中，是根分式的是_______； A．    B．    C．    D． (2)写出根分式中的取值范围_______（直接写出答案）； (3)已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数x的值． 11．若分式方程 有增根，求k的值． 12．解关于的方程：． 13．已知关于x的分式方程：． (1)当时，请解这个分式方程； (2)若该分式方程无解，求的值． 14．已知关于x的分式方程． (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 15．阅读下列材料并解决问题：，，，，． (1)______ ______ (2)利用上述结论计算： ； (3)解方程：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $