知识板块六 圆中的最值 专题训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以隐圆构造为核心，系统整合圆中最值三大考点，通过切线性质与函数图象实现几何直观与逻辑推理的融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |隐圆与切线|7题（含武汉元调/四调题）|隐圆构造（中点定圆）、切线性质求最值|圆的性质→几何图形中点对称→动点轨迹转化→最值计算| |动点与函数图象|3题（含函数图象分析）|函数图象转化几何量、隐圆与函数最值|几何量关系→函数图象表征→数形结合求最值|

知识板块六 圆中的最值 必刷考点一 与定直线的最大夹角 1.如图，E 是边长为2 的等边△ABC 所在平面内的一点，且CE=2，M 是BE 的中点，直线CM 交AB 于点N,则AN 的最小值为 . 2.(武汉元调)如图,正方形 ABCD 的边长为4,E是CD上的一点,连接AE,过点 B 作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD 于点F，则AF 的最大值为 . 3.如图,正方形ABCD 的边长为4,P 是边BC上的动点,DE⊥PA 于点E,点 B 关于点E 的对称点为点F,当∠DCF 最大时,CF 的长为 . 必刷考点二 与定直线夹定角 4.(2026武汉四调)如图,AB 是半径为5 的⊙O 的一条弦，点C在AB上，过点C作AB 的垂线交⊙O 于点D,AB=14,则AC+CD 的最大值是( ) A.16 B.17 C.18 D.19 5.如图,在扇形 OAB 中,∠AOB=90°,OA=OB=6,P 是 上的一动点,PQ∥OA 交OB 于点Q,则 PQ-BQ 的最大值为 . 必刷考点三 定线段的最大张角 6.如图，A，B表示足球门边框(不考虑球门的高度)的两个端点，点C 表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB 就是射门角.在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大.球员甲带球线路ED 与球门线AB 垂直，D 为垂足，点C 在ED 上，当∠ACB 最大时就是带球线路ED上的最佳射门角.若AB=8，BD=2，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，DC 的长度为( ) A.4 B.6 C.2 D. 7.如图,在平面直角坐标系中,点 P(0,-3),Q(m,1),连接OQ,PQ.当∠OQP 最大时,m 的值为 . 拆分突破20 圆中的最值(二)动点、隐圆与函数图象 1.如图1，AB 是半圆E 的直径，D 为半圆上一定点，C 为 上一动点,过点 D 作DH⊥AC 于点H,若AD=10,CH=x,BH=y,当点C从点D出发,沿圆弧向点B 运动,y关于x 的函数图象如图2所示，图象经过点(0，12)，则图象的最低点的纵坐标为 . 2.(2026七一华源)如图1，在菱形ABCD 中，动点 E，F 分别从点A，C 同时出发，以相同的速度沿AB,CD 向终点B,D 运动,当点E到达点B 时,停止运动.过点 B 作直线EF 的垂线BG,垂足为G，连接AG.设点 E 运动的路程为.x, y与x之间的函数关系如图 2 所示，则在点 E，F的运动过程中，AG长的最小值为 . 3.如图1,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=2AC,定长线段 EF 的端点E,F 分别是边AC,BC上的动点，O是EF 的中点，连接OB.设.AE=x,CF²=y,y与x之间的函数关系的部分图象如图2所示(最高点为(b,4)),若当x=a时,∠OBC 最大,则a 的值为 . 知识板块六 圆中的最值 拆分突破19 圆中的最值(一) 隐圆隐切线 解:取 BC 的中点O,连接OM,过点. N 作 NH⊥BC 于点 H.∵M是BE的中点, ∴点 M 在以O 的圆心，1为半径的⊙O上运动， ∴当CN与⊙O 相切于点M 时,AN最小， ∴此时,OM⊥CM. ∴∠OCM=45°, 2 即AN 的最小值为 2.1 解:取AB 的中点O,连接OG. ∵AB=4,∠AGB=90°, ∴点G 在以点O 为圆心，半径为2的⊙O上运动. 由图形知，当AF 最大时，则∠GCB最大， ∴当CG与⊙O 相切时,∠GCB 最大，AF 取最大值. ∵∠BAD=∠ABC=90°, ∴AD,BC是⊙O 的切线, ∴当CG 与⊙O 相切时,AF=FG,CG=CB=4. 设AF=FG=x, 则FD=4-x,CF=x+4, ∴在 Rt△CDF 中, ∴x=1,即AF 的最大值为1. 3.4 解:取AD的中点O,连接OE, ∵DE⊥PA, ∴点 E 在以AD 为直径的⊙O 上.连接 BO 并延长，交CD 的延长线于点O',则△AOB≌△DOO', ∴BO=OO',O'D=AB=CD=4,连接BF, ∵点 B 与点 F 关于点E 对称, ∴BE=FE, ∴O'F=2OE=AD=4, ∴点 F 在以O'为圆心，4为半径的⊙O'上, ∴当CF 与⊙O'相切时,∠DCF 最大,此时,O'F⊥CF, 4. C 解:延长AC 至点 E,使CE=CD,连接 DE,则 AC+CD=AE,∠CED=45°, ∴当 DE 与⊙O 相切时,AE 取得最大值(设点 D 在点 D₁处，点E 在点E₁处,如图). 过点 O 作 OG⊥AB 于点 G,延长GO交E₁D₁的延长线于点 F，连接OD₁,OA,则 FG 即AC+CD的最大值为18.故选C. 解:延长OB.至点 M,使QM=PQ,连接PM. ∵∠AOB=90°,PQ∥OA, ∴∠PQM=90°, ∴∠PMO=45°,PQ-BQ=QM-BQ=BM. ∵点 P 在 上， ∴当 PM 与⊙O 相切时,BM 取得最大值(设点 P 在点 P₁处，点M 在点 M₁ 处,如图),连接 OP₁,则 即 PQ-BQ 的最大值为 6. C 解:如图所示,⊙O 为△ABC 的外接圆,延长AO 交⊙O 于点 C′,连接 BC',则 ∠ACB,当⊙O 的半径最小时,∠C'最大， ∵点C在DE上, ∴当 DE 为⊙O 的切线时,∠ACB最大.连接OC,OA,过点O作OF⊥AB 于点F,则AF=BF, ∵AB=8,BD=2, ∴AF=4,DF=6, ∵OC⊥DC,∠D=90°, ∴四边形OCDF 为矩形, ∴OC=DF=OA=6, 选C. 7.2或-2 解:∵Q(m,1), ∴点Q 在直线y=1上. 当△OPQ 的外接圆⊙O 与直线y=1相切时(如图),此时∠OQP 最大. 设直线 y=1交y轴于点 M，过点O₁作 O₁G⊥OP 于点 G,则 PG= 连接O₁Q,O₁P,则四边形O₁QMG 是矩形, ∴在 Rt△O₁GP 中, 由对称性知，m=-2符合题意， ∴m=2或m=-2. 拆分突破20 圆中的最值(二) 动点、隐圆与函数图象 1.8 解:取AD 的中点O₁,连接BD,HO₁,BO₁, 当x=0时,点 C 与点 D 重合,y=BD=12, ∵DH⊥AC, ∴∠AHD=90°, ∴点 H 在以O₁ 为圆心, AD为半径的⊙O₁上运动， ∴当点 H 运动至 BO₁ 与⊙O₂的交点处(B,H,O₁三点共线)时,BH取得最小值，最小值为 ∴BH 的最小值为 -5=8. 解:连接AC. 由图2知,当x=0时,y=16,即当点E，F分别与A，C重合时，EF²= ∴AC=4; 当 y 的最小值为12,即当 EF⊥AB时，EF 的最小值为2 ，则可证∠BAC=60°, ∴菱形 ABCD 的边长为4. 连接BD 交AC 于点O,则∠AOB= ∵AE⊥CF, ∴点O在EF 上, ∴∠BGO=90°,取OB 的中点 M,连接MG,MA, ∴点G在以OB 为直径的⊙M上， ∴当点 G 在 AM 上时,AG 的长最小. ∴AG 的最小值为.AM-MG= 解:∵CF≤EF(当点 E与点C 重合时取等号)，且EF 是定长， ∴CF 的最大值即为EF 的长， ∵由图象知CF²的最大值为4， ∴EF=2, ∵当x=1时,y=3, ∴当y=3,即( 时,CE= ∴AC=AE+CE=2, ∴BC=2AC=4. 连接OC, ∵O是EF 的中点, ∴点O在半径为1的⊙C 上(如图)， ∴当BO 与⊙C 相切时,∠OBC 最大,此时,OC⊥OB, 过点O作OG⊥BC 于点G,则OC·OB=BC·OG, ∵O是EF 的中点,OG∥CE, 即当 时,∠OBC 最大. 学科网（北京）股份有限公司 $