2026−2027学年人教版八年级数学上册第一次月质量检测模拟数学试卷2（河南信阳适用）

2026−2027八年级上期月考模拟试卷2 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（2，0），（0，3），若△AOB≌△DCA，则点D的坐标是（　　） A．（5，3） B．（5，2） C．（2，5） D．（3，5） 2．（3分）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 3．（3分）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 4．（3分）下列可使两个直角三角形全等的条件是（　　） A．一条边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．一个锐角对应相等 D．两个锐角对应相等 5．（3分）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 6．（3分）有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为3和7，则这组三角形最多有（　　） A．2个 B．3个 C．5个 D．7个 7．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 8．（3分）如图，点B，C，D，E在一条直线上，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，则下列结论错误的是（　　） A．△ABE≌△ACD B．△ABD≌△ACE C．∠C＝30° D．∠1＝70° 9．（3分）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝80°，则∠BCA的度数为（　　） A．80° B．60° C．40° D．30° 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC于点E，若S△BPC＝7，PE＝4，S△ABC＝10，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x+1，3x+1．若这两个三角形全等，则x的值是_____ ． 12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线 BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为________________ ． 13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则点P到边AB的距离为_____ ． 14．（3分）如图，△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线交于点I，过点I作ID⊥AB，IE⊥BC，IF⊥AC，垂足分别为D，E，F，若AB＝6，AC＝3，BC＝5，则AD＝_____ ． 15．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AC，垂足为C，且CD＝AC，连接BD，若BC＝4，则△BCD的面积为_____ ． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE． （1）求证：△DAC≌△ECB； （2）连接DE，若AB＝16，求DE的长． 17．（9分）如图，在五边形ABCDE中，BC＝4，AE＝3． （1）若△BCD≌△BAE，DE＝2，求五边形的周长．（五边形的周长为五条边长的和） （2）若∠BDC＝70°，∠CBD＝∠ABE≠70°，，∠AEB＝（x+18）°，当△BCD与△BAE全等时，求x的值． 18．（9分）已知，AD为△ABC的角平分线． （1）如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB＝7，AC＝5．求BE的长； （2）如图2，若AB＝7，AC＝5，△ACD的面积是10，求△ABC的面积． 19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在Rt△ECD中，∠ECD＝90°，BC＝CD，∠BAC＝∠DEC． （1）求证：AB＝DE； （2）连接AD，连接BE交AC于点F，若点F恰好是BE的中点，求证：AD＝2CF． 20．（9分）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝CE．求证：AB＝DE． 变式训练 （2）如图2，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝CE． ①AB与DE的数量关系是__________ ； ②分别延长BA与DE，设射线BA与DE交于点F，求∠BFE与∠BCE的度数之和． 21．（10分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F． （1）求证：△ACE≌△ABD． （2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数． （3）连接AF，过点A作AH⊥BD于点H，求证：FA平分∠DFC． （4）线段DH、EF与HF之间的数量关系是：_____________ ． 22．（10分）在△ABC中，点D在直线AB上，点E在平面内，点F在BC的延长线上，∠E＝∠BDC，AE＝CD，∠EAB+∠DCF＝180°． 【问题解决】 （1）如图1，若点D在边BA的延长线上，求证：AD+BC＝BE； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在线段AB上，请探究线段AD、BC与BE之间存在怎样的数量关系？并证明； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点D在线段AB的延长线上，请直接写出线段AD，BC与BE之间的数量关系． 23．（11分）【问题初探】 如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，若AH＝5，AG＝12，求△DAE的面积． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（2，0），（0，3），若△AOB≌△DCA，则点D的坐标是（　　） A．（5，3） B．（5，2） C．（2，5） D．（3，5） 【分析】由A、B的坐标得到OA＝2，OB＝3，由全等三角形的性质推出AC＝OB＝3，CD＝OA＝2，∠DCA＝∠AOB＝90°，求出OC＝AO+AC＝5，即可得到点D的坐标． 【解答】解：∵点A，B的坐标分别是（2，0），（0，3）， ∴OA＝2，OB＝3， ∵△AOB≌△DCA， ∴AC＝OB＝3，CD＝OA＝2，∠DCA＝∠AOB＝90°， ∴OC＝AO+AC＝5， ∴点D的坐标是（5，2）． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的性质，坐标与图形性质，关键是由全等三角形的性质推出AC＝OB＝3，CD＝OA＝2，∠DCA＝∠AOB． 2．（3分）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 【分析】根据角平分线的性质即可得出答案． 【解答】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三角形三个内角的角平分线的交点处． 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 3．（3分）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 【分析】根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【解答】解：条件是AB＝CD， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠AEB＝90°， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 4．（3分）下列可使两个直角三角形全等的条件是（　　） A．一条边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．一个锐角对应相等 D．两个锐角对应相等 【分析】判定两个直角三角形全等的方法有：SAS、SSS、AAS、ASA、HL五种．据此作答． 【解答】解：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C； 而D构成了AAA，不能判定全等； B构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等． 故选：B． 【点评】此题主要考查两个直角三角形全等的判定，除了一般三角形全等的4种外，还有特殊的判定：HL． 5．（3分）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 【分析】根据全等三角形的判定定理推出即可． 【解答】解：在△AEG和△AFG中， ， ∴△AEG≌△AFG（SSS）， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL． 6．（3分）有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为3和7，则这组三角形最多有（　　） A．2个 B．3个 C．5个 D．7个 【分析】设第三条边长为c，根据三角形的三边关系，可得4＜c＜10，即可求解． 【解答】解：设第三条边长为c， ∵三角形有两条边的长分别为3和7， ∴7﹣3＜c＜3+7， 解得：4＜c＜10， ∵它们的边长均为整数， ∴整数c为5，6，7，8，9， ∴这组三角形最多有5个． 故选：C． 【点评】本题主要查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 7．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】首先由角平分线的性质可知DF＝DE＝4，然后由S△ABC＝S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果． 【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F， ∴DF＝DE＝4． 又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8， ∴28＝×8×4+×AC×4， ∴AC＝6． 故选：C． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的大小是一种很好的方法，要注意掌握应用． 8．（3分）如图，点B，C，D，E在一条直线上，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，则下列结论错误的是（　　） A．△ABE≌△ACD B．△ABD≌△ACE C．∠C＝30° D．∠1＝70° 【分析】先利用平角的定义计算出∠AEB＝70°，则根据等腰三角形的性质得到∠1＝70°，从而可对D选项进行判断；再根据三角形外角性质计算出∠B＝50°，则根据等腰三角形的性质得到∠C＝50°，从而可对C选项进行判断；接着根据三角形内角和定理计算出∠CAD＝60°，则可根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，从而可对A选项进行判断；由于BE＝CD，则BD＝CE，然后根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，从而可对B选项进行判断． 【解答】解：∵∠2＝110°， ∴∠AEB＝70°， ∵AD＝AE， ∴∠1＝∠AEB＝70°，所以D选项不符合题意； ∵∠2＝∠BAE+∠B， ∴∠B＝110°﹣60°＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝50°，所以C选项符合题意； ∴∠CAD＝180°﹣∠1﹣∠C＝180°﹣70°﹣50°＝60°， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA），所以A选项不符合题意； ∴BE＝CD， ∴BE﹣DE＝CE﹣DE， 即BD＝CE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS），所以B选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 9．（3分）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝80°，则∠BCA的度数为（　　） A．80° B．60° C．40° D．30° 【分析】可证明△COD≌△COB，得出∠D＝∠CBO，再根据∠BAC＝80°，得∠BAD＝100°，由角平分线可得∠BAO＝40°，从而得出∠DAO＝140°，根据AD＝AO，可得出∠D＝20°，即可得出∠CBO＝20°，则∠ABC＝40°，最后算出∠BCA＝60°． 【解答】解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O， ∴∠ACO＝∠BCO， 在△COD和△COB中， ， ∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠D＝∠CBO， ∵∠BAC＝80°， ∴∠BAD＝100°，∠BAO＝40°， ∴∠DAO＝140°， ∵AD＝AO， ∴∠D＝20°， ∴∠CBO＝20°， ∴∠ABC＝40°， ∴∠BCA＝60°， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，证明△COD≌△COB是解决此题的关键． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC于点E，若S△BPC＝7，PE＝4，S△ABC＝10，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】连接AP，过点P作PF⊥BC于F，PG⊥AB，交AB的延长线于G，根据角平分线的性质得到PG＝PF＝PE＝4，根据三角形面积公式分别求出BC、AB+AC，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：如图，连接AP，过点P作PF⊥BC于F，PG⊥AB，交AB的延长线于G， ∵∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC，PF⊥BC于F，PG⊥AB， ∴PG＝PF＝PE＝4， ∵S△BPC＝7， ∴BC×4＝7， 解得：BC＝， ∵S△ABC＝10， ∴AB×4+AC×4﹣7＝10， ∴AB+AC＝， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝+＝12， 故选：D． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x+1，3x+1．若这两个三角形全等，则x的值是　3　 ． 【分析】根据全等三角形的对应边相等得到答案． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴2x+1＝7，3x+1＝10， 解得：x＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线 BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为　1秒或3.5秒或12秒　 ． 【分析】依据题意，△PEC与△QFC全等时，PC＝CQ，当P在AC上，Q在CB上时，得到6﹣t＝8﹣3t，求出t＝1；当P、Q在AC上时，得到6﹣t＝3t﹣8，求出t＝3.5；当P在BC上，Q在AC上时，t＝12，于是得到答案． 【解答】解：∵PE⊥l于E，QF⊥l于点F， ∴当△PEC与△QFC全等时，PC＝CQ， 当P在AC上，Q在CB上时， ∵PC＝AC﹣AP＝6﹣t，CQ＝BC﹣BQ＝8﹣3t， ∴6﹣t＝8﹣3t， ∴t＝1（秒）； 当P、Q在AC上（P、Q重合）时， ∵PC＝6﹣t，CQ＝3t﹣8， ∴6﹣t＝3t﹣8， ∴t＝3.5（秒）； 当P在BC上，Q在AC上时，即A与Q重合时， ∴t＝（6+6）÷1＝12（秒）． ∴t的值为1秒或3.5秒或12秒． 故答案为：1秒或3.5秒或12秒． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论． 13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则点P到边AB的距离为　2　 ． 【分析】连接PC，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为D，E，F，点P为△ABC的内心，利用角平分线的性质和等面积法求解． 【解答】解：如图，连接PC，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为D，E，F． 由于点P是∠BAC和∠ABC的角平分线的交点， ∴PD＝PE＝PF（角平分线的性质）． 设PD＝x，则PE＝PF＝x． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10， 根据三角形的面积公式得，． 又S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC ＝ ＝ ＝12x． 因此12x＝24， 解得x＝2． 所以点P到AB的距离为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了角平分线的性质，关键是角平分线性质定理的熟练掌握． 14．（3分）如图，△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线交于点I，过点I作ID⊥AB，IE⊥BC，IF⊥AC，垂足分别为D，E，F，若AB＝6，AC＝3，BC＝5，则AD＝　2　 ． 【分析】根据角平分线的性质求出DI＝EI＝FI，利用HL证明Rt△ADI≌Rt△AFI，根据全等三角形的性质求出AD＝AF，同理，BD＝BE，CE＝CF，最后根据线段的和差求解即可． 【解答】解：如图，连接AI， ∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点I， ∴AI平分∠BAC， ∵ID⊥AB，IE⊥BC，IF⊥AC， ∴DI＝EI＝FI， 在Rt△ADI和Rt△AFI中， ， ∴Rt△ADI≌Rt△AFI（HL）， ∴AD＝AF， 同理，BD＝BE，CE＝CF， ∵AB＝BD+AD＝6，AC＝AF+CF＝3，BC＝BE+CE＝5， ∴BD＝BE＝6﹣AD，CF＝CE＝3﹣AD， ∴6﹣AD+3﹣AD＝5， ∴AD＝2， 故答案为：2． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 15．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AC，垂足为C，且CD＝AC，连接BD，若BC＝4，则△BCD的面积为　4　 ． 【分析】作AN⊥CB于N点，过点D作DM⊥BC交BC的延长线于点M，证明△ANC≌△CMD（AAS），根据全等三角形的性质、三角形的面积公式解答即可． 【解答】解：如图，作AN⊥CB于N点，过点D作DM⊥BC交BC的延长线于点M， ∴∠ANC＝90°，∠CMD＝90°， ∴∠ACN+∠MCD＝90°，∠ACN+∠NAC＝90°，∠ANC＝∠CMD， ∴∠NAC＝∠MCD， 在△ANC和△CMD中， ， ∴△ANC≌△CMD（AAS）， ∴NC＝DM， ∵AC＝AB，AN⊥BC，BC＝4， ∴NC＝BC＝2， ∴DM＝2， ∴S△BCD＝×BC×DM＝×4×2＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等腰直角三角形，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE． （1）求证：△DAC≌△ECB； （2）连接DE，若AB＝16，求DE的长． 【分析】（1）根据CD∥BE得∠DCA＝∠B，根据点C是线段AB的中点得AC＝CB＝AB，由此可依据“ASA”判定△DAC和△ECB全等， （2）根据AB＝16得AC＝CB＝AB＝8．根据全等三角形性质得CD＝BE，再根据CD∥BE得四边形BCDE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得出DE的长． 【解答】（1）证明：∵CD∥BE， ∴∠DCA＝∠B， ∵点C是线段AB的中点， ∴AC＝CB＝AB， 在△DAC和△ECB中， ， ∴△DAC≌△ECB（ASA）； （2）解：∵AB＝16， ∴AC＝CB＝AB＝8， 由（1）可知：△DAC≌△ECB， ∴CD＝BE， 又∵CD∥BE， ∴四边形BCDE是平行四边形． ∴DE＝BC＝8． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解决问题的关键． 17．（9分）如图，在五边形ABCDE中，BC＝4，AE＝3． （1）若△BCD≌△BAE，DE＝2，求五边形的周长．（五边形的周长为五条边长的和） （2）若∠BDC＝70°，∠CBD＝∠ABE≠70°，，∠AEB＝（x+18）°，当△BCD与△BAE全等时，求x的值． 【分析】（1）由全等三角形的性质可得BC＝BA＝4，CD＝AE＝3，再利用五边形的周长公式计算即可； （2）由∠CBD＝∠ABE≠70°，再分两种情况讨论：当△BCD≌△BAE时，当△BCD≌△BEA时，再利用全等三角形的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵△BCD≌△BAE，BC＝4，AE＝3， ∴BC＝BA＝4，CD＝AE＝3， ∵DE＝2， ∴五边形ABCDE的周长为AB+BC+CD+AE+DE＝4+4+3+3+2＝16； （2）∵∠CBD＝∠ABE≠70°， ∴当△BCD≌△BAE时，而∠BDC＝70°，∠AEB＝（x+18）°， ∴∠AEB＝∠BDC＝70°， ∴x+18＝70， 解得：x＝52， ∴x的值为52； 当△BCD≌△BEA时，而∠BDC＝70°，， ∴， ∴， 解得：x＝60， ∴x的值为60； 综上：x的值为52或60． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 18．（9分）已知，AD为△ABC的角平分线． （1）如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB＝7，AC＝5．求BE的长； （2）如图2，若AB＝7，AC＝5，△ACD的面积是10，求△ABC的面积． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠EAF＝∠CAF，进而利用ASA证明△EAF与△CAF全等解答即可； （2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，利用角平分线的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠EAF＝∠CAF， ∵CE⊥AD， ∴∠AFE＝∠AFC＝90°， 在△EAF与△CAF中， ， ∴△EAF≌△CAF（ASA）， ∴AE＝AC＝5， ∵AB＝7， ∴BE＝AB﹣AE＝7﹣5＝2； （2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F， ∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F， ∴DE＝DF， ∵AC＝5，△ACD的面积是10， ∴DF＝， ∵AB＝7， ∴， ∴△ABC的面积＝14+10＝24． 【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用ASA证明△EAF与△CAF全等解答． 19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在Rt△ECD中，∠ECD＝90°，BC＝CD，∠BAC＝∠DEC． （1）求证：AB＝DE； （2）连接AD，连接BE交AC于点F，若点F恰好是BE的中点，求证：AD＝2CF． 【分析】（1）运用全等三角形的性质和判定，证明△ACB和△ECD全等，即可求得AB＝DE； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明△EGF≌△BCF，△GEC≌△DCA，进而求得AD＝2CF． 【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在Rt△ECD中，∠ECD＝90°， ∴∠ACB＝∠ECD， 在△ACB和△ECD中， ， ∴△ACB≌△ECD（AAS）， ∴AB＝DE； （2）证明：点F恰好是BE的中点，如图2，过点E作EG∥CB交AC于点G， ∴EF＝BF，∠EGC＝∠ACB， 在△EGF和△BCF中， ， ∴△EGF≌△BCF（AAS）， ∴EG＝BC，GF＝CF， ∴GC＝2CF， ∵DC＝BC， ∴EG＝CD， ∵EG∥CB， ∴∠GEC+∠BCE＝180°， ∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°， ∠ECD＝90°， ∴∠ACB+∠ECD＝∠ACD+∠DCB+∠ECD＝∠ACD+∠ECB＝180°， ∴∠GEC＝∠ACD， ∵△ACB≌△ECD， ∴AC＝EC， 在△GEC和△DCA中， ， ∴△GEC≌△DCA（SAS）， ∴GC＝AD， ∵GC＝2CF， ∴AD＝2CF． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． 20．（9分）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝CE．求证：AB＝DE． 变式训练 （2）如图2，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝CE． ①AB与DE的数量关系是AB＝DE ； ②分别延长BA与DE，设射线BA与DE交于点F，求∠BFE与∠BCE的度数之和． 【分析】（1）由SAS可证△ABC≌△DEC，可得AB＝DE； （2）①由SAS可证△ACB≌△DCE，可得AB＝DE； ②由SAS可证△ABC≌△DEC，可得∠ABC＝∠DEC，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE， ∴∠ACB＝∠DCE， 在△ABC与△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝DE； （2）解：①∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠ACB＝∠DCE， 在△ACB和△DCE中， ， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴AB＝DE， 故答案为：AB＝DE； ②∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE， 即∠ACB＝∠DCE， 在△ABC与△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴∠ABC＝∠DEC， ∵∠DEC+∠CEF＝180°， ∴∠ABC+∠CEF＝180°， ∴∠BFE+∠BCE＝180°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 21．（10分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F． （1）求证：△ACE≌△ABD． （2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数． （3）连接AF，过点A作AH⊥BD于点H，求证：FA平分∠DFC． （4）线段DH、EF与HF之间的数量关系是：EF+DH＝FH ． 【分析】（1）根据“边角边”证明三角形全等即可； （2）根据△ACE≌△ABD，得到∠ACE＝∠ABD，再利用∠BFC＝180°﹣（∠BCF+∠ABD+∠ABC），将∠ACE＝∠ABD代入，即得答案； （3）过点A作AG⊥CF于点G，利用面积法证明AG＝AH，再根据角平分线的判定定理，即可证明结果； （4）先证明△AGE≌△AHD，得到GE＝HD，再证明△AGF≌△AHF，得到FG＝FH，即可证得答案． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠EAC＝∠DAB， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ACE≌△ABD（SAS）； （2）解：∠BFC＝50°；理由如下： ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝130°， ∵△ACE≌△ABD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∴∠BFC＝180°﹣（∠BCF+∠ABD+∠ABC） ＝180°﹣（∠BCF+∠ACE+∠ABC） ＝180°﹣（∠ACB+∠ABC） ＝180°﹣130° ＝50°； （3）证明：过点A作AG⊥CF于点G， ∵△ACE≌△ABD， ∴CF＝BD，S△ACE＝S△ABD， ∵AH⊥BD， ∴， ∴AG＝AH， ∴FA平分∠DFC； （4）解：EF+DH＝FH；理由如下： ∵△ACE≌△ABD， ∴∠AEG＝∠ADH， 又∵∠AGE＝∠AHD＝90°，AG＝AH， ∴△AGE≌△AHD（AAS）， ∴GE＝HD， ∴EF+DH＝EF+GE＝FG， ∵∠AGF＝∠AHF＝90°，AG＝AH，AF＝AF， ∴Rt△AGF≌△RtAHF（HL）， ∴FG＝FH， ∴EF+DH＝FH， 故答案为：EF+DH＝FH． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 22．（10分）在△ABC中，点D在直线AB上，点E在平面内，点F在BC的延长线上，∠E＝∠BDC，AE＝CD，∠EAB+∠DCF＝180°． 【问题解决】 （1）如图1，若点D在边BA的延长线上，求证：AD+BC＝BE； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在线段AB上，请探究线段AD、BC与BE之间存在怎样的数量关系？并证明； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点D在线段AB的延长线上，请直接写出线段AD，BC与BE之间的数量关系． 【分析】（1）先证∠EAB＝∠BCD，再由ASA证得△EAB≌△DCB，得出BE＝BD，AB＝BC，即可得出结论； （2）先证∠EAB＝∠BCD，再由ASA证得△EAB≌△DCB，得出BE＝BD，AB＝BC，即可得出结论； （3）先证∠EAB＝∠BCD，再由ASA证得△EAB≌△DCB，得出BE＝BD，AB＝BC，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠BCD+∠DCF＝180°， ∴∠EAB＝∠BCD， 在△EAB和△DCB中， ， ∴△EAB≌△DCB（ASA）， ∴BE＝BD，AB＝BC， ∵BD＝AD+AB， ∴AD+BC＝BE； （2）解：线段AD、BC与BE之间是BC﹣AD＝BE，理由如下： ∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠BCD+∠DCF＝180°， ∴∠EAB＝∠BCD， 在△EAB和△DCB中， ， ∴△EAB≌△DCB（ASA）， ∴BE＝BD，AB＝BC， ∵BD＝AB﹣AD， ∴BC﹣AD＝BE； （3）解：线段AD、BC与BE之间是AD﹣BC＝BE，理由如下： ∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠DCB+∠DCF＝180°， ∴∠EAB＝∠DCB， 在△EAB和△DCB中， ， ∴△EAB≌△DCB（ASA）， ∴BE＝BD，AB＝BC， ∵BD＝AD﹣AB， ∴AD﹣BC＝BE． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平角的定义等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 23．（11分）【问题初探】 如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，若AH＝5，AG＝12，求△DAE的面积． 【分析】（1）根据题意得出∠ABD＝∠CAE，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出∠AEC＝∠ADB，∠ACE＝∠BAD，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作EM⊥HG于M，DN⊥GH的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出△DNA≌△AGB，△EMA≌△AGC，得出DN＝ME＝AG＝12，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【解答】（1）证明：在Rt△ADB中， ∠ABD+∠BAD+∠BDA＝180°，∠BDA＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°． 又∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）DE＝BD+CE， 证明：∵∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝∠CEA+∠ACE，∠CEA＝∠BAC， ∴∠ACE＝∠BAD， 在△CAE和△ABD中， ， ∴△CAE≌△ABD（AAS）， ∴AD＝CE，AE＝DB， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）解：如图，过点E作EM⊥HG于点M，作DN⊥GH，交GH的延长线于点N， ∴∠EMH＝∠DNH＝90°． 与（1）同理可得△DNA≌△AGB，△EMA≌△AGC， ∴DN＝AG，EM＝AG， ∴DN＝EM＝AG＝12 ∵AH＝5， ∴． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $