专题08 几何体的认识（专项训练）数学新教材人教版七年级上册

专题08 几何体的认识 常考题型·精准突破 考点一 几何体的认识 题型1几何体的构成 题型2 几何体的点、棱、面 题型3 从不同方向看几何体（高频） 题型4 几何体表面积与体积的计算 题型5 截一个几何体 考点二 几何体的展开图 题型6 几何体展开图的认识 题型7 含有图案的正方体展开图（难） 题型8 正方体的展开图（重） 题型9 正方体相对两面上的文字（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 几何体的认识 ◆题型1几何体的构成 1．（24-25九年级下·新疆·期中）有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则剩余部分的表面积是________．      3．如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 _____． 4．一个棱长为5厘米的正方体，在此正方体的上表面的正中间向下挖一个棱长3厘米的正方体小洞，接着在小洞底面的正中间再向下挖一个棱长1厘米的正方体小洞，最后得到的立体图形的表面积是____________平方厘米． ◆题型2 几何体的点、棱、面 5．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： (1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： (2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； (3)已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 6．棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 8 10 12 棱数e 9 12 15 18 面数f 5 6 7 8 7．（24-25七年级上·广东梅州·期中）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： (1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： (2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； (3)已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数（F） 棱数(E) 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 8．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）丰富的图形世界里有奇妙的数量关系，让我们通过下面这些几何体开始神奇的探索之旅． 【观察】：下面这些几何体都是简单的几何体，请你仔细观察． 【统计】： (1)每个几何体都会有棱（棱数为）、面（面数为）、顶点（顶点数为），现将有关数据统计，完成下表． 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 9 15 面数（） 4 5 5 6 顶点数（） 4 8 【发现】： (2)简单几何体中，_____； (3)简单几何体中，每条棱都是_____个面的公共边； (4)在正方体中，每个顶点处有_____条棱，每条棱都有_____个顶点，所以有． 【应用】： (5)有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有_____条棱，_____个顶点，每个顶点处有_____条棱． 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 8 9 12 15 面数（） 4 5 5 6 7 顶点数（） 4 5 6 8 10 ◆题型3 从不同方向看几何体 9．（2026·河北石家庄·一模）如图是由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）用若干个大小相同的小立方块搭成一个立体图形，从左面和上面看到的平面图形如图所示，搭成的这个立体图形最多需要个小立方块，最少需要个小立方块，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 12．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成． (1)请在网格中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． (2)在这个几何体中，当去掉一个小正方体________时，剩余部分从上面看到的形状没有改变（填写图中小正方体的序号）；如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的从正面、左面看到的形状不变，那么最多可以再添加________个小正方体． ◆题型4 几何体表面积与体积的计算 13．（25-26七年级上·山东青岛·期末）某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（   ） A．乙丙甲 B．乙甲丙 C．丙甲乙 D．甲丙乙 14．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 15．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 16．（25-26七年级上·福建莆田·期末）问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 17．（25-26七年级上·河北保定·期末）【问题情境】某实践小组开展“长方体纸盒制作”的活动． 【提出问题】 (1)如图1，将边长为的正方形纸板剪去4个边长为的小正方形（阴影部分），再沿虚线折成无盖长方体纸盒，与点重合的是点_____． (2)如图2，一长方形纸板，长是宽的2倍，将其四周剪去2个边长为的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形（阴影部分），然后沿虚线折合成一个有盖的长方体盒子．设长方形纸板的宽是． ①则长方体盒子底面的长为_____；（用含的代数式表示） ②若长方体盒子底面的长是宽的倍，求该长方体盒子的体积． (3)先将（2）中折成的长方体盒子装满水，再倒入（1）中折成的长方体盒子中，请直接写出（1）中长方体盒中水面的高度．（两个盒子都不漏水） 18．（25-26七年级上·福建泉州·期末）【项目式学习】项目主题：礼品盒的探究． 项目内容：学会用数学的眼光看世界，学习小组开展了一次礼品盒的探究之旅． 探究一：图1的三个几何体是常见的礼品盒模型． （1）请分别写出每种礼品盒对应的几何体名称：①正三棱柱；②____________；③____________； 探究二：打开礼品盒顶盖后，看到里面分别装着圆柱形礼品，如图2分别是三个礼品盒拿走顶盖后从上面看到的形状图． （2）学习小组绘制了图2-1中礼品盒的表面展开图，其中能折叠成正三棱柱礼品盒的图样是_______．（请把正确的序号填在横线上） 探究三：经测量发现，每个圆柱形礼品高，底面圆的半径． （3）现对图2-2和图2-3中礼品盒（有盖）的表面进行贴膜塑封，求两个礼品盒贴膜塑封的总面积．（结果保留，礼品盒高等于圆柱形礼品高，礼品盒的厚度和贴膜接缝处忽略不计．） 19．（25-26七年级上·广东茂名·期末）综合与实践 【阅读材料】走进超市，各种各样的商品琳琅满目，它们有着形形色色的包装盒，其中长方体包装盒占比最多，实用性强．某综合实践小组开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题提出】（1）在如题图1所示的四个图形中，能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是______（填序号）． 【问题解决】（2）该小组利用边长为的正方形纸板设计了如下两种不同的制作长方体纸盒的方案． ①按题图2所示的方案制作一个无盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去4个边长为的小正方形，再沿虚线折叠纸板．用含a、b的代数式表示该无盖长方体纸盒的底面周长，并求出当，时底面周长的值； ②按题图3所示的方案制作一个有盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去2个边长为的小正方形和2个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠纸板．若，，求该有盖长方体纸盒的体积． ◆题型5 截一个几何体 20．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）某棱柱共有个顶点，用一个平面去截该棱柱，截面的边数可能是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，泗阳电视塔塔身高158米，素有“小东方明珠”的美誉．塔球上这部分可以近似看成一个六棱柱，如果用一个平面去截六棱柱，边数最多的截面形状是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 22．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）用一个平面去截下列几何体，截面不可能是圆形的是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用一个平行于正五棱锥底面的平面截正五棱锥，截面的形状是__． 考点二 几何体的展开图 ◆题型6 几何体展开图的认识 24．（2026·河南平顶山·三模）如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 25．（2026·江苏常州·二模）某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级上·福建福州·期末）综合与实践：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【特例感知】实践小组先研究了正方体的展开图 下列平面图形中，是正方体平面展开图的是_____； A．    B．    C．    D． (2)【初步研究】实践小组按照如图方式制作了一个无盖的长方体纸盒，他们先将边长为的正方形纸板的四角剪去四个边长为的小正方形（图一），再沿虚线折叠起来（图二），则该长方体纸盒的底面周长为（_____）cm；（用含、的代数式表示） (3)【知识再探】实践小组将一个和图二一样的无盖的长方体纸盒沿某些棱剪开，展成一个平面图形．他们发现有多种样式的展开图，当时，其中有一种展开图的周长为，请求出的所有可能的值． 27．（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图是一个立体图形的展开图． (1)该立体图形的名称是_______； (2)若把展开图折叠成立体图形后，相对两个面上的数互为倒数，请将展开图上的数补充完整．（直接在图上填写） ◆题型7 含有图案的正方体展开图 28．（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26七年级上·广东广州·期末）将“数学核心素养”六个字分别写在如图所示的正方体盒子的六个面上，将图1盒子在桌面上向右翻滚，接着按逆时针方向旋转．若把该正方体盒子打开，得到的平面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 30．（25-26六年级上·山东泰安·期中）小明在四个立方体展开图上画了一些线和圆圈，然后把他们折叠起来，以下哪个展开图可以折成右面这个立方体（    ） A．B．C．D． 31．（25-26七年级上·云南曲靖·期末）如图是阳阳设计的抽奖盒子，他在部分面上进行了装饰．下列图形中可以作为抽奖盒的展开图的是（    ） A． B． C． D． ◆题型8 正方体的展开图 32．（2026·河南洛阳·三模）如图是正方体表面的展开图，将其折叠成正方体后，与点重合的点为（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 所以与顶点重合的点是. 33．（25-26九年级下·广东深圳·期中）下面图形不能拆成正方体的是（     ） A． B． C． D． 34．（2026·江西上饶·模拟预测）如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 35．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． ◆题型9 正方体相对两面上的文字 36．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，是一个正方体的表面展开图，请回答： (1)与面相对的分别是：______； (2)若，，，，且相对两个面表示的整式的和相等，求分别代表的整式． 37．（25-26七年级上·云南普洱·期末）阅读材料：在初中数学学习中，数轴是连接数与形的重要桥梁，它将抽象的有理数与直观的几何图形完美结合．研究数轴我们能发现许多重要的规律：若数轴上点C，点D表示的数分别为c，d，则C，D两点之间的距离． 根据以上知识解决下列问题： 如图1，是一个正方体的展开图，其每一个面都有一个有理数，相对面上的两个数互为相反数，图2中数轴上点A，点B表示的数分别为a，b． (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点M从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒（）． ①当P，Q两点的距离为8时，求t的值； ②在某个时间段内，的值不随t的变化而变化，求出该时段m的值． 38．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）（1）【基础尝试】如果准备制作一个正方体纸盒，下图中经过折叠能围成正方体纸盒的有_______（填序号）． （2）【操作探究】如图，小明准备在边长为的正方形硬纸板的个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒，其底面边长为， （I）这个纸盒的底面积是_____，高是_____（用含，的代数式表示）； （II）已知当底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为，则当底面边长时，求纸盒的容积． （3）【拓展设计】小新将正方形硬纸板按图方式裁剪（保留阴影部分），制作了一个无盖的长方体纸盒．已知四个面上分别标有代数式，，，．若该纸盒相对的两个面上的代数式相等，求式子的值． 39．（25-26六年级上·山东烟台·期末）将六个有理数，，，，，分别写在正方体的六个面上，并将该正方体展开，得到该正方体的展开图（如图），我们约定：分别在两个相对的面的数字我们称为“相对的数”．已知与它相对的数互为相反数，与它相对的数互为倒数，与它所相对的数的差的绝对值为． (1)请在如图的括号内填上，，． (2)根据已知条件可得： ①_____；②_____；③_____． (3)求多项式的值． 综合攻坚·知能拔高 一．选择题 40．（2026·河北沧州·一模）如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 41．（2026·河南平顶山·三模）南朝宋时期范晔在《后汉书·耿弇传》中写道：“将军前在南阳，建此大策．常以为落落难合、有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，下列是它的四种平面展开图，则在原正方体中，“有”的对面是“竟”的是（     ） A． B． C． D． 42．（2026·江苏徐州·二模）某正方体纸盒被切割部分后的形状如图所示，则切割后该几何体的展开图（不含凹陷部分的表面）不可能是（   ） A． B． C． D． 二．解答题 43．（2026·河北张家口·二模）嘉嘉用硬卡纸做了一个骰子，六个面上分别标有六个数字，投掷两次，结果如图所示．从第二次投掷结果开始将骰子向右滚动，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，……，按照这样的规律，经过103次滚动后，朝下一面的数字为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 44．（2026·黑龙江·模拟预测）在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（     ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 45．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子的侧面为长方形，底面为等边三角形． (1)每个盒子需____________个长方形，____________个等边三角形 (2)硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．现有相同规格的19张正方形硬纸板，其中的x张按方法一裁剪，剩余的按方法二裁剪．    ①裁剪出的侧面____________个，底面____________个（用含x的代数式表示）； ②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，求能做多少个盒子． 46．（24-25七年级上·广东茂名·期末）【问题探究】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： (1)当三角形的个数是5时，所用的磁力棒的根数是________； (2)当三角形的个数是时，所用的磁力棒的根数是________（用含的代数式表示）； (3)同一平面内，用6根磁力棒能否组成4个等边三角形？请说明理由； 探究二：立体图形 (4)创新小组的小梦同学想到学过的三棱锥，想利用磁力棒搭立体图形，并使所搭成的三棱锥各个面均为等边三角形． 问：小梦搭成的三棱锥用了多少根磁力棒？组成了多少个等边三角形？ 47．（25-26七年级上·江苏南京·期末）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．黄铁矿的晶体（如图1）是一个正方体：它由六个面组成，每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接3条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是完全相同的正n边形，且各顶点连接r条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． 一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条棱．小明对部分正F面体（如图2）进行了观察，列出以下数据． 正多面体 F n V E r 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 (1)根据表中的数据，请写出F，V，E之间存在的等量关系式：________． (2)小明进一步发现，正F面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24．又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．正F面体的棱数________；（用含n，F的代数式表示） ②从顶点出发：正F面体的棱数________．（用含r，V的代数式表示） (3)已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接5条棱，求这个正多面体的一个面是几边形． 48．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示． (1)该盒子的底面的宽为 ，长为 ． （用含a的式子表示）． (2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求x的值． (3)请在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖． 49．（25-26七年级上·广东佛山·期末）综合与实践 七年级组织学生开展“设计制作包装盒”的实践主题活动． 【动手操作】如①图所示，甲小组制作了包装盒，包装盒长比宽多；乙小组制作了包装盒． （1）设高为，则盒子的宽为______，长为______（用含的代数式表示）．盒子的形状是______，盒子的体积是________． 【提出问题】如②图、③图所示．将四个包装盒按不同的摆放方式，然后装在不同的大纸箱里，那么，如何摆放（没有空隙）才能使所用的大纸箱材料尽可能少（大纸箱的表面积尽可能小）？ 【解决问题】（2）②图是用包装盒摆放的其中3种不同的方式．求图几何体的表面积，并确定选择哪种放置方式？ 表面积（） 图 832 图 1088 图 计算发现：当其重叠部分的面积较大时，大纸箱的表面积较小． 【类比应用】（3）乙小组打算将4个B包装盒按③图所示的三种摆放方式，装在三个不同大纸箱里，其中，，则应该选哪种摆放方式可使得大纸箱的表面积最小？（直接写出结果），并求出最小的表面积． 50．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． (1)【知识准备】 下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有______；（只填序号） (2)【制作纸盒】 综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子． 如图⑤，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．如图⑥，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子，请求出制作成的无盖盒子的体积和有盖盒子的体积？ (3)【拓展探究】 若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为，，，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，聪明的你能画出一个使外围周长最小的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长？ 51．（25-26六年级上·山东烟台·期末）某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖长方体的表面展开图的是_________________；（填序号） 【探索尝试】 （2）综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来．请用含a，b的式子表示长方体纸盒的底面周长； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板两角分别剪去两个边长为厘米的小正方形，再另两角分别剪去两个大小一样的小长方形，最后沿虚线折合起来．请用含；的式子表示长方体纸盒的体积； 【实践分析】 在日常的生活中，我们所用的包装盒一般为双层上盖的长方体纸箱（双层上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍），如图3所示． 某电商销售一款长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的长方体玩具，准备用如图4所示的这种双层上盖的纸箱进行包装． （3）请计算制作一个图4形状的包装盒需要多少平方厘米的纸板； （4）该玩具商家在今年元旦期间推出“买一送一”的活动，要将两个同一型号的玩具放一起包装在一个更大的长方体双层上盖包装盒内，如图5是其中一种包装方法（朝上的一面为盒盖），请计算这种设计方法需要的纸板面积．同时请你在下面的网格中设计另一种方案（画出立体图并标明长、宽、高）使设计包装盒所需纸板面积更少，并求出你设计的包装盒所需的纸板面积． 52．（25-26七年级上·山西临汾·期末）综合与实践 生活中很多物品的包装盒都可以近似看作长方体，小华在学习了数学活动“制作包装盒”这节课时，用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子，按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，做成了一个无盖的长方体盒子并进行如下探究： (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为______cm，底面积为______，请你用含的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表： 剪去正方形的边长单位：cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积（单位：） 324 512 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你会发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (4)现在需要对无盖长方体盒子的所有外表面(包括底面)进行涂色，当时，需要涂色的面积是多少？ 53．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是___________（填序号）． ①          ② ③            ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为的有盖正方体．设计组提供了如图1所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图2可以围成礼盒___________（填“A”或“B”）； ②材料组准备了规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒A的展开图？几个礼盒B的展开图？并通过画图说明． 54．（2026·广东清远·二模）综合与实践：在完成“设计并制作一个体积尽可能大的无盖长方体收纳盒”的任务后，兴趣小组进一步研究用长方形纸片制作符合不同需求的长方体纸盒． 【基础回顾】 (1)如图1，将一张边长为30的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，将剩下的纸片沿着虚线折叠成无盖的长方体纸盒． ①该纸盒的底面边长为________（用含有的代数式表示）； ②该纸盒的容积为________（用含有的代数式表示）． 【进阶研究】 用普通长方形纸片制作长方体纸盒（长方形中，，）． (2)兴趣小组继续制作无盖长方体纸盒（纸片无剩余），如图2，用把长方形纸片分成2个长方形，并沿着剪开．将长方形沿着虚线折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面．经观察后，兴趣小组分析，能折成纸盒的关键是：找到长方形与长方形相关线段之间的等量关系． ①他们先确定了，请你写出另一组关键的等量关系________=________ ②求长方体纸盒的容积． (3)兴趣小组尝试制作有盖长方体纸盒（纸片无剩余），设计了如下方案： 如图3，沿将长方形剪成两部分，将长方形沿着虚线折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面．该方案是否可行？________（填写“是”或“否”） 如果可行，请求长方体纸盒的容积；若不可行，请简要说明理由． (4)请你设计一个制作“有盖长方体纸盒”的方案（纸片无剩余）：请在图4中画出裁剪示意图，并求出纸盒的容积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 几何体的认识 常考题型·精准突破 考点一 几何体的认识 题型1几何体的构成 题型2 几何体的点、棱、面 题型3 从不同方向看几何体（高频） 题型4 几何体表面积与体积的计算 题型5 截一个几何体 考点二 几何体的展开图 题型6 几何体展开图的认识 题型7 含有图案的正方体展开图（难） 题型8 正方体的展开图（重） 题型9 正方体相对两面上的文字（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 几何体的认识 ◆题型1几何体的构成 1．（24-25九年级下·新疆·期中）有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则剩余部分的表面积是________．      【答案】 【分析】从顶点处挖去一个小正方体，挖去小正方体后，小正方体外露的三个面正好可以补上原正方体缺失部分，故表面积不变． 【详解】解：挖去小正方体后，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积相等， 剩余部分的表面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何体体积、表面积的计算，明确挖去的正方体中相对的面的面积都相等是此题关键． 3．如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 _____． 【答案】④⑤⑥ 【分析】观察所给的模块，结合构成的棱长为3的大正方体的特征即可求解． 【详解】解：由图形可知，模块⑥补模块①上面的左上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块④补模块①上面的⑥⑤之间，使得模块①成为一个棱长为3的大正方体． 故能够完成任务的为模块④，⑤，⑥． 故答案为：④⑤⑥（答案不唯一）． 【点睛】考查了认识立体图形，本题类似七巧板的游戏，考查了拼接图形，可以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力． 4．一个棱长为5厘米的正方体，在此正方体的上表面的正中间向下挖一个棱长3厘米的正方体小洞，接着在小洞底面的正中间再向下挖一个棱长1厘米的正方体小洞，最后得到的立体图形的表面积是____________平方厘米． 【答案】190 【分析】本题考查了求不规则立方体的表面积，根据题意得到正方体多出中正方体和小正方体各4个面，进行求解即可． 【详解】解：立体图形的表面积为（平方厘米）； 故答案为：190． ◆题型2 几何体的点、棱、面 5．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： (1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： (2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； (3)已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】(1)填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 (2)五 (3) 【分析】（1）填表，通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵一个棱柱只有七个面，必有2个底面， ∴有个侧面， ∴这个棱柱是五棱柱； （3）解：由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得， 故该多面体的面数为． 6．棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 【答案】补全表格：8；15；18；6；7；（1）16；28；42（2）二十八；（3）n；；；；（4） 【分析】本题主要考查了数字的变化，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 根据图示信息填写表格即可； （1）根据表格信息找出规律即可求解； （2）根据棱、面的关系求解即可； （3）根据棱、面的关系求解即可； （4）根据棱、面的关系求解即可． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 8 10 12 棱数e 9 12 15 18 面数f 5 6 7 8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； （2）某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱； （4）∵在三棱柱中：，在四棱柱中：，在五棱柱中：， ∴v，e，f之间的关系：． 7．（24-25七年级上·广东梅州·期中）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： (1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： (2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； (3)已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】(1) 多面体 顶点数 面数（F） 棱数(E) 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 (2)五 (3)10 【分析】（1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】（1）解：填表略；顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是； （2）解：∵一个棱柱只有七个面，必有2个底面， ∴有个侧面， ∴这个棱柱是五棱柱； （3）解：由题意得：棱的总条数为（条）， 由，可得 ， 解得， 故该多面体的面数为10． 8．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）丰富的图形世界里有奇妙的数量关系，让我们通过下面这些几何体开始神奇的探索之旅． 【观察】：下面这些几何体都是简单的几何体，请你仔细观察． 【统计】： (1)每个几何体都会有棱（棱数为）、面（面数为）、顶点（顶点数为），现将有关数据统计，完成下表． 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 9 15 面数（） 4 5 5 6 顶点数（） 4 8 【发现】： (2)简单几何体中，_____； (3)简单几何体中，每条棱都是_____个面的公共边； (4)在正方体中，每个顶点处有_____条棱，每条棱都有_____个顶点，所以有． 【应用】： (5)有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有_____条棱，_____个顶点，每个顶点处有_____条棱． 【答案】(1) 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 8 9 12 15 面数（） 4 5 5 6 7 顶点数（） 4 5 6 8 10 (2) (3)2 (4)3，2 (5)30，20，3 【分析】（1）仔细分析所给图形的特征即可得到结果； （2）根据表格中的数据依次分析即可得到结果； （3）根据表格中的数据依次分析即可得到结果； （4）根据表格中的数据依次分析即可得到结果； （5）应用所发现的规律即可得到结果. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中的数据发现：简单几何中，； （3）解：简单几何体中，每条棱都是2个面的公共边； （4）解：在正方体中，每个顶点处有3条棱，每条棱都有2个顶点，所以有； （5）解：有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有30条棱，20个顶点，每个顶点处有3条棱． ◆题型3 从不同方向看几何体 9．（2026·河北石家庄·一模）如图是由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图是从左边看到的图形进行解答． 【详解】解：根据左视图的概念，从左向右看，该几何体有列，第列有层，第列有层． 故选：A． 10．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）用若干个大小相同的小立方块搭成一个立体图形，从左面和上面看到的平面图形如图所示，搭成的这个立体图形最多需要个小立方块，最少需要个小立方块，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，代数求值． 根据题意求出的值，然后代入求值即可． 【详解】解：根据题意可得，最多需要的方块为，最少需要的方块为， ∴， 故选：B． 11．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 【答案】(1) (2)这个几何体的表面积为． 【分析】（1）根据从不同方向看几何体作图即可； （2）根据表面积公式结合图形计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：， 这个几何体的表面积为． 12．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成． (1)请在网格中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． (2)在这个几何体中，当去掉一个小正方体________时，剩余部分从上面看到的形状没有改变（填写图中小正方体的序号）；如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的从正面、左面看到的形状不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 【答案】(1) 如图所示 (2)①； 【详解】（1） 略 （2）解：当去掉一个小正方体①时，剩余部分从上面看到的形状没有改变． 保持这个几何体的从正面、左面看到的形状不变，可在第一层的前面第一行添加2个小正方体． ◆题型4 几何体表面积与体积的计算 13．（25-26七年级上·山东青岛·期末）某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（   ） A．乙丙甲 B．乙甲丙 C．丙甲乙 D．甲丙乙 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图分别求出每种纸盒的无盖长方体的容积，再比较大小即可． 【详解】解：由图形并结合题意可得： 甲所折成的无盖长方体的容积为：， ∵乙所折成的无盖长方体中， 又∵， ∴，， ∴乙所折成的无盖长方体的容积为：， ∵丙所折成的无盖长方体中， 又∵， ∴，， 丙所折成的无盖长方体的容积为：， ∵， ∴从小到大排列顺序为乙甲丙， 故选：B． 14．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长， ∴长方体的侧面积是：， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 【答案】(1)①，④ (2)标注尺寸如图． (3) 【分析】（1）根据长方体的展开特点即可作出判断； （2）找到对应边，标注上尺寸即可； （3）根据长方体的侧面积，表面积的公式计算即可； 【详解】（1）解：①，④ （2）解：略 （3）解：； ； 16．（25-26七年级上·福建莆田·期末）问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 【答案】(1)④ (2)①平方厘米；②． 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠、长方体的底面积与容积计算，熟练掌握长方体展开图的特征及长方体容积公式是解题的关键． （1）根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号． （2）①先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算底面积．②分别根据甲、乙、丙三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体， 故答案为：④； （2）解：①正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为厘米， 底面边长厘米， 底面积平方厘米； ②甲方案：底面四边形是正方形，且， 底面边长厘米，高厘米， 立方厘米； 乙方案：∵底面四边形是正方形，且厘米， ∴底面边长厘米，高厘米， ∴立方厘米； 丙方案：，且， ， 解得厘米，厘米， 高厘米， 立方厘米， ， ． 17．（25-26七年级上·河北保定·期末）【问题情境】某实践小组开展“长方体纸盒制作”的活动． 【提出问题】 (1)如图1，将边长为的正方形纸板剪去4个边长为的小正方形（阴影部分），再沿虚线折成无盖长方体纸盒，与点重合的是点_____． (2)如图2，一长方形纸板，长是宽的2倍，将其四周剪去2个边长为的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形（阴影部分），然后沿虚线折合成一个有盖的长方体盒子．设长方形纸板的宽是． ①则长方体盒子底面的长为_____；（用含的代数式表示） ②若长方体盒子底面的长是宽的倍，求该长方体盒子的体积． (3)先将（2）中折成的长方体盒子装满水，再倒入（1）中折成的长方体盒子中，请直接写出（1）中长方体盒中水面的高度．（两个盒子都不漏水） 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了长方体及其体积，列代数式，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据长方体图形进行求解即可； （2）①根据图形列出代数式即可； ②根据图形表示出长方体盒子底面的宽，然后根据长和宽的数量关系，列出方程求解即可； （3）求出第一个长方体的底面积，然后求高度即可． 【详解】（1）解：与点重合的是点， 故答案为：； （2）解：①设长方形纸板的宽是，则长为， ∴长方体盒子底面的长为， 故答案为：； ②长方体盒子底面的宽为， ∴， 解得， ∴长方体盒子底面的长为， 长方体盒子底面的宽为， ∴长方体盒子的体积为 （3）解：第一个长方体盒子的底面面积为， ∴， ∴（1）中长方体盒中水面的高度为． 18．（25-26七年级上·福建泉州·期末）【项目式学习】项目主题：礼品盒的探究． 项目内容：学会用数学的眼光看世界，学习小组开展了一次礼品盒的探究之旅． 探究一：图1的三个几何体是常见的礼品盒模型． （1）请分别写出每种礼品盒对应的几何体名称：①正三棱柱；②____________；③____________； 探究二：打开礼品盒顶盖后，看到里面分别装着圆柱形礼品，如图2分别是三个礼品盒拿走顶盖后从上面看到的形状图． （2）学习小组绘制了图2-1中礼品盒的表面展开图，其中能折叠成正三棱柱礼品盒的图样是_______．（请把正确的序号填在横线上） 探究三：经测量发现，每个圆柱形礼品高，底面圆的半径． （3）现对图2-2和图2-3中礼品盒（有盖）的表面进行贴膜塑封，求两个礼品盒贴膜塑封的总面积．（结果保留，礼品盒高等于圆柱形礼品高，礼品盒的厚度和贴膜接缝处忽略不计．） 【答案】（1）②长方体；③圆柱；（2）①②④；（3） 【分析】本题主要考查了几何体和求几何体的面积，注意：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱． （1）根据图形求解即可； （2）根据正三棱柱的展开图分析即可； （3）先求出长方体的长、宽、高，圆柱体的底面半径和高，再求面积，即可求解． 【详解】解：（1）每种礼品盒对应的几何体名称：②长方体；③圆柱； （2）能折叠成正三棱柱礼品盒的图样是①②④； （3）长方体的长为，宽为，高为， 长方体礼盒的面积为， 圆柱体的底面半径为，高为， 圆柱体礼盒的面积为， 两个礼品盒贴膜塑封的总面积． 19．（25-26七年级上·广东茂名·期末）综合与实践 【阅读材料】走进超市，各种各样的商品琳琅满目，它们有着形形色色的包装盒，其中长方体包装盒占比最多，实用性强．某综合实践小组开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题提出】（1）在如题图1所示的四个图形中，能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是______（填序号）． 【问题解决】（2）该小组利用边长为的正方形纸板设计了如下两种不同的制作长方体纸盒的方案． ①按题图2所示的方案制作一个无盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去4个边长为的小正方形，再沿虚线折叠纸板．用含a、b的代数式表示该无盖长方体纸盒的底面周长，并求出当，时底面周长的值； ②按题图3所示的方案制作一个有盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去2个边长为的小正方形和2个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠纸板．若，，求该有盖长方体纸盒的体积． 【答案】（1）①②④；（2）①；②该有盖长方体纸盒的体积为 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，由展开图计算几何体的体积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据所给的图形，通过折叠再得出能否折叠围成有盖的长方体纸盒； （2）①先根据图示用代数式表示底面周长，再代入求值； ②先用代数式表示出有盖长方体纸盒的体积，再代入求值． 【详解】（1）解：在如题图1所示的四个图形中，能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是①②④， 故答案为：①②④； （2）①解：用代数式表示底面周长为， 当，时， 原式． ②解：该有盖长方体纸盒的体积为： ， 当，时， 原式， 答：该有盖长方体纸盒的体积为． ◆题型5 截一个几何体 20．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）某棱柱共有个顶点，用一个平面去截该棱柱，截面的边数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用一个平面截几何体的知识，先根据棱柱顶点数确定棱柱类型，再分析截面可能的边数，进而判断选项． 【详解】解：∵某棱柱共有个顶点， ∴该棱柱为棱柱， ∵棱柱有个侧面和个底面，共个面 ∴用一个平面截该棱柱时，截面最多与个面相交，得到边形 ∴截面的边数可能是． 故选：D． 21．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，泗阳电视塔塔身高158米，素有“小东方明珠”的美誉．塔球上这部分可以近似看成一个六棱柱，如果用一个平面去截六棱柱，边数最多的截面形状是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【分析】考查了截一个几何体； 截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，六棱柱有八个面，用平面去截六棱柱时最多与八个面相交得八边形． 【详解】解：用一个平面去截六棱柱时最多与八个面相交得八边形， 所以边数最多的截面形状是八边形． 故选：C． 22．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）用一个平面去截下列几何体，截面不可能是圆形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了截一个几何体，掌握长方体、球、圆锥、圆柱的截面的形状是正确解答的关键．根据长方体、球、圆锥、圆柱的截面的形状逐项进行判断即可． 【详解】解：A．用一个平面去截球，截面是圆形，因此选项A不符合题意； B．用一个平面去截圆锥体，其截面可能是圆形，因此选项B不符合题意； C．用一个平面去截长方体，其截面不可能是圆形，因此选项C符合题意； D．用一个平面去截圆柱体，其截面可能是圆形，因此选项D不符合题意； 故选：C． 23．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用一个平行于正五棱锥底面的平面截正五棱锥，截面的形状是__． 【答案】正五边形 【分析】本题考查了截一个几何体．根据题干用一个平行于正五棱锥底面的平面截正五棱锥，故得截面的形状是五边形即可作答． 【详解】解：用一个平行于正五棱锥底面的平面截正五棱锥，截面的形状是正五边形， 故答案为：正五边形． 考点二 几何体的展开图 ◆题型6 几何体展开图的认识 24．（2026·河南平顶山·三模）如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，一个正方形的底面，四个三角形的侧面， 因此该几何体是四棱锥， 故选：D． 25．（2026·江苏常州·二模）某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体展开图可得答案． 【详解】解：根据几何体表面的展开图有2个面，一个圆是底面，一个曲面是侧面，可知该几何体是圆锥，所以D符合题意． 26．（25-26七年级上·福建福州·期末）综合与实践：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【特例感知】实践小组先研究了正方体的展开图 下列平面图形中，是正方体平面展开图的是_____； A．    B．    C．    D． (2)【初步研究】实践小组按照如图方式制作了一个无盖的长方体纸盒，他们先将边长为的正方形纸板的四角剪去四个边长为的小正方形（图一），再沿虚线折叠起来（图二），则该长方体纸盒的底面周长为（_____）cm；（用含、的代数式表示） (3)【知识再探】实践小组将一个和图二一样的无盖的长方体纸盒沿某些棱剪开，展成一个平面图形．他们发现有多种样式的展开图，当时，其中有一种展开图的周长为，请求出的所有可能的值． 【答案】(1)C (2) (3)4或7或8 【分析】本题主要考查了几何体的展开与折叠，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． （1）根据正方体展开图的核心是排除“田”字形、“凹”字形和“7”字形等无法折叠成正方体的结构，同时记住常见的11种正方体展开图类型即可求解； （2）先求出长方体纸盒的底面边长，然后再求出周长即可； （3）根据无盖长方体盒子有4条长度为b的棱，4条长度为的棱，剪开后的图形周长为所剪开棱的长度和的2倍加上4条的棱的长度，且长度为的棱最多只能剪开3条，分四种情况进行讨论，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）选项A、存在“田”字形结构，无法折叠成正方体． 选项B、存在“凹”字形结构，无法折叠成正方体． 选项C、符合“1-3-2”型正方体展开图的结构，可以折叠成正方体． 选项D、存在“凹”字形结构，无法折叠成正方体． 因此，是正方体平面展开图的是C． 故答案为：C． （2）该长方体纸盒的底面边长为， ∴该长方体纸盒的底面周长为； （3）无盖长方体盒子有4条长度为b的棱，4条长度为的棱，剪开后的图形周长为所剪开棱的长度和的2倍加上4条的棱的长度，且长度为的棱最多只能剪开3条， 当剪开的棱为4条长度为b的棱时， ，不符合题意； 当剪开的棱为3条长度为b的棱，1条长度为时， ， 即 解得：； 当剪开的棱为2条长度为b的棱，2条长度为时， ， 即， 解得：； 当剪开的棱为1条长度为b的棱，3条长度为时， ， 即， 解得：； 综上分析可知：b的所有可能的值为4或7或8． 27．（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图是一个立体图形的展开图． (1)该立体图形的名称是_______； (2)若把展开图折叠成立体图形后，相对两个面上的数互为倒数，请将展开图上的数补充完整．（直接在图上填写） 【答案】(1)长方体 (2) 如图， 【分析】本题考查了几何体的展开图，倒数的定义； （1）由展开图即可求解； （2）类比正方体表面展开图的“相间、Z字形是对面”，结合倒数的定义即可求解． 【详解】（1）解：该立体图形的名称是长方体， 故答案为：长方体； （2）略 ◆题型7 含有图案的正方体展开图 28．（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体的表面展开图，解决本题的关键是根据正方体的表面展开图找出它们的相对面、相邻面之间的位置关系进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，当在前面时，上面是，左面是，故A选项符合题意； B选项：当在上面时，前面应是，故B选项不符合题意； C选项：当在前面时，上面应是，故C选项不符合题意； D选项：两个应是相对面，不能相邻，故D选项不符合题意． 故选：A． 29．（25-26七年级上·广东广州·期末）将“数学核心素养”六个字分别写在如图所示的正方体盒子的六个面上，将图1盒子在桌面上向右翻滚，接着按逆时针方向旋转．若把该正方体盒子打开，得到的平面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，关键在于利用空间想象能力还原立体图形．根据正方体的位置变换可知心与素相对，数与核相对，再根据数，学，心三面的斜线构成一个三角形即可得解． 【详解】解：由题意知：心与素相对，数与核相对，故排除， 由数，学，心三面的斜线构成一个三角形可知符合， 不符合， 故选：． 30．（25-26六年级上·山东泰安·期中）小明在四个立方体展开图上画了一些线和圆圈，然后把他们折叠起来，以下哪个展开图可以折成右面这个立方体（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立体图形的三视图问题，较强的观察能力和空间想象能力是解题的关键． 根据三视图的观察方法并结合物体的特征，利用排除法逐项分析判断即可． 【详解】 解：A、符合题意； B、的方向应该向下，故不符合题意； C、、、相邻，故不符合题意； D、应与，故不符合题意． 故选：A． 31．（25-26七年级上·云南曲靖·期末）如图是阳阳设计的抽奖盒子，他在部分面上进行了装饰．下列图形中可以作为抽奖盒的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三个图案的小正方形为相邻面即可进行判断． 本题考查了正方体相邻两个面上的图案，掌握正方体的展开图是解题关键． 【详解】解：由图可知，能围成几何体的只有A选项，B、C、D各由两个带图案的小正方形为相对面，不符合题意． 故选：A． ◆题型8 正方体的展开图 32．（2026·河南洛阳·三模）如图是正方体表面的展开图，将其折叠成正方体后，与点重合的点为（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点重合的点是. 33．（25-26九年级下·广东深圳·期中）下面图形不能拆成正方体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的特点逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D能折成正方体；选项C不能折成正方体． 【点睛】正方体展开图共有11种基本形态，分为“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型和“3-3”型． 34．（2026·江西上饶·模拟预测）如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的常见类型，补充形成满足要求的展开图即可． 【详解】解：根据正方体展开图的常见类型：“”型，“”型， ∴可补全为正方体表面展开图的方格有如下种情况， 故选：． 35．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，从图中找出相邻面是解题关键．根据展开图，先确定相对面，进而确定相邻面，即可得出重合顶点． 【详解】解：如图， 2与4是相对面； 1与5是相对面； 3与6是相对面． 可以得出A与I重合． 故答案为：． ◆题型9 正方体相对两面上的文字 36．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，是一个正方体的表面展开图，请回答： (1)与面相对的分别是：______； (2)若，，，，且相对两个面表示的整式的和相等，求分别代表的整式． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）结合空间想象能力，将作为底面，左面是、右面是，后面是、前面是，上面是，将正方体的表面展开图还原为立体图形即可； （2）由（1）知相对，相对，相对，从而列出等式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：与面相对的分别是； （2）解：相对两个面表示的整式的和相等， ， ， ，解得； ， 解得． 37．（25-26七年级上·云南普洱·期末）阅读材料：在初中数学学习中，数轴是连接数与形的重要桥梁，它将抽象的有理数与直观的几何图形完美结合．研究数轴我们能发现许多重要的规律：若数轴上点C，点D表示的数分别为c，d，则C，D两点之间的距离． 根据以上知识解决下列问题： 如图1，是一个正方体的展开图，其每一个面都有一个有理数，相对面上的两个数互为相反数，图2中数轴上点A，点B表示的数分别为a，b． (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点M从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒（）． ①当P，Q两点的距离为8时，求t的值； ②在某个时间段内，的值不随t的变化而变化，求出该时段m的值． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】（1）根据相对面必定相隔一个小正方形，确定相对面，再根据相反数的定义求出的值即可； （2）①根据距离公式列出方程进行求解即可；②根据的值不随t的变化而变化，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，和2为相对面，和为相对面， ∵相对面上的两个数互为相反数， ∴， ∴； （2）解：①由题意，点表示的数为，点表示的数为， 由题意，得或， 解得或； ②由题意，点表示的数为，当点与点重合时，即，解得， 当时： ， ∵的值不随t的变化而变化， ∴， ∴； 当时： ， ∵的值不随t的变化而变化， ∴， ∴； 综上：或． 38．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）（1）【基础尝试】如果准备制作一个正方体纸盒，下图中经过折叠能围成正方体纸盒的有_______（填序号）． （2）【操作探究】如图，小明准备在边长为的正方形硬纸板的个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒，其底面边长为， （I）这个纸盒的底面积是_____，高是_____（用含，的代数式表示）； （II）已知当底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为，则当底面边长时，求纸盒的容积． （3）【拓展设计】小新将正方形硬纸板按图方式裁剪（保留阴影部分），制作了一个无盖的长方体纸盒．已知四个面上分别标有代数式，，，．若该纸盒相对的两个面上的代数式相等，求式子的值． 【答案】（1）①②④ （2）（I），；（II） （3） 【分析】本题考查正方体的展开图，列代数式以及代数式求值，掌握正方体表面展开图的特征以及求代数式的值的方法是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）（I）根据题意列出代数式即可；（II）根据底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为，列出关于的方程，解方程求出的值，然后求出时，纸盒的容积即可； （3）根据图并结合题意对应的是，对应的是，得出，，再对进行化简，代入，即可求解． 【详解】（1）由正方体表面展开图的特征可知，①②④是正方体的表面展开图，即能折叠成正方体， 故答案为：①②④； （2）（I）由于底面边长为的正方形，因此这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：，； （II）∵底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为， ∴，即， 解得：， ∴当底面边长时，纸盒的容积， （3）∵由图可知对应的是，对应的是， ∵四个面上分别标有代数式，，，， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 39．（25-26六年级上·山东烟台·期末）将六个有理数，，，，，分别写在正方体的六个面上，并将该正方体展开，得到该正方体的展开图（如图），我们约定：分别在两个相对的面的数字我们称为“相对的数”．已知与它相对的数互为相反数，与它相对的数互为倒数，与它所相对的数的差的绝对值为． (1)请在如图的括号内填上，，． (2)根据已知条件可得： ①_____；②_____；③_____． (3)求多项式的值． 【答案】(1)答案如图所示 (2)；； (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，相反数，倒数，绝对值，代数式求值，正方体相对两个面上的文字，正确理解题意并准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可解答； （2）根据倒数，相反数，绝对值的意义，即可解答； （3）利用（2）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：如图： （2）解：∵与它相对的数互为相反数，与它相对的数互为倒数，与它所相对的数的差的绝对值为， ∴，，， ∴， 故答案为：；；； （3）解：∵，，， ∴ ． 综合攻坚·知能拔高 一．选择题 40．（2026·河北沧州·一模）如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立体图形可知，该正方体纸盒的顶面全黑，底面全白，四个侧面均为上半部分黑、下半部分白，在展开图中，全黑面应与侧面的黑色部分相邻，全白面应与侧面的白色部分相邻，且相邻侧面的公共边处颜色应一致． 【详解】解：根据题意得：立体图中顶面全黑，底面全白，侧面为上黑下白， 则展开图中应有一个全黑正方形，一个全白正方形，四个半黑半白正方形， 选项A：中间全黑正方形左右两侧分别为“左白右黑”和“左黑右白”正方形，黑色部分均与全黑面相邻，符合顶面与侧面关系，最左侧全白正方形与“左白右黑”正方形的白色部分相邻，符合底面与侧面关系，其余面折叠后黑色部分均能连通，符合题意， 故A选项正确； 选项B：中间全黑正方形左侧为“左白右黑”正方形，其下方连接“上黑下白”正方形， 由于“左白右黑”正方形的下边为“左白右黑”，而“上黑下白”正方形的上边为全黑， 则两者公共边颜色不匹配， 故B选项错误； 选项C、D：折叠后，都会出现其中一个半涂黑面的黑色位于下半部分，不符合题意， 故C、D 选项错误． 41．（2026·河南平顶山·三模）南朝宋时期范晔在《后汉书·耿弇传》中写道：“将军前在南阳，建此大策．常以为落落难合、有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，下列是它的四种平面展开图，则在原正方体中，“有”的对面是“竟”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确正方体平面展开图中相对面的判定规则：同行或同列中，间隔一个面的两个面为相对面．逐个分析每个选项的展开图，定位“有”字的位置，根据相对面判定规则找到其对应的对面文字．对比每个选项中“有”的对面是否为“竟”，筛选出符合要求的选项． 【详解】选项A：该展开图中，“有”的对面是“成”，不符合要求． 选项B：该展开图中，“有”的对面是“竟”，符合要求． 选项C：该展开图中，“有”的对面是“事”，不符合要求． 选项D：该展开图不能构成正方体，不符合要求． 42．（2026·江苏徐州·二模）某正方体纸盒被切割部分后的形状如图所示，则切割后该几何体的展开图（不含凹陷部分的表面）不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将四个选项还原成原几何体，再比较得出答案即可． 【详解】解：将图B中的位于中间的两个对角小正方形为上底面，则1为左侧面，5为前侧面，2为后侧面，3为右侧面，4为下底面，可知符合题意； 将图C中的位于中间的两个对角小正方形为上底面，则1为左侧面，5为前侧面，2为右侧面，3为下底面，4为后侧面，可知符合题意； 将图D中的位于中间的大正方形为下底面，则2为左侧面，1为上底面，4为后侧面，3为右侧面，5为前侧面，可知符合题意； 将图A中的位于中间的大正方形为下底面，则2为左侧面，1为上底面，4为后侧面，3为右侧面，5为前侧面，可知4位置不对，不能还原成原几何体，符合题意． 二．解答题 43．（2026·河北张家口·二模）嘉嘉用硬卡纸做了一个骰子，六个面上分别标有六个数字，投掷两次，结果如图所示．从第二次投掷结果开始将骰子向右滚动，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，……，按照这样的规律，经过103次滚动后，朝下一面的数字为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据分析，4和3相对，6和5相对，1和2相对，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，第三次滚动后写有数字3的一面朝下，第四次滚动后写有数字5的一面朝下，第五次滚动后写有数字4的一面朝下，每滚动4次回到初始位置，结合，求解即可； 【详解】解：根据题意，得4和3相对，6和5相对，1和2相对，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，第三次滚动后写有数字3的一面朝下，第四次滚动后写有数字5的一面朝下，第五次滚动后写有数字4的一面朝下，每滚动4次回到初始位置， 因为， 所以朝下一面的数字为3； 44．（2026·黑龙江·模拟预测）在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（     ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 【答案】B 【分析】根据该几何体从三个方向看到的形状图中所提供的信息进行分析解答即可． 【详解】解：根据从上面看可知，该物体的最下面一层有7个正方体小货箱，由从正面看和从左面看的图可得：该物体第二层有2个正方体小货箱，第三层有1个正方体小货箱， ∴组成该物体的正方体小货箱有：（个）． 45．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子的侧面为长方形，底面为等边三角形． (1)每个盒子需____________个长方形，____________个等边三角形 (2)硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．现有相同规格的19张正方形硬纸板，其中的x张按方法一裁剪，剩余的按方法二裁剪．    ①裁剪出的侧面____________个，底面____________个（用含x的代数式表示）； ②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，求能做多少个盒子． 【答案】(1)3，2 (2)①，；②30 【分析】本题考查了常见的几何体，列代数式，整式加减的应用，以及一元一次方程的应用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键． （1）根据三棱柱盒子由3个长方形侧面和2个等边三角形底面即可求解； （2）①由x张用方法一，就有张用方法二，就可以分别表示出侧面个数和底面个数； ②由侧面个数和底面个数比为建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论． 【详解】（1）解：由三棱柱盒子可得，需3个长方形，2个等边三角形， 故答案为：3，2； （2）解：①∵裁剪时x张用方法一， ∴裁剪时张用方法二． ∴侧面的个数为：个， 底面的个数为：个， 故答案为：，； ②由题意，得， 解得：， ∴盒子的个数为：． 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子． 46．（24-25七年级上·广东茂名·期末）【问题探究】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： (1)当三角形的个数是5时，所用的磁力棒的根数是________； (2)当三角形的个数是时，所用的磁力棒的根数是________（用含的代数式表示）； (3)同一平面内，用6根磁力棒能否组成4个等边三角形？请说明理由； 探究二：立体图形 (4)创新小组的小梦同学想到学过的三棱锥，想利用磁力棒搭立体图形，并使所搭成的三棱锥各个面均为等边三角形． 问：小梦搭成的三棱锥用了多少根磁力棒？组成了多少个等边三角形？ 【答案】(1)11 (2) (3)解：不能，假设同一平面内拼4个等边三角形，代入（2）得到的规律得需要磁力棒：根， ∵ ， ∴同一平面内，6根磁力棒不能组成4个等边三角形； (4)用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形 【分析】（1）观察图形中三角形个数和磁力棒根数的对应关系，找到每增加1个三角形时磁力棒的增量规律，因为1个三角形对应3根，之后每多1个三角形多2根，所以可推导个三角形时的磁力棒根数表达式，代入即可得到对应根数； （2）根据观察图形的增量规律总结个三角形时的磁力棒根数表达式即可； （3）先根据第2问得到的平面下个三角形需要的磁力棒数量公式，代入得到所需磁力棒数量，再和6比较判断即可； （4）因为正四面体的棱和等边三角形面的数量是固定的，所以直接统计棱数即磁力棒根数，统计面数即等边三角形个数即可． 【详解】（1）解：观察图形可得： 1个等边三角形需要根磁力棒， 2个等边三角形需要根磁力棒， 3个等边三角形需要根磁力棒， ∴5个等边三角形需要根磁力棒； （2）解：根据上述规律，个等边三角形需要的磁力棒根数为 ； （3）略； （4）解：三棱锥的各面都是等边三角形，共有6条棱，4个面，每个面都是等边三角形， ∴一共用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形． 47．（25-26七年级上·江苏南京·期末）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．黄铁矿的晶体（如图1）是一个正方体：它由六个面组成，每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接3条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是完全相同的正n边形，且各顶点连接r条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． 一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条棱．小明对部分正F面体（如图2）进行了观察，列出以下数据． 正多面体 F n V E r 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 (1)根据表中的数据，请写出F，V，E之间存在的等量关系式：________． (2)小明进一步发现，正F面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24．又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．正F面体的棱数________；（用含n，F的代数式表示） ②从顶点出发：正F面体的棱数________．（用含r，V的代数式表示） (3)已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接5条棱，求这个正多面体的一个面是几边形． 【答案】(1) (2)①；② (3)三角形 【分析】本题主要考查了多面体的顶点、面、棱之间的关系、一元一次方程的应用等知识点，观察并发现规律是解题的关键． （1）观察数据即可解答； （2）①正F面体，它有F个面，每个面都有n条边，则F个面的边数之和为，又因为正F面体的两个面共用一条边，所以正F面体的棱数为；②正F面体，它有V个顶点，且每个顶点都连接r条棱，则V个顶点的棱数之和为，又因为正F面体的一条棱连接两个顶点，所以正F面体的棱数为； （3）运算上述公式列出关于F的方程可得，再根据求解即可． 【详解】（1）解：根据观察可得． 故答案为：． （2）解：①正F面体，它有F个面，每个面都有n条边，则F个面的边数之和为， 又∵正F面体的两个面共用一条边， ∴正F面体的棱数为． 故答案为：． ②正F面体，它有V个顶点，且每个顶点都连接r条棱，则V个顶点的棱数之和为， 又因为正F面体的一条棱连接两个顶点，所以正F面体的棱数为． 故答案为：． （3）解：由题意可得：， ∴, ∴， 根据（1）中公式可得，可得，解得：， ∴这个正多面体的面数为20． ∵， ∴. ∴这个正多面体的一个面是三角形． 48．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示． (1)该盒子的底面的宽为 ，长为 ． （用含a的式子表示）． (2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求x的值． (3)请在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖． 【答案】(1)，； (2) (3) 如图所示：（答案不唯一） 【分析】本题考查了长方体相对两个面上的文字，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键．也考查了一元一次方程的应用． （1）依据无盖的长方体盒子的高为a，底面的宽为，即可得到底面的长； （2）根据该盒子的相对两个面上的整式的和相等，列方程求解即可； （3）依据长方体的展开图的特征，即可在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖． 【详解】（1）解：由题可得，无盖的长方体盒子的高为a，底面的宽为， ∴底面的长为， 故答案为：，； （2）解：∵①，②，③，④四个面上分别标有整式，x，，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等， ∴， 解得； （3）略 49．（25-26七年级上·广东佛山·期末）综合与实践 七年级组织学生开展“设计制作包装盒”的实践主题活动． 【动手操作】如①图所示，甲小组制作了包装盒，包装盒长比宽多；乙小组制作了包装盒． （1）设高为，则盒子的宽为______，长为______（用含的代数式表示）．盒子的形状是______，盒子的体积是________． 【提出问题】如②图、③图所示．将四个包装盒按不同的摆放方式，然后装在不同的大纸箱里，那么，如何摆放（没有空隙）才能使所用的大纸箱材料尽可能少（大纸箱的表面积尽可能小）？ 【解决问题】（2）②图是用包装盒摆放的其中3种不同的方式．求图几何体的表面积，并确定选择哪种放置方式？ 表面积（） 图 832 图 1088 图 计算发现：当其重叠部分的面积较大时，大纸箱的表面积较小． 【类比应用】（3）乙小组打算将4个B包装盒按③图所示的三种摆放方式，装在三个不同大纸箱里，其中，，则应该选哪种摆放方式可使得大纸箱的表面积最小？（直接写出结果），并求出最小的表面积． 【答案】（1）；或 ；三棱柱； （2）图几何体的表面积为；选择图a （3）图e表面积最小； 【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用、几何体的展开图等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）结合图①可得宽为，再根据包装盒长比宽多表示出长即可；根据B包装盒的展开图可知该几何体的形状为三棱柱；再根据三棱柱的体积公式计算即可； （2）根据解得：，进而确定A包装盒的长、宽、高，再结合图形即可确定几何体的表面积，然后确定表面积最小，即可确定所选择的图； （3）先确定重叠部分的面积，重叠面积最大的图形的表面积最小，据此即可解答． 【详解】解：由①图A包装盒可得：高与宽的和为，长和宽的和为， 设高为，则盒子的宽为 ，长为， ∵包装盒长比宽多， ∴， ∴长为或 ； 由②图可知：盒子的形状是三棱柱体积为：， 故答案为：；或；三棱柱；； （2）由（1）可知：解得： A包装盒的高为4cm，宽为8cm，长为12cm． 图几何体的表面积为： 图a是表面积最小的长方体，即应选择图a． （3）∵，， ∴B包装盒的底面积为：，侧面积为或， 图g重叠部分的面积为，图e重叠部分的面积为，图f重叠部分的面积为． ∴图e重叠部分的面积最大， ∴图e表面积最小；． 50．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． (1)【知识准备】 下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有______；（只填序号） (2)【制作纸盒】 综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子． 如图⑤，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．如图⑥，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子，请求出制作成的无盖盒子的体积和有盖盒子的体积？ (3)【拓展探究】 若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为，，，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，聪明的你能画出一个使外围周长最小的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长？ 【答案】(1)①③ (2)无盖长方体形盒子的体积为，有盖长方体形盒子的体积为 (3)使外围周长最小的表面展开图（答案不唯一），如图所示， 表面展开图的外围周长最小是． 【分析】（1）根据正方体的展开图有11种情况：型共6种，型共3种，型一种，型一种，再根据无盖正方体只有5个面，找出答案即可； （2）根据图形，分别求出有盖和无盖盒子的长宽高，根据长方体的体积公式，求出两个盒子体积即可； （3）根据题意，可知长宽高，要使该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小，则它的表面应尽量多沿“高”剪开，尽量少沿“长”剪开，画出符合要求的长方体形盒子的表面展开图，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：可能是无盖正方体的表面展开图的有①③； （2）解：由题意得，无盖长方体形盒子的长为， 无盖长方体形盒子的宽为， 无盖长方体形盒子的高为， ∴无盖长方体形盒子的体积为； 由题意得，有盖长方体形盒子长为， 有盖长方体形盒子宽为， 有盖长方体形盒子高为， ∴有盖长方体形盒子的体积为， 答：无盖长方体形盒子的体积为，有盖长方体形盒子的体积为． （3）解：∵，即长宽高， ∴要使该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小，则它的表面应尽量多沿“高”剪开，尽量少沿“长”剪开， ∴表面展开图的外围周长最小是． 51．（25-26六年级上·山东烟台·期末）某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖长方体的表面展开图的是_________________；（填序号） 【探索尝试】 （2）综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来．请用含a，b的式子表示长方体纸盒的底面周长； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板两角分别剪去两个边长为厘米的小正方形，再另两角分别剪去两个大小一样的小长方形，最后沿虚线折合起来．请用含；的式子表示长方体纸盒的体积； 【实践分析】 在日常的生活中，我们所用的包装盒一般为双层上盖的长方体纸箱（双层上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍），如图3所示． 某电商销售一款长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的长方体玩具，准备用如图4所示的这种双层上盖的纸箱进行包装． （3）请计算制作一个图4形状的包装盒需要多少平方厘米的纸板； （4）该玩具商家在今年元旦期间推出“买一送一”的活动，要将两个同一型号的玩具放一起包装在一个更大的长方体双层上盖包装盒内，如图5是其中一种包装方法（朝上的一面为盒盖），请计算这种设计方法需要的纸板面积．同时请你在下面的网格中设计另一种方案（画出立体图并标明长、宽、高）使设计包装盒所需纸板面积更少，并求出你设计的包装盒所需的纸板面积． 【答案】（1）D； （2）①厘米；②立方厘米； （3）平方厘米； （4）图5这种设计方法需要的纸板面积为平方厘米； 设计的包装盒如图，所需的纸板面积为平方厘米． 将两个玩具上下叠放，设计为长为4厘米，宽为5厘米，高为6厘米的包装盒所需纸板面积更少， 则纸板面积为： （平方厘米）； 【分析】本题考查列代数式，单项式乘以多项式，长方体的表面积和体积，读懂题意是解题的关键． （1）根据长方体的展开图即可解答； （2）①根据题意得到长方体纸盒底面是正方形，且边长为厘米，利用正方形的周长公式列式计算即可；②根据题意得到长方体纸盒的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，再利用长方体的体积公式列式计算即可； （3）根据题意可得包装盒需要的纸板面积为一个长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的长方体的表面积加上一个该长方体的底面的面积，列式计算即可解答； （4）同理（3）即可求出图5这种设计方法需要的纸板面积；根据玩具的长、宽、高分别设计并计算面积比较即可解答． 【详解】解：（1）A、是无盖长方体的表面展开图，不符合题意； B、是无盖长方体的表面展开图，不符合题意； C、是无盖长方体的表面展开图，不符合题意； D、不是无盖长方体的表面展开图，符合题意； 故答案为：D； （2）①由题意得，长方体纸盒底面是正方形，且边长为厘米， 则厘米； ②由题意得，长方体纸盒的长为厘米，宽为厘米，高为厘米， 则（立方厘米）； （3） （平方厘米）； （4） （平方厘米）； 52．（25-26七年级上·山西临汾·期末）综合与实践 生活中很多物品的包装盒都可以近似看作长方体，小华在学习了数学活动“制作包装盒”这节课时，用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子，按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，做成了一个无盖的长方体盒子并进行如下探究： (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为______cm，底面积为______，请你用含的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表： 剪去正方形的边长单位：cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积（单位：） 324 512 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你会发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (4)现在需要对无盖长方体盒子的所有外表面(包括底面)进行涂色，当时，需要涂色的面积是多少？ 【答案】(1)，，； (2)，； (3)C； (4) 【分析】本题考查长方体的展开图、表面积计算及代数式的实际应用，核心是理解折叠后长方体的长、宽、高与原正方形边长的数量关系． （1）根据长方体的展开图，直接推导盒子的高、底面边长，进而得到底面积和容积的代数式； （2）将给定的和的值代入容积公式，通过有理数运算得出结果； （3）观察表格中容积随剪去正方形边长的变化数据，总结变化趋势； （4）涂色面积可通过“原正方形面积减去4个剪去的小正方形面积”快速计算，或直接计算长方体各外表面的面积之和． 【详解】（1）解：由折叠过程可知，无盖长方体盒子的高等于剪去的正方形边长，即； 底面为正方形，其边长为原正方形边长减去2个剪去正方形的边长，即，故底面积为； 容积为底面积与高的乘积，即； 故答案为：，，； （2）解：当，时，容积； 当，时，容积； 故表格中依次填，； （3）解：观察表格数据：剪去正方形边长从1到3时，容积逐渐增大；从3到时，容积逐渐减小，因此容积随剪去正方形边长的增大先增大后减小， 故选：C； （4）解：原正方形纸片的面积为， 剪去的4个小正方形的总面积为， 需要涂色的面积． 答：需要涂色的面积是． 53．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是___________（填序号）． ①          ② ③            ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为的有盖正方体．设计组提供了如图1所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图2可以围成礼盒___________（填“A”或“B”）； ②材料组准备了规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒A的展开图？几个礼盒B的展开图？并通过画图说明． 【答案】（1）①③④； （2）①B； ②如图1，一张卡纸最多可以画出2个礼盒A的展开图； 如图2，一张卡纸最多可以画出3个礼盒的展开图． 【分析】本题考查了正方形展开图． （1）逐一判断即可； （2）①由图可知，将展开图2折叠后其中一组相对面应有一道横线，即可以围成礼盒B；②画图说明即可． 【详解】（1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是①③④， 故答案为：①③④； （2）①按展开图2可以围成礼盒B， 故答案为：B； ②略 54．（2026·广东清远·二模）综合与实践：在完成“设计并制作一个体积尽可能大的无盖长方体收纳盒”的任务后，兴趣小组进一步研究用长方形纸片制作符合不同需求的长方体纸盒． 【基础回顾】 (1)如图1，将一张边长为30的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，将剩下的纸片沿着虚线折叠成无盖的长方体纸盒． ①该纸盒的底面边长为________（用含有的代数式表示）； ②该纸盒的容积为________（用含有的代数式表示）． 【进阶研究】 用普通长方形纸片制作长方体纸盒（长方形中，，）． (2)兴趣小组继续制作无盖长方体纸盒（纸片无剩余），如图2，用把长方形纸片分成2个长方形，并沿着剪开．将长方形沿着虚线折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面．经观察后，兴趣小组分析，能折成纸盒的关键是：找到长方形与长方形相关线段之间的等量关系． ①他们先确定了，请你写出另一组关键的等量关系________=________ ②求长方体纸盒的容积． (3)兴趣小组尝试制作有盖长方体纸盒（纸片无剩余），设计了如下方案： 如图3，沿将长方形剪成两部分，将长方形沿着虚线折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面．该方案是否可行？________（填写“是”或“否”） 如果可行，请求长方体纸盒的容积；若不可行，请简要说明理由． (4)请你设计一个制作“有盖长方体纸盒”的方案（纸片无剩余）：请在图4中画出裁剪示意图，并求出纸盒的容积． 【答案】(1)①；② (2)①；② (3)否，因为或，所以该方案不可行 (4)设计图形如图所示： 纸盒的容积为 【分析】（1）①该纸盒的底面边长等于正方形纸片的边长减去两个小正方形的边长；②根据长方体的容积公式求解即可； （2）①根据图形的折叠与剪拼即可求解；②根据题意以及图形的折叠与剪拼求出长方体的长、宽、高，即可求解； （3）结合图形即可判定； （4）根据（2）的制作方法画出图形，再根据长方体的容积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：①根据图形可知：该纸盒底面的边长为； ②由图及题意可知：该纸盒的容积为； （2）解：①由图可知：另一组关键的等量关系为； ②∵长方形纸片无剩余，在长方形中，，， ∴由①可知：长方体的长为，宽为，高为， ∴长方体纸盒的容积为； （3）略 （4）解：图略， 由图可知：，设，则有， 解得：， ∴； 答：纸盒的容积为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $