第五章二次函数单元练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册二次函数单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合汽车刹车、商品利润等真实情境，考查二次函数定义、图像性质及实际应用，适配单元复习，培养数学建模与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、解析式、顶点坐标、图像变换|基础辨识与图像变换结合，如第6题平移考查几何直观| |填空题|5/15|参数取值、最值应用、数据表格分析|分类讨论与符号意识，如第13题参数范围考查推理能力| |解答题|8/75|利润问题、刹车距离探究、图像绘制|综合建模与应用意识，如第23题刹车距离问题体现数学与现实联系|

· 第五章 二次函数 单元练习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 4．已知长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x 0 1 3 y 6 该抛物线的图象上有三点，，，则、与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 7．设二次函数的图象与一次函数图象交于点，若函数；的图象与轴仅有一个交点，则（       ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的对称轴在轴的左侧 B． C．图象的顶点在第四象限 D．图象与轴的两个交点在轴两侧 9．如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 10．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．二次函数的一次项是________． 12．若函数是关于的二次函数，则的值为_______． 13．设二次函数（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 1 1 … 若在，，这三个实数中，只有一个是正数，的取值范围是______ 14．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，则小球飞出 _____s时，达到最大高度． 15．如图，抛物线与直线交于点和点B．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，写出点M的横坐标的取值范围______． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16．若函数是关于x的二次函数，求m的值． 17．某地为庆祝国庆举行焰火表演，表演时礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮点火升空到最高点处引爆，求从点火升空到引爆需要的时间和最高点高度． 18．已知抛物线． (1)求证：不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点； (2)若该抛物线与轴交于点，求当时，的取值范围． 19．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能低于50元且不得高于65元），设每件商品的售价上涨元，（为正整数）每个月的销售量为件． (1)与的函数关系式为：______； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ (3)若在销售过程中每一件商品都有元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随的增大而减小，求的取值范围． 20．已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 21．小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标． (1)请求出b和n的值； (2)小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标； (3)点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标． 22．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点，在对称轴直线上找一点，使得的周长最小，求点的坐标． (3)点是直线上方抛物线一动点，不与点重合，求点坐标使与的面积相等． 23．综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”．如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系． 问题解决： (1)①求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？ (2)若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由 …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页（共6页） ◎ 第4页（共6页） 第1页（共6页） ◎ 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D B D B C C C 11． 12． 13． 14．2 15．或 16． 【分析】本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ∴， 解得． 17．从点火升空到引爆需要的时间为和最高点高度． 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，将二次函数解析式变形为顶点式是解题的关键．将二次函数的解析式变形为顶点式，结合二次函数的性质，即可得出从点火升空到引爆需要时间为． 【详解】解：将整理成顶点式得：， ， ∴当时，取得最大值，此时引爆， ∴从点火升空到引爆需要时间为4s， ∴最高点高度为（） 即从点火升空到引爆需要的时间为和最高点高度． 18．(1) 证明：当时，得：， ∵ ， ∴方程总有两个不相等的实数根， 即不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点； (2)或 【分析】本题考查二次函数与轴，轴的交点，二次函数的性质， （1）令，则，再证明即可； （2）先确定抛物线的解析式，再把代入函数解析式，解方程，结合函数图像开口方向即可得解； 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵该抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，得：， 解得：，， ∴该函数的图像与轴的交点坐标为、， 又∵抛物线的二次项系数， ∴图像开口向上， ∴当时，的取值范围为或． 19．(1) (2)当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元 (3)的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，不等式组的应用，一次函数的应用，二次函数的图象和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意列关系式即可； （2）月利润等于销售量乘以单价利润，据此列出二次函数，化为顶点式求最值即可； （3）先表示出月利润，再写出其对称轴为直线，根据当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随的增大而减小，列不等式组求解即可． 【详解】（1）由题意得，与的函数关系式为， ∵每件售价不能低于50元且不得高于65元， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设月利润为W，由题意得 ， ∵， ∴当时，W有最大值2402.5， ∵且x为正整数， ∴当时，，； 当时，，； ∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元； （3）由题意得，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵售价每件不低于58元，且x为正整数， ∴时，每月的销售利润随的增大而减小， ∴， 解得． 20．(1) 画出抛物线，如图所示． (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据列表，描点，连线即可作图； （2）根据函数图象，得出当时，的取值范围即可； （3）根据函数的增减性以及最值，结合函数图象求出两个端点时的函数值即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 3 … … 0 6 … （2）解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是； （3）解：由图象可知顶点坐标为， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 综上，当时，的取值范围为． 21．(1)，； (2) (3)的面积最大时，点P的坐标为． 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）先由在一次函数上求出b，再由在二次函数求出n． （2）联立两解析式，可求出交点M的坐标． （3）根据点M的坐标求得直线的解析式，设，，求得，，即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意可知，， 解得：，； （2）解：联立得， 解得，， 当时为原点，舍去， 将代入得， ∴点M的坐标为； （3）解：过P点作y轴的平行线，交线段于Q． ∵M的坐标为， ∴直线的解析式为：， ∴设，，， ， ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的面积最大．此时点P的坐标为． 22．(1)抛物线的解析式为 (2) (3)点使与的面积相等 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据的周长等于，其中为定值，当值最小时，的周长最小，根据对称性得到，得到三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即可； （3）根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的两个三角形的面积相等，将直线平移至过点，求出平移后的直线与抛物线的交点，即为点的坐标． 【详解】（1）抛物线的对称轴为，点坐标为与在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵的周长等于，为定值， ∴当值最小时，的周长最小， 由于、关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴三点共线时，的周长最小， 即：点为直线与的交点时，的周长最小， 由（1）知，抛物线的解析式为，令，则， ， 设直线解析式为，把代入，得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ； （3）设过点平行于的直线为，将点代入，得：， 直线解析式为， ∵与的面积相等 ∴点为直线与抛物线的交点， 联立，解得：（B点，舍去）或； 点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，将军饮马模型解决周长最小问题．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 23．(1)①；②汽车司机踩下刹车后，时汽车完全停下 (2)当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距 (3)解：会， 理由如下： 由（1）可知，当时，有最大值75， 即汽车刹车过程中最多行驶， ， 该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质、解一元二次方程等知识，读懂题意，灵活运用二次函数图象与性质求解是解决问题的关键． （1）①利用待定系数法列方程组求解即可得到答案；②由①中得到的二次函数表达式，由二次函数图象与性质即可得到答案； （2）由题意得到，结合（1）中求得的二次函数表达式，令，解一元二次方程即可得到答案； （3）由（1）中得到的汽车在时刹车距离达到最大值，才能完全停下，比较提总距离即可得到答案． 【详解】（1）解：①设二次函数的解析式为， 代入，得 解得， 二次函数的解析式为； ②， ， 抛物线开口向下，有最大值，为， 故汽车在时刹车距离达到最大值，完全停下． 答：汽车司机踩下刹车后，时汽车完全停下； （2）解：当汽车超过测速仪，且与测速仪相距时， 即汽车开始刹车后行驶的距离， 当时，， 即， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距； （3）略 答案第8页（共8页） 答案第7页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $