专题12 弧长与扇形面积（专项训练）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 以8类细分题型系统覆盖弧长与扇形面积核心考点，从公式直接应用到不规则图形综合计算，构建递进式训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|8题型32题|涵盖求弧长、半径、圆心角等基础题型，突出弓形面积（高频）、不规则图形面积（难）等综合应用|以弧长与扇形面积公式为核心，从直接计算到结合图形旋转、运动路径的复杂问题，形成"公式应用-图形转化-综合建模"逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|3题型10题|结合圆与三角形、四边形综合证明，融入实际场景（莱洛三角形、扫地机器人）|通过跨知识整合与实际应用，提升几何直观与空间观念，强化用数学语言表达现实问题的能力|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12弧长与扇形面积 常考题型精准突破 。考点一弧长与扇形面积●一 ◆题型1求弧长 1.C 【详解】解：OA=OC, ∴.∠CA0=∠AC0=55°， :∠BOC是△OAC的外角， .∠B0C=∠AC0+∠CA0=55°+55°=110°， :AB是⊙O的直径， AB_6=3, :00的半径为2=2 110×π×311 :BC的长为：180=6元. 2.B 【详解】解：如图，连接OA,OB, A :△ABC是等边三角形， .∠C=60°， .∠A0B=2∠C=120°， .⊙0的半径为3，即OA=OB=3, 120元×3 “AB的长为180 =2π 3. 【详解】解：AB=18cm,BD=9cm,∠DAE=150°， 1/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AD=9cm, 150×π×915 :DE的长为180 2 π(cm)」 4.2π 【详解】解：连接OD, 是 的直径， D AB ⊙0 ∴.∠ACB=90°， CD平分∠ACB, .∠ACD=45°， .∠AOD=90° 90π×4 则AD的长度是 =2π 180 ◆题型2求扇形半径 5.A 【详解】，一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πCm, ∴.设这个扇形的半径为” 60° .360° ×2πW=2元 .r=6 ∴.这个扇形的半径为6cm. 故选：A. 6.B 【详解】解：设扇形的半径为r, 由题意得： 90r=2元×1， 180 解得：r=4; 故选：B. 7.2 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：设该扇形的半径是r,则 4120πr2 360 解得r=2. 故答案为：2. 8.3 【详解】解：设这个圆的半径为rcm, 60πr 由题意可得： 180 =, 解得：r=3(cm)」 故答案为：3. ◆题型3求圆心角 9.B 【详解】解：设圆心角为n°，根据题意，得 8T=II7X9 180, ∴.n=160 即这条弧所对的圆心角为160° 10.A 【详解】解：由题意可得，三个圆心角的和为360°， 它们的面积之比为2：3：4， ∴三个圆心角的度数比为2：3：4， 2 六最小扇形的圆心角度数为：360×2+3+480°，故A正确。 故选：A. 11,130 【详解】解：设扇形的圆心角为n°， nm×l 由题意得： 2=13元， 180 解得：n=130」 故答案为：130 12.45°/45度 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，连接OA,OC, 小 C 设∠AOC=n°， ,AC的长为2π， nπ×4 .180 =2， .n=90, .∠A0C=90° ZABC∠A0Cx90P=4 ◆题型4求某点的弧形运动路径长度 1368.56 【详解】解：(16+12)x2+90×34×2x4=56+12.56=6856(cm） 180 答：圆心所经过的路线长度是68.56cm. 14.20元 【详解】解：∠A=30°，∠ABC=90°，BC=15, .AC=2BC=30,∠ACB=60°， :直角三角板ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A'B'C的位置， ∴.∠ACA'=180°-60°=120°， ·顶点4从开始到结束所经过的路径长 120元30=20元 180 152」 15.3π 【详解】解：根据题意得，摩天轮的半径为”=160-84=76(m), 360° 摩天轮每分钟转动的圆心角度数为24 =15° .8min后圆心角∠A0B=15°×8=120°， 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20×π×76152 “AB的长度为 180 -m 3 16.3m 【详解】解：等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=2, .CB=CB=AB,=AB2=2,∠ACB=45° 依题意，∠BCB,=∠B,AC=135° 点日从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是2×3×2×=3 180 故答案为：3π ◆题型5求扇形面积 17.A 【详解】解，5er-×6=12m）. 360 18.A 【详解】解：：∠ACB=30°，∠ACB与∠AOB分别是AB所对的圆周角和圆心角 .∠AOB=2∠ACB=2×30°=60° :⊙0的半径为1 60π12π 影=3606 19.6π 【详解】解： S=60rx62 =6π. 360 20.25rcm 【详解】解：由题意得，半径OA转过的弧长为5πcm, 则半径04转过的面积=2×5m×10=25x(cm）. 21.B 【详解】解：~钟面一圈为360°，共有12个大格，时针每小时转过的角度为360°÷12=30°， 从3点到3点半，经过了30分钟，即0.5小时， ∴时针转过的圆心角n=30°×0.5=15°， :时针长4cm,即扇形半径r=4cm, 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :时针扫过的面积S= 15×π×42 2 360 360 (cm2). 3 ◆题型6求图形旋转后扫过的面积 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC=2, .AC=1,由勾股定理得BC=√AB2-AC2=V22-1P=√3， 由旋转的性质可知，△ABC≌△A'BC',∠ABA'=∠CBC=90°， :.S△HBc=S△HBC, 阴影部分的面积=S扇形Br+SfBC-S。Bc一S扇形CBC =S扇形ABr一S扇形CBC =90m×22_90x×(W52 360 360 3 =元-4π 23.45π 【详解】解：线段BC所扫过的面积 =S扇形BMg+S。ABC-S扇形CAC-S。ABc’ =S扇形B4g-S前形C4C =72π1772元82 360 360 =45π. B B 故答案为45π. 6/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25 24. 6 【详解】圆形面积=πr2=25元 60 25π 扇形的面积360 ×25π= 6 ◆题型7求形面积 25.3n95 4 【详解】解：过C作CH⊥BD于H, A D H AD∥BC, .∠OBC=∠D=30°， ..OB=OC. .∠OCB=∠OBC=30° .∠B0C=180°-30°-30°=120°， .∠C0H=180°-120°=60°」 sin/COH=sin60=CHCH 3 0C32 .CH= 2 ÷△O8C的面积=0BCH=×3x3 3√595 24 120π×32 ·扇形OBC的面积= =3π， 360 二阴影部分的面积扇形的面积_人DC的面积=3z-9√3 4 故答案为：3z.95 26. 15 4 7/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解1解：过点0作OD1B于D则4D=8D-B-m,∠AD0=90 2 A B ,圆的直径为2米， .'.OA=OB =1m. 在 中，OD=VOA-AD RtAAOD w- n. .OA=OB=AB, ∴△AOB为等边三角形， .∠AOB=60°， 60元×121 ∴，淤泥横截面的面积=S扇形4OB一S。AOB= -×1× 1。 m 360 2 6 4 1。V3 故答案为： 4 27.9元-18 【详解】，O=QB=6,∠AOB=90° 六期=Sna4B-S00-90xx6_ ×6×6=9π-18」 3602 故答案为：9m-18. 28.30-5 4 【详解】解：，∠A=60, ∴.∠B0C=2∠A=120°， 过点O作OD⊥BC, .∴.∠BOD=609 ∴.∠OBD=30° ..OD=70B=1 ∴.BC=2BD=2×V22-1P=2√3 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 120×π×221 ∴.阴影部分的面积=S扇形Boc-SABOC 360 2x23x1=4 g 4 故答案为：30-V5 D 的 ◆题型8求其他不规则图形的面积 29.C 【详解】解：连接OD,交BC于E, A D C E :沿BC对折O和D重合，OD=6, .BC⊥OD,DE=OE=3,LDBE=∠OBE,OB=BD=6, :∠BE0=90°，aDOB是等边三角形， ∴.∠DOB=∠DB0=60° :∠AOB=105°， ∴.∠COD=∠AOB-∠D0B=45°. .∠0EC=90°， ∴CE=OE=3, ∴.阴影部分的面积 =S箭形AOD-S.cOD 45π×621 ×6×3 360 9 29 9 30.5π 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图所示，连接OA. B 】 点A是切点， ∴.∠0AP=90° .∠AP0=36°， ∴.∠A0P=90°-36°=54°， AB∥OP, ∴.∠OAB=∠AOP=54°， .OA=OB .△AOB为等腰三角形， .∠OBA=∠OAB=54°， ∴.∠A0B=180°-54°-54°=72°， ,△AOB与△ABP同底等高， .S△AoB=S△ABP, 半径r=3,圆心角n=72°， “扇形面积S=m-72×πx329 360 360 31.22-1-2 1 【详解】解：，四边形ABDE是矩形， ∴∠D=90°.AB/CD, BD=√2，△BDC的面积为1， :.CD=2, .BD=CD, ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴.∠BCD=45°，BC=2. .AB=BC=2. AB∥DE, 10/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC=∠BCD=45°， 图中阴影部分的面积=2×√21-20二=2√2-1-元 360 32.(1)证明：连接BF,OC, D F B .AB是⊙O的直径， .∠AFB=90°，即BF⊥AD, ,CE⊥AD BF∥CE, 点C为劣弧BF的中点， .OC⊥BF, BF∥CE, .OC⊥CE, .OC是⊙0的半径， CE是⊙O的切线 【详解】(1)略 (2)解：连接OF,CF, D B .OA=OC,∠BAC=30°， .∠BAC=∠OAC=30°， 11/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠B0C=60°， :点C为劣弧BF的中点， .FC=BC , .∠F0C=∠B0C=60°， ..OF=OC, .△FOC是等边三角形， :.∠0CF=60°， .∠OCF=∠BOC, .CF∥AB, .SAACF=S△coF, :.S阴影=S扇形FOC, AB=4, ..OF=OC=0B=2. ∴.S扇形FOC 60π×22_ 360 3， 2 即阴影部分的面积为3π， 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.C 2.C 3.B 4.D 二、填空题 5.2π 6.9π-12/-12+9π 三、解答题 7. 【答案】 2 150°/150度 12/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(1)1= 180’ S扇形= 360’ Ir .S扇形= 2 x4=4, .2 1=2 故答案为：2； (2):扇形的圆心角为30，面积为写cm, 30πr2 360 3 解得r=2(负值舍去) 故答案为：2； (3)由(1)知，S形=2， .60x=10zr 2 .r=12 .10n=nx12 180 .n=150 故答案为：150° 8. 【答案】(1)证明：连接OC, A B ,直线AB经过⊙O上的点C,OA=OB,CA=CB, .OC⊥AB, 又.OC为⊙0的半径， 13/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴直线AB是OO的切线. (2) 【详解】(1)略 (2)解：∠A0B=90°，0A=2,OA=OB,CA=CB, :4B-O+0B-22.0C=14B- 用影分合积0a800c-22-器4-2 2 9. 【答案】(1)证明：连接OD 与 相切于点D, B D C:⊙OBC .OD⊥BC, 即∠ODB=90°， :∠C=90°， ∴∠ODB=∠C, .OD∥AC, .∠DAC=∠ODA. .OD=0A, ∴∠BAD=∠ODA, ∴.∠BAD=∠DAC, .AD平分∠BAC 2)3-5 4 【详解】(1)略 (2)解：设OD与EF交于M,连接OF, :AE是⊙O的直径， ∴∠AFE=90°， 14/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OD∥AC, .∠OME=∠AFE=90°， 即OD⊥EF, .OE=OF, ∠DOE=∠DOF,ME=MF, 1 .BE= E=2, ∴.OD=OA=OE=5AE=2, 2 ∴.OB=BE+OE=4, 在Rt△OBD中，c0s∠D0E=OD-{ .∠DOE=∠DOF=60°， ME=Mf=0Esin60°=2x5 3, 1 0M=0E-cos60°=2×2l,∠E0F=∠D0E+∠D0F=120°， ..EF ME+MF =23. :S扇形OEr 120m×224 3603 ,5e=EF.0M=x25x1=5, 2 4 A 0 M: B D 10. 【详解】(1)证明：如图，连接OB, B 15/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△AOP和△BOP中， PA=PB PO=PO OA=OB .△AOP≌aBOP(SSS), ∴.∠PBO=∠PAO :PA与⊙0相切， ∴.∠PA0=90° .∠PBO=90°，即OB⊥PB, 又，OB是半径， PB是⊙O的切线： (2)证明：如图，连接AD, B .AC是⊙O的直径， .∠ADC=90° .∠ACD+∠CAD=90° ∠CAD+∠PAD=∠PAO=90° ∠ACD=∠PAD 又：∠APD=∠CPA ∴.△PAD∽△PCA PA PD PC PA' :PA2=PD.PC, ,PA、PB是⊙O的切线， ∴.PA=PB,且PO平分∠APB, PE⊥AB, .∠PEA=∠PAO=90° 又∠APO=∠APE, 16117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△APE∽aOPA, PA PO PE PA' .PA=PE·PO, .PD.PC=PE.PO: (3)解：如图，连接OB、BC, B ,AC是⊙0的直径， .∠ABC=90°，即AB⊥BC, PE⊥AB, .BC∥OP, S.acP=S.aco, .S阴影每分=S第形B0C, :∠APB=60°，∠PAO=∠PB0=90°， .∠A0B=360°-90°-90°-60°=120°， .∠B0C=60°， ,PO平分∠APB, .∠AP0=30° 在R4Op中，01=PAm乙P0=25x5=2. 3 ..OB=OA=2 60元22 ∴.S阴影部分=SPaC+S号形BC=S扇形BOc= 360 3 17/17函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12弧长与扇形面积 内容概览 目常考题型精准突破 考点一弧长与扇形面积 题型1求弧长 题型2求扇形半径 题型3求圆心角 题型4求某点的弧形运动路径长度 题型5求扇形面积（重） 题型6求图形旋转后扫过的面积 题型7求号形面积（高频） 题型8求其他不规则图形的面积（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ●考点一弧长与扇形面积●一 ◆题型1求弧长 1.如图，⊙0的直径AB=6,AC是弦，∠AC0=55°，BC的长为() B A. 11 【答案】C 【详解】解：OA=OC, .∠CA0=∠AC0=55°， :∠BOC是△OAC的外角， 1/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠BOC=∠AC0+∠CA0=55°+55°=110°， :AB是⊙O的直径， :00的半径为号-3， 110×元×311 :8C的长为：180=6 2.如图，等边三角形ABC内接于⊙0.若⊙0的半径为3，则AB的长为() A.π B.2π C.3π D.4π 【答案】B 【详解】解：如图，连接OA,OB, A :△ABC是等边三角形， ∠C=60°， ∴.∠A0B=2∠C=120° ,⊙0的半径为3，即OA=OB=3, 120π×3 六AB的长为180 =2 3.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分.历来中国有“制扇王国”之称.折扇 是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾.如 图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB,AC夹角为l50°，AB的长为l8cm,BD的长为9cm,则DE 的长为 cm 2/31 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 15 【答案】2π 【详解】解：AB=18cm,BD=9cm,∠DAE=150°. ∴.AD=9cm, DE的长为 50×π×9=15 180 2 (cm) 4.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙0上，连接AC、BC,CD平分∠ACB交O0于点D,若OO的半径 是4，则AD的长度是 D 【答案】2π 【详解】解：连接OD, 是 的直径， :AB⊙O .∠ACB=90°， CD平分∠ACB, .∠ACD=45°， ∠AOD=90°， 90π×4 则D的长度是180 =2r ◆题型2求扇形半径 5.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm,则这个扇形的半径为() 3/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.6cm B.12cm C.2cm D.8cm 【答案】A 【详解】，一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πCm, ∴.设这个扇形的半径为” 60° …360° ×2πr=2π .r=6 .这个扇形的半径为6cm 故选：A 6.如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为1，扇形 的圆心角等于90°，则扇形的半径是（) 图1 图2 A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【详解】解：设扇形的半径为， 90元r 由题意得： 180 =2π×1， 解得：r=4: 故选：B 4 7. 己知扇形的面积是3π，圆心角120°， 则这个扇形的半径是 【答案】2 【详解】解：设该扇形的半径是r,则 4120πr2 3 360, 解得r=2. 故答案为：2. 8.在一个圆中，如果60°的圆心角所对弧长为πcm,那么这个圆的半径为_cm 4/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】3 【详解】解：设这个圆的半径为rcm, 60πr 由题意可得： =兀， 180 解得：r=3(cm). 故答案为：3. ◆题型3求圆心角 9.已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角为() A.200° B.160° C.120° D.80° 【答案】B 【详解】解：设圆心角为n°，根据题意，得 8n=nnx9 180, ∴.n=160 即这条弧所对的圆心角为160° 10.若将一个圆分割成三个扇形，它们的面积比为2：3：4，则最小的扇形的圆心角为() A.80° B.60° C.40° D.20° 【答案】A 【详解】解：由题意可得，三个圆心角的和为360°， ,它们的面积之比为2：3：4， ∴三个圆心角的度数比为2：3：4， 最小扇形的圆心角度数为：360×23+480，故A正确 故选：A 【点睛】本题主要考查了圆心角，解答此题的关键是由题意得出三个圆心角的和为360° 11.一个扇形的弧长是13πcm,半径是18cm,则此扇形的圆心角是度， 【答案】130 【详解】解：设扇形的圆心角为n°， nπ×l8 由题意得： 180 =13π， 解得：n=130 5/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：130 12.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，⊙0的半径为4，AC的长为2π，则∠ABC的大小是 B 【答案】45°/45度 【详解】解：如图，连接OA,OC, B D 设∠A0C=n°， :AC的长为2π， nπ×4 180 =2， .n=90, .∠AOC=90°， :∠ABC=∠A0C=x90°=450 ◆题型4求某点的弧形运动路径长度 13.如图，将半径为2cm的圆形纸板，沿着边长分别为l6cm和l2cm的矩形的外侧滚动一周并回到开始的 位置，圆心所经过的路线长度是。 cm(元≈3.14). 【答案】68.56 6/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(16+12)×2+90×3.14×2 4=56+12.56=68.56(cm) 180 答：圆心所经过的路线长度是68.56cm 14.如图，把一块∠A=30°的直角三角板ABC绕点C旋转到AB'C的位置.使得三点B、C、A在一直线 上，若BC=I5,则顶点A从开始到结束所经过的路径长为 A 【答案】20π 【详解】解：：∠A=30°，∠ABC=90°，BC=15, ∴，AC=2BC=30,∠ACB=60°， :直角三角板ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到AB'C的位置， .∠ACA=180°-60°=120°， 120π·30 ∴项点，从开始到结束所经过的路径长 180 =20π 15.摩天轮示意图如图所示.该摩天轮高160m(即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距 离约为84m,摩天轮匀速旋转一圈大约用时24min.某轿厢从点A出发，8min后到达点B,此过程中，该 轿厢所经过的路径（即AB)长度为m.(结果保留π） B 152 【答案】3π 【详解】解：根据题意得，摩天轮的半径为”=160-84=76(m), 360° 摩天轮每分钟转动的圆心角度数为24 =15°， ∴.8min后圆心角∠A0B=15°×8=120°， 120×π×76152π ·B的长度为180 3 m 16.如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=2,将△ABC沿BC所在直线I向右翻动（不滑动）至如 7/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图△AB,C位置，则点B从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是 (结果保留π) B B 【答案】3π 【详解】解：，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=2. CB=CB=AB=AB,=2,∠ACB=45° 依题意，∠BCB=∠BAC=135° 二点a从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是2×35 2×元=3π 180 故答案为：3π。 ◆题型5求扇形面积 17.如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB=120°.半 径OA为6m,那么此花圃的面积为() A.12m2 B.9m2 c.6πm2 D.3m2 【答案】A 【详解】解：S形=22=120 360360 ×62=12m(m2). 18.如图，⊙0的半径为1，点A,B,C在⊙0上，∠ACB=30°.则图中阴影部分的面积为() B 1 A.6 c.6 1 0. 【答案】A 【详解】解：∠ACB=30°，∠ACB与∠AOB分别是AB所对的圆周角和圆心角 8/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AOB=2∠ACB=2×30°=60° :⊙0的半径为1 60π12元 .S阴影= 360 6 19.半径为6cm,圆心角为60°的扇形面积为 cm2(结果保留π)， 【答案】6π 【详解】解： S=60πx6 .=6π」 360 20.如图，已知滑轮的半径为l0cm,假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升5πCm时，半径OA转过 的面积是 滑轮 重物Ⅲ 【答案】25πcm 【详解】解：由题意得，半径OA转过的弧长为5πcm, 则半径OA转过的面积=2 ×5π×10=25元(cm2） ◆题型6求图形旋转后扫过的面积 21.如图，钟面上的时针长4cm,从3点到3点半，时针在钟面上扫过的面积是() 8 8 2π 4π 3 A. cm B 3 0.2 cm2 【答案】B 【详解】解：~钟面一圈为360°，共有12个大格，时针每小时转过的角度为360°÷12=30°， 从3点到3点半，经过了30分钟，即0.5小时， 时针转过的圆心角n=30°×0.5=15°， 9131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时针长4cm,即扇形半径r=4cm, .时针过的面积S=A三360二三2(cm) 360 360 22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC=2,现将△ABC绕着点B顺时针旋转90°得到 △ABC,其中A,C的对应点分别为A,C,则边AC扫过的区域（图中阴影部分）的面积为， B 【案1号 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC=2, AC=1,由勾股定理得BC=VAB2-AC2=V22-P=V5, 由旋转的性质可知，△ABC2△A'BC',∠ABA=∠CBC'=90°， .S△MBc=SMABC, .阴影部分的面积=S形MBr+SfBC-S。ABc-S扇形CBC =S第形ABr一S偏形CBC 90r×2290m×(3)2 360 360 3 =π- π 4 4· 23.如图，直角△ABC的直角顶点为B,且AB=8,BC=15,AC=17,将此三角形绕着顶点A逆时针旋 转72度到直角AB'C的位置，在旋转过程中，线段BC扫过的面积是一，（结果保留π） 10/31 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 【答案】45π 【详解】解：线段BC所扫过的面积 =S前形BMB+SABC-S扇形C4C-SABC =S扇形BMg-S扇形C4c 72π17272π82 360 360 =45π. B 故答案为45π 24.如图，在△ABC中，BC=3,AC=4,AB=5,将三角形ABC绕A点按逆时针方向旋转60°（∠BAD )后得到三角形ADE,点B经过的路径为弧BD,则图中阴影部分的面积是 D A B 11/31 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 【答案】6 【详解】圆形面积=πr2=25π 60 扇形的面积=3601 25m.25r 6 ◆题型7求弓形面积 25.如图，点A、B、C在圆0上，∠D=30°，直线AD∥BC,AB=AD,点O在BD上.若圆O的半径 为3，则图中阴影部分的面积是一. 4 D 0 【答案】3z-9V5 4 【详解】解：过C作CH⊥BD于H, H B ,AD∥BC, .∠OBC=∠D=30°， ..OB=OC, ∴.∠OCB=∠0BC=30° .∠B0C=180°-30°-30°=120°」 :.∠C0H=180°-120°=60°， :sin∠CoH=sin6o°=CH_CH_V3 0C32, CH=3 , 六A0aC的面积=0B-CH=×3x35_95 1 2 24 12/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 120π×32 ·扇形OBC的面积= 360 =3π， 之阴影都分的面积_扇形的面积△0C的面积=3- 4… 9W3 故答案为：3π- 4· 26.工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估 淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，则淤泥横截面的面积是 【容 4 【详解1解：过点0O01A6于D则4D-80-8m,∠A090心 A B 圆的直径为2米， ..O4=OB =1m, 在 中， OD=VOA2-AD RtAAOD v-G n. .OA=OB=AB, :△AOB为等边三角形， .∠A0B=60°， 60元×121 ∴淤泥横截面的面积=S扇形4OB-S。4OB= 360 21+ 2 6 4 m2, 故答案为： 1m3 6 4 27.如图，在扇形0AB中，∠AOB=90°，OA=6,则阴影部分的面积是 13/31 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 【答案】9π-18 【详解】OA=QB=6,∠AOB=90°， 90π×621. .S阴=S扇形O4B-S△4OB= ×6×6=9π-18. 3602 故答案为：9π-18. 【点睛】本题考查求阴影部分的面积.熟练掌握割补法求面积，是解题的关键. 28.如图，△ABC内接于⊙0，若∠A=60,⊙0的半径为2，则阴影部分的面积为 A 0 C 4 【答案】3-5 【详解】解：∠A=60, .∠BOC=24A=120°， 过点O作OD⊥BC, ∴.∠BOD=60 .∠OBD=30° 1 OD-20B-1 ∴.BC=2BD=2×V22-12=2√5 120×π×221 .阴影部分的面积=S偏形Boc-SBOC 2W5×1=4-5 360 故答案为：30-5 14/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0下 C B ◆题型8求其他不规则图形的面积 29.如图，在扇形OAB中，∠AOB=105°，半径OA=6,将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落 在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C,则阴影部分的面积为() 9π A.2 B.9π-V2) c竖9 D.92 【答案】C 【详解】解：连接OD,交BC于E, A D E ,沿BC对折O和D重合，OD=6, 、BC⊥OD,DE=OE=3,∠DBE=∠OBE,OB=BD=6, :∠BE0=90°，aDOB是等边三角形， ∴.∠D0B=∠DB0=60° ∠A0B=105°， ∴.∠C0D=∠AOB-∠D0B=45° .∠0EC=90°， .CE=OE=3, ∴.阴影部分的面积 =S扇形40p-S,coD 15/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 45元×621 ×6×3 360 2-9 30.如图，PA是O0的切线，A是切点，过点A作OP的平行线，交⊙0于点B,若OB=3,∠AP0=36°， 则图中阴影部分的面积为， (结果保留兀)· A B 9 【答案】5π 【详解】解：如图所示，连接OA, :点A是切点， ∴.∠OAP=90° :∠AP0=36°， .∠A0P=90°-36°=54°， :AB∥OP, ∴.∠0AB=∠AOP=54°， .OA=OB, :.△AOB为等腰三角形， .∠OBA=∠OAB=54°， .∠A0B=180°-54°-54°=72° ,△AOB与△ABP同底等高， 、S△AOB=S△MBP, 半径r=3,圆心角n=72°， ÷扇形面积S=-72x元×329 360360 5 16/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 31.如图，在矩形ABDE中，以B为圆心，BA为半径画弧交DE于点C,连接BC,BD=V2,△BDC的 面积为1，则图中阴影部分的面积为 (结果保留π和根号) D C E 1 【答案】22-1- 【详解】解：：四边形ABDE是矩形， .∠D=90°.ABCD. :BD=V2,△BDC的面积为1， CD=2, :BD=CD, ∴△BCD是等腰直角三角形， .∠BCD=45°，BC=2 .AB=BC=2, :AB∥DE, ∴∠ABC=∠BCD=45°， ÷图中阴影部分的面积=2×2-145：元x2=22-1元 360 32.如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F,点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD,垂 足为E,连接AC. D E (1)求证：CE是⊙0的切线： (2)若∠BAC=30°，AB=4,求阴影部分的面积. 【答案】(1)证明：连接BF,OC, 17/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E F :AB是⊙O的直径， ∴.∠AFB=90°，即BF⊥AD, ,CE⊥AD, BF∥CE, ,点C为劣弧BF的中点， .OC⊥BF, ,BF∥CE, .OC⊥CE, OC是⊙0的半径， ∴CE是⊙O的切线 【详解】(1)略 (2)解：连接OF,CF, D B .OA=OC,∠BAC=30° ∠BAC=∠OAC=30°， .∠B0C=60°. ,点C为劣弧BF的中点， :FC=BC .∠F0C=∠BOC=60°. 18/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ...OF=OC, “△FOC是等边三角形， 、.L0CF=60°， .∠OCF=∠BOC, .CF∥AB. .S△Acr=S△coF, .S阴影=S扇形FoC, ,AB=4, ..OF=OC=0B=2, ·S扇形Oc 60元×22_2， 360 3π， 2 即阴影部分的面积为？π。 【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法 是解答此题的关键. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.如图，AB为⊙O的直径，AB=8,劣弧AC的长2π，则弦AC的长为() C A.2V2 B.4 c.42 D.6 【答案】C 【详解】解：连接OC, 19/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 设∠AOC的度数为n, AB=8, .半径0A=4, nπ×4 则180° =2π， .n=90°， ∴弦AC=V042+0C2=V42+4=4V2, 故选：C 2.如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形ABC的三个顶点A,B,C为 圆心，AB长为半径画弧得到的图形).若AB=5,则此莱洛三角形的周长为() B 图1 图2 5π A.6π C.57 D.4 【答案】C 【详解】解：，△ABC是等边三角形， .LABC=LACB=∠BAC=60°， 之的长为0×xxB=60 60 180 πx5=5 ， 5 同理，AC与BC的长都为3π， 5 此莱洛三角形的周长为3π×3=5元 3.如图，正方形ABCD的边AB=1,AC和BD都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是() 20/31 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 A.2 B.+ C1+交 D.元-1 【答案】B 【详解】解：观察可知，阴影部分的周长为BD的长与正方形的边长的和， :正方形ABCD的边AB=1, .BC=1,∠BAD=90° 90元 1 2, ×1= BD的长为180× ∴阴影部分的周长为7+1. 4.如图，在扇形AOD中，OA=2,在弧AD上依次取点B,C,且∠2-∠1=60°.则图中两个阴影形面 积和最小值为() 0 D B 8π-2W5 A. 4-5 B. C. 2元-2W5 4红-25 D. 【答案】D 【详解】解：OA=OD, ∴∠1=∠ODA, .:OB=OC, .∠OBC=∠2， :∠BOC=180°-∠OBC-∠2=∠AOD-∠AOB-∠COD, ∴.180°-2∠2=∠AOD-∠AOB-∠COD, ∠A0D=180°-∠1-∠ODA=180°-2∠1， ∴.180°-2∠2=180°-2∠1-∠AOB-∠COD, 21/31 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.2（∠2-∠1）=∠AOB+∠COD :∠2-∠1=60°， ∴.∠AOB+∠COD=120°， 作BE⊥OA于E,作CF⊥OD于F, 0 E 中， BE B sin∠AOB= .RtaOBE OB ∴BE=2sin∠AOB. 同理CF=2sin∠COD, S阴影=S扇形OMB十S前形0CD-S。4OB-S.coD ∠AOBπ×22，∠COD元×22 -0AxBE-1ODxCF 360 360 (∠A0B+∠COD)x2-×2(BE+CP) 360 120元×221 ×2(2sin∠AOB+2sin∠COD) 3602 4杯-2sin∠A0B+sin∠C0D), = 设sin∠AOB=a,sin∠COD=b, ~a+b≥2Nab,即a-2Vab+b≥0，(Na-B)≥0， 当Va=√b,即a=b时，a+b=2√b最大，此时阴影部分面积的和最小， 此时sin∠AOB=sin∠COD, :∠A0B=∠C0D=号x120°=600 sin∠40B=sin∠C0D=sin60= 2 S阴影三 二、填空题 22/31 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,AC,AB分别相切于点D,E,F,且△ABC的周长为36， AB=9,若∠D0E=140°，将线段CE绕点C逆时针旋转到点E在BC上时，求点E的运动路径长 0 D 【答案】2π 【详解】解：连接OD、OE, D :⊙O与BC,AC分别相切于点D,E, ∴.OD⊥BC,OE⊥AC, ∴∠ODC=∠OEC=90° ,四边形ODCE内角和为360°，∠D0E=140°， ∴∠C=360°-90°-90°-140°=40°， :△ABC的周长为36，内切圆与AB,BC,AC分别相切于F,D,E, ∴AF=AE,BF=BD,CD=CE, .AB=AF+BF=9, .BC+AC=36-AB=27, .BD+CD+AE+CE=27,AF=AE,BF=BD, :.(BF+AF)+(CD+CE)=27. CD+CE=27-9=18, CD=CE. CE=9, 线段CE绕点C逆时针旋转到点E在BC上， ∴.点E的运动路径为以C为圆心，CE为半径，圆心角为4O°的弧， 弧长=40rx9 180 23/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、多边形内角和、弧长公式，熟练掌握切线的性质和弧 长公式是解题的关键， 6.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，C,D分别为OA,OB的中点，AD,BC交于点E.若OA=6 则图中阴影部分的面积为一· D 【答案】9π-12/-12+9元 【详解】解：如图1，~C,D分别为OA,OB的中点， ∴.OC=AC=OD=DB, 04-2.tm22-0CI tan☑I=OD、1 OB 2' ∴.∠1=∠2， 又：∠3=∠4，AC=BD, ∴△ACE≌△BDE(AAS), 过点E作EF⊥OB于点F,EG⊥OA于点G,连接OE, .∠AGE=∠EFB=90°， ,△ACE≌ABDE ∴CE=DE, .∠1=∠2，∠3=∠4， ∴.∠GCB=∠EDF, 在△CGE和△DFE中， ∠GCB=∠EDF ∠AGE=∠EFB=90° CE=DE ∴ACGE≌△DFE(AAS). .EF=EG, ∴.OE平分∠AOB 24/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠E0F=45°， .:.EF=OF, an∠2=-EF、1 FB2· :FB=2EF, 又OB=OF+FB=6, .EF+2EF=6, ∴.EF=2, S40E=SOE= 0B-EF=x6×2=6, 2 S阴影部分=S扇形AOB-2SB0E 90元×6-2×6=9元-12。 360 1 E 7 三、解答题 7.(1)已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为. (2)若扇形的圆心角为30°，面积为3cm,则它的半径为 cm' (3)一个扇形的弧长是10πcm,面积是60πcm2,则此扇形的圆心角的度数是 【答案】 22150°/150度 【详解】解：(4)1= 0, 形二r 360, ÷指- 2· 1x4=4, …2 1=2. 故答案为：2： 25/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)“扇形的圆心角为30°，面积为5cm 30πr2元 ·3603 解得r=2(负值舍去). 故答案为：2； (3)由(1)知，S形=2， :60π= 10πr 2, .r=12 10n nx12 180 ∴.n=150 故答案为：150° 8.如图，直线AB经过OO上的点C,并且OA=OB,CA=CB A C B (1)求证：直线AB是⊙0的切线， (2)若∠AOB=90°，0A=2,求阴影部分的面积. 【答案】(1)证明：连接OC, A B :直线AB经过OO上的点C,OA=OB,CA=CB, OC⊥AB 又，OC为⊙0的半径， 26/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴直线AB是⊙O的切线. (2) 【详解】(1)略 (2)解：∠A0B=90°，0A=2,OA=OB,CA=CB, :AB=O+0B=22,0C=AB=2. 之阴影都分的面梨008测0c-2-为小可2- 2 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的OO与BC相切于点D,与AC 相交于点F. D (1)求证：AD平分∠BAC: 2诺BE=)AB=2,求图中阴影部分的面积 【答案】(1)证明：连接OD, A 0 E 与 相切于点D, B C⊙0 BC .OD⊥BC, 即∠ODB=90°， :∠C=90°， ∠ODB=∠C, OD∥AC, ∴.∠DAC=∠ODA, .OD=0A, 27/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠BAD=∠ODA, .∠BAD=∠DAC, .AD平分∠BAC 京6 【详解】(1)略 (2)解：设OD与EF交于M,连接OF, :AE是⊙O的直径， ∴.∠AFE=90°， OD∥AC, .∠OME=∠AFE=90°， 即OD⊥EF, ..OE=OF, ∴.∠DOE=∠DOF,ME=MF, 1 BE=5AE=2」 2 ∴OD=OA=OE=。AE=2 2 ∴.OB=BE+OE=4, 在RIAOBD'中，cos∠D0E=OD=1 .∠DOE=∠DOF=60° .ME=MF=OE-sin 60=2x 2 1 OM=OE.cos60°=2×5=1， 3 ∠E0F=∠D0E+∠DOF=120°， ∴.EF=ME+MF=25, ∴.S扇形OEF 2602=,5aom-oM=×25x1=5. 120π×224 2 :S影=S前形0Er-Sa0Er 3π-V5 4 28/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 0 M: C 10.如图，PA与⊙0相切于点A,AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB、PC,PC交OO于点D, 且PA=PB (1)求证：PB是⊙O的切线： (2)连接OP交AB于点E,求证：PE·PO=PD.PC: (3)若∠APB=60°，PA=2√3，求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 2 3)3π 【详解】(1)证明：如图，连接OB, 在△AOP和△BOP中， PA=PB PO=PO OA=OB .△AOP≌aBOP(SSS), 、∠PBO=∠PAO, :PA与⊙0相切， ∴.∠PA0=90° ∴∠PBO=90°，即OB⊥PB, 29/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，OB是半径， ∴PB是⊙O的切线： (2)证明：如图，连接AD, :AC是⊙0的直径， ∴.∠ADC=90° ∴.∠ACD+∠CAD=90°， :∠CAD+∠PAD=∠PAO=90° ∴∠ACD=∠PAD 又：∠APD=∠CPA .△PAD∽△PCA PA PD ·PCPA' ∴PA=PDPC, ,PA、PB是⊙O的切线， ∴PA=PB,且PO平分∠APB, .PE⊥AB, :.∠PEA=∠PA0=90°， 又：∠APO=∠APE, .△APE AOPA, PA PO ·PEPA' ∴PA=PEPO, PD·PC=PEPO: (3)解：如图，连接OB、BC, 30/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D C B ,AC是OO的直径， .∠ABC=90°，即AB⊥BC, PE⊥AB, .BC∥OP, 、SBCp=SBco, 、.S阴影率分=S第形B0C, ,∠APB=60°，∠PAO=∠PB0=90°， .∠A0B=360°-90°-90°-60°=120°， .∠B0C=60°， ,PO平分∠APB, ∴.∠AP0=30° 在RaA0p中，OA=PA:am∠AP0=2N5x5 2, ..OB=0A=2 60元222 六.S阴影都分=SPaC+S号形BC=S扇形B0C= 360 3 31/31 专题12 弧长与扇形面积 常考题型·精准突破 考点一 弧长与扇形面积 题型1 求弧长 题型2 求扇形半径 题型3 求圆心角 题型4 求某点的弧形运动路径长度 题型5求扇形面积（重） 题型6 求图形旋转后扫过的面积 题型7 求弓形面积（高频） 题型8 求其他不规则图形的面积（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 弧长与扇形面积 ◆题型1 求弧长 1．如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 4．如图，是的直径，点在上，连接、，平分交于点，若的半径是，则的长度是______． ◆题型2 求扇形半径 5．一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为（  ） A． B． C． D． 6．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为1，扇形的圆心角等于90°，则扇形的半径是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知扇形的面积是，圆心角，则这个扇形的半径是______． 8．在一个圆中，如果的圆心角所对弧长为，那么这个圆的半径为___． ◆题型3 求圆心角 9．已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 10．若将一个圆分割成三个扇形，它们的面积比为，则最小的扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 11．一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是______度． 12．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． ◆题型4 求某点的弧形运动路径长度 13．如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 14．如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 15．摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 16．如图，等腰中，，，将沿所在直线向右翻动（不滑动）至如图位置，则点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是__________．（结果保留） ◆题型5求扇形面积 17．如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 18．如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 19．半径为，圆心角为的扇形面积为 _______________（结果保留． 20．如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． ◆题型6 求图形旋转后扫过的面积 21．如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 22．如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 23．如图，直角的直角顶点为B，且，，，将此三角形绕着顶点A逆时针旋转72度到直角的位置，在旋转过程中，线段扫过的面积是___．（结果保留） 24．如图，在中，，，，将三角形绕点按逆时针方向旋转（）后得到三角形，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是_________． ◆题型7 求弓形面积 25．如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积是______． 26．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为1米，则淤泥横截面的面积是______． 27．如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是________． 28．如图，内接于，若的半径为则阴影部分的面积为_______________________． ◆题型8 求其他不规则图形的面积 29．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 30．如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 31．如图，在矩形中，以B为圆心，为半径画弧交于点C，连接，，的面积为1，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π和根号） 32．如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 2．如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在扇形中，，在弧上依次取点B，C，且．则图中两个阴影弓形面积和最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，若，将线段绕点逆时针旋转到点在上时，求点的运动路径长_______． 6．如图，在扇形中，，，分别为，的中点，，交于点．若，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题 7．（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________． （2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________． （3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________． 8．如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 9．如图，在中，，点E在斜边上，以为直径的与相切于点D，与相交于点F． (1)求证：平分； (2)若，求图中阴影部分的面积． 10．如图，与相切于点A，为的直径，点B在上，连接、，交于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点E，求证：； (3)若，，求图中阴影部分的面积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $