专题05 圆（解决问题专项讲义）数学苏教版六年级上册（新教材）

专题05 圆（解决问题专项讲义） 题型01 运用圆的概念及特点解决问题 题型02 运用弧、圆心角及扇形的认识解决问题 题型03 运用圆的周长解决问题 题型04 运用圆的面积解决问题 题型05 运用圆环的面积解决问题 题型06 运用圆的面积的特殊应用解决问题 题型01 运用圆的概念及特点解决问题 一、运用圆的概念及特点解决问题 基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意识别目标圆的核心特征，先算出圆的核心基准量（半径、直径），再结合圆的基本性质完成运算，最终得到正确结果。比如在长方形里剪最大的圆，先确定圆的直径等于长方形的宽，再算出半径，后续就能直接代入周长、面积公式计算。 2、‌特殊速算技巧‌ 当圆的半径是整厘米、整米的整数数值时，可直接依托常用π值表口算核心乘积，比如半径为5米的圆，直接口算3.14×25，快速得出面积78.5平方米，不用分步笔算。 3、‌结果预判规律‌ 圆上所有点到圆心的距离处处相等，车轮滚动时圆心的运动轨迹是一条水平直线；在长方形里剪圆，能剪出的圆的总个数一定小于“长方形面积÷单个圆面积”的理论值，解题前先预判结果的大致范围，避免出现用面积相除算圆个数的低级错误。 二、运用圆的概念及特点解决问题 进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“画圆、找圆心”的场景，直接利用圆规两脚间距等于半径的规则操作，通过对折圆形纸片2次，两条折痕的交点就是圆心；遇到“长方形/正方形内画最大圆、剪圆片”的场景，先锁定最大圆的直径等于图形的最短边，再分别计算长、宽方向能容纳的圆的直径数量，两个数值相乘就是最多能剪出的圆的总个数，不用反复调整计算思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到“井盖设计、车轮做成圆形”这类生活原理题，直接匹配“圆上的点到圆心距离处处相等”的核心性质，就能快速选出正确答案；遇到“多个等圆拼接”的图形题，直接数出线段里包含的半径段数，用总长度除以段数快速算出单段半径，比逐段推导效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知圆规两脚的间距，直接得到圆的半径，就能快速算出直径、周长和面积；已知组合图形的对称轴数量要求，通过调整圆的圆心位置、半径大小，就能画出符合指定对称轴数量的组合图形，适配各类缺条件的操作类题型。 【典例1】“寂静狩猎者”成功击落无人机，意味着中国激光武器世界领先。如图是激光武器的主炮平面模型，若长方形的面积是24平方厘米，则圆的半径是多少厘米？ 【答案】1.5厘米 【分析】已知长方形面积和长，根据长方形面积公式，计算得到长方形的宽。 观察图形可知，长方形的宽等于圆的直径加上左右两侧2个0.5厘米的长度，因此用长方形的宽减去两个0.5厘米，得到圆的直径。 根据同圆内半径和直径的关系，计算得到圆的半径。 【解答】 （厘米） 答：圆的半径是1.5厘米。 【专项训练1】一张长方形红色纸片的长是24厘米，宽是18厘米。李老师准备从上面剪下半径是3厘米的圆形纸片做花瓣，她最多能剪下多少个这样的圆形纸片？ 【答案】12个 【分析】边角余料无法拼成完整的圆，不能直接用面积相除计算个数，需先求出圆的直径，再分别计算长、宽方向能放置的圆的数量，最后相乘得到总个数。 【解答】圆的直径：（厘米） 长方向可剪数量：（个） 宽方向可剪数量：（个） 总数量：（个） 答：她最多能剪下12个这样的圆形纸片。 【专项训练2】妈妈想为家中的圆桌面铺上一片和桌面一样大的保护垫，她需要知道什么数据？ 【答案】圆桌的半径或直径。 【分析】圆桌桌面是圆形，要制作和它一样大的保护垫，就是要做一个与桌面大小相同的圆形。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，保护垫的圆心也就是圆桌的圆心，保护垫的半径也就是圆桌的半径，所以需要知道圆的半径，知道直径也能求出半径。 【解答】知道圆桌的半径，可以直接按这个半径制作圆形保护垫；知道直径，也可以用直径除以2求出半径。 答：需要知道圆桌的半径或直径。 【专项训练3】如图，在一张长方形铁皮上剪下两个半径为2.5厘米的圆后，剩余部分恰好是一个正方形。求原长方形的面积。 【答案】150平方厘米 【分析】已知圆的半径是2.5厘米，直径＝半径×2，也就是厘米。 推导原长方形的宽：两个圆上下叠放，总高度就是2条直径的长度，也就是厘米。因为剩下的部分是正方形，正方形的边长相等，说明原长方形的宽就等于这个正方形的边长，也就是10厘米。 原长方形的长＝正方形的边长＋1条圆的直径，也就是厘米 计算长方形面积：长方形面积＝长×宽，即平方厘米。 【解答】原长方形的宽2.5×4＝10（厘米） 原长方形的长10＋2.5×2 ＝10＋5 ＝15（厘米） 原长方形的面积15×10＝150（平方厘米） 答：原长方形的面积是150平方厘米。 【专项训练4】下图为2022年北京冬奥会奖牌——“同心”。它的形象来源于中国古代同心圆玉璧，共设五环。五环同心，同心归圆，表达了“天地合·人心同”的中华文化内涵，也象征着奥林匹克精神将世界人民聚集在一起，共享奥运荣光。 请用喜欢的方式说明你是如何找到“同心”奖牌所在圆的圆心。 【答案】将“同心”奖牌拓印在纸上，并将拓印后的“同心”奖牌画剪下来，再对折两次，两条折痕相交的那个点，即是“同心”奖牌所在圆的圆心。（方法不唯一。） 【分析】圆中心的那个点即圆心，所有直径都相交于圆心，将一个圆形纸片至少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心。 【解答】将“同心”奖牌拓印在纸上，并将拓印后的“同心”奖牌画剪下来，再对折两次，两条折痕相交的那个点，即是“同心”奖牌所在圆的圆心。（方法不唯一。） 题型02 运用弧、圆心角及扇形的认识解决问题 一、运用弧、圆心角及扇形的认识解决问题 基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先识别目标图形的核心特征，先算出扇形的两个核心基准量：半径和圆心角度数，再结合弧长、扇形占比的对应关系完成运算，最终得到弧长、扇形的周长或面积结果。比如计算挂钟分针走20分钟扫过的扇形，先确定分针长度是半径，再算出20分钟对应的圆心角是120°，再代入公式算出弧长和扇形面积。 2、‌特殊速算技巧‌ 当扇形的圆心角是360°的整分数时，比如90°、120°、180°，可直接用整圆的周长、面积乘对应的分数（1/4、1/3、1/2），快速口算核心结果，不用分步硬算弧长公式。比如半径6米、圆心角120°的扇形，直接口算3.14×6²×1/3，快速得出面积37.68平方米。 3、‌结果预判规律‌ 同一个圆里，扇形的圆心角越大，对应的弧长、扇形面积就越大；扇形的周长一定大于同半径圆周长的对应占比部分，必须额外加上两条半径的长度，解题前先预判结果的大致范围，避免出现漏加两条半径、把圆心角算成360°的低级错误。 二、运用弧、圆心角及扇形的认识解决问题 进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“判断扇形、识别圆心角”的场景，直接匹配“顶点在圆心、两条边是半径”的核心标准快速辨析；遇到“钟面、日晷等分圆盘”的场景，先把整圆360°除以总等分数，算出单个小扇形的圆心角，再根据指针转动的格数算出对应圆心角，不用反复调整推导思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到多个等半径扇形拼接的场景，直接把所有扇形的圆心角相加，圆心角总和凑够360°就直接按整圆计算总弧长、总面积，比如三个半径都是2厘米、圆心角都是120°的扇形，总弧长直接按整圆周长计算，比逐段计算效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知扇形的周长和半径，可直接反向算出弧长，再反推对应的圆心角度数；已知扇形的面积和圆心角，可反向算出对应整圆的面积，进而反推出半径长度，适配各类缺条件的图形题。比如已知半径3厘米的扇形周长是10.71厘米，直接用“弧长=扇形周长-2×半径”算出弧长，再反推出圆心角是60°。 【典例2】画一个半径是1厘米的圆，再在圆中分别画一个圆心角是150°和60°的扇形，这两个扇形的大小关系是什么？说出你的依据。 【答案】见详解；圆心角是150°的扇形大于圆心角是60°的扇形；同一个圆中，圆心角越大，扇形就越大 【分析】画圆的方法：①把圆规的两脚分开，以半径为两脚间的距离；②以一个点为圆心，以半径的长度画圆。③把有针尖的一只脚固定在圆心上。④把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。以画出的圆的圆心为扇形的顶点，然后画出一条半径，再利用量角器画出另一条半径即可画出圆心角是150°的扇形，同理也可以画出圆心角是60°的扇形。同一个圆中，圆心角越大，扇形就越大。 【解答】如图： 答：圆心角是150°的扇形大于圆心角是60°的扇形。是同一个圆中，圆心角越大，扇形就越大。 【专项训练1】把一个圆分成两个扇形，其中大扇形的圆心角度数是小扇形圆心角的4倍。大、小扇形的圆心角各是多少度？各占圆的几分之几？ 【答案】大扇形288度；小扇形72度；大扇形占；小扇形占 【分析】已知一个圆分成两个扇形，其中大扇形的圆心角度数是小扇形圆心角的4倍，可以把小扇形圆心角的度数看作1份，则大扇形圆心角的度数是4份，一共是（1＋4）份； 圆周角是360度，用圆周角除以总份数，求出一份数，即小扇形圆心角的度数，再乘4即是大扇形圆心角的度数； 用小扇形的份数除以总份数，求出小扇形占圆的几分之几； 用大扇形的份数除以总份数，求出大扇形占圆的几分之几。 【解答】4＋1＝5（份） 小扇形： 360÷5＝72（度） 1÷5＝ 大扇形： 72×4＝288（度） 4÷5＝ 答：大扇形的圆心角是288度，小扇形的圆心角是72度。大扇形占圆的，小扇形占圆的。 【专项训练2】如下图，李师傅从一张三角形铁皮上剪下三个扇形，将这三个扇形拼在一起，这三个扇形的面积和是多少平方厘米？ 【答案】39.25平方厘米 【分析】观察图形可知，将三个扇形拼在一起，是一个半圆，根据圆的面积公式：，求出半径是5厘米的圆的面积，再除以2即可。 【解答】将三个扇形拼在一起，是一个半圆，可得： 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 答：这三个扇形的面积是39.25平方厘米。 【点睛】熟记圆的面积计算公式，是解答此题是关键。 【专项训练3】草地上有一间边长4米的正方形木屋，在木屋一条边的中点位置，用6米长的绳子拴着一只羊。这只羊能吃到的草地面积是多少平方米？ 【答案】81.64平方米 【分析】羊的活动区域可分为三部分：一是以拴点为圆心、6米为半径的半圆（背对木屋的一侧，无遮挡）；二是分别以木屋该边的两个墙角为圆心、剩余绳长为半径的两个圆心角为90°的扇形（木屋两侧的区域，绳子被墙角挡住后形成）。将三部分面积相加即可得到总面积。 【解答】拴点到同侧两个墙角的距离：（米） 半径6米的半圆面积： （平方米） 绳子绕过墙角后剩余的长度：（米） 单个小扇形（圆心角为90°，即圆）的面积： （平方米） 两个小扇形的总面积：（平方米） 羊能吃到的草地总面积：（平方米） 答：这只羊能吃到的草地面积是81.64平方米。 【专项训练4】如图是一把真丝扇面（涂色部分）的折扇，做这样的一把折扇，至少需要真丝布料多少平方分米？ 【答案】12.56平方分米 【分析】求半圆环的面积，涂色部分是半径为3分米的大半圆减去半径为（3－2＝1）分米的小半圆的部分，利用半圆面积公式，π取3.14，用大半圆面积减去小半圆面积，即可求出需要的真丝面料面积。 【解答】3－2＝1（分米） ×3.14×－×3.14× ＝×3.14×9－×3.14×1 ＝×3.14×（9－1） ＝×3.14×8 ＝×8×3.14 ＝4×3.14 ＝12.56（平方分米） 答：至少需要真丝布料12.56平方分米。 题型03 运用圆的周长解决问题 一、运用圆的周长解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意识别目标场景对应的圆的特征，先算出圆的核心基准量半径或直径，再代入圆周长的标准公式完成运算，最终得到对应路径的总长度。比如计算圆形花坛围一圈护栏的总长度，先找到花坛的直径，再用“C=πd”直接算出护栏的总长度。 2、‌特殊速算技巧‌ 当圆的直径是整厘米、整米的整数数值时，可直接依托常用π值表口算核心乘积，不用分步笔算。比如直径是8米的圆形喷水池，直接口算3.14×8，快速得出周长25.12米。 3、‌结果预判规律‌ 同一个圆的周长一定是直径的3倍多一点，绝对不会小于直径的3倍，也不会超过直径的4倍；半圆的周长一定大于同半径整圆周长的一半，必须额外加上一条直径的长度，解题前先预判结果的大致范围，避免出现漏加直径、把半径直接代入C=πd的低级错误。 二、运用圆的周长解决问题 进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“圆形物体滚动一圈的路程”场景，直接匹配“滚动路程等于圆的周长”的核心规律列式；遇到“跑道跑一圈”场景，总周长等于两个直道长度加上两个半圆拼成的整圆周长，先锁定核心的圆弧部分计算模块，再合并直道部分的长度，不用反复调整拆分思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到多个等圆拼接的组合图形周长题，先描出外围轮廓，把零散的圆弧拼接成整圆、半圆，直接按整圆周长计算，比逐段硬算效率高很多。比如4个半径相同的圆，外围轮廓的圆弧刚好凑成一个整圆，直接算出整圆周长再加上外围的直线段即可。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知圆的周长，可直接反向代入公式反推直径和半径，适配各类缺条件的实际场景题。比如已知自行车轮胎滚动一周前进1.884米，可直接用“直径=周长÷π”快速算出轮胎直径是0.6米。 【典例3】如图是丽丽用圆规画的心形祝福卡设计图，她想在“心形”边缘处贴上一圈红色丝线。至少需要准备多少厘米红色丝线？ 【答案】50.24厘米 【分析】心形的一周长度共有8个圆的长度，正好是2个圆的周长，根据圆的周长公式C＝2πr，再乘2即可解答。 【解答】2×3.14×4×2 ＝6.28×4×2 ＝25.12×2 ＝50.24（厘米） 答：至少需要准备50.24厘米红色丝线。 【专项训练1】福建土楼是中国福建省传统民居建筑。假期里，龙龙一家到土楼旅游，龙龙绕圆形土楼走一周，大约走了188.4米，这栋土楼的底面半径是多少米？ 【答案】30米 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr，可推出r＝C÷π÷2，计算即可。 【解答】 ＝60÷2 ＝30（米） 答：这栋土楼的底面半径是30米。 【专项训练2】为创建特色小镇，助力乡村振兴，某市修建了一个运河公园。公园的西面有一个圆形花坛，花坛的半径是15米，工作人员准备将它改造成一个正方形的花坛，但不改变花坛的周长。改造后的正方形花坛的边长是多少米？ 【答案】23.55米 【分析】改造前后花坛的周长不变，根据圆的周长公式C＝2πr算出圆的周长，即为正方形的周长；正方形周长＝边长×4，再用正方形周长除以4即可求出边长。 【解答】2×3.14×15 ＝6.28×15 ＝94.2（米） 94.2÷4＝23.55（米） 答：改造后的正方形花坛的边长是23.55米。 【专项训练3】莫高窟壁画中展示的“露车”是唐代牛车的转型，这种货车是当时河西走廊上重要的运输工具。已知露车车轮的直径是1.2米，敦㷐到西安的距离大约是1600千米，那么商队从西安到敦烧，车轮约转动多少圈？（结果保留整数） 【答案】424628圈 【分析】车轮转动一圈前进的距离等于车轮的周长，先根据圆的周长公式C＝πd，算出车轮周长，统一单位后，用总路程除以周长得到转动圈数，最后保留整数。 【解答】（米） （米） （圈） 答：车轮约转动424628圈。 【专项训练4】中国人民的生活质量在不断提高，小汽车也逐渐开进寻常百姓家。一辆小汽车的轮胎标号为“235/70/R20”，其中“20”代表车轮的直径是20英寸（英寸是长度单位，1英寸长约厘米）。当这样的车轮滚动米时，大约要滚动多少圈？ 【答案】10圈 【分析】先根据1米＝100厘米进行长度单位换算，因为车轮直径的单位是英寸，滚动距离单位是米，所以需要将车轮直径的单位统一为米。 利用圆的周长公式计算车轮滚动一圈的长度，即车轮的周长。 用总滚动距离除以车轮周长，即可得到滚动的圈数。 【解答】2.5×20＝50（厘米） 50厘米＝0.5米 15.7÷（3.14×0.5） ＝15.7÷1.57 ＝10（圈） 答：大约要滚动10圈。 题型04 运用圆的面积解决问题 一、运用圆的面积解决问题 基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意识别目标圆形区域的特征，先算出圆的核心基准量半径，再代入圆面积的标准公式完成运算，最终得到圆形区域的总面积。比如计算圆形草坪的占地面积，先找到草坪的半径，再用“S=πr²”算出整块草坪的总面积。 2、‌特殊速算技巧‌ 当圆的半径是整厘米、整米的整数数值时，可直接依托常用π值表口算核心乘积，不用分步笔算。比如半径是6米的圆形蓄水池，直接口算3.14×36，快速得出面积113.04平方米。 3、‌结果预判规律‌ 同一个圆的面积一定大于半径平方的3倍，小于半径平方的4倍；周长相等的平面图形里，圆的面积最大，解题前先预判结果的大致范围，避免出现把r²错算成r×2、直接用直径代入面积公式的低级错误。 二、运用圆的面积解决问题 进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“圆形喷灌覆盖面积”场景，直接匹配“喷灌覆盖区域是圆，最远喷水距离是半径”的核心规律列式；遇到“方中圆、圆中方”的场景，直接用外框图形面积减去内圆面积，或用圆面积减去内部正方形面积，先锁定核心的基准图形面积计算模块，再合并或扣除多余部分的面积，不用反复调整拆分思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到“周长相等的正方形和圆形比较面积”的场景，直接用“周长相等时圆的面积更大”的规律快速判断，不用分步算出两个图形的具体面积；遇到半径变化的圆，可直接用“半径扩大n倍，面积扩大n²倍”的规律快速推导新的面积，比重新套公式计算效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知圆的面积，可直接反向代入公式反推出半径的平方，进而得到半径长度，适配各类缺条件的实际场景题。比如已知圆形桌面的面积是28.26平方分米，可直接用“r²=S÷π”算出r²=9，快速得到桌面半径是3分米。 【典例4】锅盔店的牛肉馅圆形锅盔有大小两种尺寸，大的直径为16厘米，小的直径为8厘米，两种锅盔的厚度相同。大锅盔每个卖8元，小锅盔每个卖4元。如果你有16元，买哪种锅盔合算？请说明理由。 【答案】买大锅盔合算。 16÷8＝2（个），3.14×（16÷2）2×2＝401.92（平方厘米） 16÷4＝4（个），3.14×（8÷2）2×4＝200.96（平方厘米） 401.92＞200.96，同样16元，买大锅盔得到的总面积更大，所以买大锅盔合算。 【分析】锅盔厚度一样，比较合不合算要看总面积。先用直径除以2分别求出大、小锅盔的半径，根据圆面积公式S＝πr2求出单个锅盔面积；用总钱数÷每个锅盔的单价，求出能够购买的数量；再用单个面积×购买数量，得到买到的总面积，最后比较总面积，面积大的更合算。 【解答】大锅盔半径：16÷2＝8（厘米） 单个大锅盔面积：3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 可买大锅盔数量：16÷8＝2（个） 买大锅盔的总面积：200.96×2＝401.92（平方厘米） 小锅盔半径：8÷2＝4（厘米） 单个小锅盔面积：3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 可买小锅盔数量：16÷4＝4（个） 买小锅盔的总面积：50.24×4＝200.96（平方厘米） 401.92＞200.96 答：买大锅盔合算，同样花16元，买到大锅盔的总面积更大。 【专项训练1】孙悟空要去打妖怪，为了保证唐僧的安全，他用金箍棒在地上画了一个周长是18.84米的圆圈将唐僧、八戒和沙僧圈住，请你算一算，这个圆圈的面积有多大？ 【答案】28.26平方米 【分析】根据圆的周长＝2×π×半径，半径＝周长÷2÷π，据此求出这个圆圈的半径，再根据圆的面积＝π×半径2，据此解答。 【解答】18.84÷2÷3.14 ＝9.42÷3.14 ＝3（米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这个圆圈的面积有28.26平方米。 【专项训练2】一块圆形标志牌的直径为2米，现需给它的一个面涂漆。已知每平方米需要100毫升油漆，涂完这块标志牌一共需要多少毫升油漆？ 【答案】314毫升 【分析】先根据圆的直径求出半径（），再计算圆的面积（），最后用面积乘每平方米的油漆用量，得到总油漆量。 【解答】（米） （平方米） （毫升） 答：涂完这块标志牌一共需要314毫升油漆。 【专项训练3】有一块周长94.2米的圆形草坪，准备给它安装自动旋转喷灌装置。现有射程分别为20米、15米、10米的三种装置，你认为选哪种比较合适？装好后它最多可喷灌到多大面积的草坪？ 【答案】15米；706.5平方米 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆形草坪的半径，选择射程与圆形草坪的半径接近装置比较合数； 再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出草坪面积即可解答。 【解答】94.2÷3.14÷2 ＝30÷2 ＝15（米） 选择射程为15米的装置比较合适。 3.14×152 ＝3.14×225 ＝706.5（平方米） 答：选择射程为15米的装置比较合适，装好后它最多可喷灌到706.5平方米。 【专项训练4】李芳和张倩同住一个小区，小区旁边有一个圆形活动场。她俩从这个活动场的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，李芳每分钟走72米，张倩每分钟走85米。 （1）这个活动场地的周长是多少米？ （2）这个活动场的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）628米； （2）31400平方米 【分析】（1）根据题意可知，两人的路程和正好就是这个活动场地的周长。速度×时间＝路程，据此分别求出两人的路程，再相加即可； （2）活动场地是圆形的，圆半径＝圆周长÷3.14÷2，据此列式求出圆形活动场的半径，再根据“圆面积＝πr2”列式求出这个活动场的占地面积。 【解答】（1）72×4＋85×4 ＝288＋340 ＝628（米） 答：这个活动场的周长是628米。 （2）628÷3.14÷2 ＝200÷2 ＝100（米） 3.14×1002 ＝3.14×10000 ＝31400（平方米） 答：这个活动场的占地面积是31400平方米。 题型05 运用圆环的面积解决问题 一、运用圆环的面积解决问题 基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意识别目标环形区域的特征，先算出外圆半径和内圆半径这两个核心基准量，再代入圆环面积的标准公式完成运算，最终得到环形区域的总面积。比如计算圆形花坛外围环形石子路的占地面积，先找到外圆和内圆的半径，再用“S=π(R²-r²)”算出整条石子路的总面积。 2、‌特殊速算技巧‌ 当外圆半径和内圆半径都是整厘米、整米的整数数值时，可直接依托常用π值表口算“外圆半径平方减内圆半径平方”的差值，再快速乘π得到结果，不用分步笔算两个圆的完整面积。比如外圆半径7米、内圆半径5米的圆环，直接口算3.14×(49-25)，快速得出面积75.36平方米。 3、‌结果预判规律‌ 同一个圆环的面积一定大于“π×环宽的平方”，小于外圆的整圆面积；环宽越小，圆环面积越接近内圆面积，解题前先预判结果的大致范围，避免出现把“R²-r²”错算成“(R-r)²”、用直径直接代入公式的低级错误。 二、运用圆环的面积解决问题 进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“环形零件用料面积”场景，直接匹配“用料区域就是标准圆环”的核心规律列式；遇到“半圆环、四分之一圆环”的场景，先算出完整圆环的面积，再按对应比例折算，先锁定核心的整圆环面积计算模块，再按比例缩减结果，不用反复调整拆分思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到已知环宽和内外半径之和的题型，直接套用变形公式“S=π×(R+r)×环宽”快速计算，不用先分别算出外圆和内圆的半径；遇到“圆形水池向外拓宽固定宽度”的场景，直接用拓宽后的外圆面积减去原内圆面积，就能快速得到新增的环形区域面积，比重新推导效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知圆环的面积和其中一个圆的半径，可直接反向代入公式反推半径平方差，进而算出另一个圆的半径，适配各类缺条件的实际场景题。比如已知圆环面积是15.7平方分米，内圆半径2分米，可直接用“R²-r²=S÷π”算出R²=9，快速得到外圆半径是3分米。 【典例5】为持续推进乡村绿化美化，改善提升农村人居环境，建设生态宜居美丽乡村，幸福新村修建了一个周长是37.68米的圆形花坛，在花坛周围铺了一条2米宽的石子路，石子路的面积是多少平方米？ 【答案】87.92平方米 【分析】先算花坛（内圆）的半径，已知内圆周长是37.68米，根据圆的周长＝，求出半径；再算外圆的半径＝内圆半径＋路宽。根据圆环面积公式：圆环面积＝外圆面积－内圆面积，结合圆的面积＝进行计算。 【解答】内圆半径： ＝37.68÷6.28 ＝6（米） 外圆半径：6＋2＝8（米） 石子路的面积： ＝3.14×64－3.14×36 ＝200.96－113.04 ＝87.92（平方米） 答：石子路的面积是87.92平方米。 【专项训练1】为了适合部分公司团建的需要，餐厅定制了18个座位的圆形餐桌，半径是1.4米，上面铺的圆形桌布四周都下垂0.2米，桌布垂下部分的面积是多少平方米？ 【答案】平方米 【分析】桌布垂下部分是环形，面积等于桌布（外圆）的面积减去餐桌桌面（内圆）的面积。先求出桌布的半径，再根据圆环面积公式计算即可。 【解答】（米） ＝ 3.14 × （2.56 – 1.96） ＝ 1.884（平方米） 答：桌布垂下部分的面积是1.884平方米。 【专项训练2】张老师家汽车的后窗雨刷构造较为特别，由固定杆和胶条组成，仅有胶条部分能够刷洗车窗玻璃上的雨水。经测量。雨刷的固定杆长50厘米，胶条长30厘米，其摆动角度大约是180°。请问这种雨刷摆动一次能够刷到的面积是多少？ 【答案】3297平方厘米 【分析】刷到的面积是圆环的一半，大圆半径＝固定杆长，小圆半径＝大圆半径－胶条长，摆动一次能够刷到的面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方）÷2。 【解答】50－30＝20（厘米） （平方厘米） 答：这种雨刷摆动一次能够刷到的面积是3297平方厘米。 【专项训练3】社区居委会要在小区的一个半圆形喷水池外围（如图）修一条宽2米的小路。已知水池的半径是8米，这条小路的面积是多少平方米？ 【答案】平方米 【分析】这条小路实际上是一个半圆环。要求小路的面积，就是用外半圆的面积减去内半圆（喷水池）的面积。内圆半径是8米，外圆半径是（米），利用圆环面积公式求出整圆环面积，再除以2得到半圆环面积。 【解答】 （平方米） 答：这条小路的面积是56.52平方米。 【专项训练4】公园不仅是城市居民休闲游憩的好去处，更是文化传播的重要场所。春城公园有一个“围树座椅”（如图）。“围树座椅”椅面的面积是多少平方米？ 【答案】62.8平方米 【分析】求椅面的面积，即为求圆环的面积，圆环的面积＝大圆的面积－小圆的面积，圆的面积＝πr2，其中小圆的半径为4米，大圆的半径为（4＋2）米。 【解答】4＋2＝6（米） 3.14×62－3.14×42 ＝3.14×36－3.14×16 ＝3.14×（36－16） ＝3.14×20 ＝62.8（平方米） 答：“围树座椅”椅面的面积是62.8平方米。 题型06 运用圆的面积的特殊应用解决问题 一、运用圆的面积的特殊应用解决问题 基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先识别特殊场景的核心特征，先锁定场景对应的核心基准量（如方中圆的正方形边长、圆中方的圆直径、最大面积问题的固定周长），再匹配对应特殊规律完成运算，最终得到目标图形的周长或面积结果。比如在正方形里剪最大的圆，先确定圆的直径等于正方形边长，再代入方中圆的固定比例快速算出剩余阴影面积。 2、‌特殊速算技巧‌ 当方中圆、圆中方的正方形边长、圆半径是整厘米、整米的整数数值时，可直接依托固定比例口算核心结果，不用分步笔算两个图形的完整面积。比如边长8米的正方形内最大圆，直接口算3.14×4²，快速得出圆面积50.24平方米。 3、‌结果预判规律‌ 周长相等的平面图形中，圆的面积一定是最大的；方中圆或圆中方的剩余阴影面积问题，解题前先预判结果的大致范围，避免出现把圆直径错当成正方形边长、转化时漏算外围线段的低级错误。 二、运用圆的面积的特殊应用解决问题 进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“固定周长围最大面积”场景，直接匹配“周长相等时圆的面积最大”的核心规律列式；遇到“方中圆、圆中方”的场景，直接用外框图形面积减去内部嵌套图形的面积，先锁定核心的基准图形面积计算模块，再扣除多余部分的面积，不用反复调整拆分思路。遇到含圆的组合图形，优先用分割法、添补法拆分成熟悉的基础图形，再合并或扣除对应部分的面积。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到转化法求含圆组合图形的周长或面积，直接通过平移、旋转把零散的圆弧、阴影部分拼接成完整的整圆、半圆，不用逐段硬算零散的弧长和小块面积；遇到多个等半径的扇形拼接，直接把所有圆心角相加，凑够360°就直接按整圆计算总弧长和总面积，比逐块计算效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知方中圆的阴影部分面积，可反推出正方形的边长，进而得到圆的直径和半径；已知圆中方的阴影部分面积，可反推出圆的半径，适配各类缺条件的特殊图形题。比如已知方中圆的阴影面积是21.5平方分米，可直接反推出正方形面积是100平方分米，正方形边长就是10分米。 【典例6】公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 【答案】7850平方米 【分析】根据圆的半径＝周长÷π÷2，圆的面积＝πr2，列式解答即可。 【解答】314÷3.14÷2＝50（米） （平方米） 答：这个摄像头的监控范围有7850平方米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。 【专项训练1】工人师傅把一块周长是48分米的正方形木板裁成一个最大的圆，裁去部分的面积是多少？ 【答案】30.96平方分米 【分析】将一块正方形木板裁成一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长。先根据正方形边长＝周长÷4，求出边长，也就是正方形内最大圆的直径，进而求出圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆的面积；最后用正方形的面积减去圆的面积，即是裁去部分的面积。 【解答】正方形的边长：48÷4＝12（分米） 圆的半径：12÷2＝6（分米） 正方形的面积：12×12＝144（平方分米） 圆的面积： 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方分米） 裁去部分的面积： 144－113.04＝30.96（平方分米） 答：裁去部分的面积是30.96平方分米。 【专项训练2】下图是手机关机的滑动键，阴影部分的面积是多少？（π取3） 【答案】2.5平方厘米 【分析】观察可知，阴影部分右边的半圆的半径是0.5厘米，图形左边的圆的直径是1厘米，根据半径等于直径除以2，（厘米），可知右边的半圆与左边圆的一半是相等的，通过平移的方法，把右边的半圆平移到阴影部分的左边，则阴影部分的面积等于一个长是厘米，宽是1厘米的长方形的面积，根据，代入数据计算即可。 【解答】 （平方厘米） 答：阴影部分的面积是2.5平方厘米。 【专项训练3】为喜迎春节，园林公司计划在一个半径为6米的圆形街心花园里种花（如下图），正方形花坛里种红牡丹，其余地方种太阳花。种太阳花的面积有多少平方米？ 【答案】41.04平方米 【分析】圆形的面积＝πr²，代入数字可计算出圆形面积，将正方形面积如图沿对角线分成两个三角形，三角形的底为圆的直径，高为圆的半径，据此根据三角形面积＝（底×高）÷2算出三角形面积之后再乘2可算出正方形面积；用圆面积－正方形面积就是种太阳花的面积。 【解答】3.14×62－（6×2）×6÷2×2 ＝3.14×36－12×6÷2×2 ＝113.04－72 ＝41.04（平方米） 答：种太阳花的面积有41.04平方米。 【专项训练4】图中的花瓣状门洞的边是由4个直径相等的半圆组成的。（半圆直径为1米）这个门洞的面积是多少平方米？ 【答案】2.57平方米 【分析】这个门洞是由4个相等的半圆和一个正方形组成。4个相等的半圆可组成2个圆，所以这个门洞的面积等于直径为1米的2个圆的面积加上一个边长为1米的正方形的面积。 【解答】圆的半径：1÷2＝0.5（米） 圆的面积：3.14×＝3.14×0.25＝0.785（平方米） 正方形的面积：1×1＝1（平方米） 门洞的面积：0.785×2＋1 ＝1.57＋1 ＝2.57（平方米） 答：这个门洞的面积是2.57平方米。 【点睛】计算组合图形的面积，要根据已知条件对图形进行分割，转化成已学过的简单图形，先分别计算出它们的面积，再求和或差。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆（解决问题专项讲义） 题型01 运用圆的概念及特点解决问题 题型02 运用弧、圆心角及扇形的认识解决问题 题型03 运用圆的周长解决问题 题型04 运用圆的面积解决问题 题型05 运用圆环的面积解决问题 题型06 运用圆的面积的特殊应用解决问题 题型01 运用圆的概念及特点解决问题 一、运用圆的概念及特点解决问题 基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意识别目标圆的核心特征，先算出圆的核心基准量（半径、直径），再结合圆的基本性质完成运算，最终得到正确结果。比如在长方形里剪最大的圆，先确定圆的直径等于长方形的宽，再算出半径，后续就能直接代入周长、面积公式计算。 2、‌特殊速算技巧‌ 当圆的半径是整厘米、整米的整数数值时，可直接依托常用π值表口算核心乘积，比如半径为5米的圆，直接口算3.14×25，快速得出面积78.5平方米，不用分步笔算。 3、‌结果预判规律‌ 圆上所有点到圆心的距离处处相等，车轮滚动时圆心的运动轨迹是一条水平直线；在长方形里剪圆，能剪出的圆的总个数一定小于“长方形面积÷单个圆面积”的理论值，解题前先预判结果的大致范围，避免出现用面积相除算圆个数的低级错误。 二、运用圆的概念及特点解决问题 进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“画圆、找圆心”的场景，直接利用圆规两脚间距等于半径的规则操作，通过对折圆形纸片2次，两条折痕的交点就是圆心；遇到“长方形/正方形内画最大圆、剪圆片”的场景，先锁定最大圆的直径等于图形的最短边，再分别计算长、宽方向能容纳的圆的直径数量，两个数值相乘就是最多能剪出的圆的总个数，不用反复调整计算思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到“井盖设计、车轮做成圆形”这类生活原理题，直接匹配“圆上的点到圆心距离处处相等”的核心性质，就能快速选出正确答案；遇到“多个等圆拼接”的图形题，直接数出线段里包含的半径段数，用总长度除以段数快速算出单段半径，比逐段推导效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知圆规两脚的间距，直接得到圆的半径，就能快速算出直径、周长和面积；已知组合图形的对称轴数量要求，通过调整圆的圆心位置、半径大小，就能画出符合指定对称轴数量的组合图形，适配各类缺条件的操作类题型。 【典例1】“寂静狩猎者”成功击落无人机，意味着中国激光武器世界领先。如图是激光武器的主炮平面模型，若长方形的面积是24平方厘米，则圆的半径是多少厘米？ 【专项训练1】一张长方形红色纸片的长是24厘米，宽是18厘米。李老师准备从上面剪下半径是3厘米的圆形纸片做花瓣，她最多能剪下多少个这样的圆形纸片？ 【专项训练2】妈妈想为家中的圆桌面铺上一片和桌面一样大的保护垫，她需要知道什么数据？ 【专项训练3】如图，在一张长方形铁皮上剪下两个半径为2.5厘米的圆后，剩余部分恰好是一个正方形。求原长方形的面积。 【专项训练4】下图为2022年北京冬奥会奖牌——“同心”。它的形象来源于中国古代同心圆玉璧，共设五环。五环同心，同心归圆，表达了“天地合·人心同”的中华文化内涵，也象征着奥林匹克精神将世界人民聚集在一起，共享奥运荣光。 请用喜欢的方式说明你是如何找到“同心”奖牌所在圆的圆心。 题型02 运用弧、圆心角及扇形的认识解决问题 一、运用弧、圆心角及扇形的认识解决问题 基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先识别目标图形的核心特征，先算出扇形的两个核心基准量：半径和圆心角度数，再结合弧长、扇形占比的对应关系完成运算，最终得到弧长、扇形的周长或面积结果。比如计算挂钟分针走20分钟扫过的扇形，先确定分针长度是半径，再算出20分钟对应的圆心角是120°，再代入公式算出弧长和扇形面积。 2、‌特殊速算技巧‌ 当扇形的圆心角是360°的整分数时，比如90°、120°、180°，可直接用整圆的周长、面积乘对应的分数（1/4、1/3、1/2），快速口算核心结果，不用分步硬算弧长公式。比如半径6米、圆心角120°的扇形，直接口算3.14×6²×1/3，快速得出面积37.68平方米。 3、‌结果预判规律‌ 同一个圆里，扇形的圆心角越大，对应的弧长、扇形面积就越大；扇形的周长一定大于同半径圆周长的对应占比部分，必须额外加上两条半径的长度，解题前先预判结果的大致范围，避免出现漏加两条半径、把圆心角算成360°的低级错误。 二、运用弧、圆心角及扇形的认识解决问题 进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“判断扇形、识别圆心角”的场景，直接匹配“顶点在圆心、两条边是半径”的核心标准快速辨析；遇到“钟面、日晷等分圆盘”的场景，先把整圆360°除以总等分数，算出单个小扇形的圆心角，再根据指针转动的格数算出对应圆心角，不用反复调整推导思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到多个等半径扇形拼接的场景，直接把所有扇形的圆心角相加，圆心角总和凑够360°就直接按整圆计算总弧长、总面积，比如三个半径都是2厘米、圆心角都是120°的扇形，总弧长直接按整圆周长计算，比逐段计算效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知扇形的周长和半径，可直接反向算出弧长，再反推对应的圆心角度数；已知扇形的面积和圆心角，可反向算出对应整圆的面积，进而反推出半径长度，适配各类缺条件的图形题。比如已知半径3厘米的扇形周长是10.71厘米，直接用“弧长=扇形周长-2×半径”算出弧长，再反推出圆心角是60°。 【典例2】画一个半径是1厘米的圆，再在圆中分别画一个圆心角是150°和60°的扇形，这两个扇形的大小关系是什么？说出你的依据。 【专项训练1】把一个圆分成两个扇形，其中大扇形的圆心角度数是小扇形圆心角的4倍。大、小扇形的圆心角各是多少度？各占圆的几分之几？ 【专项训练2】如下图，李师傅从一张三角形铁皮上剪下三个扇形，将这三个扇形拼在一起，这三个扇形的面积和是多少平方厘米？ 【专项训练3】草地上有一间边长4米的正方形木屋，在木屋一条边的中点位置，用6米长的绳子拴着一只羊。这只羊能吃到的草地面积是多少平方米？ 【专项训练4】如图是一把真丝扇面（涂色部分）的折扇，做这样的一把折扇，至少需要真丝布料多少平方分米？ 题型03 运用圆的周长解决问题 一、运用圆的周长解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意识别目标场景对应的圆的特征，先算出圆的核心基准量半径或直径，再代入圆周长的标准公式完成运算，最终得到对应路径的总长度。比如计算圆形花坛围一圈护栏的总长度，先找到花坛的直径，再用“C=πd”直接算出护栏的总长度。 2、‌特殊速算技巧‌ 当圆的直径是整厘米、整米的整数数值时，可直接依托常用π值表口算核心乘积，不用分步笔算。比如直径是8米的圆形喷水池，直接口算3.14×8，快速得出周长25.12米。 3、‌结果预判规律‌ 同一个圆的周长一定是直径的3倍多一点，绝对不会小于直径的3倍，也不会超过直径的4倍；半圆的周长一定大于同半径整圆周长的一半，必须额外加上一条直径的长度，解题前先预判结果的大致范围，避免出现漏加直径、把半径直接代入C=πd的低级错误。 二、运用圆的周长解决问题 进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“圆形物体滚动一圈的路程”场景，直接匹配“滚动路程等于圆的周长”的核心规律列式；遇到“跑道跑一圈”场景，总周长等于两个直道长度加上两个半圆拼成的整圆周长，先锁定核心的圆弧部分计算模块，再合并直道部分的长度，不用反复调整拆分思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到多个等圆拼接的组合图形周长题，先描出外围轮廓，把零散的圆弧拼接成整圆、半圆，直接按整圆周长计算，比逐段硬算效率高很多。比如4个半径相同的圆，外围轮廓的圆弧刚好凑成一个整圆，直接算出整圆周长再加上外围的直线段即可。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知圆的周长，可直接反向代入公式反推直径和半径，适配各类缺条件的实际场景题。比如已知自行车轮胎滚动一周前进1.884米，可直接用“直径=周长÷π”快速算出轮胎直径是0.6米。 【典例3】如图是丽丽用圆规画的心形祝福卡设计图，她想在“心形”边缘处贴上一圈红色丝线。至少需要准备多少厘米红色丝线？ 【专项训练1】福建土楼是中国福建省传统民居建筑。假期里，龙龙一家到土楼旅游，龙龙绕圆形土楼走一周，大约走了188.4米，这栋土楼的底面半径是多少米？ 【专项训练2】为创建特色小镇，助力乡村振兴，某市修建了一个运河公园。公园的西面有一个圆形花坛，花坛的半径是15米，工作人员准备将它改造成一个正方形的花坛，但不改变花坛的周长。改造后的正方形花坛的边长是多少米？ 【专项训练3】莫高窟壁画中展示的“露车”是唐代牛车的转型，这种货车是当时河西走廊上重要的运输工具。已知露车车轮的直径是1.2米，敦㷐到西安的距离大约是1600千米，那么商队从西安到敦烧，车轮约转动多少圈？（结果保留整数） 【专项训练4】中国人民的生活质量在不断提高，小汽车也逐渐开进寻常百姓家。一辆小汽车的轮胎标号为“235/70/R20”，其中“20”代表车轮的直径是20英寸（英寸是长度单位，1英寸长约厘米）。当这样的车轮滚动米时，大约要滚动多少圈？ 题型04 运用圆的面积解决问题 一、运用圆的面积解决问题 基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意识别目标圆形区域的特征，先算出圆的核心基准量半径，再代入圆面积的标准公式完成运算，最终得到圆形区域的总面积。比如计算圆形草坪的占地面积，先找到草坪的半径，再用“S=πr²”算出整块草坪的总面积。 2、‌特殊速算技巧‌ 当圆的半径是整厘米、整米的整数数值时，可直接依托常用π值表口算核心乘积，不用分步笔算。比如半径是6米的圆形蓄水池，直接口算3.14×36，快速得出面积113.04平方米。 3、‌结果预判规律‌ 同一个圆的面积一定大于半径平方的3倍，小于半径平方的4倍；周长相等的平面图形里，圆的面积最大，解题前先预判结果的大致范围，避免出现把r²错算成r×2、直接用直径代入面积公式的低级错误。 二、运用圆的面积解决问题 进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“圆形喷灌覆盖面积”场景，直接匹配“喷灌覆盖区域是圆，最远喷水距离是半径”的核心规律列式；遇到“方中圆、圆中方”的场景，直接用外框图形面积减去内圆面积，或用圆面积减去内部正方形面积，先锁定核心的基准图形面积计算模块，再合并或扣除多余部分的面积，不用反复调整拆分思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到“周长相等的正方形和圆形比较面积”的场景，直接用“周长相等时圆的面积更大”的规律快速判断，不用分步算出两个图形的具体面积；遇到半径变化的圆，可直接用“半径扩大n倍，面积扩大n²倍”的规律快速推导新的面积，比重新套公式计算效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知圆的面积，可直接反向代入公式反推出半径的平方，进而得到半径长度，适配各类缺条件的实际场景题。比如已知圆形桌面的面积是28.26平方分米，可直接用“r²=S÷π”算出r²=9，快速得到桌面半径是3分米。 【典例4】锅盔店的牛肉馅圆形锅盔有大小两种尺寸，大的直径为16厘米，小的直径为8厘米，两种锅盔的厚度相同。大锅盔每个卖8元，小锅盔每个卖4元。如果你有16元，买哪种锅盔合算？请说明理由。 【专项训练1】孙悟空要去打妖怪，为了保证唐僧的安全，他用金箍棒在地上画了一个周长是18.84米的圆圈将唐僧、八戒和沙僧圈住，请你算一算，这个圆圈的面积有多大？ 【专项训练2】一块圆形标志牌的直径为2米，现需给它的一个面涂漆。已知每平方米需要100毫升油漆，涂完这块标志牌一共需要多少毫升油漆？ 【专项训练3】有一块周长94.2米的圆形草坪，准备给它安装自动旋转喷灌装置。现有射程分别为20米、15米、10米的三种装置，你认为选哪种比较合适？装好后它最多可喷灌到多大面积的草坪？ 【专项训练4】李芳和张倩同住一个小区，小区旁边有一个圆形活动场。她俩从这个活动场的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，李芳每分钟走72米，张倩每分钟走85米。 （1）这个活动场地的周长是多少米？ （2）这个活动场的占地面积是多少平方米？ 题型05 运用圆环的面积解决问题 一、运用圆环的面积解决问题 基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意识别目标环形区域的特征，先算出外圆半径和内圆半径这两个核心基准量，再代入圆环面积的标准公式完成运算，最终得到环形区域的总面积。比如计算圆形花坛外围环形石子路的占地面积，先找到外圆和内圆的半径，再用“S=π(R²-r²)”算出整条石子路的总面积。 2、‌特殊速算技巧‌ 当外圆半径和内圆半径都是整厘米、整米的整数数值时，可直接依托常用π值表口算“外圆半径平方减内圆半径平方”的差值，再快速乘π得到结果，不用分步笔算两个圆的完整面积。比如外圆半径7米、内圆半径5米的圆环，直接口算3.14×(49-25)，快速得出面积75.36平方米。 3、‌结果预判规律‌ 同一个圆环的面积一定大于“π×环宽的平方”，小于外圆的整圆面积；环宽越小，圆环面积越接近内圆面积，解题前先预判结果的大致范围，避免出现把“R²-r²”错算成“(R-r)²”、用直径直接代入公式的低级错误。 二、运用圆环的面积解决问题 进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“环形零件用料面积”场景，直接匹配“用料区域就是标准圆环”的核心规律列式；遇到“半圆环、四分之一圆环”的场景，先算出完整圆环的面积，再按对应比例折算，先锁定核心的整圆环面积计算模块，再按比例缩减结果，不用反复调整拆分思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到已知环宽和内外半径之和的题型，直接套用变形公式“S=π×(R+r)×环宽”快速计算，不用先分别算出外圆和内圆的半径；遇到“圆形水池向外拓宽固定宽度”的场景，直接用拓宽后的外圆面积减去原内圆面积，就能快速得到新增的环形区域面积，比重新推导效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知圆环的面积和其中一个圆的半径，可直接反向代入公式反推半径平方差，进而算出另一个圆的半径，适配各类缺条件的实际场景题。比如已知圆环面积是15.7平方分米，内圆半径2分米，可直接用“R²-r²=S÷π”算出R²=9，快速得到外圆半径是3分米。 【典例5】为持续推进乡村绿化美化，改善提升农村人居环境，建设生态宜居美丽乡村，幸福新村修建了一个周长是37.68米的圆形花坛，在花坛周围铺了一条2米宽的石子路，石子路的面积是多少平方米？ 【专项训练1】为了适合部分公司团建的需要，餐厅定制了18个座位的圆形餐桌，半径是1.4米，上面铺的圆形桌布四周都下垂0.2米，桌布垂下部分的面积是多少平方米？ 【专项训练2】张老师家汽车的后窗雨刷构造较为特别，由固定杆和胶条组成，仅有胶条部分能够刷洗车窗玻璃上的雨水。经测量。雨刷的固定杆长50厘米，胶条长30厘米，其摆动角度大约是180°。请问这种雨刷摆动一次能够刷到的面积是多少？ 【专项训练3】社区居委会要在小区的一个半圆形喷水池外围（如图）修一条宽2米的小路。已知水池的半径是8米，这条小路的面积是多少平方米？ 【专项训练4】公园不仅是城市居民休闲游憩的好去处，更是文化传播的重要场所。春城公园有一个“围树座椅”（如图）。“围树座椅”椅面的面积是多少平方米？ 题型06 运用圆的面积的特殊应用解决问题 一、运用圆的面积的特殊应用解决问题 基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先识别特殊场景的核心特征，先锁定场景对应的核心基准量（如方中圆的正方形边长、圆中方的圆直径、最大面积问题的固定周长），再匹配对应特殊规律完成运算，最终得到目标图形的周长或面积结果。比如在正方形里剪最大的圆，先确定圆的直径等于正方形边长，再代入方中圆的固定比例快速算出剩余阴影面积。 2、‌特殊速算技巧‌ 当方中圆、圆中方的正方形边长、圆半径是整厘米、整米的整数数值时，可直接依托固定比例口算核心结果，不用分步笔算两个图形的完整面积。比如边长8米的正方形内最大圆，直接口算3.14×4²，快速得出圆面积50.24平方米。 3、‌结果预判规律‌ 周长相等的平面图形中，圆的面积一定是最大的；方中圆或圆中方的剩余阴影面积问题，解题前先预判结果的大致范围，避免出现把圆直径错当成正方形边长、转化时漏算外围线段的低级错误。 二、运用圆的面积的特殊应用解决问题 进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“固定周长围最大面积”场景，直接匹配“周长相等时圆的面积最大”的核心规律列式；遇到“方中圆、圆中方”的场景，直接用外框图形面积减去内部嵌套图形的面积，先锁定核心的基准图形面积计算模块，再扣除多余部分的面积，不用反复调整拆分思路。遇到含圆的组合图形，优先用分割法、添补法拆分成熟悉的基础图形，再合并或扣除对应部分的面积。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到转化法求含圆组合图形的周长或面积，直接通过平移、旋转把零散的圆弧、阴影部分拼接成完整的整圆、半圆，不用逐段硬算零散的弧长和小块面积；遇到多个等半径的扇形拼接，直接把所有圆心角相加，凑够360°就直接按整圆计算总弧长和总面积，比逐块计算效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知方中圆的阴影部分面积，可反推出正方形的边长，进而得到圆的直径和半径；已知圆中方的阴影部分面积，可反推出圆的半径，适配各类缺条件的特殊图形题。比如已知方中圆的阴影面积是21.5平方分米，可直接反推出正方形面积是100平方分米，正方形边长就是10分米。 【典例6】公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 【专项训练1】工人师傅把一块周长是48分米的正方形木板裁成一个最大的圆，裁去部分的面积是多少？ 【专项训练2】下图是手机关机的滑动键，阴影部分的面积是多少？（π取3） 【专项训练3】为喜迎春节，园林公司计划在一个半径为6米的圆形街心花园里种花（如下图），正方形花坛里种红牡丹，其余地方种太阳花。种太阳花的面积有多少平方米？ 【专项训练4】图中的花瓣状门洞的边是由4个直径相等的半圆组成的。（半圆直径为1米）这个门洞的面积是多少平方米？ 学科网（北京）股份有限公司 $