第二章 一元二次方程（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册数学第二章一元二次方程单元卷，覆盖基础概念到综合应用，结合数学史（杨辉问题）与生活情境（杨梅销售），适配单元复习，助力抽象能力、模型意识与创新意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、系数、根的判别式等|如第1题考查一元二次方程定义，夯实基础| |填空题|6/18|方程求解、根与系数关系|如第14题矩形折盒问题，体现几何直观| |解答题|9/72|解方程、证明、实际应用|如第24题销售方案（模型意识）、第25题“差根方程”新定义（创新意识）|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 3．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 4．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 6．（25-26八年级下·广西贺州·期末）已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东泰安·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 9．已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 10．如图（1），在矩形中，点P以每秒个单位长度的速度从点B沿着折线运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B沿着折线运动，当点P到达点D时，点Q随之停止运动，连接．的面积y与点P的运动时间x（秒）之间的函数关系图象如图（2）所示，则m的值为（   ） A．5 B． C．6 D．7 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．方程的根是_______． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 13．（25-26八年级下·北京·期末）若，是方程的两根，则的值为________． 14．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 15．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 16．在一个直角三角形中，有一条直角边为6，这个直角三角形的最长边或最短边是方程其中一个解，那么这个直角三角形的面积是____________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程 (1)； (2) 18．（25-26九年级上·广东茂名·期末）阅读下面小王解方程的过程，并解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是___________(填序号)； (2)请你写出正确的解答过程． 19．（25-26八年级下·浙江金华·期末）为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 20．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 21．已知，是一元二次方程的两实数根，求下列代数式的值 (1) (2) 22．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 23．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 24．（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 25．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.(25-26八年级下·重庆沙坪坝期末)下列方程中，是一元二次方程的是（) 1 A.2x2-x=0B.x+2=0 C.x+y=2 D.x--=2 2.(25-26八年级下·江苏南通期末)一元二次方程2x2-x+3=0的一次项系数、常数项分别是() A.2、-3 B.2、3 C.1、-3 D.-1、3 3.(25-26八年级下湖南长沙期末)已知方程x2+x-6=0的一个根是2，则k的值为() A.2 B.1 C.3 D.-3 4.(25-26八年级下·安徽安庆期末)关于一元二次方程+2x-4=0的根的情况，下列说法正确的是 () A.只有一个实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 5.(2526八年级下江苏苏州期末)将一元二次方程2+6x-1=0转化为K+m=”的形式，则m+n的 值为() A.8 B.11 C.13 D.16 6.(25-26八年级下广西贺州期末)已知方程2-5x+1=0的两根分别为，5，则+的值为() 5 A.2 B.2 C.Z 7.(25-26八年级下山东泰安期末)关于x的一元二次方程x+4x-k=0有两个相等的实数根，则k的值 是() A.2 B.4 C.-4 D.-16 8.(25-26八年级下·浙江嘉兴·期末)我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问 1/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题：一个矩形长和宽的和为60步，面积是864平方步，问长比宽多几步？若设长为x步，根据题意可列方 程是() A.(60-x)x=864 60-x60+x=864 B.22 c.(60+x)x=864 D.(30+x(30-x)=864 9.已知a,b,4分别是三角形三边的长，且a,b是一元二次方程x2-7x+9=0的两个根，则该三角形的 周长等于() A.16 B.11 C.9 D.7 10.如图(1)，在矩形ABCD中(AD>AB),点P以每秒3个单位长度的速度从点B沿着折线BAD运动， 点Q以每秒1个单位长度的速度从点B沿着折线BCD运动，当点P到达点D时，点O随之停止运动，连 接P巴.△BPO的面积y与点P的运动时间x(秒)之间的函数关系图象如图(2)所示，则m的值为 () D 12 B O m主 图(1) 图(2) 11 A.5 B.2 C.6 D.7 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.方程x2=-x的根是 12.(25-26八年级下·浙江杭州期末)已知关于x的一元二次方程 (x-5)(x-a)=0 的两个根分别是5和 1,则a的值为一 13.(25-26八年级下北京期末)若，女是方程+x-1=0的两根，则++的值为 14.(25-26八年级下·山西大同期末)如图1为一矩形纸板，长12Cm,宽6cm.在它的四角各切去一个 216 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）·如果要制作的无盖方 盒的底面积为40cm2, 则矩形纸板各角应切去正方形的边长为cm. 图1 图2 15。（25-26八年级下山东泰安期末)若关于*的一元二次方程m-2)r-2x+1=0 实根，则m的取值 范围是 16.在一个直角三角形中，有一条直角边为6，这个直角三角形的最长边或最短边是方程 2x(x-3)=（x+2)(x+4)-28 其中一个解，那么这个直角三角形的面积是 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.(25-26八年级下江苏南通期末)解方程 ①3x(x-1)=2(x-1) ②r-5x-40 18.(25-26九年级上：广东茂名期末)阅读下面小王解方程2x2-8x-18=0的过程，并解决下列问题. 解：移项得，2x2-8x=18① 两边同除以2得，x2-4x=9② 配方得，x2-4x+4=9③ 即，(x-2)2=9 ∴x-2=3或x-2=-3④ 316 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .x=5,x2=-1 ⑤ (1)上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是 (填序号)： (2)请你写出正确的解答过程。 19.(25-26八年级下·浙江金华期末)为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼。己知王大伯第一周 行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长.经统计， 第三周时，单周路程达到了12100米 (1)求每周路程的平均增长率： (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 20.（25-26八年级下江苏泰州期末)关于x的方程-(m+6)x+5m+5=0, (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根： (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围 21.已知片，”是一元二次方程广=+3 的两实数根，求下列代数式的值 1)4+33 25-y)5-) 22.(25-26八年级下'山东泰安期末)已知关于x的一元二次方程x2-4x-m+5=0有两个实数根. (1)求实数m的取值范围： (Q)考，”是该方程的两个根，且满足 2+x号=m2-2 2,求m的值。 23.配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元 二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值. 解： x2+6x+5=x2+2×(3x)+32-32+5=(x+3)}2-4 (x+3)2≥0 416 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当3 x2+6x+ 时， 有最小值4。 请根据上述方法，解答下列问题： 0若r+4r+5=(x+a}+ ,则a= b= (2)求代数式2x2+4x-1的最值： 24.(25-26八年级下·浙江金华·期末)根据以下素材，探索完成任务. 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于 “泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同 步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案。 素 材 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元千克. 1 素 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克 材 时，当天实体店销售量是50千克.一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行 3 适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价 素 材 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克. 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额- 成本)与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利 润)为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？ 若不能，请说明理由。 25.(25-:26八年级下广东深圳期末)已知关于x的一元二次方程r+x+C=0有两个实数根，， 516 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若满足氏-1 ，则此类方程叫做“差根方程”.根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是一；（填写序号） ①x2-x=0;②x2-4x-5=0 (2)已知关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”，求a的值. 6尼知△M8C是直角三角形，箫边BC的长为万，若△8C的两边B、4C的长是一个二次项系数为1 的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”. 616 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 一元二次方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B D C A C A B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．， 12． 13． 14． 15．且 16．或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解： 或 ∴，；...........3分 （2）解： ∴，...........6分 18． 【详解】（1）解：配方法中，等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，步骤③仅左边加，右边仍为，未加，因此开始出现错误的步骤是； 故答案为：；...........2分 （2）解：， 移项得， 两边同除以2得， 配方得， 即， 或， ，．...........6分 19． 【详解】（1）解：设每周路程的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：每周路程的平均增长率为．...........3分 （2）解： （米）， 答：预测第五周王大伯行走的总路程是米．...........6分 20． 【详解】（1）证明：， ， 不论m取何值，方程总有两个实数根；...........3分 （2）解：， ， ， 则或， 解得：，， 方程有一个根小于3， ， ．...........6分 21． 【详解】（1）解：根据题意得：方程可以改写为， 根据根与系数的关系得：、， ；...........4分 （2）解：由（1）知，、， ．...........8分 22． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得；...........3分 （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴．...........8分 23． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1．...........4分 （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值．...........8分 24． 【详解】（1）当网店售价为25元时，相比初始价30元降低了元． 网店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 网店毛利润（元） 实体店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 实体店毛利润（元） 答：网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元．...........4分 （2）解：设网店售价每千克降低元， 则网店毛利润； 实体店毛利润 根据题意列方程： 化简可得： ∴ 解得：， 答：网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元．...........8分 （3）不能，理由： 设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元， 根据任务2的计算可得： 整理得： 可得： 由根的判别式得方程无解 所以该农户一天的总毛利润不能达到3000元．...........12分 25． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”；..........4分 （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或；...........8分 （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为．...........12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合一元二次方程定义； B、未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求； C、含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D、分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 【答案】D 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 3．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得， ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 4．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 6．（25-26八年级下·广西贺州·期末）已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定方程中二次项系数和一次项系数后代入公式计算即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程 ， 若方程两根为 ， 则两根之和 ， ∵ 原方程为 ， ∴ ，， ∴ ． 7．（25-26八年级下·山东泰安·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根. 对本题而言， ，解得． 8．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长与宽的和表示出宽，再利用矩形面积公式列方程即可 【详解】解：设长为步，长和宽的和为步 宽为步 矩形面积长宽，已知矩形面积为平方步 可列方程为 9．已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，验证三边满足三角形三边关系后，即可计算出周长． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵a，b，4分别是三角形三边的长， ∴，且， ∴三边满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴ 三角形的周长为． 10．如图（1），在矩形中，点P以每秒个单位长度的速度从点B沿着折线运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B沿着折线运动，当点P到达点D时，点Q随之停止运动，连接．的面积y与点P的运动时间x（秒）之间的函数关系图象如图（2）所示，则m的值为（   ） A．5 B． C．6 D．7 【答案】C 【分析】设，，则，根据题意得出，，求出a、b的值，即可得出答案． 【详解】解：设，，则， 根据题意可得：当点Q运动到点C时，的面积最大， 即， ∴， 根据图象可得：当点P到达点D时，所用时间为秒， ∴， 即， ∴， 解得，（舍去）， ， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．方程的根是_______． 【答案】， 【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 移项，得, 方程左边因式分解得 ∴或 解得，． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 【答案】 【详解】解：， ∴或， 解得，， ∵方程的两个根分别是和， ∴． 13．（25-26八年级下·北京·期末）若，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的值，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的值，最后代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的根， ， 整理得， 又，是方程的两根， 根据根与系数的关系可得， 将，代入代数式得． 14．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 15．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，结合方程有实根可得根的判别式，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数，解得， 方程有实根， ， 解得， 综上，的取值范围是且． 16．在一个直角三角形中，有一条直角边为6，这个直角三角形的最长边或最短边是方程其中一个解，那么这个直角三角形的面积是____________． 【答案】或 【分析】先整理方程得，解得，，分两种情况讨论：当为这个直角三角形的最短边时，求得直角三角形的面积是；当为这个直角三角形的最长边时，则另一条直角边为，这个直角三角形的面积是． 【详解】解：由方程，可整理得， 解得，， ∴当为这个直角三角形的最短边时，这个直角三角形的面积是； 当为这个直角三角形的最长边时，则另一条直角边为，这个直角三角形的面积是； ∴这个直角三角形的面积是或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴， 18．（25-26九年级上·广东茂名·期末）阅读下面小王解方程的过程，并解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是___________(填序号)； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)； (2)，，过程见解析 【分析】本题考查一元二次方程的配方法求解，核心是掌握配方法的规范步骤：移项、化二次项系数为1、等式两边同时加上一次项系数一半的平方、写成完全平方式后开平方求解． （1）分析小王的解题过程，配方时仅在左边加4，右边未同步加4，违反等式的基本性质，因此步骤③开始出错； （2）严格按照配方法的正确步骤逐步计算即可得到方程的解． 【详解】（1）解：配方法中，等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，步骤③仅左边加，右边仍为，未加，因此开始出现错误的步骤是； 故答案为：； （2）解：， 移项得， 两边同除以2得， 配方得， 即， 或， ，． 19．（25-26八年级下·浙江金华·期末）为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）设每周路程的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可； （2）结合（1）的结论，在第三周的基础上，列式计算即可． 【详解】（1）解：设每周路程的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：每周路程的平均增长率为． （2）解： （米）， 答：预测第五周王大伯行走的总路程是米． 20．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 【答案】(1)证明：， ， 不论m取何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）利用因式分解法解方程得，，再结合“有一个根小于3”列不等式求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：， ， ， 则或， 解得：，， 方程有一个根小于3， ， ． 21．已知，是一元二次方程的两实数根，求下列代数式的值 (1) (2) 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）根据根与系数的关系得：、，再利用完全平方公式变形进行求值即可； （2）将多项式展开，利用、进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：方程可以改写为， 根据根与系数的关系得：、， ； （2）解：由（1）知，、， ． 22．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 23．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 【答案】(1)， (2)最小值为，无最大值； 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键． （1）依据题意，由配方即可得到本题答案； （2）依据题意，先提出，再配方即可求最值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1． （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值． 24．（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元 (2)网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元 (3)不能，理由： 设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元， 根据任务2的计算可得： 整理得： 可得： 由根的判别式得方程无解 所以该农户一天的总毛利润不能达到3000元． 【分析】（1）根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； （2）设网店售价每千克降低元，分别求得网店毛利润和实体店毛利润，根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当网店售价为25元时，相比初始价30元降低了元． 网店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 网店毛利润（元） 实体店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 实体店毛利润（元） 答：网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元． （2）解：设网店售价每千克降低元， 则网店毛利润； 实体店毛利润 根据题意列方程： 化简可得： ∴ 解得：， 答：网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元． （3）略 25．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $