精品解析：河南信阳市羊山中学2025-2026学年八年级上学期2月学情自测数学试题

2025-2026学年八年级上学期2月学情自测数学试题 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：∵，，的根指数不等于， ∴、、都不是二次根式， ∴选项、、不符合题意， 符合二次根式的定义， ∴选项符合题意， 故选：． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式，同底数幂除法，多项式除以单项式计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂除法，多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 4. 已知下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0 的整式，分式的值不变． 运用分式的基本性质逐一判断即得． 【详解】A. ∵，∴，∴此种说法正确； B. ∵，∴，∴此种说法正确； C. ∵，∴当时，不成立，∴此种说法不正确； D. ∵，∴，∴此种说法正确． 故选：C． 5. 若一个三角形的三个内角度数的比为2：7：5，则这个三角形是（　　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比求出三个内角的度数，然后再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状即可． 【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为2：7：5， ∴这个三角形中最大的角为． ∴该三角形是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求得三角的度数成为解答本题的关键． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的内角和等于 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 若等腰三角形一边长为2，一边长为5，则它的周长为9或12 D. 日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，直角三角形的判定，等腰三角形的定义，三角形的三边关系以及三角形的稳定性，根据相关知识点，逐一进行判断即可. 【详解】解：A、三角形的内角和等于，正确，不符合题意； B、有两个角互余的三角形是直角三角形，正确，不符合题意； C、若等腰三角形一边长为2，一边长为5，当腰长为2时，，不能构成三角形， 当腰长为5时，，能构成三角形，则周长为，原说法错误，符合题意； D、日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形，正确，不符合题意； 故选C. 7. 沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，根据全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、添加，可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加可得，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加，它们不是对应边的夹角相等，不能证明，故此选项符合题意； D、添加，由可得，故此选项不符合题意； 故选：C． 8. 下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据平方差公式为逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算； 选项B：， 两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算； 选项C：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算； 选项D：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算． 故选：B． 9. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，以及这批椽的价钱为6210文可分别表示出1株椽的价钱，据此可建立方程． 【详解】解：∵每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱， ∴1株椽的价钱为文， ∵这批椽的价钱为6210文， ∴1株椽的价钱为文， ∴， 故选：D． 10. 如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点，以下五个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤，其中正确结论的有（　　）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得，，，利用“”证明，再根据全等三角形的性质，逐一判断即可． 【详解】解：，，点D为中点， ，，平分，， ，， 直角， ， ， ， 在和中，， （），故②正确； ，，， ，， ，故①正确； ， ，故④不正确； 直角，， 是等腰直角三角形，故③正确； ， ，故⑤正确； 综上：正确结论的有①②③⑤，共4个． 二．填空题（每小题3分，满分15分） 11. 若，则____． 【答案】3 【解析】 【分析】先将等式两边化为同底数幂，根据同底数幂相等则指数相等，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：将原方程左边变形，可得， 根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，得， 因此原方程可化为， 因此得， ∴． 12. 星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度．1纳秒秒，那么20纳秒用科学记数法表示应为______ 【答案】秒 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可． 【详解】解：用科学记数法表示20纳秒为秒秒． 故答案为：秒． 13. 根据下表中的信息，请写出一个只含有字母且符合表中要求的分式______．（写出一个即可） 分式 无意义 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式的值为零的条件，根据题意可得分式分子可以为，分式分母可以为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：根据题意可得，分式分子可以为，分式分母可以为， ∴符合表中要求的分式为， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形，根据面积的和差，可得大长方形的面积，根据大长方形的面积公式，可得大长方形的长． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， 拼成的大长方形的面积为， 大长方形的宽为4， 大长方形的长为． 15. 如图，等边△ABC的边长为2cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为______ cm 【答案】6 【解析】 【详解】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处， 所以AD=A′D，AE=A′E． 则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E， =BC+BD+CE+AD+AE， =BC+AB+AC， =6cm． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂． （1）利用绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂计算后再算加减即可； （2）利用完全平方公式，单项式乘多项式计算后合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. （1）解分式方程： （2）利用因式分解说明能被70整除． 【答案】（1）原分式方程无解； （2）解： ， ∵为整数， ∴能被70整除． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程与因式分解的应用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）将提取公因式分解得到，据此即可证明． 【详解】（1）解：， 去分母得， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的增根，应舍去， ∴原分式方程无解； （2）略 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算．先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ∵ ∴ ∴原式． 19. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角三角形内角和定理，得出，根据垂直平分线的性质可得，则，即可求解； （2）根据垂直平分线的性质可得，，进而根据周长为，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 又垂直平分， ， ， ； 【小问2详解】 解：垂直平分， ，， ， 又，周长为， 即， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， （1）在图中画出平面直角坐标系； （2）画出与关于x轴对称的； （3）画出与关于y轴对称的 【答案】（1） 坐标系如图所示； （2） 如图，即为所求； （3）如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，平面直角坐标系，熟练掌握作轴对称图形的方法是解题的关键． （1）根据，，先确定原点，再画坐标轴即可． （2）根据关于轴对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到． （3）根据关于轴对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图所示，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以得到是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）若交换上述命题的题设和结论将得到一个新命题，请写出此命题． （2）请判断（1）中命题的真假，若为真命题，请写出已知和求证并给出证明；若为假命题，请说明理由． 【答案】（1）一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是 （2） 此命题是真命题，理由如下： 已知：在中，， 求证：． 证明：延长至点D，使，连接， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． 延长至点D，使，连接，证明是等边三角形，得到，根据等腰三角形的三线合一证明即可． 【小问1详解】 此命题为：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是； 【小问2详解】 略 22. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.4万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【答案】（1）甲型充电桩的单价是元，乙型充电桩的单价是元； （2）购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需最少费用为28万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点， （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 【小问1详解】 解：设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价是元，乙型充电桩的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时， ∴w取得最小值为28万元， 此时，， 答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需最少费用为28万元． 23. 已知是等边三角形， （1）如图1，若，点D在线段上，且，连接，求的长； （2）如图2，点E是延长线上一点，，交的外角平分线于点F，求证：； （3）如图3，若，动点M从点B出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边，取中点H，连接，请直接写出的最小值及此时的长． 【答案】（1） （2） 证明：在线段上截取一点G，使得，连接，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）的最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）过点D作于点E，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解； （2）在线段上截取一点G，使得，连接，由题意易得是等边三角形，则有，，然后可证，进而问题可求证； （3）连接，由题意易证，则有，然后可得点N在的外角的角平分线上运动，进而根据垂线段最短可得的最小值，及此时的长． 【小问1详解】 解：过点D作于点E，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ∵，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点N在的外角的角平分线上运动， 由垂线段最短可知当时，最短， ∵点H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、垂线段最短及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期2月学情自测数学试题 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个三角形的三个内角度数的比为2：7：5，则这个三角形是（　　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 6. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的内角和等于 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 若等腰三角形一边长为2，一边长为5，则它的周长为9或12 D. 日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形 7. 沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　） A. B. C. D. 8. 下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 9. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点，以下五个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤，其中正确结论的有（　　）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二．填空题（每小题3分，满分15分） 11. 若，则____． 12. 星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度．1纳秒秒，那么20纳秒用科学记数法表示应为______ 13. 根据下表中的信息，请写出一个只含有字母且符合表中要求的分式______．（写出一个即可） 分式 无意义 14. 如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 15. 如图，等边△ABC的边长为2cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为______ cm 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. （1）解分式方程： （2）利用因式分解说明能被70整除． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， （1）在图中画出平面直角坐标系； （2）画出与关于x轴对称的； （3）画出与关于y轴对称的 21. 如图所示，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以得到是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）若交换上述命题的题设和结论将得到一个新命题，请写出此命题． （2）请判断（1）中命题的真假，若为真命题，请写出已知和求证并给出证明；若为假命题，请说明理由． 22. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.4万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 23. 已知是等边三角形， （1）如图1，若，点D在线段上，且，连接，求的长； （2）如图2，点E是延长线上一点，，交的外角平分线于点F，求证：； （3）如图3，若，动点M从点B出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边，取中点H，连接，请直接写出的最小值及此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $