第四章 投影与视图（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北师大版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第四章 投影与视图·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D B D C B D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．平行 12．80 13．6 14． 15． 16． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个圆柱． 故答案为：圆柱．..........2分 （2）解：由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为4、4、3，圆柱体的底面圆的直径为2，高为3， ∴该几何体的体积为．..........6分 18． 【详解】解：（1）在中，． 设，则． 由勾股定理，得， 即， 解得（负值已舍去）． 故树的高度约为．..........3分 （2）当树与光线垂直时，树影最长， 过点A作太阳光线于点D，且， 如图．在中，． 故树影的最大长度为． ..........6分 19． 【详解】（1）如图所示该几何体的三视图为所求： ..........3分 （2）解：由题图可知，几何体的体积为， 故答案为：5；..........4分 （3）解：可以在①和②的位置上各添加一个小正方体，这个几何体的左视图和俯视图都不变， 即最多添加2个， 故答案为：2．..........6分 20．(1) 解：如图所示，点即是灯泡的位置； ..........2分 （2）解：①∵，， ∴， ∵米， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵（米）， ∴相似比为， ∴， ∴；..........4分 ②如图，过作，则即是灯泡距离地面的高度， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（米）， 答：灯泡距离地面的高度是米．..........6分 21． 【详解】（1）解：如图，过C作交延长线于H， 在中，，， （米）； 答：点C到水平地面的距离为10米；..........3分 （2）解：如图，过H作交于E， ，， ， 四边形为平行四边形， 米， 在中，（米）， （米）， 身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米， ，即， 解得， （米）． 答：小明测得的水塔高度约为47米．..........8分 22． 【详解】（1）解：①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影． 故答案为：平行； ②太阳光是平行光线，则． 故答案为：；..........3分 （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴建筑物的高为15米．..........8分 23． (1)解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ；..........2分 （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为．..........6分 (3)解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为，则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果．..........8分 24． 【详解】（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米， ，， ， ∴，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为米；..........4分 （2）解：， 米， ∵米，米， ∴米，米， ， ， ∴，， ， ， ， ， ， 答：的长是米；..........8分 （3）解：①由（1）（2）得，， 当运动秒后，米，则米， 设米，米， ， 解得：； ， 解得； 米， 故答案为：米；..........10分 ②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是， 米， 当秒时， 米， 当秒时， 米， ∴1秒时间内移动的距离为： 米， 影子的顶端在地面上移动的速度是米秒． 故答案为：．..........12分 25． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵、、不变， ∴长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变， 故选：C； ..........2分 （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵、、不变， ∴长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变；..........6分 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵从点M出发，将木棒沿方向平移， ∴长度逐渐变长， ∵、、不变， ∴长度逐渐变长， 故选：A；..........8分 （4）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得：， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，解得：， ∴投影的长度为．.........12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第四章投影与视图·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图是某几何体的三视图，该几何体是() A.长方体 B.三棱柱 C.圆锥 D.圆柱 2.(2026福建中考真题)福建土楼产生于宋元，成熟于明末、清代和民国时期.土楼或方或圆，以圆为 主，如珍珠般洒落在闽西南的绿水青山间，遵循“天人合一”的东方哲学理念，图1是福建众多土楼中的 一座圆形土楼，图2为其示意图，关于它的三视图的描述，下列说法正确的是() 才主视方向 图1 图2 A.主视图和左视图相同 B.主视图和俯视图相同 C.左视图和俯视图相同 D.三种视图都相同 3.(25-26九年级上山东烟台·期末)如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺 序排列序号应为() 北 →东 ① ② 3 (4 A.①③②④ B.④②①③ C.④②③① D.②④①③ 4,(25-26九年级上江苏南京·期末)如图，夜晚冬冬从点A出发沿直线走向点B，行进路线经过某路灯 1/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的正下方.在此过程中，他的影子会() A A.一直变长 B.一直变短 C.先变长，后变短 D,先变短，后变长 5.一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为() ←3W2 4 主视图 左视图 俯视图 A.50 B.66 C.70 D.76 6.(25-26九年级上河北衡水期末)如图，小明在A时测得某树的影长为6m,B时又测得该树的影长为 4m,若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为() A时 B时 A.4m B.5m C.8m D.2V6m 7.如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影 像CD.已知图片AB长为3dm,若点光源O到胶片的距离OE长为6dm,点光源O与屏幕的距离OF的长 为l8dm,则影像CD长为()dm 2/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 胶片 屏幕 C 点光源 E B D A.36 B.12 C.9 D.6 8.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体 的个数最多是() 主视图 左视图 A.10 B.11 C.12 D.13 9.(25-26九年级上·河南平顶山期末)如图，将一块面积为16cm的三角形硬纸板ABC平行于投影面放 置，在光源O的照射下形成的投影是△DEF.若OA:AD=2:3,则△DEF的面积为() B A.40cm2 B.60cm2 C.80cm2 D.100cm2 10.(25-26九年级上：江西上饶期末)一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子OP(梯子顶端靠 在墙上，底端在地面)·离梯子底端1米处(OE)有一把垂直于地面的椅子DE,椅子的影长EF=3米 (影子投射在地面上)，为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处(OB)竖起一根1 米高的竹竿AB,测得竹竿的影长BC=4米，则椅子的高度为() D OE A.2米 B.1.5米 C.3米 D.2.5米 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图所示的日晷仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是 我国古代较为普遍使用的计时仪器.晷针在晷面上所形成的投影属于投影 12.一个直四棱柱的三视图及有关数据（单位：cm)如图所示，它的俯视图是菱形，则这个直四棱柱的侧 面积为 cm2 3 主视图 左视图 俯视图 13.如图，小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是1.5 m,但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图）， 她先测得留在墙壁上的影高为2m,又测得地面的影长为6m,请你帮她算一下，树高一m. 14.小明家的客厅有一张直径为1.4m,高0.8m的圆桌BC,在距地面2.4m的A处有一盏灯，圆桌 的影子为DE.如图，根据题意，以m为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为 (2,0) ,则点E的坐标是 4/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.4 A B D E 15.如图，圆桌正上方的灯泡0（看成一个点）发出的光线照射到桌面后，在地面上形成阴影.若桌面的 半径AC=0.8m,桌面与地面的距离AB=lm,灯泡到桌面的距离OA=2m,则地面上阴影部分的面积为- m2.(结果保留π) B、 16.如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M,N分别是侧棱BF,CG的中点，矩形EFGH与矩形 EMNH ABCD 设矩形EFGH 矩形EMNH和矩形ABCD S,S2,S 的正投影都是矩形 的面积分别是 ,则 S:S2,S 的大小关系是 (用“><”或“=连接)· H G S C S 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样. 5/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 主视图 左视图 俯视图 ()由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个」 。 (填几何体的名称) (2)求该几何体的体积.（结果保留π） 18.如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高.已测出树AB的影长AC为9m,并测出此时太阳光线与地 30°角《计算结果精确到0.1m,参考数据： 30 V2≈1.414V3≈1.732、 面成 太阳光线 30ò 777777777 7777 (1)求树AB的高度， (2)因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倾倒.在倾倒过程中，树影长度发生了变化.假设太阳光线与 地面夹角保持不变，试求树影的最大长度， 19.由相同（棱长为1）的小正方体搭成的几何体如图. 主视图 左视图 俯视图 (1)请在如图的方格中画出该几何体的三视图； (2)图中几何体的体积为 (3)若再添加n个小正方体，使新得到的几何体的左视图和俯视图保持不变，则的最大值为 20.如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆AB,CD垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆 位置，使它们在该路灯下的影子BE,DF恰好在一条直线上 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E B D (I)请在图中画出路灯灯泡P的位置： (2)哥哥和弟弟测得如下数据：AB=CD=1.6米，BE=1米，DF=2米，两根标杆的距离为3.6米.请你根 据以上信息： ①求△PAC与四边形AEFC的面积比. ②求灯泡P距离地面的高度 21.(25-26九年级上辽宁阜新期末)阜新西山水塔公园的核心景观是始建于137年的西山水塔，该塔 是阜新市历史上的第一座水塔。在一个阳光灿烂的午后，小明来水塔公园游玩，萌生了测量该塔高度的想 法.他观察到水塔AB垂直于水平地面BD,阳光下水塔AB的影子正好延伸至地面及一个小山坡DC上 (如图所示).他测得地面上的影长BD是37.7米，坡面上的影长DC是20米，已知该山坡与水平地面形 成的锐角为30 .与此同时，身高1,6米的小明在水平墙面上的影长是24米（参考数据5≈1.7乃） 2.4 (1)求点C到水平地面的距离： (2)求小明测得的水塔AB的高度（结果精确到1米） 22.小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测 得该建筑物OB的影长OC为20米，小军的影长FG为2.4米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且 OB⊥OC.EF⊥FG 白B E G F (1)①图中阳光下的影子属于 投影； 7/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②线段BC与线段EG之间的位置关系为 (2)已知小军的身高EF为1.8米，求建筑物OB的高. 23.(2025·河南中考真题)焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位 于纪念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下 活动 测量纪念碑的高度 主题 实物 图和 测量 E 示意 图 FMD 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点 测量 D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处 说明 的观测者眼睛所在位置为点V,点N,E,A在一条直线上，纪念碑底部点B在观 测者的水平视线上. 测量 DE =2.1m.DF =2.1m.DM =1m.MN =1.2m 数据 备注 点F,M,D,C在同一水平线上. 根据以上信息，解决下列问题 (I)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD=CA,请说明理由. (2)求纪念碑AB的高度. (3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m,查阅资料得知，纪念碑的实际 高度为19.64m.请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一 条即可). 24.如图1，路灯AB与路灯CD都与地面垂直，且相距18米，路灯AB的高度比路灯CD的高度低1.6米 夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯AB走向路灯CD,行走时间为t秒.当行走2秒时，他 走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯AB的底部（点B)·如图2，在行走过程中，小明在路 灯AB下的影子为FM,在路灯CD下的影子为FN 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E B D 地面 NFM 地面 图1 图2 (1)求路灯CD的高度， (2)当t=4秒时，求影子FN的长？ (3)常言道：形影不离.其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离. ①从路灯AB走向路灯CD的过程中，两路灯下的影子总长MN= (用含的代数式表示)； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯CD下的影子的顶端N 在地面上移动的速度为米/秒： 25.(25-26九年级上广东深圳期末)数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动， 如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点P,并测得点光源O到 板面的垂直距离OM为60cm,点光源O到地面的垂直距离ON为96cm,木棒AB的长度为20cm.实践小 组的相关探究如下： A N 图1 图2 实践探究一： 如图1，将木棒AB水平放置于板面上，AB在直线PM上.在灯光照射下，木棒AB在地面上形成的投影 为CD.从点M出发，将木棒沿PM方向平移，观察其投影CD长度的变化情况. (1)请判断CD长度的变化情况为： A.逐渐变长 B.逐渐变短 C.不变 (2)请证明(1)的结论： 实践探究二： 如图2，将木棒AB垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒AB在地面上形成的投影为CD.从点M出发， 将木棒沿PM方向平移，观察其投影CD长度的变化情况， 9/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)请判断CD长度的变化情况为： A.逐渐变长B.逐渐变短 C.不变 (4)当木棒AB平移至某处时，MA=20cm,请计算此时投影CD的长度. 10/10………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第四章 投影与视图·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ） A．长方体 B．三棱柱 C．圆锥 D．圆柱 2．（2026·福建·中考真题）福建土楼产生于宋元，成熟于明末、清代和民国时期．土楼或方或圆，以圆为主，如珍珠般洒落在闽西南的绿水青山间，遵循“天人合一”的东方哲学理念．图1是福建众多土楼中的一座圆形土楼．图2为其示意图，关于它的三视图的描述，下列说法正确的是（     ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三种视图都相同 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为（    ） A．①③②④ B．④②①③ C．④②③① D．②④①③ 4．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 5．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（   ） A．50 B．66 C．70 D．76 6．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 7．如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 8．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 9．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·江西上饶·期末）一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图所示的日晷仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．晷针在晷面上所形成的投影属于______投影． 12．一个直四棱柱的三视图及有关数据（单位：cm）如图所示，它的俯视图是菱形，则这个直四棱柱的侧面积为_______． 13．如图，小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1的竹竿的影长是1.5，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得留在墙壁上的影高为2，又测得地面的影长为6，请你帮她算一下，树高______． 14．小明家的客厅有一张直径为，高 的圆桌 ，在距地面 的 A 处有一盏灯，圆桌的影子为 ．如图，根据题意，以 为 1 个单位长度建立平面直角坐标系，其中点 D的坐标为 ，则点 E 的坐标是_________． 15．如图，圆桌正上方的灯泡（看成一个点）发出的光线照射到桌面后，在地面上形成阴影．若桌面的半径，桌面与地面的距离，灯泡到桌面的距离，则地面上阴影部分的面积为______（结果保留） 16．如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样． (1)由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个___________；（填几何体的名称） (2)求该几何体的体积．（结果保留） 18．如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树的影长为，并测出此时太阳光线与地面成角（计算结果精确到，参考数据：）． (1)求树的高度． (2)因水土流失，此时树沿太阳光线方向倾倒．在倾倒过程中，树影长度发生了变化．假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度． 19．由相同（棱长为1）的小正方体搭成的几何体如图． (1)请在如图的方格中画出该几何体的三视图； (2)图中几何体的体积为_________； (3)若再添加个小正方体，使新得到的几何体的左视图和俯视图保持不变，则的最大值为_________． 20．如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息： ①求与四边形的面积比． ②求灯泡P距离地面的高度． 21．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）阜新西山水塔公园的核心景观是始建于1937年的西山水塔，该塔是阜新市历史上的第一座水塔．在一个阳光灿烂的午后，小明来水塔公园游玩，萌生了测量该塔高度的想法．他观察到水塔垂直于水平地面，阳光下水塔的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长是米，坡面上的影长是20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高米的小明在水平地面上的影长是米（参考数据） (1)求点C到水平地面的距离； (2)求小明测得的水塔的高度（结果精确到1米） 22．小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2)已知小军的身高为米，求建筑物的高． 23．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 24．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 25．（25-26九年级上·广东深圳·期末）数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点P，并测得点光源O到板面的垂直距离为，点光源O到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图1，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点M出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． （1）请判断长度的变化情况为：______； A．逐渐变长        B．逐渐变短        C．不变 （2）请证明（1）的结论： 实践探究二： 如图2，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点M出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． （3）请判断长度的变化情况为：______． A．逐渐变长        B．逐渐变短        C．不变 （4）当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第四章 投影与视图·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ） A．长方体 B．三棱柱 C．圆锥 D．圆柱 【答案】A 【详解】解：∵主视图和左视图均为长方形 ， ∴该几何体为柱体， ∵俯视图为长方形， ∴该几何体为长方体． 2．（2026·福建·中考真题）福建土楼产生于宋元，成熟于明末、清代和民国时期．土楼或方或圆，以圆为主，如珍珠般洒落在闽西南的绿水青山间，遵循“天人合一”的东方哲学理念．图1是福建众多土楼中的一座圆形土楼．图2为其示意图，关于它的三视图的描述，下列说法正确的是（     ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【分析】根据主视图（从物体的正面向后方投影得到的视图）、左视图（从物体的左侧方向右方投影得到的视图）、俯视图（从物体的上方向下方投影得到的视图）的定义，分析从三面看的几何特征，将其对比即可求出答案． 【详解】解：主视图和左视图是相同的图形，俯视图是两个同心圆即圆环． A正确，B、C、D项错误． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为（    ） A．①③②④ B．④②①③ C．④②③① D．②④①③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了在太阳光下的平行投影，解答本题的关键是要抓住太阳一天中运动的方位特点来确定物体影子所处的方位．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例． 【详解】解：太阳从东边升起最后从西边落下，树的影子应该在西面开始，随着时间的变化影子逐渐向北偏西，北偏东，正东方向的顺序移动， ∴按时间先后顺序排列序号应为④②①③． 故选：B． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 5．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（   ） A．50 B．66 C．70 D．76 【答案】B 【详解】解：由主视图和俯视图可知，底面正方形的对角线长为，长方体的高为， ∴底面边长为， ∴这个长方体的表面积为． 6．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．由两次日照的光线互相垂直、树垂直于地面可证三角形相似，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 即， ， ， ， ，． ． ， ． ． 故选∶D． 7．如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 8．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据主视图和左视图可得该几何体分为上下两层，确定每一层最多有多少个小正方体即可得到答案． 【详解】解：由主视图和左视图可知，该几何体分为上下两层，下面一层最多有9个小正方体，上面一层最多有2个小正方体， ∴搭成该几何体的小正方体的个数最多是个． 9．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据平行投影性质得与相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ． 由题意得：， ． ． ． 故选：D． 10．（25-26九年级上·江西上饶·期末）一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 先证明，推出，求得米，再证明，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵米，米，米 则米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，则米， ∴， ∴米， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图所示的日晷仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．晷针在晷面上所形成的投影属于______投影． 【答案】平行 【分析】本题考查投影的分类，需明确平行投影与中心投影的区别：平行投影是由平行光线(如太阳光)形成的投影，中心投影是由点光源(如灯光)形成的投影． 【详解】解：太阳光可看作平行光线，晷针在晷面上的投影是由平行光线形成的，根据平行投影的定义，可知该投影属于平行投影． 故答案为：平行． 12．一个直四棱柱的三视图及有关数据（单位：cm）如图所示，它的俯视图是菱形，则这个直四棱柱的侧面积为_______． 【答案】80 【分析】本题考查直四棱柱侧面积的计算，掌握先由三视图确定底面菱形的边长，再利用侧面积公式计算是解题的关键． 先根据三视图确定直四棱柱的底面菱形的边长，再结合直四棱柱的高，计算侧面积． 【详解】解：由主视图、左视图和俯视图可知，底面菱形的对角线长分别为和， 根据菱形的性质，边长为， 直四棱柱的高为，侧面积为底面周长乘以高，即． 故答案为：80． 13．如图，小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1的竹竿的影长是1.5，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得留在墙壁上的影高为2，又测得地面的影长为6，请你帮她算一下，树高______． 【答案】6 【分析】本题考查了平行投影，解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高． 【详解】解：如图所示，过点D作于点C，连接， 由题意可得，，， 一根长为1的竹竿的影长是1.5， ， ， ， 故答案为：6． 14．小明家的客厅有一张直径为，高 的圆桌 ，在距地面 的 A 处有一盏灯，圆桌的影子为 ．如图，根据题意，以 为 1 个单位长度建立平面直角坐标系，其中点 D的坐标为 ，则点 E 的坐标是_________． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的坐标确定，正确的识别图形是解题的关键．先根据圆桌与影子的平行关系，判定三角形相似；再利用相似三角形的对应边成比例，计算出影子的长度；最后结合已知点的坐标，确定目标点的坐标． 【详解】解：， ∴， ， ， ， ， ∵点 D的坐标为 ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 15．如图，圆桌正上方的灯泡（看成一个点）发出的光线照射到桌面后，在地面上形成阴影．若桌面的半径，桌面与地面的距离，灯泡到桌面的距离，则地面上阴影部分的面积为______（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，即相似三角形的对应边成比例．先根据，可得出∽，由相似三角形的对应边成比例可求出的长，再由圆的面积公式即可得出结论． 【详解】解：，， ∴， ∽， ， 即， 解得， 故答案为： 16．如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    【答案】 【分析】本题考查了正投影，牢记正投影的特征是解题关键． 根据长方体的概念得到，根据矩形的面积公式得到，得到答案． 【详解】解：由题意可知，． ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样． (1)由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个___________；（填几何体的名称） (2)求该几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，求几何体的体积， （1）由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，即可解答． （2）由三视图可知，长方体的长宽高分别为4，4，3，圆柱体直径为2，高为3，再结合体积公式解答即可． 【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个圆柱． 故答案为：圆柱． （2）解：由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为4、4、3，圆柱体的底面圆的直径为2，高为3， ∴该几何体的体积为． 18．如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树的影长为，并测出此时太阳光线与地面成角（计算结果精确到，参考数据：）． (1)求树的高度． (2)因水土流失，此时树沿太阳光线方向倾倒．在倾倒过程中，树影长度发生了变化．假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，已知，根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可设，，通过勾股定理得到关于的方程，进行求解即可； （2）过点A作太阳光线于点D，根据树与光线垂直时，树影最长即可求解． 【详解】解：（1）在中，． 设，则． 由勾股定理，得， 即， 解得（负值已舍去）． 故树的高度约为． （2）当树与光线垂直时，树影最长， 过点A作太阳光线于点D，且， 如图．在中，． 故树影的最大长度为． 19．由相同（棱长为1）的小正方体搭成的几何体如图． (1)请在如图的方格中画出该几何体的三视图； (2)图中几何体的体积为_________； (3)若再添加个小正方体，使新得到的几何体的左视图和俯视图保持不变，则的最大值为_________． 【答案】(1) 如图所示该几何体的三视图为所求： (2)5 (3)2 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题关键． （1）主视图有3列，每列小正方形的数目分别为2，1，1；左视图有2列，每列小正方形的数目分别为2，1；俯视图有3列，每列小正方形的数目分别为1，2，1；据此画出图形即可； （2）由题图可知，该几何体由5个小正方体搭成，据此计算即可． （3）根据新得到的几何体的左视图和俯视图保持不变，添加小正方体即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题图可知，几何体的体积为， 故答案为：5； （3）解：可以在①和②的位置上各添加一个小正方体，这个几何体的左视图和俯视图都不变， 即最多添加2个， 故答案为：2． 20．如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息： ①求与四边形的面积比． ②求灯泡P距离地面的高度． 【答案】(1) 解：如图所示，点即是灯泡的位置； (2)①；②米 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据熟练掌握中心投影的定义，相似三角形判定与性质解题关键． （1）连接、并延长，相交于点，则点即是灯泡的位置； （2）①先证明四边形是矩形，得出，，证明，得出相似比，再利用相似三角形的性质即可求解； ②过作，则即是灯泡距离地面的高度，利用，得出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵，， ∴， ∵米， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵（米）， ∴相似比为， ∴， ∴； ②如图，过作，则即是灯泡距离地面的高度， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（米）， 答：灯泡距离地面的高度是米． 21．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）阜新西山水塔公园的核心景观是始建于1937年的西山水塔，该塔是阜新市历史上的第一座水塔．在一个阳光灿烂的午后，小明来水塔公园游玩，萌生了测量该塔高度的想法．他观察到水塔垂直于水平地面，阳光下水塔的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长是米，坡面上的影长是20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高米的小明在水平地面上的影长是米（参考数据） (1)求点C到水平地面的距离； (2)求小明测得的水塔的高度（结果精确到1米） 【答案】(1)10米 (2)47米 【分析】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，解直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过C作交延长线于H，利用30度角所对的直角三角形等于斜边一半求解即可； （2）过H作交于E，则四边形为平行四边形，在中，米，则米，再根据平行投影求解即可． 【详解】（1）解：如图，过C作交延长线于H， 在中，，， （米）； 答：点C到水平地面的距离为10米； （2）解：如图，过H作交于E， ，， ， 四边形为平行四边形， 米， 在中，（米）， （米）， 身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米， ，即， 解得， （米）． 答：小明测得的水塔高度约为47米． 22．小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2)已知小军的身高为米，求建筑物的高． 【答案】(1)①平行；②； (2)建筑物的高为15米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用-平行投影问题． （1）①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影； ②太阳光是平行光线，则； （2）证明，根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】（1）解：①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影． 故答案为：平行； ②太阳光是平行光线，则． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴建筑物的高为15米． 23．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； (2)纪念碑的高度为． (3)解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为，则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）略 24．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 【答案】(1)9.6米 (2)米 (3)①米；② 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，列代数式，一次函数中的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由证，用相似比求高度； （2）由证，代入求长度； （3）①用相似比表示出、，相加得的表达式； ②计算的表达式，计算1秒内移动的距离即为在地面上移动的速度． 【详解】（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米， ，， ， ∴，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为米； （2）解：， 米， ∵米，米， ∴米，米， ， ， ∴，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； （3）解：①由（1）（2）得，， 当运动秒后，米，则米， 设米，米， ， 解得：； ， 解得； 米， 故答案为：米； ②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是， 米， 当秒时， 米， 当秒时， 米， ∴1秒时间内移动的距离为： 米， 影子的顶端在地面上移动的速度是米秒． 故答案为：． 25．（25-26九年级上·广东深圳·期末）数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点P，并测得点光源O到板面的垂直距离为，点光源O到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图1，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点M出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． （1）请判断长度的变化情况为：______； A．逐渐变长        B．逐渐变短        C．不变 （2）请证明（1）的结论： 实践探究二： 如图2，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点M出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． （3）请判断长度的变化情况为：______． A．逐渐变长        B．逐渐变短        C．不变 （4）当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 【答案】（1）C； （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵、、不变， ∴长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； （3）A；（4） 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质等知识，正确将中心投影相关问题转化为相似三角形的问题是解题关键． （1）根据中心投影的特点可得，利用相似三角形对应边成比例得，由、、均为定值即可得出结论； （2）分析同（1）； （3）根据中心投影的特点可知，，利用相似三角形对应边成比例得，，当垂直放置的木棒沿方向平移时，长度变长，由、、均为定值即可得投影逐渐变长，投影长度也逐渐变长； （4）根据中心投影的特点可知，，利用相似三角形对应边成比例得，，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵、、不变， ∴长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变， 故选：C； （2） 略 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵从点M出发，将木棒沿方向平移， ∴长度逐渐变长， ∵、、不变， ∴长度逐渐变长， 故选：A； （4）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得：， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，解得：， ∴投影的长度为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $