5.4一元一次方程的解法同步讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦一元一次方程的解法，系统梳理解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）及含绝对值符号的一元一次方程的分情况讨论解法，构建从基础到特殊形式的递进学习支架。 资料通过典例与变式题设计，如结合整式值表的方程求解，培养学生抽象能力与符号意识（数学眼光），强调解题步骤辨析提升运算能力与推理意识（数学思维），题型分类与过关验收练习助力学生用数学语言表达解法，课中辅助教学，课后便于查漏补缺。

第五章 5.4 一元一次方程的解法 内 容 导 航 题型1 解一元一次方程 题型2 含绝对值符号的一元一次方程 考 点 演 练 题型1 解一元一次方程 解｜题｜知｜识 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 【典例1】解方程，去分母正确的是（　　） A．3（x+1）﹣2x﹣3＝6 B．3（x+1）﹣2x﹣3＝1 C．3（x+1）﹣（2x﹣3）＝12 D．3（x+1）﹣（2x﹣3）＝6 【变式1】下列在解方程的过程中，变形正确的是（　　） A．将去分母，得（x﹣2）﹣3x＝1 B．将2x﹣（x﹣2）＝1去括号，得2x﹣x+2＝1 C．将x＝2x﹣3移项，得x+2x＝﹣3 D．将2x＝3系数化为1，得 【变式2】在解方程时，去分母后，正确的是（　　） A．2（x+1）﹣3（x﹣1）＝1 B．2（x+1）﹣3（x﹣1）＝6 C．2x+1﹣3x﹣1＝6 D．2x+2﹣3x+3＝1 【变式3】整式ax﹣3b的值随x的取值不同而不同，如表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程ax+3（2﹣b）＝0的解为（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax﹣3b 2 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝0 题型2 含绝对值符号的一元一次方程 解｜题｜知｜识 解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． 例如：解方程|x|＝2 解：去掉绝对值符号 x＝2或﹣x＝2 方程的解为x1＝2或x2＝﹣2． 【典例1】若x＝9是方程|x﹣2|＝m的解，则m＝　1　 ；又若当n＝1时，则方程|x﹣2|＝n的解是 　 　 ． 【变式1】已知关于x的方程||x﹣2|﹣b|＝a有四个解，化简． 过 关 验 收 1．方程2x﹣4＝3x+8经移项，可得2x﹣3x＝8+4，这实际上是根据等式的性质，在方程的两边都加上（　　） A．﹣3x+4 B．3x﹣4 C．﹣3x﹣4 D．3x+4 2．下列解一元一次方程的步骤中，正确的是（　　） A．方程4x﹣2＝3x+1，移项得4x﹣3x＝1+2 B．方程1﹣x＝3﹣2（x﹣1），去括号得1﹣x＝3﹣2x+1 C．方程，去分母得3（x+1）﹣2x＝1 D．方程，系数化为1得x＝1 3．小马同学在解关于x的方程时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得x＝4，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 4．在学习了一元一次方程的解法后，小李独立完成了解方程：，具体步骤如下： 解：去分母，得：2（3x﹣1）＝1﹣4x﹣1（1） 去括号，得：6x﹣1＝1﹣4x﹣1（2） 移项，得：6x﹣4x＝1﹣1+1（3） 合并同类项，得：2x＝1（4） 两边同乘以，得：x（5） 你认为小李在解题过程中存在变形错误的步骤是（　　） A．（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（5） 5．解方程： （1）3x﹣1＝5； （2）． 6．计算： （1）42x﹣0.6×100＝26.1； （2）7（x+3.2）÷2＝28； （3）9x﹣4.8＝3x﹣1.2； （4）3.6x﹣x﹣0.1x＝0.75． 7．（1）计算：（﹣13）﹣9+（﹣2）+11； （2）计算：； （3）解方程：2（x﹣3）＝5x+3； （4）解方程：． 8．（1）解方程：6﹣x＝x﹣（3﹣x）； （2）解方程：1． 9．小民学习完第二章《有理数》后，对有理数的运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下a⊕b＝ab+2a． （1）求2⊕（﹣2）的值； （2）若m⊕3的值与6⊕3的值相等，求m的值． 10．阅读理解：对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定．例如：．根据规定，解答下列问题： （1）比较与的大小； （2）若，求x的值． 11．解下列一元一次方程： （1）3x﹣2＝2x﹣1； （2）． 12．解方程： （1）； （2）． 13．规定这样一种新运算法则：a*b＝a2﹣2ab．如：3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21．若（﹣4）*x＝﹣2+5x，求x的值． 14．解方程： （1）5x+3（2﹣x）＝8； （2）． 15．解方程： （1）8﹣x＝3x+2 （2） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 5.4 一元一次方程的解法 内 容 导 航 题型1 解一元一次方程 题型2 含绝对值符号的一元一次方程 考 点 演 练 题型1 解一元一次方程 解｜题｜知｜识 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 【典例1】解方程，去分母正确的是（　　） A．3（x+1）﹣2x﹣3＝6 B．3（x+1）﹣2x﹣3＝1 C．3（x+1）﹣（2x﹣3）＝12 D．3（x+1）﹣（2x﹣3）＝6 【答案】D 【解答】解：由此方程的分母2，6可知，其最小公倍数为6， 故去分母得：3（x+1）﹣（2x﹣3）＝6． 故选：D． 【变式1】下列在解方程的过程中，变形正确的是（　　） A．将去分母，得（x﹣2）﹣3x＝1 B．将2x﹣（x﹣2）＝1去括号，得2x﹣x+2＝1 C．将x＝2x﹣3移项，得x+2x＝﹣3 D．将2x＝3系数化为1，得 【答案】B 【解答】解：A、将去分母，得（x﹣2）﹣3x＝3，原变形不正确，故此选项不符合题意； B、将2x﹣（x﹣2）＝1去括号，得2x﹣x+2＝1，变形正确，故此选项符合题意； C、将x＝2x﹣3移项，得x﹣2x＝﹣3，原变形不正确，故此选项不符合题意； D、将2x＝3系数化为1，得，原变形不正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】在解方程时，去分母后，正确的是（　　） A．2（x+1）﹣3（x﹣1）＝1 B．2（x+1）﹣3（x﹣1）＝6 C．2x+1﹣3x﹣1＝6 D．2x+2﹣3x+3＝1 【答案】B 【解答】解：两边同乘6得：， ∴2（x+1）﹣3（x﹣1）＝6， 故选：B． 【变式3】整式ax﹣3b的值随x的取值不同而不同，如表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程ax+3（2﹣b）＝0的解为（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax﹣3b 2 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝0 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，关于x的方程ax+3（2﹣b）＝0 可化为ax﹣3b＝﹣6， 当x＝2 时，ax﹣3b＝﹣6， ∴方程的解为：x＝2． 故选：C． 题型2 含绝对值符号的一元一次方程 解｜题｜知｜识 解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． 例如：解方程|x|＝2 解：去掉绝对值符号 x＝2或﹣x＝2 方程的解为x1＝2或x2＝﹣2． 【典例1】若x＝9是方程|x﹣2|＝m的解，则m＝　1　 ；又若当n＝1时，则方程|x﹣2|＝n的解是 　9或3　 ． 【答案】1；9或3． 【解答】解：因为x＝9是方程|x﹣2|＝m的解， 所以|9﹣2|＝m， 所以m＝1． 当n＝1时，方程|x﹣2|＝n为方程|x﹣2|＝1， 则x﹣2＝±1， x＝9或3． 故答案为：1；9或3． 【变式1】已知关于x的方程||x﹣2|﹣b|＝a有四个解，化简． 【答案】2 【解答】解：由||x﹣2|﹣b|＝a有四个解，可知a、b均不为0，且a≠b， 故a＞0， 则|a|＝a， 化简得|x﹣2|＝b+a或|x﹣2|＝b﹣a， ∴b+a＞0，b﹣a＞0， ∴b＞a＞0， ∴|a+b|＝a+b，|b﹣a|＝b﹣a， ∴1﹣1+1+1＝2． 故答案为：2． 过 关 验 收 1．方程2x﹣4＝3x+8经移项，可得2x﹣3x＝8+4，这实际上是根据等式的性质，在方程的两边都加上（　　） A．﹣3x+4 B．3x﹣4 C．﹣3x﹣4 D．3x+4 【答案】A 【解答】解：∵2x﹣4＝3x+8， ∴2x﹣4+（﹣3x+4）＝3x+8+（﹣3x+4）， 去括号，可得 2x﹣3x＝8+4． 故根据等式的性质，方程两边需加上（﹣3x+4）． 故选：A． 2．下列解一元一次方程的步骤中，正确的是（　　） A．方程4x﹣2＝3x+1，移项得4x﹣3x＝1+2 B．方程1﹣x＝3﹣2（x﹣1），去括号得1﹣x＝3﹣2x+1 C．方程，去分母得3（x+1）﹣2x＝1 D．方程，系数化为1得x＝1 【答案】A 【解答】解：根据去分母、去括号、移项及系数化为1的步骤逐一判断可得： A．方程4x﹣2＝3x+1，移项得4x﹣3x＝1+2，步骤正确； B．方程1﹣x＝3﹣2（x﹣1），去括号时右边应为3﹣2x+2（即5﹣2x），但选项写为3﹣2x+1（即4﹣2x），去括号错误； C．方程，去分母时应两边同乘6，得3（x+1）﹣2x＝6，但选项右边仍为1，未乘6，步骤错误； D．方程，系数化为1时，应得，但选项直接写x＝1，计算错误； 故选：A． 3．小马同学在解关于x的方程时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得x＝4，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解答】解：根据题意，按照错误去分母的过程可得， 2x+4﹣3x+k＝2， ﹣x+k＝﹣2， 把x＝4代入，得：﹣4+k＝﹣2， 解得：k＝2． 故选：B． 4．在学习了一元一次方程的解法后，小李独立完成了解方程：，具体步骤如下： 解：去分母，得：2（3x﹣1）＝1﹣4x﹣1（1） 去括号，得：6x﹣1＝1﹣4x﹣1（2） 移项，得：6x﹣4x＝1﹣1+1（3） 合并同类项，得：2x＝1（4） 两边同乘以，得：x（5） 你认为小李在解题过程中存在变形错误的步骤是（　　） A．（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（5） 【答案】B 【解答】解：去分母，得：2（3x﹣1）＝6﹣（4x﹣1）（1） 去括号，得：6x﹣2＝6﹣4x+1（2） 移项，得：6x+4x＝6+1+2（3） 合并同类项，得：10x＝9（4） 两边同除以10，得：x＝0.9（5）， 则小李在解题过程中存在变形错误的步骤是（1）（2）（3）． 故选：B． 5．解方程： （1）3x﹣1＝5； （2）． 【答案】（1）x＝2； （2）x． 【解答】解：（1）3x﹣1＝5， 3x＝5+1， 3x＝6， x＝2； （2），2（x+1）＝6﹣3（1﹣2x）， 2x+2＝6﹣3+6x， 2x﹣6x＝6﹣3﹣2， ﹣4x＝1， x． 6．计算： （1）42x﹣0.6×100＝26.1； （2）7（x+3.2）÷2＝28； （3）9x﹣4.8＝3x﹣1.2； （4）3.6x﹣x﹣0.1x＝0.75． 【答案】（1）x＝2.05； （2）x＝4.8； （3）x＝0.6； （4）x＝0.3． 【解答】解：（1）42x﹣0.6×100＝26.1， 42x﹣60＝26.1， 42x＝26.1+60， 42x＝86.1， x＝2.05； （2）7（x+3.2）÷2＝28， 7（x+3.2）＝28×2， 7（x+3.2）＝56， x+3.2＝8， x＝8﹣3.2， x＝4.8； （3）9x﹣4.8＝3x﹣1.2， 9x﹣3x＝4.8﹣1.2， 6x＝3.6， x＝0.6； （4）3.6x﹣x﹣0.1x＝0.75， 2.5x＝0.75， x＝0.3． 7．（1）计算：（﹣13）﹣9+（﹣2）+11； （2）计算：； （3）解方程：2（x﹣3）＝5x+3； （4）解方程：． 【答案】（1）﹣13； （2）； （3）x＝﹣3； （4）． 【解答】解：（1）（﹣13）﹣9+（﹣2）+11 ＝﹣13﹣9﹣2+11 ＝﹣22﹣2+11 ＝﹣24+11 ＝﹣13； （2） ； （3）2（x﹣3）＝5x+3， 去括号，得2x﹣6＝5x+3， 移项、合并同类项，得3x＝﹣9， 将系数化为1，得x＝﹣3； （4）， 去分母，得3x﹣2（3x+2）＝6， 去括号，得3x﹣6x﹣4＝6， 移项、合并同类项，得﹣3x＝10， 将系数化为1，得． 8．（1）解方程：6﹣x＝x﹣（3﹣x）； （2）解方程：1． 【答案】（1）x＝3； （2）x＝5． 【解答】解：（1）6﹣x＝x﹣（3﹣x）， 去括号，得6﹣x＝x﹣3+x， 移项、合并同类项，得﹣3x＝﹣9， 将系数化为1，得x＝3； （2）， 去分母，得2（x+1）﹣3（x﹣3）＝6， 去括号，得2x+2﹣3x+9＝6， 移项、合并同类项，得﹣x＝﹣5， 将系数化为1，得x＝5． 9．小民学习完第二章《有理数》后，对有理数的运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下a⊕b＝ab+2a． （1）求2⊕（﹣2）的值； （2）若m⊕3的值与6⊕3的值相等，求m的值． 【答案】（1）0； （2）m＝6． 【解答】解：（1）∵a⊕b＝ab+2a， ∴2⊕（﹣2）＝2×（﹣2）+2×2＝﹣4+4＝0； （2）∵m⊕3＝m×3+2×m＝3m+2m＝5m，6⊕3＝6×3+2×6＝18+12＝30， 又∵m⊕3的值与6⊕3的值相等， ∴5m＝30， ∴m＝6． 10．阅读理解：对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定．例如：．根据规定，解答下列问题： （1）比较与的大小； （2）若，求x的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）根据题意得， ，， ∵， ∴； （2）根据题意得， ， 解得． 11．解下列一元一次方程： （1）3x﹣2＝2x﹣1； （2）． 【答案】（1）x＝1； （2）y＝3． 【解答】解：（1）3x﹣2＝2x﹣1， 3x﹣2x＝2﹣1， x＝1； （2）， 5（y﹣1）＝20﹣2（y+2）， 5y﹣5＝20﹣2y﹣4， 5y+2y＝20﹣4+5， 7y＝21， y＝3． 12．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）x＝10； （2）x＝5． 【解答】解：（1）， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得x＝10； （2）， 去分母，得3（x+1）+2（2x﹣4）＝30， 去括号，得3x+3+4x﹣8＝30， 移项、合并同类项，得7x＝35， 将系数化为1，得x＝5． 13．规定这样一种新运算法则：a*b＝a2﹣2ab．如：3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21．若（﹣4）*x＝﹣2+5x，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a*b＝a2﹣2ab． ∴（﹣4）*x＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）x＝16+8x． ∵（﹣4）*x＝﹣2+5x， ∴16+8x＝﹣2+5x， 解得x＝﹣6． 14．解方程： （1）5x+3（2﹣x）＝8； （2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）去括号得：5x+6﹣3x＝8， 移项得：5x﹣3x＝8﹣6， 合并得：2x＝2， 解得：x＝1； （2）去分母得：2（3x﹣1）＝6﹣（4x﹣1）， 去括号得：6x﹣2＝6﹣4x+1， 移项得：6x+4x＝6+1+2， 合并得：10x＝9， 解得：x＝0.9． 15．解方程： （1）8﹣x＝3x+2 （2） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）移项合并得：﹣4x＝﹣6， 解得：x＝1.5； （2）去分母得：12﹣12+9x＝10x+6﹣12x， 移项合并得：11x＝6， 解得：x． 学科网（北京）股份有限公司 $