22.5 分式方程（分层作业）数学新教材人教版五四制八年级上册

**基本信息** 本练习以分式方程为核心，构建“基础认知-综合应用-拓展探究”三层体系，通过概念辨析、解的讨论、实际建模及创新题型，系统巩固知识，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|分式方程定义辨析|选择题形式强化概念理解，培养抽象能力| |综合应用层|解的情况讨论、求解及实际问题（行程/工程/销售）|从计算到情境应用，提升运算能力与模型意识| |拓展探究层|新定义问题（和整分式/十字分式方程）|结合创新题型发展推理能力与创新意识|

22.5 分式方程 题型一 分式方程的定义 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程．熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 根据分式方程的定义逐一分析各方程是否符合条件． 【详解】方程①：，分母为a，但未知数是x，分母不含未知数，故不是分式方程． 方程②：，分母为和x，均含未知数x，是分式方程． 方程③：，分母为，是无理方程，不是分式方程． 方程④：，化简为，但原式分母为x，含未知数x，故属于分式方程． 综上，分式方程有②、④，共2个． 应选项B． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题关键是熟练掌握分式方程的定义． 由分式构成的方程即为分式方程，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母不含有未知数，不是分式方程，符合题意，选项正确． 故选：． 3．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 4．（24-25八年级上·广西贵港·期中）下列各式中是关于x的分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，分式方程的定义：①形如的式子；②其中，均为整式，且中含有字母.根据分式方程的定义，即可得出答案. 【详解】解：A. ，B. ，C. 都是整式方程，故不符合题意； D. 是分式方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型二 根据分式方程解的情况求值 1．（25-26八年级上·北京顺义·期中）已知关于的方程的解为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟知分式方程的解即为能使分式方程成立的未知数的值是解本题的关键． 将方程的解代入原方程，得到关于的分式方程，通过解分式方程得到的值，并验证分母不为零． 【详解】解：将代入方程， 得：，即， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 故是原方程的解． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）若关于的分式方程无解，则的值是 ． 【答案】2 【分析】此题考查已知分式方程的解求参数，分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是解出的根使原方程的分母为零（增根），本题需通过化整式方程并讨论增根情况求解 【详解】原方程为 ， 两边同乘 ，得：， 即 ， 若方程无解，则需 为增根，即 ，解得 ； 当 时，原方程化为 ，即 ，矛盾，方程无解， 综上， 时方程无解， 故答案为 2 3．（25-26八年级上·山东聊城·期中）已知关于的方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程有增根时参数的值．先去分母，将方程化为整式方程，根据方程有增根得到，，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， ∵原分式方程有增根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 题型三 解分式方程 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）方程两边同乘，将方程转化为整式方程，求解并检验即可； （2）方程两边同乘，将方程转化为整式方程，求解并检验即可 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴是该分式方程的解． （2）解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， 解得， 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法，是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 3．（25-26八年级上·广东深圳·月考）解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】此题考查解分式方程，先去分母化为整式方程，求出解后检验即可，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）方程两边同时乘，将分式方程化简，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边同时乘，将分式方程化简，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 两边同时乘，得， 去括号，合并同类项得， 移项，合并同类项得， 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴原方程的解为； （2）解：， 两边同时乘，得， 去括号，得， 移项，合并同类项得， 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 4．（25-26八年级上·湖南永州·月考）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) 无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，注意解分式方程最后要进行检验． （1）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后进行检验即可； （2）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 整理得， 解得， 经检验，时，， 原方程无解； （2）解：， ， 方程两边同乘，得， 整理得， 解得， 经检验，时，， ∴原方程的解为． 题型四 分式方程无解问题 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程：． (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 【答案】(1)或4 (2)且 【分析】（1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答； （2）通过解分式方程得到x的值，然后根据已知条件列出关于m的不等式，通过解不等式可以求得m的值． 本题考查了分式方程的解法，以及分式方程无解的问题，理解分式方程无解的条件是解题的关键． 【详解】（1）由原方程，得， ①整理，得， 当即时，原方程无解； ②当分母即时，原方程无解， 故， 解得， 综上所述，或4； （2）由（1）得到， 当时．， 解得， 由（1）知：时，原方程无解； 所以综上所述，且． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查分式方程的增根及无解，关键是将分式方程化为整式方程，结合增根的定义（使分母为的根）分析，易错点是混淆“增根导致无解”与“整式方程本身无解”的情况． （1）先将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求； （2）分“整式方程无解”和“整式方程的解是增根”两种情况求． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得： 整理得： 将增根代入整式方程： 解得 （2）分式方程无解分两种情况： 情况 1：整式方程无解 当时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时； 情况 2：整式方程的解是增根 增根为（使分母为的根），由（1）知此时； 所以的值为或． 3．（25-26八年级上·山东·课后作业）若分式方程 有增根，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根． 本题的增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值． 【详解】解：方程两边都乘，得， ∵增根为， ∴， ∴． 4．（2023八年级上·湖南永州·竞赛）已知关于x的方程无解，求的值． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了分式方程无解，先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，当的系数为0时，方程无解，求出的值；当的系数不等于0时，求出方程的解，最简公分母等于0时方程无解，求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得，， 整理得，， 由于原方程无解，故有以下两种情形： （1）若整式方程无实数根，则且， 此时 ， （2）若整式方程的解是原方程的增根，则， 解得 ， 综上所述，可取或1． 题型一 分式方程的行程问题 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）某校组织八年级师生乘大巴车前往红色教育基地开展研学活动，原计划路程为千米．因道路维修临时改道，从学校到基地的实际行驶路程为千米，大巴车的平均速度降低为原计划的，最终行程用时比原计划多了分钟．求大巴车原计划的平均速度． 【答案】原计划大巴车平均每小时行驶千米 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设原计划大巴车平均每小时行驶x千米，则实际大巴车平均每小时行驶千米，列分式方程，然后即可求解； 【详解】解：设原计划大巴车平均每小时行驶x千米，则实际大巴车平均每小时行驶千米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划大巴车平均每小时行驶千米． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）列方程解应用题 高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式．某地去北京原来只有动车，动车路程为610公里．高铁开通后，路程缩短了100公里，高铁的平均速度比动车的平均速度快了82公里/小时，时间缩短为原来的一半．问高铁的平均速度为多少公里/小时？ 【答案】204公里/小时 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 【详解】设高铁的平均速度为x公里/小时，          解：，     检验：当时，． 所以 是原方程的解，且符合题意，     答：高铁的平均速度为204公里/小时． 3．（25-26八年级上·广西桂林·期中）无人机除军事用途外，因在尺寸、速度和机动性等方面的独特优势，使得无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分秒，刷新了扑翼无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器的时速是“云鹗”仿生飞行器时速的倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鹗”仿生飞行器少用5分钟． (1)“信鸽”仿生飞行器的速度是多少千米/时？ (2)已知“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分秒，且“云鹗”仿生飞行器的续航时间与“信鸽”相同，求在各自续航的时间内，“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行多少千米？（结果精确到） 【答案】(1)千米/小时 (2)千米 【分析】本题考查分式方程的应用，有理数的运算的实际应用，精确度，掌握相关知识解决问题的关键． （1）设“云鹗”仿生飞行器的速度为千米/时，则“信鸽”的速度为千米/时，表示出各自飞5千米的时间，以“信鸽”仿生飞行器飞行5千米比“云鹗”仿生飞行器少用5分钟为等量关系列方程即可； （2）将3小时5分30秒换算为以小时为单位，分别计算两者飞行的路程，然后做差即可，最后按题目要求进行精确． 【详解】（1）解：设“云鹗”仿生飞行器的速度为千米/时，则“信鸽”的速度为千米/时， 解得 经检验，是原方程的解， 则“信鸽”的速度为千米/时； 答：“信鸽”仿生飞行器的速度是千米/时． （2）解：3小时5分30秒小时， “信鸽”飞行的路程：千米， “云鹗”飞行的路程：千米， 多飞行的路程：千米． 答：“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行约千米． 4．（25-26八年级上·河北保定·期中）科技节期间，学校组织八年级学生乘坐大巴前往科技馆参观，手机导航推荐了两条路线，如下表所示： 平均行驶速度 行驶时间 全程 路线一 x 80 路线二 88 (1)若设大巴车在路线一中的平均行驶速度为，请用含的代数式将表格补充完整； (2)若路线二行驶的时间比路线一少，求大巴车分别在两条路线上行驶时的平均速度． 【答案】(1) (2)大巴车在路线一上行驶时的平均速度是，在路线二上行驶时的平均速度是 【分析】本题主要考查了分式方程的应用， （1）根据时间=路程÷速度求解即可； （2）设路线一上平均时速为x千米/小时， 则路线二上行驶的平均时速为千米/小时，根据路线二行驶的时间比路线一少列出分式方程并求解即可得出答案． 【详解】（1）路线一的行驶时间是：， 路线二的行驶时间是：； 故答案为：，． （2）由题意可列方程：= 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际， ∴， 答：大巴车在路线一上行驶时的平均速度是，在路线二上行驶时的平均速度是． 题型二 分式方程的工程问题 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）（列分式方程解答）甲、乙两个工程队共同完成一项铺设天然气管道的工程，已知甲队单独完成这项工程需要天．若甲、乙两队合作天后，乙队再单独做天可完成全部工程．求乙队单独完成这项工程需要多少天？ 【答案】天 【分析】本题考查的是分式方程的工程问题，工程问题中三个量的关系为工作量工作效率工作时间，工作全部完成工作量是，理解题意列出方程是问题求解的关键． 先设乙队单独完成这项工程需要天，结合题目已知条件得甲队每天可完成工程的，乙队每天可完成工程的，列方程，求解方程得到，进而完成求解． 【详解】解：设乙队单独完成这项工程需要天， 根据题意列方程，， 解得：． 答：乙队单独完成这项工程需要天． 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）列分式方程解应用题：一台插秧机的工作效率相当于一个农民工作效率的120倍，用这台机器插秧8公顷水稻比80个农民人工插秧这些水稻要少用2小时．一个农民每小时插秧多少公顷水稻？ 【答案】 一个农民每小时插秧公顷 【分析】本题考查分式方程的应用，通过设未知数表示工作效率，根据时间差建立方程求解． 【详解】解：设一个农民每小时插秧公顷，则插秧机每小时插秧公顷， 插秧机插秧8公顷所需时间为小时，80个农民插秧8公顷所需时间为小时， 根据题意，， 化简得， 即， ， 解得． 经检验，是原方程的解， 答：一个农民每小时插秧公顷． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元 【分析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天, 根据题意得:， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）解：设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：， 需要施工费用：（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 4．（25-26八年级上·河北沧州·期中）某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求： (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 【答案】(1)甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天 (2)①从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队；②从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理的甲工程队 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，列出分式方程，解方程即可； （2）①根据（1）中的结果比较即可解答；②根据（1）中的结果求出甲单独完成，乙单独完成的费用比较，再结合暑假时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队天， 由题意：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 则（天）， 答：甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天； （2）解：①由（1）知甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天， ， ∴甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成， 从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队； ②若甲单独完成，其费用为：（元）， 若乙单独完成，其费用为：（元）， ， ∴从资金的角度考虑，学校应选择甲工程队，且甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成． 综上，从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理的甲工程队． 题型三 分式方程的销售问题 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）玩具店用5000元第一次从外地购进了一批玩具．由于销路好，玩具店又用18600元购进了第一次3倍数量的同样玩具，但第二次比第一次每个玩具的进价贵了24元．玩具店在出售该玩具时统一按照每个200元的标价出售，对最后剩下的60个，玩具店按标价的5折进行了清仓处理． (1)求玩具店两次分别购进了多少个玩具； (2)若两次购进的玩具全部售完，求玩具店的盈利情况． 【答案】(1)玩具店两次分别购进了50个和150个玩具 (2)玩具店共获利10400元 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键． （1）设玩具店第一次购进x个，则第二次购进个，根据题意．列出方程并解方程即可求解； （2）根据销售这两批玩具的总收入总成本所获利润，即可得到答案． 【详解】（1）解：设玩具店第一次购进x个，则第二次购进个，由题意得 ． 解得，． 经检验，是分式方程的解． 个， 所以，玩具店两次分别购进了50个和150个玩具． （2）解：个， 元． 所以，玩具店共获利10400元． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． (1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【答案】(1)每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元 (2)该商场购进甲、乙两种商品有2种方案：①购进甲种商品67个，乙种商品24个；②购进甲种商品70个，乙种商品25个． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个乙种商品的进价是元，则每个甲种商品的进价是元，根据用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，根据乙的数量不超过25个，销售两种商品的总利润超过380元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设每个乙种商品的进价是元，则每个甲种商品的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元． （2）解：设购进乙种商品个，则购进甲种商品个， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 或25， 该商场购进甲、乙两种商品有2种方案： ①购进甲种商品67个，乙种商品24个； ②购进甲种商品70个，乙种商品25个． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）“如果你有时间，你一定要来一趟岳阳，吹吹洞庭湖的晚风，逛逛灯火璀璨的汴河街，看看啃笋打盹的熊猫”，节假日里，岳阳这座城市吸引了国内外很多游客，岳阳中华大熊猫苑游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，熊猫苑某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品的数量相同，每件款文创产品的进价比款文创产品的进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价； (2)根据市场需求，该商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，求款文创产品最多购进多少件？ 【答案】(1)款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元 (2)件 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式、分式方程是解题的关键； （1）设款文创产品每件的进价是元，则款文创产品每件的进价是元；根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件；根据题意列出不等式，求得整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设款文创产品每件的进价是元，则款文创产品每件的进价是元， 由题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 元 答：款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元 （2）设购进件种文创产品，则购进件种文创产品，由题意得： 解得： 答：最多可以购进件种文创产品． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 (2)最多能购买个型号的纪念品 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买个型号的纪念品． 题型四 分式方程的其他实际问题 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． （1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大． 2．（24-25八年级上·吉林·期末）某校组织“书香校园”读书活动，八年一班班主任推荐给同学们一本好书．已知小王同学比小李同学每天多阅读6页，王同学阅读90页书所用时间与李同学阅读60页书所用时间相等．求王同学和李同学乙每天各阅读多少页． 【答案】王同学每天读书18页，李同学每天读书12页 【分析】本题考查了分式方程的应用，设小李同学每天阅读书x页，则小王同学每天阅读页，根据“王同学阅读90页书所用时间与李同学阅读60页书所用时间相等”列出分式方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设小李同学每天阅读书x页，则小王同学每天阅读页， 根据题意，得， 解得． 经检验：是原方程的解． ∴． 答：王同学每天读书18页，李同学每天读书12页． 3．（2024·北京·模拟预测）小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 【答案】小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意可以列出相应的分式方程，然后根据解分式方程的方法即可解答本题． 【详解】解：设小芳家选择住在乐园内，预计在迪士尼乐园游玩x天，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期末）以下素材，完成相关任务． 素材1 某果园有布鲁克斯和明5-5两种樱桃供游客采摘，采摘布鲁克斯比明5-5每千克少3元，小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5-5的1.25倍． 素材2 该果园提供运送服务，从果园寄送到A市按重量收费，当樱桃重量不超过6千克时，需要运费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克． (1)任务1：求在该果园采摘明的单价， (2)任务2：若寄送8千克樱桃运费为42元，求出m的值； (3)任务3：若使用该果园运送服务，小智将15千克采摘的樱桃寄送给A市的朋友，则运费最少需________元．（可一次寄送也可分多次寄送） 【答案】(1)该果园采摘明5-5的单价是15元/千克 (2)m的值为6 (3)78 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：任务一：找准等量关系，正确列出分式方程；任务二：找准等量关系，正确列出一元一次方程；任务三：根据各数量之间的关系，求出分一次、二次及三次寄送所需费用． 任务一：设在该果园采摘明的单价是x元/千克，则在该果园采摘布鲁克斯的单价是元/千克，利用数量=总价÷单价，结合“小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明的1.25倍”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）根据寄送8千克樱桃运费为42元，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）分一次、二次及三次寄送所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设在该果园采摘明的单价是x元/千克，则在该果园采摘布鲁克斯的单价是元/千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：在该果园采摘明5-5的单价是15元/千克； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：m的值为6； （3）解：分一次寄送所需运费为（元）； 分两次寄送（且两次均不低于6千克）所需运费为（元）； 分三次寄送（且每次均不超过6千克）所需运费为（元）， ∵， ∴运费最少需78元． 故答案为：78． 1．（25-26八年级上·北京昌平·期中）阅读下列材料并解决问题：，，，，． (1)____________ (2)利用上述结论计算： ； (3)解方程：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解分式方程，分数的混合运算，理解题意，熟练掌握分数混合运算法则以及分式方程的解法是解题的关键． （1）将原式化为，即进行计算即可； （2）将原式化为…，即进行计算即可； （3）将原方程化为，再根据分式方程的解法进行解答即可． 【详解】（1）解：，，，…，， ； 故答案为：，； （2）解：原式… ； （3）解：， ， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)2 (2)①；②1 (3)或 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式化简求值，分式方程无解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先求，再得出“和整值”； （2）①先求得，再根据与互为“和整分式”，且“和整值”，求得所代表的代数式； ②先求得，再根据题意求出的值； （3）先由（2）求出代入，得到分式方程，再分与两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴与互为“和整分式”， ∴“和整值”； （2）①∵，， ∴， ∵与互为“和整分式”，且 “和整值”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴，且， ∴，且， ∵分式的值为正整数， ∴，且，正整数， ∴可以取1，2， 当时，， 当时，， 又为正整数， ∴不符合， 故； （3）由（2）得， ∴ ∵，，， ∴， 情况1：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，方程无解， 此时； 情况2：当时，方程有增根， 则增根为， 将代入， 得， 解得：； 综上所述，或． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求代数式的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为、，其中，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查解分式方程、分式的化简求值，正确理解“十字分式方程”的定义是解题的关键． （1）根据“十字分式方程”的定义进行求解即可； （2）根据题意得，、，通过提公因式和完全平方公式进行化简计算即可； （3）关于x的“十字分式方程”转换为关于的 “十字分式方程”，再进行化简求值即可． 【详解】（1）解：可化为， 则， 故答案为：，； （2）解：根据题意得，的两个解分别为，， 则、， ； （3）解：可化为， 设，则原方程可化为， 令的解为、， 由于可得，， 则、， ， 由于， 则， 解得、， ∵， 即、， 则、， 因此，． 4．（25-26八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可． （3）根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③错误； 故答案为：①； （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； （3）解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.5 分式方程 题型一 分式方程的定义 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 4．（24-25八年级上·广西贵港·期中）下列各式中是关于x的分式方程的是（    ） A． B． C． D． 题型二 根据分式方程解的情况求值 1．（25-26八年级上·北京顺义·期中）已知关于的方程的解为0，则的值为 ． 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）若关于的分式方程无解，则的值是 ． 3．（25-26八年级上·山东聊城·期中）已知关于的方程有增根，则 ． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为 ． 题型三 解分式方程 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）解分式方程： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解分式方程： (1) (2) 3．（25-26八年级上·广东深圳·月考）解下列分式方程： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·湖南永州·月考）解分式方程： (1) (2) 题型四 分式方程无解问题 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程：． (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 3．（25-26八年级上·山东·课后作业）若分式方程 有增根，求k的值． 4．（2023八年级上·湖南永州·竞赛）已知关于x的方程无解，求的值． 题型一 分式方程的行程问题 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）某校组织八年级师生乘大巴车前往红色教育基地开展研学活动，原计划路程为千米．因道路维修临时改道，从学校到基地的实际行驶路程为千米，大巴车的平均速度降低为原计划的，最终行程用时比原计划多了分钟．求大巴车原计划的平均速度． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）列方程解应用题 高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式．某地去北京原来只有动车，动车路程为610公里．高铁开通后，路程缩短了100公里，高铁的平均速度比动车的平均速度快了82公里/小时，时间缩短为原来的一半．问高铁的平均速度为多少公里/小时？ 3．（25-26八年级上·广西桂林·期中）无人机除军事用途外，因在尺寸、速度和机动性等方面的独特优势，使得无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分秒，刷新了扑翼无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器的时速是“云鹗”仿生飞行器时速的倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鹗”仿生飞行器少用5分钟． (1)“信鸽”仿生飞行器的速度是多少千米/时？ (2)已知“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分秒，且“云鹗”仿生飞行器的续航时间与“信鸽”相同，求在各自续航的时间内，“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行多少千米？（结果精确到） 4．（25-26八年级上·河北保定·期中）科技节期间，学校组织八年级学生乘坐大巴前往科技馆参观，手机导航推荐了两条路线，如下表所示： 平均行驶速度 行驶时间 全程 路线一 x 80 路线二 88 (1)若设大巴车在路线一中的平均行驶速度为，请用含的代数式将表格补充完整； (2)若路线二行驶的时间比路线一少，求大巴车分别在两条路线上行驶时的平均速度． 题型二 分式方程的工程问题 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）（列分式方程解答）甲、乙两个工程队共同完成一项铺设天然气管道的工程，已知甲队单独完成这项工程需要天．若甲、乙两队合作天后，乙队再单独做天可完成全部工程．求乙队单独完成这项工程需要多少天？ 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）列分式方程解应用题：一台插秧机的工作效率相当于一个农民工作效率的120倍，用这台机器插秧8公顷水稻比80个农民人工插秧这些水稻要少用2小时．一个农民每小时插秧多少公顷水稻？ 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 4．（25-26八年级上·河北沧州·期中）某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求： (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 题型三 分式方程的销售问题 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）玩具店用5000元第一次从外地购进了一批玩具．由于销路好，玩具店又用18600元购进了第一次3倍数量的同样玩具，但第二次比第一次每个玩具的进价贵了24元．玩具店在出售该玩具时统一按照每个200元的标价出售，对最后剩下的60个，玩具店按标价的5折进行了清仓处理． (1)求玩具店两次分别购进了多少个玩具； (2)若两次购进的玩具全部售完，求玩具店的盈利情况． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． (1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）“如果你有时间，你一定要来一趟岳阳，吹吹洞庭湖的晚风，逛逛灯火璀璨的汴河街，看看啃笋打盹的熊猫”，节假日里，岳阳这座城市吸引了国内外很多游客，岳阳中华大熊猫苑游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，熊猫苑某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品的数量相同，每件款文创产品的进价比款文创产品的进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价； (2)根据市场需求，该商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，求款文创产品最多购进多少件？ 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 题型四 分式方程的其他实际问题 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 2．（24-25八年级上·吉林·期末）某校组织“书香校园”读书活动，八年一班班主任推荐给同学们一本好书．已知小王同学比小李同学每天多阅读6页，王同学阅读90页书所用时间与李同学阅读60页书所用时间相等．求王同学和李同学乙每天各阅读多少页． 3．（2024·北京·模拟预测）小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 4．（24-25八年级下·河南郑州·期末）以下素材，完成相关任务． 素材1 某果园有布鲁克斯和明5-5两种樱桃供游客采摘，采摘布鲁克斯比明5-5每千克少3元，小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5-5的1.25倍． 素材2 该果园提供运送服务，从果园寄送到A市按重量收费，当樱桃重量不超过6千克时，需要运费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克． (1)任务1：求在该果园采摘明的单价， (2)任务2：若寄送8千克樱桃运费为42元，求出m的值； (3)任务3：若使用该果园运送服务，小智将15千克采摘的樱桃寄送给A市的朋友，则运费最少需________元．（可一次寄送也可分多次寄送） 1．（25-26八年级上·北京昌平·期中）阅读下列材料并解决问题：，，，，． (1)____________ (2)利用上述结论计算： ； (3)解方程：． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求代数式的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为、，其中，，求的值． 4．（25-26八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $