培优12 线段与角6大几何模型（专项训练）数学新教材人教版七年级上册

专题12 线段与角几何模型 常考题型·精准突破 题型1 线段中点模型 题型2 线段上动点问题 题型3 双角平分线模型 题型4 和差角模型（叠角模型） 题型5 互余、互补模型 题型6 直角内射线模型 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1线段中点模型 1．如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 2．如图，线段被点分成了的三部分，的中点和的中点之间的距离是，则_________． 3．如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 则； 若点在点的右侧，如图所示： 则； 综上所述，的长度为或． 4．如图，已知点是线段上的点，． (1)求的长； (2)若点是的中点，求的长． 5．如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． (1)若，且，求的长； (2)若线段，，求的长． ◆题型2 线段上动点问题 1．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 2．如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 3．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）． (1)若；当点 C、D运动了，此时 ， ．（直接填空） (2)若，点C、D运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 （直接填空）． 4．新定义：点P是线段上一点，此时三条线段中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“二倍点”． (1)若点是线段的中点，则点 线段的“二倍点”；(填“是”或“不是”)； (2)若，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒，求当为何值时，点是线段的“二倍点”； (3)如图，点P是线段的“二倍点”，且，点M是延长线上一点，点C在线段上运动，当时，点C是否是线段的“二倍点”，请说明理由． 5．如图线段，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为线段的中点，点为线段的中点，设运动时间为． (1)当点在射线上运动时， ①当时，线段的长度为________； ②线段的长度为________． (2)当点在线段上运动时，下列个结论中：①为定值；②为定值．正确的结论是________，说明理由并求其值． (3)若动点出发时，动点也同时从点出发，以个单位长度/秒沿射线运动．是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． ◆题型3 双角平分线模型 1．如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有______（填序号） ①；②；③；④． 3．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 4．直线与相交于点分别是的角平分线． (1)若，求和的度数； (2)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 5．已知，，平分，平分． (1)如图1，当射线与射线重合时，求的值； (2)如图2，当从图1开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转秒时（），在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若无变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，求的值． ◆题型4 和差角模型（叠角模型） 1．如图所示，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线相交于点O，在的内部，当时，则与的度数和为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，，且，那么________． 4．如图，射线将分割成三个角，若其中的一个角是其他两个角的和的2倍，我们称射线为的“美妙分割线”．已知为的“美妙分割线”，，则的度数为_______． 5．如图，点O在直线上，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． ◆题型5 互余、互补模型 1．如图，，平分，与互余，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知在的内部，与互余，平分，，则____． 4．如图所示，已知． （1）若，则__________． （2）若的余角比小，过点作射线，使得，则__________． 5．如图，点O在直线上，射线都在直线的上方，射线在直线的下方．，垂足为点O，在的内部，． (1)求证：与互为余角； (2)若，与互为余角，求的度数． ◆题型6 直角内射线模型 1．如图，点在直线上，射线平分，，那么下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点在同一条直线上，，平分．若，则的度数是______． 4．如图所示，是直角，，平分，则的度数为____________． 5．已知图1图2中． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，射线与重合，若射线以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，当射线与重合时停止所有旋转．设旋转的时间为秒，请计算在旋转过程中一条射线平分另外两条射线所成夹角时的值． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，点C是线段上一点，点分别是线段的中点．，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的角平分线，，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，射线的端点在直线上，，射线在的内部，与互余，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 6．、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 7．如图，是钝角，，，是内的三条射线，若，平分，平分，那么的度数是______． 8．如图，在内部引两条射线，．若，，，则的度数为______． 9．如图，与互补，是的平分线，，则的度数为________． 10．如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为_______． 11．如图，直线l上有两个定点A、B，一个动点P，点M、N分别为线段、的中点． (1)若点P在线段上，且，，则线段________，________ (2)探究：当点P在直线l上运动，与有何数量关系． 张同学在探究时发现：点P与线段的位置关系也有不同情况，并且他猜想：．但张同学只做出以下一种情况的解答过程，请你帮他完成其它情况的解题过程，验证他的猜想是否正确． 解：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以： 12．如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则________cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化．如果不变，请求出EF的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现，角的很多规律和线段一样． ①如图2，已知在的内部转动，，分别平分和．若，，求的度数． ②由此，请猜想，和之间的数量关系：________． 13．阅读材料： 如图，点C为线段上任意一点，，点E、F分别为线段的中点．试求线段的长． 解：∵点E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； 问题解决：（依照上题思路解决下列问题） 已知：内有一条射线，，射线分别平分，求的度数． 14．如图是一直线，分别是的平分线． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数． 15．设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，，，是一对“分补角”，且在的外部，求β的值； (3)如图3，．若和是一对“分补角”，且在内部，请直接写出的所有可能值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 线段与角几何模型 常考题型·精准突破 题型1 线段中点模型 题型2 线段上动点问题 题型3 双角平分线模型 题型4 和差角模型（叠角模型） 题型5 互余、互补模型 题型6 直角内射线模型 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1线段中点模型 1．如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点M，N分别是，的中点得到，，从而推出得到结果． 【详解】解：M，N分别是，的中点， ，， ， ，， ． 2．如图，线段被点分成了的三部分，的中点和的中点之间的距离是，则_________． 【答案】 【分析】设，，的长度分别为，，，根据线段中点的定义表示出，利用线段的和差关系表示出，结合已知条件列一元一次方程求出的值，最后计算的长度． 【详解】解：设，，的长度分别为，，， 点是的中点，点是的中点， ，， , , , ，解得, ． 3．如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由线段中点定义，表示出，数形结合表示出相关线段的和差关系代值计算即可； （2）先数形结合，由线段的和差关系求出，按照题意，分点在点的左侧；点在点的右侧两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：，点是的中点， ； ，， ， ∵点是的中点， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， 若点在点的左侧，如图所示： 则； 若点在点的右侧，如图所示： 则； 综上所述，的长度为或． 4．如图，已知点是线段上的点，． (1)求的长； (2)若点是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据比例关系，由，求出，再根据，可得，计算即可； （2）由（1）中结果先求出，再作差求出，根据中点的条件求出，最后作差即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ． ． （2）解：，， ． ． ∵点E是的中点， ． ． 5．如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． (1)若，且，求的长； (2)若线段，，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）已知，可得的长，因为点C为线段的中点，点D为线段的中点，可得的长，因为，可得的长； （2）因为点C为线段的中点，可得的长，因为，求得的长，可得的长，因为点D为线段的中点，可得的长． 【详解】（1）解：， ， ∵点C为线段的中点，点D为线段的中点， ， ； （2）解：，点C为线段的中点， ， ∵， ， ， ∵点D为线段的中点， ． ◆题型2 线段上动点问题 1．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确． 综上可知，说法正确的是②③④． 2．如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，解题的关键与难点在于正确的表示出数轴上的点所对应的数．先设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为，设线段和线段的运动速度为，运动时间为，再表示出运动后各点对应的数，最后根据点M，N分别是和的中点，表示出点M，N对应的数，即可解答． 【详解】解：设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为， 设线段和线段的运动速度为，运动时间为， 则运动后点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为． 点M，N分别是和的中点， 点M表示的数为， 点N表示的数为， 当点B在线段上且未到达中点时， 的长为． 故答案为：6． 3．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）． (1)若；当点 C、D运动了，此时 ， ．（直接填空） (2)若，点C、D运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 （直接填空）． 【答案】(1)，； (2)存在，； (3)或 【分析】（1）利用路程速度时间，求出，，即可得解； （2）设运动时间为，则，，进而表示出，，列方程求解即可； （3）设运动时间为，则，，结合，求出，，再判断出点在点的右侧，分两种情况讨论：①当点在上时；②当点在的延长线上时，利用线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：当点 C、D运动了，，， ，， ， ； （2）解：存在， 设运动时间为，则，， ，， ，， ， ， 解得：， 即点C、D运动时存在，运动时间为； （3）解：设运动时间为，则，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，即， 点在点的右侧， 分两种情况讨论： ①当点在上时，，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，， ， ， ； 综上可知，或． 4．新定义：点P是线段上一点，此时三条线段中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“二倍点”． (1)若点是线段的中点，则点 线段的“二倍点”；(填“是”或“不是”)； (2)若，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒，求当为何值时，点是线段的“二倍点”； (3)如图，点P是线段的“二倍点”，且，点M是延长线上一点，点C在线段上运动，当时，点C是否是线段的“二倍点”，请说明理由． 【答案】(1)是 (2)当为、或时，点是线段的“二倍点” (3) 点是线段的“二倍点”，理由如下 ∵ 点是线段的“二倍点”，且， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点是线段的“二倍点”． 【分析】本题考查了线段的和差关系、动点问题以及新定义“二倍点”的应用，解题的关键是根据“二倍点”的定义分类讨论线段之间的倍数关系，结合线段长度的计算方法进行求解． （1）根据中点定义及“二倍点”定义判断； （2）用表示和的长度，分三种情况讨论与的倍数关系，列方程求解； （3）先由“二倍点”及确定与的关系，再结合推导与的关系，判断点C是否为线段的“二倍点”． 【详解】（1）解：∵ 点是线段的中点， ∴ ， 满足“二倍点”定义， 故答案为：是． （2）解：由题意得：， ① 当时：， 解得； ② 当时：， 解得； ③ 当时：， 解得； ④ 当时：， 解得； 答：当为、或时，点是线段的“二倍点”． （3）略 5．如图线段，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为线段的中点，点为线段的中点，设运动时间为． (1)当点在射线上运动时， ①当时，线段的长度为________； ②线段的长度为________． (2)当点在线段上运动时，下列个结论中：①为定值；②为定值．正确的结论是________，说明理由并求其值． (3)若动点出发时，动点也同时从点出发，以个单位长度/秒沿射线运动．是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) 解：正确结论①，为定值，理由如下： 依题意， 点为中点， 为定值． (3)存在，的最小值为 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及线段中点的性质、代数式表示线段长度以及绝对值函数的最值求解，熟练运用中点公式和绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）①根据动点运动速度和时间求出线段长度，结合中点性质计算线段的长度； ②利用中点性质分别表示出和，再通过线段和差求出的长度； （2）用含时间的代数式分别表示和，代入两个结论的表达式进行化简，判断是否为定值； （3）建立数轴模型，用绝对值表示和，将目标表达式转化为绝对值函数，通过分段讨论或利用绝对值的几何意义，求出函数的最小值． 【详解】（1）解：①当时，， ， ； ②， ， ， ． （2）略 （3）解：存在最小值．以点为原点，射线的方向为正方向，建立数轴； 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 点为中点 点表示的数为 ，， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，的最小值为． ◆题型3 双角平分线模型 1．如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由角平分线的定义得到，于是得到． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 2．如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有______（填序号） ①；②；③；④． 【答案】① 【分析】利用角平分线的性质计算角之间的数量关系即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③错误； ∵，， ∴， 故④错误； 综上所述，等式中成立的只有①． 3．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 4．直线与相交于点分别是的角平分线． (1)若，求和的度数； (2)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)射线与互相垂直，理由见解析 【分析】根据平角的定义，得到，利用等量代换与角平分线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是平角，， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：射线与垂直，理由如下： ∵分别是的角平分线， ∴， ∵是平角， ∴， 即， ∴， ∴射线与互相垂直． 5．已知，，平分，平分． (1)如图1，当射线与射线重合时，求的值； (2)如图2，当从图1开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转秒时（），在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若无变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】(1) (2)的值不变， (3)5 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，，，由角平分线的定义可得 ， ，即可解答； （3）根据题意可得 ，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵平分，平分，射线与射线重合，，， ∴ ， ， ∴； （2）解：的值不变，， 由题意，得， ∴，， ∴ ， ， ∴ ； （3）解：由（2）知， ， ， 解得，即的值为5． ◆题型4 和差角模型（叠角模型） 1．如图所示，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再结合，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．如图，直线相交于点O，在的内部，当时，则与的度数和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是几何图形中角度计算问题，解题的关键是熟练掌握角的和差计算． 先根据在的内部得，即可求解． 【详解】解：∵在的内部， ， ∴． 故选：B． 3．如图，已知，，，且，那么________． 【答案】 【分析】利用角的和差关系：，代入各个含x的角度，列一元一次方程求出x，再计算． 【详解】∵，，，且， ∴， 解得， ∴． 4．如图，射线将分割成三个角，若其中的一个角是其他两个角的和的2倍，我们称射线为的“美妙分割线”．已知为的“美妙分割线”，，则的度数为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义“美妙分割线”、几何图形中角度计算，一元一次方程的应用等知识， 设，则，然后结合“美妙分割线”的定义，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵为的“美妙分割线”， ∴当时， ，解得， 当时， ，解得， 当时， ∵，， ∴． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 5．如图，点O在直线上，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得出，再根据可得答案； （2）根据角的比例可得，再根据角的和差可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型5 互余、互补模型 1．如图，，平分，与互余，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，余角的有关计算，根据角平分线的定义得出，再根据余角的定义得出． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵与互余， ∴， 故选B． 2．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角，三角板中角度的计算，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键． 先求出的度数，再求出的度数即可． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ， ， ， 故选：B． 3．如图，已知在的内部，与互余，平分，，则____． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义以及角平分线的定义，关键是根据角的和差关系与角平分线的定义列出方程求解． 【详解】解：设， ∵与互余， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，解得． 故答案为：． 4．如图所示，已知． （1）若，则__________． （2）若的余角比小，过点作射线，使得，则__________． 【答案】 /22度 或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与余角有关的计算，准确的得到角的和差关系是解题的关键： （1）根据角的数量关系，进行求解即可； （2）分在的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）∵的余角比小， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当在的内部时，； 当在的外部时，； 故答案为：或． 5．如图，点O在直线上，射线都在直线的上方，射线在直线的下方．，垂足为点O，在的内部，． (1)求证：与互为余角； (2)若，与互为余角，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直的定义，平角的定义，得到，即可得证； （2）根据余角的定义结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 则． ∴与互为余角． （2）解：∵，由（1）可得，． ∵与互为余角，， ∴． ∴． ◆题型6 直角内射线模型 1．如图，点在直线上，射线平分，，那么下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查的是角的计算，角平分线的定义的有关知识，由题意得是解答本题的关键． 【分析】解：是平角的平分线， ，故B正确 ，， ， ，．故C，D正确 则是错误的． 故选：A． 2．如图，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：C． 3．如图，点在同一条直线上，，平分．若，则的度数是______． 【答案】/144度 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，由已知可得，即得，再根据角的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图所示，是直角，，平分，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计算，以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键． 先求出的度数，然后根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 5．已知图1图2中． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，射线与重合，若射线以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，当射线与重合时停止所有旋转．设旋转的时间为秒，请计算在旋转过程中一条射线平分另外两条射线所成夹角时的值． 【答案】(1)； (2)，或 【分析】（1）根据垂直的定义得，由角平分线的定义得，再利用计算即可； （2）先确定旋转的总时间为5秒，分三种情况讨论：①平分；②平分；③平分，分别根据角平分线的性质列出方程求解，舍去不符合条件的解． 【详解】（1）解：， ， 平分，， ， ． （2）解：，射线以每秒的速度绕点逆时针旋转，当与重合时停止， ∴，当时，解得， ∴． ∵射线以每秒的速度绕点顺时针旋转， ∴． 设旋转时间为秒，分三种情况： ①当平分时， ，平分， ， ， 解得，符合． ②当平分时，， 平分， ， ， 解得，符合． ③当平分时， 平分， ， ， 解得，符合． 综上，的值为，或 综合攻坚·知能拔高 1．如图，点C是线段上一点，点分别是线段的中点．，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知线段的长度求出，，再利用中点得到，结合即可求解． 【详解】解：∵，，点是线段的中点， ∴，， 又∵点是线段的中点， ∴， ∴． 2．如图，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线，角的计算．熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分关系，是解答本题的关键． 由角平分线的定义得，再根据，得，结合，即可得出的度数． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：A． 3．如图，是的角平分线，，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，先求出，进而求出，然后根据角平分线定义求出，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，射线的端点在直线上，，射线在的内部，与互余，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，角的和与差，先根据互为余角的定义得出，再根据射线的位置及补角的定义得，即可得出答案． 【详解】解：∵与互余， ， ∵射线在内部， ， ∴， 故选：D． 5．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 6．、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 【答案】8 【分析】先用的长度减去的长度，整理即可得出D、E两站的距离，再根据列式并把代入即可求出． 【详解】解：， ∵D为线段的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴（）． 故答案为：8． 7．如图，是钝角，，，是内的三条射线，若，平分，平分，那么的度数是______． 【答案】 【分析】设，则，通过角平分线定义求出和，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：设， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 8．如图，在内部引两条射线，．若，，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】此题考查了几何图形中角度的计算，根据已知可得，则，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 9．如图，与互补，是的平分线，，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用． 设的度数为，求得，根据，列方程，计算即可求解． 【详解】解：设的度数为， ∵与互补， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴ ，解得，即的度数为， 故答案为：． 10．如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 11．如图，直线l上有两个定点A、B，一个动点P，点M、N分别为线段、的中点． (1)若点P在线段上，且，，则线段________，________ (2)探究：当点P在直线l上运动，与有何数量关系． 张同学在探究时发现：点P与线段的位置关系也有不同情况，并且他猜想：．但张同学只做出以下一种情况的解答过程，请你帮他完成其它情况的解题过程，验证他的猜想是否正确． 解：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以： 【答案】(1)5； (2)解：猜想正确， 理由：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：； ②点P在的左侧， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：； ③点P在的右侧， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：， 综上，. 【分析】（1）根据线段的和差关系求出，根据线段中点的定义求出、，由即可求解； （2）由点M是中点，点N是中点，得，分三种情况讨论：①点P在之间，由即可求解；②当P在A左边，由即可求解；③当P在B右边；由即可求解. 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为M是的中点，N是的中点， 所以，， 所以，即； （2）略 12．如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则________cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化．如果不变，请求出EF的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现，角的很多规律和线段一样． ①如图2，已知在的内部转动，，分别平分和．若，，求的度数． ②由此，请猜想，和之间的数量关系：________． 【答案】(1)10 (2)不变， (3)①；② 【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．由，分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题； （2）与（1）同理解答即可； （3）①欲求，需求．已知，需求．由，分别平分和，得，，进而解决此题；②与①同理解答即可． 【详解】（1）解：分别是，的中点， ， 又 ． （2）解：不变， ，分别是，的中点， ，， ， ，，， ， ． （3）解：①分别平分和， ， ， 又， ， ， ， ②由①得：， ， ， ． 13．阅读材料： 如图，点C为线段上任意一点，，点E、F分别为线段的中点．试求线段的长． 解：∵点E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； 问题解决：（依照上题思路解决下列问题） 已知：内有一条射线，，射线分别平分，求的度数． 【答案】 【分析】类比题干解题思路，利用角平分线的定义以及角度的和差计算即可． 【详解】解：∵射线分别平分， ∴． ∴， ∵， ∴． 14．如图是一直线，分别是的平分线． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义直接计算角度即可； （2）根据题意可得，再解出，进而求出即可． 【详解】（1）解：平分， ， 又， ， 同理． 又， ． （2）解：分别是的平分线， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ． 15．设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，，，是一对“分补角”，且在的外部，求β的值； (3)如图3，．若和是一对“分补角”，且在内部，请直接写出的所有可能值． 【答案】(1)，不是 (2) (3)或 【分析】（）利用角平分线的定义可求出，再分别求出与即可判断，是否是“分补角”； （）根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解； （）根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，不是一对“分补角”； （2）解：∵，平分，平分， ∴，， ∴， ∵，是一对“分补角”， ∴，即， 解得； （3）解：∵平分，平分，且在内部， ∴，， ∴， 如图，当时， 则， ∴； 如图，当时， 则； 综上，的可能值为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12线段与角几何模型 常考题型精准突破 ◆题型1线段中点模型 1.C 2.9cm 3. 【详解】(1)解：：AC=15cm,点D是AC的中点， .DC(cm). AC=15cm,CB=7cm, .AB=AC+CB=15+7=22(cm), 点E是AB的中点， 4E=4B=1(em), E=4-40=n-5m (2)解：：AC=15cm,CB=7cm, .AB=AC+CB=22(cm). 由(1)知AD=5。 DB=AB-AD=2-15_29 22(cm), .BF =6cm, 若点F在点B的左侧，如图所示： D E CF B则DF=DB-BF=29-6= 2 (cm: 2 若点F在点B的右侧，如图所示： D E C B F则DF=DB+BF=29+ 4 +6= 2 2(cm); 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17 41 综上所述， DF的长度为2cm或2cm. 4. 【详解】(1)解：，AC:BC=5:4, .BC三4AB=4×18=8 9 .BD=3CD. ∴.BC=BD+CD=3CD+CD=8 ∴CD=2 (2)解：CD=2,BD=3CD. ..BD=6 .AD=AB-BD=18-6=12. 点E是AD的中点， .DE=6 ∴.CE=DE-CD=6-2=4 5. 【详解】(1)解：AE:BE=5:2,AB=14 .AE=10,BE=4 ,点C为线段AB的中点，点D为线段AE的中点， .AC=7,AD=5 ..CD=AC-AD=2; (2)解：“AB=16,点C为线段AB的中点， ∴.AC=BC=8, CE=4, ∴.BE=BC-CE=4, .AE =AB-BE=12, ,点D为线段AE的中点， .AD=6 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2线段上动点问题 1.D 2.6 3. 【详解】(1)解：当点C、D运动了4s,CM=4×1=4(cm),BD=4×2=8(cm), .AB=18cm,MB=10cm, AC=AB-MB-CM=18-10-4=4(cm), DM=MB-BD=10-8=2(cm): (2)解：存在， 设运动时间为ts,则CM=1cm,BD=21cm, .AB=18cm,MB=10cm, .AC=AB-MB-CM=18-10-t=(8-t)cm,DM MB-BD=(10-20)cm, AC=MD. .8-t=10-2t, 解得：t=2, 即点C、D运动时存在AC=MD,运动时间为2s: (3)解：设运动时间为ts,则CM=1cm,BD=21cm, :AC=AM-CM=AM-t,MD=BM-BD=BM-2t. MD=2AC. ∴.BM-2t=2(AM-t). :BM=2AM, .AB=AM+BM =18cm, ∴AM=6cm,BM=12cm, AN-BN MN >0, ÷AN>BN,即AW>)B=9cm, 21 ∴点N在点M的右侧， 分两种情况讨论： ①当点N在AB上时，BN=AB-AW,AM+MN=AN, 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AN-（AB-AN)=2AN-AB=2(AM+MN)-AB=MN, .MN=AB-2AM=18-2×6=6(cm), :M61 AB183: ②当点N在AB的延长线上时，BN=AN-AB, .AN-（AN-AB)=MN. .AB=MN=18cm, 0 MN 1 综上可知，AB3或1 4 【详解】(1)解：，点P是线段AB的中点， ∴AB=2AP=2BP, 满足“二倍点”定义， 故答案为：是 (2)解：由题意得：AP=2t,BP=18-2t ①当AB=2AP时：18=2×21， 9 解得1=2： ②当AB=2BP时：18=2×(18-2)， 解得1=2 ③当AP=2BP时：2t=2×(I8-2). 解得t=6； ④当BP=2AP时：18-21=2×2t, 解得1=3： 答：当，为32或6时，点p是线段4B的“二倍点”. 3) 点C是线段BM的“二倍点”，理由如下 点P是线段AB的“二倍点”，且PB<AP, 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AP=2PB, ∴AB=AP+PB=3PB, ∴.AM=AB+BM=3PB+BM 2PC=AM-BP .2PC=3PB+BM-PB=2PB+BM, .PC=PB+-BM 又，PC=PB+BC :PB+BC=PB+BM, :BC=1BM. .BM=2BC, .点C是线段BM的“二倍点”， 5. 【详解】(1)解：①当1=2时，A0=2×2=4, M号0=2 .MB=AB-AM=12-2=10: ②BQ=AB-AQ=8, 0w=20=4, M0=240=2, ∴.MN=MQ+QN=6 (2) 解：正确结论①，2MB-B0为定值12，理由如下： 依题意Ag=21. :点M为A0中点， :AM=M0-2A0=1 ..MB=AB-AM=12-t 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BO=AB-A0=12-21 .2MB-B0=2(12-)-(12-)=12为定值. (3)解：存在最小值.以点A为原点，射线AB的方向为正方向，建立数轴： 点A表示的数为0，点B表示的数为12，点Q表示的数为21，点P表示的数为12-1 :点M为AQ中点 ∴.点M表示的数为l ∴P9=2t-(（12-=3t-12,BM=1-12, ÷P0+BM=k-4+-12 当1<4时，3P0+BM=4-1+12-1=16-2>8: 当4s1s12时，号P0+BM=1-4+2-1=8, 当1>12时，3P2+BM=1-4+1-12=21-16>8, 综上所述，)P+BM的最小值为g ◆题型3双角平分线模型 1.B 2.① 3. 【详解】解：，OE平分∠BOD, .∠I=∠DOE, :∠I:∠2=1：4，∠1+∠DOE+∠AOD=180°， ·2I=∠D0E=,1 ×180°=30° 1+1+4 ∠B0C=∠2=180°-2×30°=120° .∠C0E=∠C0B+∠1=120°+30°=150°， .OF平分∠COE, :∠B0r-号C05-2x150=75r. .∠B0F=∠E0F-∠1=75°-30°=45° 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 【详解】(1)解：：∠AOB是平角，∠BOE=64°， ∴.∠A0E=180°-∠B0E=116°， :OF,OD分别是∠AOE,∠BOE的角平分线， :∠FOE=)∠A0E=58,∠DOE=)∠BOE=32, 2 .∠AOD=∠AOE+∠DOE=148o (2)解：射线OD与OF垂直，理由如下： :OF,0D分别是∠AOE,∠BOE的角平分线， :∠AOF=∠FOE=)∠A0E,∠DOB=∠D0E=;∠BOE, :∠AOB是平角， .∠AOF+∠FOE+∠DOB+∠DOE=180°， 即2∠FOE+2∠DOE=180°， ∴.∠FOE+∠DOE=∠FOD=90°， ∴射线OD与OF互相垂直. 5. 【详解】(1)解：：OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,射线OB与射线OC重合，∠AOB=120°， ∠C0D=30°， &A0M=3408120P=60,∠B0N=5<C0D=x30=15°， .∠A0M-∠B0N=60°-15°=45°： (2)解：∠AOM-∠BON的值不变，∠AOM-∠BON=45°， 由题意，得∠B0C=21°， :.∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+2t°，∠B0D=∠COD+∠B0C=30°+21°， ∴∠40M=2×20+2P)=(60+)°，∠B0N=2×30°+2)=(15+少°， :.∠A0M-∠B0N=(60+)°-(15+)°=45°： (3)解：由(2)知∠BOC=2°，∠B0N=(15+°， ∠CON=∠B0N-∠BOC=(15+)°-2°=10°， 解得1=5，即t的值为5. 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4和差角模型（叠角模型） 1.B 2.B 3.48 4.7°或40° 5. 【详解】(1)解：：∠COD=2LBOC, ∠B0c-400D-25. :.∠BOD=∠B0C+∠COD=75°， .∠A0D=180°-∠B0D=180°-75°=105°： (2)解：：∠COD=2∠BOC, :∠BOC=∠BOD F∠A0E= ∠DOA」 3 &2B0C+L40E=(∠B0D+∠D0A0-A0B=60, .∠C0E=180°-（∠B0C+∠A0E)=180°-60°=120° ◆题型5互余、互补模型 1.B 2.B 3.70° 4. 【详解】解：(1)，∠AOB:∠B0C=1:2,∠AOC=66°， 2408=写400=2， 故答案为：22°； 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2):∠A0C的余角比∠B0C小30°， .90°-∠A0C+30°=∠B0C, ∠AOB:∠BOC=1:2, :∠B0c-40c. 3 ÷.90°-∠40C+30°=2∠40C. .∠A0C=72°， ,∠AOC=5LAOD .∠A0D=14.4°， 当OD在∠AOC的内部时，∠COD=∠AOC-∠AOD=57.6°： 当OD在∠AOC的外部时，∠COD=∠AOC+∠AOD=86.4°； 故答案为：57.6°或86.4° 5. 【详解】(1)证明：：C0⊥DO, ∠C0D=90° 则∠A0C+∠B0D=180°-90°=90° .∠AOC与∠BOD互为余角. (2)解：：∠A0C=25°，由(1)可得，∠B0D=65°. :∠C0E与∠B0F互为余角，∠C0E=35°， .∠B0F=90°-35°=55° ∴∠D0F=∠BOD+∠B0F=65°+55°=120° ◆题型6直角内射线模型 1.A 2.C 3.144° 4.30°4148 5. 【详解】(1)解：OA⊥OB .∠AOB=90°」 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :OC平分∠AOD,∠COD=60°， ∴.∠AOC=∠COD=60° .∠B0C=∠AOB-∠AOC=90°-60°=30° (2)解：：∠AOB=90°，射线OB以每秒18°的速度绕点O逆时针旋转，当OB与OA重合时停止， ∴∠A0B=90°-181°，当90-181=0时，解得1=5， 0≤t≤5 ,射线OC以每秒12°的速度绕点O顺时针旋转， ·∠B0C=18°+12°=301°. 设旋转时间为秒，分三种情况： ①当OB平分∠AOD时， :∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+60°=150°，OB平分∠AOD, ∠40B=40D=75. ∴.90-18t=75 5 解得1=6，符合0≤1≤5 ②当0C平分∠B0D时，∠COD=60°-12°， :OC平分∠BOD, ∴.∠BOC=∠COD ∴.301=60-121， 10 解得1=7，符合0≤1≤5 ③当OB平分∠AOC时， OB平分∠AOC, ∴.∠AOB=∠BOC, ∴.90-18t=30t, 15 解得=8，符合0<1≤5 51015 综上，的值为6,7或8 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 1.D 2.A 3.A 4.D 5.D 6.8 7.39.5° 8.60° 9.50° 10.4.75或1.3 11. 【详解】(1)解：因为AB=10,AP=6, 所以BP=AB-AP=4, 因为M是AP的中点，N是PB的中点， 所以M=AP=3.PW=PB=2, 2 所以MN=PM+PN=3+2=5即AM=AB, (2)解：猜想正确， 理由：①点P在AB之间， 因为：M是AP的中点，N是PB的中点， 所以：MP=)AP,PN=PB, 2 所以：Aw=M+N-4P+PB-A+P围-4， 1 2 ②点P在A的左侧， PMAN B 因为：M是AP的中点，N是PB的中点， 11/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以：MP=)AP,PN=PB, 2 所以：MN=N-PM-PB-3An-PB-P=AB, 2 2 2 ③点P在B的右侧， MBN P 因为：M是AP的中点，N是PB的中点， 所以：MP=)AP,PN=)PB, 1 2 商：w=pM-w-号4P-PB-PA-P8)-34, 2 1 综上，MN=。AB 2 12. 【详解】(1)解：“E,F分别是AC,BD的中点， .EC-4C.DF-D8 2 ECC(4C+DB) 又：AB=18cm,CD=2cm, .AC+DB=AB-CD=18-2=16(cm) C+DB)8em) ...EF=EC+DF+CD=8+2=10(cm) (2)解：不变， :E,F分别是AC,BD的中点， .EC-AC.DF-DB. 2 .EC+DF-AC+D-(4C+DB). 21 21 .AB=18cm,CD=2cm,:.AC+DB=AB-CD=18-2=16(cm), EC+DF-(C+DB)-8cm ...EF=EC+DF+CD=8+2=10(cm) 12/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：①OE,OF分别平分∠A0C和∠BOD, ∠BOC=∠4OC,∠D0F=∠DOB. 2 ∠B0c+∠0r-40c+D0B=40c+0A. 又：∠A0B=140°，∠C0D=40° ∴.∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=100°， ∴.∠E0C+∠D0F=50°， ∴.∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD=50°+40°=90°， gl0得：∠B0C+∠D0F-40c+2D0B. .∠AOC+∠DOB=∠AOB-∠COD, ∴.∠EOC+∠DOF=5(∠AOB-∠COD), 2 ∴.∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD 1 =(∠AOB-∠COD)+∠COD E(∠A0B+∠COD): 13. 【详解】解：：射线OM、ON分别平分∠AOB、∠BOC, :∠BOM=∠AOB,∠BON=∠BOC 2 MoN=∠oM-∠0N-A08-B0c-(40B-∠BoC)-40c. :∠A0C=70°， 1 ∠M0N=号×70°=350 14 【详解】(1)解：：OM平分∠AOC, .∠AOM=5∠AOC, 2 又∠A0C=30° :∠A0M=30×2 13/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理∠BON=30° 又：∠AOM+∠MON+∠BON=180°， ∴.∠MON=180°-15°-30°=135° (2)解：·OM、ON分别是∠AOC∠BOD的平分线， .∠AOC=2∠COM,∠BOD=2∠DON, .∠MON=∠COM+∠COD+∠DON=150°. ∴.2∠COM+2∠COD+2∠DOW=300°， .∠AOC+2∠COD+∠DOB=300°， ∴.∠C0D+180°=300°， .∠C0D=120°， x∠c0M=<oD=lI0 .∠AOC=20°， :.∠DOB=180°-∠AOC-∠COD=40° D B 15. 【详解】(1)解：如图， E B C ---D O A 图1 :OD平分∠AOC,OE平分LCOB, COP-AOC.ZCOE-COB. :∠D0E=∠c0D+2∠C0E-(40c+∠C0B)-=A0B=6S, ,∠AOB=130°，∠A0C=50°， .∠C0B=130°-50°=80°. .∠A0C+∠D0E=50°+65°=115°，∠C0B+∠D0E=80°+65°=145°， 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AOC,∠COB不是一对“分补角”： (2)解：∠A0C=120°，0D平分∠A0C,OE平分C0B, :4c0=40c=6c,2c0=4c08=. 2 :∠D0E=∠C0D+∠COE=60°+B. 2 ∠AOC,∠COB是一对“分补角”， ÷∠C08+∠D0E=180·即B+60+B=180。 解得B=80°： (3)解：OD平分∠AOC,OE平分∠COB,且OC在∠AOB内部， COD-LAOC.ZCOE-ZCOB. 2D0E=∠CoD+C0E-=(240c+∠C0)-40n-80, 如图，当∠C0B+∠D0E=180°时， E D B A 则∠C0B=180°-80°=100°. .∠A0C=∠A0B-∠COB=160°-100°=60°， 如图，当∠A0C+∠D0E=180°时， D B 则∠A0C=180°-80°=100°： 综上，∠A0C的可能值为60°或100° 15/15