四川省成都市第二十中学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷

高三试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1、若复数z满足z=2+3i,则2的虚部为( A、-2 B、3 C、-2i D、3i 2已阳知案合4=xeZ2a,8={非<小， 则A∩B=() A、[-2,0)(0,2]B、[-2,0U(1,2] C、{-2,-1刂 D、{-2,-1,2} 3、已知棱长为3正方体ABCD一AB,CD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为() A、16π B、23π C、25π D、27π 4、己知cos ,则sin2a=( D、 56 5、已知向量a=(1,V5),若(a-36)La,则5在ā上的投影向量为( ) 225 3 3 223 、 B 3-3 33 3’3 6、已知数列{an}是首项为1的等差数列，且a2=a,,则43+a,+a3=( A、63 B、3或63 C、21 D、3或21 @0的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为)，贝 A.-V5 B.3 C.1 D.3 8、某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测依照 以往数据，任一观众私自携带应援物品概率为}，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为4，若观 4 5 众没有携带，安检门依旧有一的概率因误检其他物品而亮灯提示若某观众通过安检门时被亮灯提示，则 10 该观众确实私自携带应援物品的概率为() B. c方 D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9、下列命题正确的是() A、样本数据6.1,5.9,5.9,6.0,6.1,5.8,63的极差为0.5 B、样本数据2,4,6,9,11,16的75%分位数是10 C、若随机变量X~N(1,o2(o>0),且P(X≤3)=0.75，则P(1≤X≤3)=0.25 D、若随机事件A,B满足P(A)>O,P(B)>0,且AB=⑦，则P(AB)≠P(A)P(B) 10、已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，P为底面A,B,C,D,内一动点，且BP⊥B,D,则() A、点P的轨迹的长度为三 B、BP/I平面ACD C、恰有一个点P,满足BP⊥AC D、BP与平面48，CD,所成的角的正弦值的最大值为2 11、设函数f(x)的定义域为R,且f(ax+b为奇函数，f(bx+a为偶函数若f(2)=2,a≠0，b≠0， 则() A、b可能为2 B、a≠b C、f(-2)=-2 D、f(4)可能为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12、若了(=了+-ax+b在L,+网)上单调递增，则a的取值范圈是 sine 13、若 1-c0s0 =2，则tan6= 14、已知平面a∩B=1,A∈1，B∈1，AB=3,C∈B,CA⊥I,D∈，DB⊥l,AC=DB=4,异面直线AC 与BD所成的角是，则线段CD的长为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15、某研究院种植了一种特殊作物，为了解该种特殊作物成熟期的高度，随机调查了1000棵成熟期作物 的高度并绘制成如下频率分布直方图. 频率/组距 0.0200 0.0100 0.0050 0.0025 0507090110130150高度/厘米 (1)求aα的值及这1000棵成熟期作物的平均高度x(同组数据用该组数据区间的中点值表示)； (2)以这1000棵成熟期作物的高度的频率估计所有该特殊作物成熟期高度的概率.若在所有成熟的该种特 殊作物中随机抽取20棵，记高度在区间50,90)内的棵数为Z,求Z的期望和方差. 16、已知a=(sinx+cos.x,2sinx),万=(sinx-cos,V3cosx),函数f(x)=a.b+t(t为常数). (1)求fx)的最小正周期及单调递减区间； （2若f[=0,且在aABC中，内角8，C对边分别为a,6c,(-1la2-6-c2=6,求 △ABC的而积 17、如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD,E为棱PD上一点，且 PE =2ED. (1)证明：平面PAC⊥平面PBD; (2)设直线PC与平面ABE交于点F,证明：EF/CD; 3)若4B=4,∠BAD=,PD=3,求平面ABE与平面AEC的夹角的余弦值 B 18、已知正项数列{a,}中，Sn为数列{an}的前n项和，满足4Sn=(an+12(n∈N,设b,=2.1 (1)求{an}的通项公式： (2) 求 b6n-5 的前n项和Hn; (3)令A=√b,-1，在A6和4，之间插入k个数构成一个新数列{cn}: A1,d1,A2,d2,d,A3,d4,d5,d6,…,其中插入的所有数依次构成数列{dn},通项公式dn=(-1”2n,求 数列的{cn}前30项和T0 19、设函数f(x)=asinx+XCOSx,x∈[0，元] ()若a=-1,证明：当x∈0，]时，f(s0, (2)若a=1,证明：f(x)<2; 》者行在a21.使年当组收当x[登闪时，升5x+,来的位阳 高三试卷答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.若复数z满足iz=2+3i,则z的虚部为(A) A.-2 B.3 C.-2i D.3i 2已知案合4=eZ父利，8-<1小， 则AnB=(D) A.[-2,0)(0,2] B.[-2,0)U(1,2] C.{-2,-1 D.{-2,-1,2 3.已知棱长为3正方体ABCD-A,B,CD,的所有顶点均在球0的球面上，则球0的表面积为(D ) A.16元 B.23π C.25元 D.27π 4.已知c0s 6 则sin2a=(C ) A、5 2 6 B.- D. 3 5.已知向量a=(1,√3)，若(a-36)1a,则6在a上的投影向量为(C) 〔2c周9 6.已知数列{an}是首项为1的等差数列，且a2=a2,则43+a,+a3=(B A.63 B.3或63 C.21 D.3或21 数9三n(®0的图象的相邻两支被直线)y一2所得线段长为，则f餐)的值是 A.-3 c.1 D.5 8.某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测依照 以往数据，任一观众私自携带应援物品 概率为了，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为亏若观 众没有携带，安检门依旧有，二的概率因误检其他物品而亮灯提示若某观众通过安检门时被亮灯提示，则 10 该观众确实私自携带应援物品的概率为(B) B子 C.7 D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.下列命题正确的是（ACD) A.样本数据6.1,5.9,5.9,6.0,6.1,5.8,6.3的极差为0.5 B.样本数据2,4,6，S,11,16的75%分位数是10 C.若随机变量X~1,o2(o>0),且P(X≤3)=0.75，则P(1≤X≤3)=0.25 D若随机事件A,B满足P(A>0,P(B)>0,且AB=⑦，则P(AB)≠P(A)P(B) 10.己知正方体ABCD-AB,CD的棱长为l,P为底面A,B,C,D,内一动点，且BP⊥B,D,则(BC) A点P的轨迹的长度为互 B.BP//平面ACD, C.恰有一个点P,满足BP⊥AC D.BP与平面AB,C,D,所成的角的正弦值的最大值为V2 11.设函数f(x)的定义域为R,且f(ax+b)为奇函数，f(bx+a为偶函数.若f(2)=2,a≠0，b≠0， 则(BD A.b可能为2 B.a≠b C.f(-2)=-2 D.f(4)可能为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12若f八=写+×-ax+b在+o恻)上单调递嘴，则a的取值范用是_(，到 13. 若sin 一=2，则tan9=一专一， 1-cos0 14.已知平面∩B=I,A∈l,B∈l,AB=3,C∈B,CA⊥l,D∈a,DB⊥L,AC=DB=4,异面直线AC 与BD所成的角是元，则线段CD的长为5或√57 3 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.某研究院种植了一种特殊作物，为了解该种特殊作物成熟期的高度，随机调查了1000棵成熟期作物的 高度并绘制成如下频率分布直方图 频率/组距 0.0200-------- 0.0100 0.0050 0.0025 0"507090110130150高度/厘米 (1)求a的值及这1000棵成熟期作物的平均高度x(同组数据用该组数据区间的中点值表示)； (2)以这1000棵成熟期作物的高度的频率估计所有该特殊作物成熟期高度的概率若在所有成熟的该种特 殊作物中随机抽取20棵，记高度在区间50,90)内的棵数为Z,求Z的期望和方差， 【小问1详解】 由20(0.0025+a+0.02+0.01+0.005)=1,得a=0.0125,2分 这1000棵成熟期作物的平均高度为 x=20×60×0.0025+80×0.0125+100×0.02+120×0.01+140×0.005)=101厘米.6分 【小问2详解】 高度在区间[50,90)内的频率为20×(0.0025+0.0125)=0.3,8分 由样本估计总体知，高度在区间[50,90)的概率为0.3， 因为Z~B(20,0.3),所以E(Z)=20×0.3=6,D(Z)=20×0.3×0.7=4.2.13分 16.已知a=(sinx+cosx,2sinx),b=(sinx-cosx,V3cosx,函数f(x)=a·6+t(t为常数). (1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间， ②)若f侣}-0，且在△Ac啡，内角4B,C 对边分别为a,b,c,J ()=la--2=6,求 △ABC的面积. 小问1详解】 由题意得f(x)=a.b+t=sin2x-cos2x+2W3 sinxcosx+t=V3sin2x-cos2x+t =2sm2x-爱}+1,3分所以f儿的放小正周期7-=x,5分 令+2km≤2x-s3+2 kr(keEZ),得+k标≤x≤5亚+km(keZ, 6 3 6 所以∫(x)的单调递减区间为 [+g+]e.7分 【小问2详解】 =0,得2sin +t=0,故t=-1.9分 “26 因为A∈(0，m,所以A-=, 6=),所以A=2π」 11分 62 3， 所以a2=b2+c2-2bcc0sA=b2+c2+bc, 又a2-b-c2=6,即a2=b2+c2+6,所以bc=6,所以Sc=)bcsind=x6x 5_3515分 2 22 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD,E为棱PD上一点，且 PE=2ED (1)证明：平面PAC⊥平面PBD; (2)设直线PC与平面ABE交于点F,证明：EF∥CD; (3)若AB=4,∠BAD=,PD=3,求平面ABE与平面AEC的夹角 3 的余弦值 【小问1详解】 因为PD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以PD⊥AC, 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD, 又PD,BDC平面PBD,且PD∩BD=D,所以AC⊥平面PBD, 因为ACc平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD.4分 【小问2详解】 因为四边形ABCD为菱形，所以AB∥CD, 又ABC平面ABE,CD文平面ABE,所以CD∥平面ABE, 又CDC平面PCD,且平面ABE∩平面PCD=EF, 所以EF//CD, 8分 【小问3详解】 设AC∩BD=O,以O为原点，直线OA,OB分别为x轴，y轴，过O垂直于平面ABCD的直线为z轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则4A25,0,0,B(0,2,0),C-25,0,0,E(0,-2,1), 所以A=（-25,-2,1,AB=(-25,2,0,Ac=（-45,0,0 设平面ABE的法向量m=(x,y,z, AB.=0-2v3x+2y=0 则 即 AE.m=0’-23x-2y+z=0 令x=1,解得y=√5，z=45,所以面ABE的一个法向量为m=1,V5,4V5) 设平面AEC的法向量元=（a,b,c), [AC元=0「-43a=0 则 ,即 AE元=0 -23a-2b+c=0 令b=1,解得a=0,c=2,所以平面AEC的一个法向量i=(0,1,2). 设平面ABE与平面BC的夹角为6，则cos0=k如s(杭，训网同25×550 m |959195 .15分 18、已知正项数列{an}中，a,=1,Sn为数列{an}的前n项和，满足4Sn=(an+12m∈N,设b,=2,利 (1)求{an}的通项公式； (2〉 求 b.(6n-5j 的前n项和Hn; anan+l (3)令An=Vb,-1，在A和Ak+1之间插入k个数构成一个新数列{cn}: A1,d1,A2,d2,d3,A3,d4,d,d6,…,其中插入的所有数依次构成数列{dn},通项公式dn=(-1”2n,求 数列的{cn}前30项和T0 18解(1)由题意，在4Sn=(an+12中，令n=1,可得a,=1 因为4Sn=(an+2当n≥2时，4Sn1=(an1+10 2可得4an=(a,+2-(a-1+1月 整理得(an+an-(an-an-1-2)=0 因为an>0可得an-an-1=2(n≥2 所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an=2n-1 4分 2)由6.=2=4”侧2-院2-器-斋， 4+142 的前川项和税号-+号-考+…+器-斋=4+器=器-4 42 5441 10分 (3)因为An=Vb,-1=2”-1 在数列{c}中，项A,之前（含A)共有1+2+3+4+5+6+7=28项，28<30， ∴数列{cm}的前30项中包含数列{A}的前7项及数列{d}的前23项， 730=41+42+…+4+d+d+…+d=2-1+2.1+.+271+-2+46+8-40-2X-2-7+[2+(2x1l]-223. 1-2 17分 19.设函数f(x)=asinx+-xcoSx,x∈[0， 1)若a=-l,证明：当xe[0,1时，f≤0， (2)若a=1,证明：f(x)<2； (3)若存在a≥1，使得当且仅当x∈ 交，元时，f(x)≤x+k,求北的取值范围 【小问1详解】 当a=-l时，f(x)=-sinx+xcosx,则f'(x)=-cosx+cosx-xsinx=-xsinx, 当x∈[0，]时，x≥0，sinx≥0，故f'(x)≤0， 所以f(x)在区间 上单调递减，所以f(x)≤f(0)=0,即f(x)≤0.4分 【小问2详解】 证法一：当a=1时，f(x)=sinx+xcOSx,x∈[0，π，∫'(x)=2cosx-xsinx. 当xe经时.cir<0sx≥0x>0,此时f问<0， 设g(x)=f'（x),则g'(x)=-2sinx-(sinx+xcosx)=-3sinx-xCOSx, 当x∈0,7时，sinr20,c0sx20,g')≤0，当且仅当x=0时取等号 故f'(x)在区间 上单调递减， 又f0)=2>0,/-受<0，因此存在唯-的∈（0》 使得f(x)=0, 即2c0sx0=Xosinx,即tanx,= 且当x∈[0，]时，f'(x)>0,当x∈[xo,时，f'(x<0, 故∫(x)在区间[0，]上单调递增，在区间x,元上单调递减 f(x)max =f(o)=sinxo+xocosxo=cosxo(tanxo+xo)=cosxo x+2 cosxo xo Xo 1 1 由l+tan6o=、1 且cosx>0,得 cos2x 1+tan2xo 4 √x+4 x好 故f(x)=始+2 号+4因+4，要证()<2等价于证明 6+2<2,即证对6<12 x场+4 因方0引}号16，所以6<周<16<2，不等式度博2证9分 解法二：由(I)知当0≤x≤分时，six之X0osr, 当<x≤x时，snx20,xosr<0,所以sinx>xo0ex， 所以sinx≥xcosx在区间[0，π]上恒成立，所以当a=1时，f(x)=sinx+xCOSX≤2sinx≤2， 由于前面的等号在x=0处取到，后面的等号在x=处取到，所以f(x)≠2，即f(x)<2.9分 【小问3详解】