第2章有理数的运算分层作业-2026-2027学年人教版数学七年级上册

第2章有理数的运算分层作业-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024） 基础达标 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•浚县期末）按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（　　） A．3.704≈3.70（精确到十分位） B．0.123≈0.1（精确到0.1） C．39.27≈40（精确到个位） D．0.01462≈0.015（精确到0.0001） 2．（2026•鲁山县一模）光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示（　　）千米/秒． A．0.3×106 B．3×105 C．30×104 D．300×103 3．（2025秋•贺兰县校级期末）一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如下表： 购买苹果数量x/千克 不超过30千克的部分 超过30千克的部分 每千克价格/元 5 4 则小刚一次性购买40千克苹果所付的费用比分两次购买（每次购买20千克）所付的费用少（　　）元 A．5 B．10 C．15 D．20 4．（2024秋•确山县期末）近似数1.50是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（　　） A．1.45＜a＜1.55 B．1.45≤a＜1.55 C．1.495≤a＜1.505 D．1.495＜a＜1.505 5．（2025秋•通州区期中）不改变原式的值，将6﹣（﹣3）+（﹣7）﹣（+2）中的减法改成加法，并写成省略加号的形式是（　　） A．6+3﹣7+2 B．6﹣3﹣7﹣2 C．6﹣3+7﹣2 D．6+3﹣7﹣2 6．（2025秋•宣威市校级月考）计算的值等于（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 7．（2025秋•福建校级月考）如图为2025年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（　　） A．80 B．162 C．297 D．377 8．（2025秋•庆云县月考）定义一种新运算：a※b＝a﹣b+ab，如2※（﹣3）＝2﹣（﹣3）+2×（﹣3）＝2+3﹣6＝﹣1，则（﹣5）※4的值为（　　） A．﹣29 B．﹣11 C．11 D．29 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•黄埔区期末）计算：﹣32＝　 　 ． 10．（2025秋•西安期末）若|m|＝4，|n|＝3，且mn＜0，则m+n＝　 　 ． 11．（2025秋•荣成市期末）我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成10.75亿亩集中连片高标准农田，下列关于10.75亿用科学记数法表示为 　 　 亩． 12．（2025秋•萍乡期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则a+b+cd的值为　 　 ． 13．（2025秋•紫金县期末）刘老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，小明同学看到后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么她输入的密码是　 　 ． wen⊕5*3*6＝wen301848 xin⊕2*6*7＝xin144256 jia⊕6*6*6＝白板密码 14．（2025秋•石城县期末）第十四届国际数学教育大会第一次举办时，大会标识中蕴含着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其中蕴含八进制数，而十进制数2026可由八进制数3752换算得来：，则八进制数（435）8换算成十进制数是　 　 ． 三．解答题（共8小题） 15．（2026秋•海丰县月考）计算： （1）； （2）． 16．（2025秋•揭东区期末）计算：． 17．（2025秋•浏阳市期末）错题是最好的素材，识错和辨错能有效检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．请你仔细阅读下列计算过程并完成相应的任务． 计算：． 解：原式第一步 ＝（﹣15）÷1第二步 ＝﹣15．第三步 任务： （1）上面的解题过程中，第　 　 步开始就出现了错误，错误的原因是　 　 ； （2）把正确的解题过程写出来． 18．（2025秋•东莞市期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送　 　 单； （2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单的部分，每单补贴4元，求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 19．（2025秋•工业园区期末）如图，是一个数值转换机的示意图． （1）若输入x的值是3，则输出y的值是　 　 ； （2）若输出y的值是﹣11，求输入x的值． 思维达标 20．（2024秋•巴林左旗期末）已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy+1． （1）求2※4的值； （2）求（1※4）※（﹣2）的值； （3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和〇中，并比较它们的运算结果：□※〇和〇※□； （4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来． 21．（2025秋•齐齐哈尔期中）综合与实践 背景材料：进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号任的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0～（n﹣1）进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十位进制数不用标角标，其他要标角标）． 素材1：十进制数234＝2×102+3×102+4×100，记作：234； 七进制数（123），﹣1×72+2×71+3×70，记作：（123）． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 素材2：将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1．将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可（十进制数化为二进制数同理）．如： 素材3： 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数0，1，2，3，4，5，6.7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算规则如下：加法：0+0＝0，0+1＝1，1+0＝1，1+1＝（10）7； 减法：0﹣0＝0，1﹣0＝1，1﹣1＝0，（10）2﹣1＝1（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题 任务1：探究不同进位制数之间的转换 （1）将七进制数（243）7转化成十进制数为　 　 ； （2）将十进制数22转化成二进制数为　 　 ； 任务2：探究进位制数的加法运算 （3）（10110）2+（1101）2＝　 　 ； （4）（110101）2+（11110）2＝　 　 ； 任务3：应用拓展 （5）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数据，如图，一位妇女在从右到左依次排到的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ （6）如果一个十进制两位数灯，交换其个位上的数与十位上的数后得到一个新数，如果原数减去新数所得的差为36，那么我们称这样的数为“青春数”，现存在这样的“青春数”使得该数转化成八进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数，则该数为　 　 ． 22．（2024秋•广信区期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝5时，求的值． （2）当a＝﹣2时，求的值． （3）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求的值． （4）已知a，b是有理数，当abc＜0时，试求的值． 第2章有理数的运算分层作业-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•浚县期末）按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（　　） A．3.704≈3.70（精确到十分位） B．0.123≈0.1（精确到0.1） C．39.27≈40（精确到个位） D．0.01462≈0.015（精确到0.0001） 【解答】解：3.704≈3.7（精确到十分位），故选项A不符合题意； 0.123≈0.1（精确到0.1），故选项B符合题意； 39.27≈39（精确到个位），故选项C不符合题意； 0.01462≈0.0146（精确到0.0001），故该选项D不符合题意； 故选：B． 2．（2026•鲁山县一模）光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示（　　）千米/秒． A．0.3×106 B．3×105 C．30×104 D．300×103 【解答】解：每秒30万千米，用科学记数法表示3×105千米/秒． 故选：B． 3．（2025秋•贺兰县校级期末）一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如下表： 购买苹果数量x/千克 不超过30千克的部分 超过30千克的部分 每千克价格/元 5 4 则小刚一次性购买40千克苹果所付的费用比分两次购买（每次购买20千克）所付的费用少（　　）元 A．5 B．10 C．15 D．20 【解答】解：根据分段计价规则可知： 一次性购买40千克苹果所付的费用为5×30+4×（40﹣30）＝150+40＝190（元）， 分两次购买（每次购买20千克）所付的费用为5×20+5×20＝100+100＝200（元）， ∴小刚一次性购买40千克苹果所付的费用比分两次购买（每次购买20千克）所付的费用少200﹣190＝10（元）， 故选：B． 4．（2024秋•确山县期末）近似数1.50是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（　　） A．1.45＜a＜1.55 B．1.45≤a＜1.55 C．1.495≤a＜1.505 D．1.495＜a＜1.505 【解答】解：根据四舍五入的原则可知，数a的取值范围1.495≤a＜1.505， 故选：C． 5．（2025秋•通州区期中）不改变原式的值，将6﹣（﹣3）+（﹣7）﹣（+2）中的减法改成加法，并写成省略加号的形式是（　　） A．6+3﹣7+2 B．6﹣3﹣7﹣2 C．6﹣3+7﹣2 D．6+3﹣7﹣2 【解答】解：原式＝6+（+3）+（﹣7）+（﹣2） ＝6+3﹣7﹣2， 故选：D． 6．（2025秋•宣威市校级月考）计算的值等于（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【解答】解：原式 ＝（）×（﹣1） ＝2． 故选：A． 7．（2025秋•福建校级月考）如图为2025年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（　　） A．80 B．162 C．297 D．377 【解答】解：根据题意可知，在日历中，同一列相邻两个数相差7，同一行相邻两个数相差1， ∴最小的数是m﹣8，最大的数是m+8， 则n＝（m﹣8）（m+8）， n＝m2﹣64， A、当n＝80时，m2﹣64＝80，解得：m＝12（负值舍去），不符合题意； B、当n＝162时，m2﹣64＝162，解得：（负值舍去），符合题意； C、当n＝297时，m2﹣64＝297，解得：m＝19（负值舍去），不符合题意； D、当n＝377时，m2﹣64＝377，解得：m＝21（负值舍去），不符合题意； 故选：B． 8．（2025秋•庆云县月考）定义一种新运算：a※b＝a﹣b+ab，如2※（﹣3）＝2﹣（﹣3）+2×（﹣3）＝2+3﹣6＝﹣1，则（﹣5）※4的值为（　　） A．﹣29 B．﹣11 C．11 D．29 【解答】解：（﹣5）※4＝﹣5﹣4+（﹣5）×4＝﹣5﹣4﹣20＝﹣29． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•黄埔区期末）计算：﹣32＝　﹣12　 ． 【解答】解：﹣32＝﹣3×2×2＝﹣12． 故答案为：﹣12． 10．（2025秋•西安期末）若|m|＝4，|n|＝3，且mn＜0，则m+n＝　1或﹣1　 ． 【解答】解：∵|m|＝4，|n|＝3， ∴m＝±4，n＝±3， ∵mn＜0， ∴m＝4，n＝﹣3或m＝﹣4，n＝3， ∴m+n＝1或﹣1， 故答案为：1或﹣1． 11．（2025秋•荣成市期末）我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成10.75亿亩集中连片高标准农田，下列关于10.75亿用科学记数法表示为 　1.075×109 亩． 【解答】解：10.75亿＝1075000000＝1.075×109． 故答案为：1.075×109． 12．（2025秋•萍乡期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则a+b+cd的值为　1　 ． 【解答】解：由条件可知a+b＝0；cd＝1； 故a+b+cd＝0+1＝1． 故答案为：1． 13．（2025秋•紫金县期末）刘老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，小明同学看到后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么她输入的密码是　363672　 ． wen⊕5*3*6＝wen301848 xin⊕2*6*7＝xin144256 jia⊕6*6*6＝白板密码 【解答】解：由题意得，6×6＝36，36+36＝72， ∴jia⊕6*6*6＝363672． 故答案为：363672． 14．（2025秋•石城县期末）第十四届国际数学教育大会第一次举办时，大会标识中蕴含着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其中蕴含八进制数，而十进制数2026可由八进制数3752换算得来：，则八进制数（435）8换算成十进制数是　285　 ． 【解答】解：将八进制数转换为十进制数可得： ； 故答案为：285． 三．解答题（共8小题） 15．（2026秋•海丰县月考）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝﹣3+5 ＝2． 16．（2025秋•揭东区期末）计算：． 【解答】解：原式 ＝﹣3+12﹣3 ＝6． 17．（2025秋•浏阳市期末）错题是最好的素材，识错和辨错能有效检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．请你仔细阅读下列计算过程并完成相应的任务． 计算：． 解：原式第一步 ＝（﹣15）÷1第二步 ＝﹣15．第三步 任务： （1）上面的解题过程中，第　一　 步开始就出现了错误，错误的原因是　较小的数减去较大的数，差是负数，而解答中的结果写成正的了　 ； （2）把正确的解题过程写出来． 【解答】解：（1）由题意可得， 解题过程中，第一步开始出现错误，错误的原因是较小的数减去较大的数，差是负数，而解答中的结果写成正的了， 故答案为：一；较小的数减去较大的数，差是负数，而解答中的结果写成正的了； （2） ＝（﹣15）÷（）×6 ＝15×6×6 ＝540． 18．（2025秋•东莞市期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送　22　 单； （2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单的部分，每单补贴4元，求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【解答】解：（1）14﹣（﹣8）＝14+8＝22（单）， 故答案为：22； （2）（单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单； （3）∵每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单的部分，每单补贴4元， ∴60×7+50×7×2+（﹣3﹣5﹣8）×2+（4+14+7+12）×4＝1236（元）， 答：该外卖小哥这一周工资收入1236元． 19．（2025秋•工业园区期末）如图，是一个数值转换机的示意图． （1）若输入x的值是3，则输出y的值是　5　 ； （2）若输出y的值是﹣11，求输入x的值． 【解答】解：（1）若输入x的值是3， 则（3﹣2）×4+1 ＝1×4+1 ＝4+1 ＝5， 故答案为：5； （2）若输出y的值是﹣11， 则（x﹣2）×4+1＝3， 那么x＝2． 20．（2024秋•巴林左旗期末）已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy+1． （1）求2※4的值； （2）求（1※4）※（﹣2）的值； （3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和〇中，并比较它们的运算结果：□※〇和〇※□； （4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来． 【解答】解：（1）2※4＝2×4+1＝9； （2）（1※4）※（﹣2）＝（1×4+1）×（﹣2）+1＝﹣9； （3）令□为﹣1，〇为5，（﹣1）※5＝﹣1×5+1＝﹣4， 5※（﹣1）＝5×（﹣1）+1＝﹣4； （4）∵a※（b+c）＝a（b+c）+1＝ab+ac+1，a※b+a※c＝ab+1+ac+1＝ab+ac+2． ∴a※（b+c）+1＝a※b+a※c． 21．（2025秋•齐齐哈尔期中）综合与实践 背景材料：进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号任的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0～（n﹣1）进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十位进制数不用标角标，其他要标角标）． 素材1：十进制数234＝2×102+3×102+4×100，记作：234； 七进制数（123），﹣1×72+2×71+3×70，记作：（123）． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 素材2：将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1．将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可（十进制数化为二进制数同理）．如： 素材3： 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数0，1，2，3，4，5，6.7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算规则如下：加法：0+0＝0，0+1＝1，1+0＝1，1+1＝（10）7； 减法：0﹣0＝0，1﹣0＝1，1﹣1＝0，（10）2﹣1＝1（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题 任务1：探究不同进位制数之间的转换 （1）将七进制数（243）7转化成十进制数为　129　 ； （2）将十进制数22转化成二进制数为　（10110）2 ； 任务2：探究进位制数的加法运算 （3）（10110）2+（1101）2＝　（100011）2 ； （4）（110101）2+（11110）2＝　（10111）2 ； 任务3：应用拓展 （5）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数据，如图，一位妇女在从右到左依次排到的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ （6）如果一个十进制两位数灯，交换其个位上的数与十位上的数后得到一个新数，如果原数减去新数所得的差为36，那么我们称这样的数为“青春数”，现存在这样的“青春数”使得该数转化成八进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数，则该数为　73　 ． 【解答】解：（1）（243）7＝2×72+4×71+3×70＝2×49+4×7+3×1＝98+28+3＝129， 故答案为：129．； （2）22÷2＝11…0， 11÷2＝5…1， 5÷2＝2…1， 2÷2＝1…0， 1÷2＝0…1， 将余数倒序排列得（10110）2， （3）对齐数位逐位相加，满二进一：（10110）2+（1101）2＝（100011）2， （ 1 0 1 1 0 ）2 + （ 1 1 0 1 ）2 ＝ （ 1 0 0 0 1 1 ）2 故答案为：（100011）2； （4）对齐数位逐位相加，满二进一：（110101）2+（11110）2＝（10111）2， （ 1 1 0 1 0 1 ）2 （ 1 1 1 1 0 ）2 （ 1 0 1 0 0 1 1 ）2 故答案为：（1010011）2； （5）由“满六进一”知旅数为六进制数，从右到左打结数对应六进制数的个位，十位，百位、千位、万位，即六进制数为（12302）6转化为十进制数：1×64+2×63+3×62+0×61+2×60 ＝1×1296+2×216+3×36+0+2×1 ＝1296+432+108+2 ＝1838， 答：她一共采集到的野果数量为1838个； （6）设原两位数的十位数字为m，个位数字为n（m，n为整数，1≤m≤9，0≤n≤9）， 由“青春数”定义得：（10m+n）﹣（10n+m）＝36， ∴9（m﹣n）＝36， ∴m＝n+4， 设八进制三位数为（aaa）8（a为整数，1≤a≤7）， 转化为十进制数：a×82+a×8+a＝64a+8a+a＝73a， 因73a是两位数， 故a＝1（a≥2时73a≥146为三位数，不符合）， 则十进制数为73×1＝73， 验证：m＝7，n＝3，7＝3+4， 满足m＝n+4，且73﹣37＝36，是“青春数”， 故答案为：73． 22．（2024秋•广信区期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝5时，求的值． （2）当a＝﹣2时，求的值． （3）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求的值． （4）已知a，b是有理数，当abc＜0时，试求的值． 【解答】解：（1）当a＝5时，1； （2）当a＝﹣2时，1； （3）若a，b是有理数，当ab＞0时，分两种情况： 当a＞0，b＞0时， 1+1＝2， 当a＜0，b＜0时， 1﹣1＝﹣2 ∴当ab＞0时，的值为±2； （4）若a，b是有理数，当abc＜0时，分2种情况： ①当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，1+1+1﹣1＝0， ②当a＜0，b＜0，c＜0时，1﹣1﹣1﹣1＝﹣4， 综上所述，的所有可能的值为0，﹣4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $