精品解析：河南开封市求实学校2026-2027学年八年级上学期9月阶段检测数学试题

初二年级第一学期第一次月考数学试卷 一．选择题（共12小题）每小题3分，共42分 1. 嘉嘉不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块，她将第4块带去商店，就能配一块与原来相同的三角形玻璃，她依据的是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵、、块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的， ∴她依据的是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等， 故选：． 2. 已知，下列条件：①；②；③；④．其中能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定，利用三角形内角和为，结合每个条件推导角的度数，判断是否存在直角即可． 【详解】解：对于①，∵， ∴， 又，代入得， 解得，故是直角三角形； 对于②，∵，且， ∴，故是等边三角形，不是直角三角形； 对于③，∵， ∴， 又，得，故是直角三角形； 对于④，设，则，， 由，解得， 将的值代入计算可得，，均不是直角，故不是直角三角形； 综上，能确定为直角三角形的条件有①③，共2个； 故选：B． 3. 如图，E，F是的边，上的点，D是点A上方的一点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据三角形内角和定理得出，，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， 即， ∵， ∴， 故选：A． 4. 如图，在中，点，，分别是的中点，若阴影部分的面积为4，则的面积是（ ） A. 32 B. 36 C. 28 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积与中线的关系，根据等底同高的两个三角形面积相等，依次计算即可，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵D，E，F分别是，，的中点， ∴，， ， ∵， ∴， 故选A． 5. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据所给图形结合全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：根据图形，符合全等三角形的判定方法，可画出与此直角三角形全等的三角形， 故选：A． 6. 如图，已知，小慧想运用（）证明≌，则需要添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据全等三角形的判定定理进行排除选项． 【详解】解：由题意得：， ∴若添加，则有，即，通过“”证明，故A选项不符合题意； 若添加，则通过“”证明，故B选项符合题意； 若添加，则通过“”证明，故C选项不符合题意； 若添加，则不能证明，故D选项不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积（ ）． A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，如图所示： 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，的外角的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点，连接，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、角平分线的性质等知识；利用证明，可判断C正确；再利用证明，可判断B正确；由，，可判断D正确；由外角平分线与等腰三角形的性质，可判断A错误． 【详解】解：∵的垂直平分线过点D， ∴， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，故C正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，故D正确； ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故A错误， 故选：A． 9. 如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定、坐标与图形，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：如图所示，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴B点的坐标是． 故选：B． 10. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先得到，根据同角的余角相等得到，即可判断A正确；由角平分线的性质定理即可判断C正确；证明，得到，即可判断D正确；由和不一定相等得到和不一定相等，即可判断B错误． 【详解】解：由作图得，， ∴， ∴， ∴，故A正确； 由作图得，平分， 又∵， ∴，故C正确； 又∵， ∴， ∴，故D正确； ∵和不一定相等， ∴和不一定相等，故B错误． 11. 如图，已知，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全等三角形性质推出，再结合对顶角性质和三角形内角和推出，即可解题． 【详解】解：如下图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 12. 如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，由角平分线的定义可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定②；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定③；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定④；综合即可得出答案． 【详解】解：∵是的平分线，是的外角的平分线， ∴， 故①正确； ，的平分线交于点， ，， 又∵， ， ， 故②正确； 平分， ， ，，， ， ， ， 故③正确； 如图， ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故④正确； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 二．填空题（共6小题）每小题3分，共18分 13. 长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 故答案为：2． 14. 如图，三角形中，为，上的两点，若，则的度数为_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得，，再代入，可得答案．解题的关键是掌握：三角形的内角和为． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 15. 如图在中，，是的角平分线，于点D，，周长为12，则的长是________． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据周长为12，求得，然后根据角平分线的性质定理得到，即可根据求得答案． 【详解】解：周长为12，， ， ， 是的角平分线，，， ， ． 16. 如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】延长交于点F，证明，得，再证明，得，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 17. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，若，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：是的角平分线，，， ， ∵，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 18. 如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动，当Q的运动速度为________时，能够使与全等． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程与动点几何问题，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据①当时，；②当时，两种情况进行讨论，从而可求点的运动速度； 【详解】解：设运动时间为； 当时，， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ∴的运动速度等于点运动速度； ②当时，， ∵点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．，， ∴, ∴， ∴点的运动速度：； 故答案为：或． 三．解答题（共8小题） 19. 已知的三边长为， （1）若，求边长的取值范围； （2）化简． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，则，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【小问1详解】 解：， ，即． 【小问2详解】 解：∵的三边长为， ， 原式 ． 20. 如图，在中，平分为线段上的一个动点，交直线于点． （1），，求的度数； （2）当点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2） 解：，证明如下： 如图所示： 平分， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【小问1详解】 解 ，， ， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 略 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 【答案】（1）如图，为所作的平分线； （2）证明：如图．连接DE，由(1)知： 在和中 ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E； （2）依据证明得到，进一步可得结论． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到． 22. 如图，走走和格格住在同一个小区不同单元楼，她们想要测量走走家所在单元楼的高度．首先她们在两栋单元楼之间选定一点，然后格格在自己家阳台处测得处的俯角为，走走站在处测得楼顶的仰角为 ，发现与 互余．过点作于点，已知米，米，米，点、、在一条直线上，，，，试求单元楼的高． 【答案】米 【解析】 【分析】根据题意得出，，，然后利用全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：，，， ∴四边形是矩形，， ∴米，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在与 中， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：单元楼的高为米． 23. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角” 例如：在中，如果，为“开心三角形” 问题：如图，中，，，点是线段上一点（不与重合），连接 （1）如图1，若，则是“开心三角形”吗？为什么？ （2）若是“开心三角形”，直接写出的度数 【答案】（1） 解：是“开心三角形”， 理由如下： ， ， ， ， 在中，， ， 为开心三角形”， 在中，， ， 为开心三角形”； （2）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用直角三角形的性质和三角形内角和定理求得，再利用“开心三角形”的定义解答即可； （2）利用分类讨论的方法，根据“开心三角形”的定义解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：若是“开心三角形”，由于点是线段上一点（不与，重合）， 则或或， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的度数为或或． 24. 如图，在锐角中，，且点，在线段上，且． （1）求证； （2）若，求． 【答案】（1） 证明：，，， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）21 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，证明是解题关键． （1）根据各角之间的关系得出，再利用“”证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，进而可得的值，然后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， ． 25. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点和点，的垂直平分线分别交于点和点与的延长线相交于点． （1）若的长为，求的周长． （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形及多边形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，可得的周长为的长，据此即可求得； （2）首先由，可得，，再根据三角形的内角和定理，可求得，，再根据四边形的内角和定理，即可求得． 【小问1详解】 解：∵、的垂直平分线分别交于E、G两点， ∴，， 的周长； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴，， ，， ， ， ， ，， ， ． 26. 如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：如图①，∵，， ， 在与中， ， ． （2） 证明：如图①，， ∴，， ∴， ∴，即平分； （3）4 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角的平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据三角形的判定定理即可证得． （2）通过三角形全等求得，，进而根据等边对等角求得，从而求得即可证得； （3）过点A作，垂足为点M，由题意易得，然后可得M为的中点，则有，进而根据割补法可求解面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点A作，垂足为点M． ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴M为的中点． ∴． ∴． 又由（1）知， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级第一学期第一次月考数学试卷 一．选择题（共12小题）每小题3分，共42分 1. 嘉嘉不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块，她将第4块带去商店，就能配一块与原来相同的三角形玻璃，她依据的是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 2. 已知，下列条件：①；②；③；④．其中能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，E，F是的边，上的点，D是点A上方的一点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点，，分别是的中点，若阴影部分的面积为4，则的面积是（ ） A. 32 B. 36 C. 28 D. 30 5. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，小慧想运用（）证明≌，则需要添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积（ ）． A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 8. 如图，的外角的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点，连接，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题）每小题3分，共18分 13. 长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 14. 如图，三角形中，为，上的两点，若，则的度数为_____． 15. 如图在中，，是的角平分线，于点D，，周长为12，则的长是________． 16. 如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 17. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，若，，，则的长为_____． 18. 如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动，当Q的运动速度为________时，能够使与全等． 三．解答题（共8小题） 19. 已知的三边长为， （1）若，求边长的取值范围； （2）化简． 20. 如图，在中，平分为线段上的一个动点，交直线于点． （1），，求的度数； （2）当点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 22. 如图，走走和格格住在同一个小区不同单元楼，她们想要测量走走家所在单元楼的高度．首先她们在两栋单元楼之间选定一点，然后格格在自己家阳台处测得处的俯角为，走走站在处测得楼顶的仰角为 ，发现与 互余．过点作于点，已知米，米，米，点、、在一条直线上，，，，试求单元楼的高． 23. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角” 例如：在中，如果，为“开心三角形” 问题：如图，中，，，点是线段上一点（不与重合），连接 （1）如图1，若，则是“开心三角形”吗？为什么？ （2）若是“开心三角形”，直接写出的度数 24. 如图，在锐角中，，且点，在线段上，且． （1）求证； （2）若，求． 25. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点和点，的垂直平分线分别交于点和点与的延长线相交于点． （1）若的长为，求的周长． （2）若，求的度数． 26. 如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $