专题02 垂径定理（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02垂径定理 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用垂径定理及推论（重） 题型2利用垂径定理求角度（高频） 题型3利用垂径定理求线段长度（高频） 题型4利用垂径定理求坐标（高频） 题型5利用垂径定理求平行弦问题（重） 题型6利用垂径定理求同心圆问题（重） 题型7垂径定理的实际应用（高频） 题型8利用垂径定理求最值（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用垂径定理及推论 1.(25-26九年级上广东潮州期中)下列说法正确的是() A.平分弦的直径垂直于弦 B,垂直于弦的直线必过圆心 C.垂直于弦的直径平分弦 D.平分弦的直径平分弦所对的弧 2.(25-26九年级上浙江宁波·期中)下列命题中，正确的有() ①平面内三个点确定一个圆：②平分弦的直径平分弦所对的弧；③半圆所对的圆周角是直角：④圆内接平 行四边形一定是矩形；⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(25-26九年级上湖北武汉·阶段检测)下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点 组成的图形是圆；②半径相等的两个半圆是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的弧.正确的个数有（)· A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ◆题型2利用垂径定理求角度 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26九年级上四川泸州期中)如图，在⊙0中，半径0C垂直弦AB,D为O0上的点， ∠ADC=30°，则∠BOC的度数是() D B A.30° B.60° C.80° D.40 5.(25-26九年级上·陕西延安月考)如图，点A、B、C、D都在⊙0上，连接OA、OB、CD、AD、BC、 OA⊥BC,∠CDA=25°，则∠CBO的度数为—°. 6 6.(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，AB是⊙0的直径，AC的度数是55°，BE的度数是21°，且 ∠AFC=∠BFD,∠AGD=∠BGE,则∠FDG的度数为一： D ◆题型3利用垂径定理求线段长度 7.(2026湖南长沙一模)如图，CD是O0的直径，弦AB⊥CD于点E,连接OA,已知 CD=10,AB=8,则DE的长为() B A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 8.(25-26九年级上北京东城期中)已知OO中，弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 径为 cm 9.(2026安徽阜阳·三模)已知AB是⊙0的直径，弦CD1AB,垂足为点E,连接AD,AB=9,AD=6, 则弦CD的长为 ◆题型4利用垂径定理求坐标 10.(25-26九年级上：广西钦州期末)如图，在直角坐标系中，⊙A经过原点0，并与x轴交于点B,已 知点A的坐标是(2,2)，则点B的坐标是(） B A.(0,2) B.(0,4) c.(4,0) D.（-4,0) 11.(25-26九年级上内蒙古赤峰期末)如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标 为(4,2)，点B的坐标为5.5,0)，则点A的坐标为() B A.(1.5,0) B.(2.5,0) C.(3.5,0) D.(4.5,0) 12.(25-26九年级上·吉林白城阶段检测)如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B(0,2)、C(0,10),则点A 的坐标为 A B ◆题型5利用垂径定理求平行弦问题 13.(25-26九年级上山东滨州期中)已知O0的直径为34cm,AB,CD是O0的两条弦，AB川CD, AB=30cm,CD=16cm,则AB和CD之间的距离是() 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.7cm或23cmB.14cm或46cm C.7cm D.23cm 14.(25-26九年级上：河南新乡阶段检测)已知⊙0的半径为6cm,弦AB∥CD,且AB=6W2cm, CD=6√3cm,则AB与CD之间的距离为： 15.(25-26九年级上·河北石家庄期中)己知⊙0的半径为5，弦AB=6,弦CD=8,AB‖CD,则这两 条平行弦AB、CD的距离为 ◆题型6利用垂径定理求同心圆问题 16.(25-26九年级上：湖北武汉·期中)如图，半径为5和V34的两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交 小圆于C,D两点，若CD=8,则AB的大小为() ·O 7B A.6 B.8 C.10 D.12 17.(25-26九年级上贵州遵义期末)如图，两个圆都以点0为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点， 大圆的半径为10，小圆半径为7.若AB=16,则弦CD的长是 0 18.(25-26九年级上河南周口期末)如图，半径为3V5和5的两个圆都以O为圆心，大圆的弦AB交小 圆于CD两点，若CD=8,则AB=一· ●O C D ◆题型7垂径定理的实际应用 19.(25-26九年级上浙江宁波期末)图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的轴截面示意图，过最高点 H的直线HF经过圆心，且垂直底座CD于点F,点A,B在圆上，AC,BD都垂直于CD.己知 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=BD=lcm,CD=12cm,HF=31cm,则灯罩轴截面所在圆的半径为() H AB C FD 图1 图2 A.15.5cm B.15.6cm C.15.7cm D.15.8cm 20.(2026安徽芜湖·二模)如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为6cm，,瓶内液体已经过半，液 面到烧瓶底部最大距离为8cm,则截面圆中弦AB的长为cm. B 0 21.(2026河北廊坊·一模)如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞 门”·图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用ACB表示，点O是ACB所在圆的圆心，AB是月洞门 的横跨，CD是月洞门的拱高.已知AB=3m,CD=2.5m,则月洞门所在圆的半径为 m D B 图1 图2 ◆题型8利用垂径定理求最值 22.(25-26九年级上：河北邢台期末)如图，P是劣弧AB上的一动点，OP与AB交于点C.若 AB=8,OP=5,则OC的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(2025九年级全国专题练习)如图，⊙0的半径是5，弦AB=8,P是弦AB上的一个动点（不与点 A,B重合)，则线段OP的最小值是一 24.(24-25九年级上·江苏盐城期中)如图，在半圆O中，直径AB=6,C是半圆上一点，将弧AC沿弦 AC折叠交AB于D,点E是弧AD的中点.连接OE,则OE的最小值为 D B 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)在⊙0中，已知半径为13，弦AB的长为24，则圆心0到AB的 距离为() A.3 B.4 C.5 D.6 2.(25-26九年级上云南怒江期末)如图，AB是⊙0的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E, OC=5,CD=8,则OE等于() A A.3 B.32 C.4 D.5 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26九年级上广东广州期中)若⊙0的直径为10cm,弦AB‖CD,AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD之间的距离为() A.1cm B.7cm C.lcm或7cm D.2cm或7cm 4.(25-26九年级上天津河东·期末)赵州桥（图①）建于1460年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥 梁，桥的下部呈圆弧形.如图②，桥的跨度（弧所对的弦长）AB=37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离） CD=7.2m,则赵州桥桥拱所在圆的半径R约为()m. C 图① 图② A.55.8 B.27.9 c.21.4 D.10.7 5.(2026河北石家庄·一模)如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练， 两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不 可能是() 小雪 A.5米 B.15米 C.40米 D.50米 二、填空题 6.(25-26九年级上山东济宁阶段检测)如图，⊙P与y轴相切于点C,与x轴相交于点A(-1,0), B(-9,0),圆心P的坐标是 7.(25-26九年级上浙江温州期末)如图，AB⊥CD于点B,过C,A,D三点作圆弧，其圆心为O, AE 5 DB 1 AB 作OE⊥AB于点E'OF⊥CD于点F·若EB3'BC5,则CD的值为 7/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 8.(25-26九年级上广东汕头期末)如图，AB是⊙0的直径，AF与⊙0相切，CD是垂直于AB的弦， 垂足为E,过点C作DA的平行线与AF相交于点F,若CD=4V3,，BE=2,则四边形ADCF的面积为 F A E D B 9.(2025九年级上全国专题练习)已知A,B为⊙0上的两点，C为弦AB的中点，过点C的直径交⊙0 于点D,E,若AB=8,OD=5,则CD的长为 10.(25-26九年级上江苏盐城期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,D是AC上一 点，E是BC上一点，DE=6.4,若以DE为直径的圆交AB于MV点，则MN的最大值为一 三、解答题 11.(25-26九年级上河北保定·期末)如图，AB,CD都是⊙0的直径，弦DE⊥AB,垂足为F. F B (I)求证：AD∥BC (2)若∠CDE=2∠C,DE=4,求OD的长. 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26九年级上浙江杭州期末)如图，AB是⊙0的直径，点C,D是⊙0上的点，且OD1BC, AC与OD相交于点E,连接BE D (I)求证：AE=EC (2)若AC=8,DE=2,求BE的长」 13.(2026安徽合肥一模)如图，AB为O0的直径，弦CD交AB于点E,连接AC、AD,过点D作 ⊙O的切线交CB的延长线于点F,已知AD=CD D (I)求证：DF⊥CF: (②)若AD=4V5,DF=4,求直径AB的长. 14.(25-26九年级上江西上饶期末)如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C, D两点，AB=8,CD=6 C (I)直接写出BD的长为 (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长. 15.(2026河南信阳·模拟预测)我国西南地区公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆 形隧道的重要部件.管片的横截面（阴影部分）如图2所示，是同心圆环的一部分，左右两边缘的延长线 交于圆心，甲、乙两个小组分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径. 9110 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、D 图1 图2 图3 (1)如图2，BA,CD的延长线交于圆心O,若甲组测得AB=0.6m,AD=3m,BC=4m,求OB的长。 (2)如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接 触点L为MP的中点，若乙组测得MN=PO=0.5m,M=L0=2m,求：该混凝土管片的外圆弧半径. 16.(25-26九年级上：江苏南京阶段检测)如图1，⊙0的直径AB=10,M是AB上（不与点A,B重 合)的任意一点，C,D为OO上的两点.若∠AMD=∠BMC,则称∠CMD为直径AB的回旋角， D MO B 图1 (I)若∠CMD为直径AB的回旋角，且∠CMD=80°，求∠AMD的大小 (2)如图2，点C,D在⊙O上，若CF⊥AB于点E,交⊙O于点F,连接DF交AB于点M. D B E 图2 备用图 ①∠CMD是直径AB的回旋角吗？请说明理由. ②猜想∠CMD的度数与CD度数的大小关系，并给出证明 (3)若直径AB的回旋角∠CMD=90°，且△MCD的周长为12√2，请直接写出AM的长度. 10/10 专题02 垂径定理 常考题型·精准突破 题型1 利用垂径定理及推论（重） 题型2 利用垂径定理求角度（高频） 题型3 利用垂径定理求线段长度（高频） 题型4 利用垂径定理求坐标（高频） 题型5 利用垂径定理求平行弦问题（重） 题型6 利用垂径定理求同心圆问题（重） 题型7 垂径定理的实际应用（高频） 题型8 利用垂径定理求最值（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用垂径定理及推论 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线必过圆心 C．垂直于弦的直径平分弦 D．平分弦的直径平分弦所对的弧 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可． 【详解】解：A、平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直），故原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直线不一定过圆心（只有平分弦的垂直直线才过圆心），故原说法错误，不符合题意； C、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，故原说法正确，符合题意； D、平分弦的直径不一定平分弦所对的弧（当弦为直径时，弧平分不一定成立），故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）下列命题中，正确的有（   ） ①平面内三个点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③半圆所对的圆周角是直角；④圆内接平行四边形一定是矩形；⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，包括确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质以及弦与弧的关系．需逐一判断每个命题的正确性． 【详解】∵①平面内三个点不一定确定一个圆（三点共线时不能），故错误； ∵②平分弦的直径不一定平分弦所对的弧（弦为直径时不一定），故错误； ∵③半圆所对的圆周角是直角（圆周角定理），故正确； ∵④圆内接平行四边形对角互补且相等，故为矩形，正确； ∵⑤弦相等则所对的弧不一定相等（未区分优弧和劣弧），故错误； ∴正确的有③和④，共2个． 故选：B 3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②半径相等的两个半圆是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，包括圆的定义、等弧的条件、圆心角与弧的关系以及垂径定理的逆命题．根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ① 在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，这是圆的定义，正确； ∵ ② 半径相等的两个半圆，弧长相等且均为半圆，故能重合，是等弧，正确； ∵ ③ 相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，否则不一定，错误； ∵ ④ 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，但弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，错误； ∴ 正确的有①和②，共2个． 故选：B． ◆题型2 利用垂径定理求角度 4．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在中，半径垂直弦，D为上的点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理．连接，根据圆周角定理可得，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵半径垂直弦， ∴， ∴． 故选：B 5．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，点A、B、C、D都在上，连接、，，则的度数为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理，连接，由垂径定理和圆周角定理可求出，再由等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，的度数是，的度数是，且，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解决问题的关键；过点作于点，的延长线交于点，过点作于点，的延长线交于点，根据垂径定理得：，的度数的度数，然后可得点在同一条直线上，同理：的度数的度数，点在同一条直线上，进而根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：过点作于点，的延长线交于点，过点作于点，的延长线交于点，如图所示： 根据垂径定理得：，的度数的度数， 是线段的垂直平分线， ， 根据等腰三角形性质得：， ， ， ， ， ∴点在同一条直线上， 同理：的度数的度数，点在同一条直线上， 的度数为的度数的度数）， 根据圆周角定理得：的度数． 故答案为：． ◆题型3 利用垂径定理求线段长度 7．（2026·湖南长沙·一模）如图，是的直径，弦于点，连接，已知，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】根据垂径定理得到，设的长为x，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径，弦于点， ∴， ∵， ∴， 设的长为x， 则， ∴， 解得：，（大于半径，舍去）． 即的长为2． 8．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 【答案】5 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵，是的弦， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即此圆的半径为． 9．（2026·安徽阜阳·三模）已知是的直径，弦，垂足为点E，连接，，，则弦的长为________． 【答案】 【分析】利用垂径定理得到，再结合勾股定理建立等式求解的长度，即可得到的长． 【详解】解：连接， 是的直径，， ， ，垂足为， 由垂径定理得，， 设，，， 在中，， 由勾股定理得， 在中，， 由勾股定理得， 展开整理得，即， 将代入得， 解得， 把代入得， ， ， ． ◆题型4 利用垂径定理求坐标 10．（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，在直角坐标系中，经过原点O，并与x轴交于点B，已知点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的定义及性质，综合运用以上知识是解题的关键．连接，，过点A作于点C，先证是等腰三角形，结合与点A的坐标是，得到，从而求得点B坐标． 【详解】解：如图，连接，，过点A作于点C， ∵经过原点O，并与x轴交于点B， ∴， ∵， ∴． ∵点A的坐标是，， ∴， ∵， ∴， ∵点B在x轴上， ∴点B的坐标是． 故选：C． 11．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，以点为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作于D，则A，B两点一定关于对称．即可求解． 【详解】解：过点P作于D， 则D的坐标是． 点的坐标为， ． ． ，B两点一定关于对称， ． ． 则点A的坐标是． 故选∶B． 12．（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）如图，半径为5的与轴交于点、，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，垂径定理等知识点，过A作于D，连接，根据点B和点C的坐标求出，再根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过A作于D，连接， ∵半径为5的与y轴交于点、， ∴，，， ∵，过圆心A， ∴， ∴， ∴点A的纵坐标是6， 由勾股定理得：， ∴点A的横坐标是3， ∴点的坐标为． 故答案为：． ◆题型5 利用垂径定理求平行弦问题 13．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 14．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【答案】或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 15．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为___________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，即弦和在圆心的同侧或异侧，分别求出圆心到两条弦的距离，再计算两条平行弦的距离．本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理并分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接，． ，， ． ，，， ，． 在中，． 在中，． 当，在圆心的同侧时， ； 当，在圆心的异侧时， ． 故答案为：或． ◆题型6 利用垂径定理求同心圆问题 16．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（舍去负值）， ∴ 故选：C． 17．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 18．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． ◆题型7 垂径定理的实际应用 19．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的轴截面示意图，过最高点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩轴截面所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理，矩形的性质与判定，连接交于点，设圆心为点O，连接，证明四边形是矩形，四边形是矩形，得到，由垂径定理可得，设灯罩截面所在圆的半径为，则，由勾股定理可得，，据此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点，设圆心为点O，连接， ∵都垂直于．， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵直线经过圆心， ∴， 设灯罩截面所在圆的半径为，则 在中，由勾股定理可得， 即， 解得 即灯罩截面所在圆的半径为， 故选：B． 20．（2026·安徽芜湖·二模）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液面到烧瓶底部最大距离为，则截面圆中弦的长为_______． 【答案】 【分析】过点作交于点，延长交于点，连接，根据题意可得，，，，先求出，再根据勾股定理求出，即可求出，即可得出答案． 【详解】解：过点作交于点，延长交于点，连接，如图： 则，，，， ∴， 在中，， ∴． 即截面圆中弦的长为． 21．（2026·河北廊坊·一模）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 【答案】 【分析】设月洞门所在圆的半径为，则，，由垂径定理得到，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 设月洞门所在圆的半径为，则， ∴， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴月洞门所在圆的半径为． ◆题型8 利用垂径定理求最值 22．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵是上的一个动点，与交于点． ∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为3， 故选：B 23．（2025九年级·全国·专题练习）如图，的半径是5，弦，P是弦上的一个动点（不与点A，B重合），则线段的最小值是_____． 【答案】3 【分析】利用垂线段最短的性质，当时，取得最小值．结合垂径定理和勾股定理来计算的长度． 【详解】解：过点作于点．根据垂线段最短，此时的长度就是的最小值． 由垂径定理可知，． ∵， ∴． 已知⊙的半径，在中，根据勾股定理： ． ∴线段的最小值是． 故答案为：． 24．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 _______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题的关键是通过作辅助线，根据三角形三边关系确定的取值范围． 把所在的圆补全为，可知点与点关于对称，求出，长，的最小值为． 【详解】解：如图，把所在的圆补全为，连接，，，，交于点，可知点与点关于对称，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）在中，已知半径为，弦的长为，则圆心到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理；垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；关键是根据勾股定理解答． 作于，连接，根据垂径定理得到，然后在 中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：作于，连接，如图，    ， 在中， ， 即圆心到的距离为 5 ； 故选：C． 2．（25-26九年级上·云南怒江·期末）如图，是的直径，是弦，于点，，则等于（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．根据垂径定理得出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵是的直径，是弦，， ∴, ∵， ∴根据勾股定理得：． 故选：A． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 4．（25-26九年级上·天津河东·期末）赵州桥（图①）建于年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形．如图②，桥的跨度（弧所对的弦长），拱高（弧的中点到弦的距离），则赵州桥桥拱所在圆的半径约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理列方程求解半径是解题的关键． 先根据垂径定理求出，再结合拱高用勾股定理列出关于半径的方程，最后解方程即可得到圆的半径． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 解得． 故选：B． 5．（2026·河北石家庄·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 二、填空题 6．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质定理，矩形的判定和性质，勾股定理． 连接，，作交于点，根据垂径定理得到，则，根据切线的性质定理得到，进而证明四边形是矩形，得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求出圆心P的坐标． 【详解】解：如图，连接，，作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵与y轴相切于点C， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴圆心P的坐标是． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，于点，过，，三点作圆弧，其圆心为，作于点，于点．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识．连接，设，，得到，，．根据，，，得到四边形为矩形，，，进而求出，根据勾股定理得到，，进而得到，求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴， ∴，． ∵，，， ∴，． ∴四边形为矩形，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 8．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，是的直径，与相切，是垂直于的弦，垂足为，过点作的平行线与相交于点，若，，则四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，圆的切线的性质定理，平行四边形的判定和面积，解题关键是掌握以上性质． 连接，假设圆的半径为，利用垂径定理和勾股定理求出半径长度，根据圆的切线的性质定理得出直角，证明四边形为平行四边形，然后根据平行四边形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是垂直于的弦， ∴，， 假设圆的半径为，则， 根据勾股定理得， ， 解得， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）已知A，B为上的两点，C为弦的中点，过点C的直径交于点D，E，若，，则的长为______． 【答案】或 【分析】先根据垂径定理和勾股定理求得，再分类讨论，结合图形求解即可． 【详解】解：如图1，连接， ∵点C为弦的中点，是的直径，， ∴，， 又， ∴， ∴； 同理，如图2，则； 综上，长为或. 10．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，，D是上一点，E是上一点，，若以为直径的圆交于M、N点，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是根据垂线段最短确定：． 如图，取中点O，连接，，过点O作于G，过点C作于H，则，由勾股定理可得，由面积法可得，由圆周角定理可知：C在上，则，，最后由勾股定理和垂径定理即可解答． 【详解】解：如图，取中点O，连接，，过点O作于G，过点C作于H，则， ， ，，， ， ， 中，O为的中点， ， 为直径，， 在上， ， ， ， 由勾股定理得：， 当时，有最大值是：， 的最大值为． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，，都是的直径，弦，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由对顶角相等可得，则可得，再根据圆周角定理可得，则； （2）根据垂径定理，，根据圆周角定理可得，结合可证明是等腰直角三角形，则，使用勾股定理计算出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， 在直角中，． 【点睛】本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定定理，勾股定理，熟练掌握圆的基本性质是关键． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，与相交于点E，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：是直径， ， ， ∴， ， ∵为半径， ； (2)2 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，再根据垂径定理证明； （2）根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：． 13．（2026·安徽合肥·一模）如图，为的直径，弦交于点，连接、，过点作的切线交的延长线于点，已知． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)证明：连接并延长交于点，交于点． 为的切线， ． 为的直径， ． ， ， ， ， 四边形为矩形， ． (2) 【分析】（1）连接并延长交于点，交于点．由垂径定理的推论得，进而即可得到结论； （2）由勾股定理求出，设，利用勾股定理列出方程，即可求解 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ． 设，则， 在中，，解得， ． 14．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 15．（2026·河南信阳·模拟预测）我国西南地区公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）如图2所示，是同心圆环的一部分，左右两边缘的延长线交于圆心，甲、乙两个小组分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径． (1)如图2，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长． (2)如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为的中点，若乙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 【答案】(1) (2)该混凝土管片的外圆弧半径为 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形对应边成比例解答即可； （2）连接、、、、与相交于点，由垂径定理的推论可得，再结合勾股定理得到，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的根，即． 答：的长为； （2）解：如图，设圆心为点，连接、、、、与相交于点， ∵点L为的中点，为半径， ∴， 由题意得，与相切于点，则， 而 ∴四边形为矩形， ∴， 设外半径为，则， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， 答：该混凝土管片的外圆弧半径为． 16．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的直径，是上（不与点，重合）的任意一点，，为上的两点．若，则称为直径的回旋角． (1)若为直径的回旋角，且，求的大小． (2)如图，点，在上，若于点，交于点，连接交于点． ①是直径的回旋角吗？请说明理由． ②猜想的度数与度数的大小关系，并给出证明． (3)若直径的回旋角，且的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2) 解：①是直径的回旋角，理由如下： ∵过圆心， ∴，即垂直平分， ， 又 ∵， ， 又 ∵， ， ∴是直径的回旋角． ②回旋角的度数与的度数相等，证明如下： 连接， 由①知：， ， ， ， 又 ∵， ， 又 ∵的度数等于度数， ∴回旋角的度数与的度数相等． (3)4或6 【分析】（1）用平角减去，再除以 2 可得； （2）①利用垂径定理可知垂直平分，从而得出，再用对顶角相等和等量代换，从而证明，即是直径的回旋角； ②连接，利用可证，又用圆周角定理可知，从而可知回旋角的度数与的度数的大小相等； （3）过点作于点，过点作于点，连接，由②得回旋角的度数与的度数相等，可知，从而求出的长，则，联立可得的长度，从而解决问题． 【详解】（1）解：∵为直径的回旋角， ， 又 ∵， ； （2）略 （3）解：如图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵的直径， ∴， 由（2）②得回旋角的度数与的度数相等， ， ∵， ∴为等腰直角三角形， ，， ∵的周长为， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴解得或， ， ， 和都是等腰直角三角形， 当时，点在上， ， 在中， ，， 当时，点在上，同理可得， ， 综上所述：的长度为4或6． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02垂径定理 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用垂径定理及推论（重） 题型2利用垂径定理求角度（高频） 题型3利用垂径定理求线段长度（高频） 题型4利用垂径定理求坐标（高频） 题型5利用垂径定理求平行弦问题（重） 题型6利用垂径定理求同心圆问题（重） 题型7垂径定理的实际应用（高频） 题型8利用垂径定理求最值（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用垂径定理及推论 1.C 2.B 3.B ◆题型2利用垂径定理求角度 4.B 5.40 6.52° ◆题型3利用垂径定理求线段长度 7.A 8.5 9.45 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4利用垂径定理求坐标 10.C 11.B 12.(3,6) ◆题型5利用垂径定理求平行弦问题 13.A 14.（32-3)cm或(32+3)cm 15.1或7 ◆题型6利用垂径定理求同心圆问题 16.C 17.213 18.12 ◆题型7垂径定理的实际应用 19.B 20.8V2 21.1.7 ◆题型8利用垂径定理求最值 22.B 23.3 24.3V2-3/-3+3V2 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.C 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.A 3.C 4.B 5.D 二、填空题 6.（-5,3) 79 8.24V5 9.2或8 10.165 5 三、解答题 11. 【答案】(1)证明：：∠AOC=∠BOD, .'AC=BD. .∠BCD=∠ADC, .ADlI BC (2)2V2 【详解】(1)略 (2)解：AB⊥DE, DF=EF=D6=2,∠AFD=90, .·∠CDE=2∠C, 又，∠B0D=2∠C, ∴.∠BOD=∠CDE, ..OF=DF=2, 在直角△0DF中，0D=V0F2+F2=V22+22=22 12. 【答案】(1) 证明：：AB是直径， 319 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠C=90°， OD‖lBC. .∠0EA=∠C=90°， OD⊥AC, .OD为半径， :.AE=EC; (2)2V13 【详解】(1)略 (2)解：：AE=EC,AE+EC=AC, 4=Bc=4C=x8=4, 设OA=OD=x,则OE=OD-DE=x-2, 在Rt△OAE中，根据勾股定理得：AE2+OE2=OA, 42+(x-2}2=x2, 解得：x=5, ∴.AB=20A=10. 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC=√AB2-AC2=6, 在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE=V√BC2+EC2=2V13. 13. 【答案】()证明：连接D0并延长交AC于点G,交⊙0于点H. H G B 为 的切线， D DF⊙O .∠ODF=90° :AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90° AD=CD .AD=CD, 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AH=CH, OH⊥AC, ∴四边形GDFC为矩形， .DF⊥CF (2)10 【详解】(1)略 (2)解：：CD=AD=4N5,DF=CG=AG=4, .CF=CD2-DF2=8, ∴.GD=CF=8 设A0=D0=x,则OG=8-x, 在Rt△40G中，4+(8-x=,解得x=5, .AB=2AO=10. 14. 【答案】(1)1 (2)3√2 【详解】(1)解：如图所示，过点O作OE⊥AB于点E,连接OA,OB,OC,OD D B 、9F 根据垂径定理得，点E为线段AB和CD的中点， DE=2CD=3,BE=24B=4, 2 .BD=BE-DE=4-3=1, 故答案为：1； (2)解：如图所示，过点O作OE⊥AB于点E,连接OA,OB,OC,OD, DB 519 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结合(1)得， 根据勾股定理得OE=VOB2-BE2=√25-16=3， ..OD=VOE2+DE2=9+9=32, ∴小圆的半径长为32 15, 【答案】(1)0B-2.4m (2)该混凝土管片的外圆弧半径为4.25m 【详解】(1)解：：OA=OD,OB=OC, OA OD ·OB0C’ .·∠AOD=∠BOC .△AOD∽aBOC, OA AD 3 ·OBBC4' 设OB=xm,则OA=(x-0.6)m, ,x-0.63 x4 解得：x=2.4, 经检验，x=2.4是原方程的根，即0B=2.4m. 答：OB的长为2.4m: (2)解：如图，设圆心为点O,连接OP、OM、OL、MP、OL与PM相交于点T, ,点L为MP的中点，OL为半径， .∠0TM=90° 由题意得，NQ与⊙O相切于点L,则OL⊥g, 而MN⊥Ng 四边形MNLT为矩形， 619 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'MT NL =2m,MN =TL=0.5m 设外半径为m,则0T=(-0.5)m 在Rt△OMT中，由勾股定理可得：OM2=OT2+MT2, 即r2=(-0.5)}2+22, 解得：r=4.25 答：该混凝土管片的外圆弧半径为4.25m. 16. 【答案】(1)50° (2) 解：①∠CMD是直径AB的回旋角，理由如下： D 3 2ōE B F CF⊥AB,AB过圆心O, .CE=EF,即AB垂直平分CF, ..MC=MF, 又，ME⊥CF, .∠1=∠2， 又∠2=∠3， ∴∠1=∠3， .∠CMD是直径AB的回旋角. ②回旋角∠CMD的度数与CD的度数相等，证明如下： 连接OD,OC D B 由①知：∠1=∠2=∠3， 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠CMD=180°-∠1-∠2=180°-2∠2， :∠F=90°-∠2， .∠CMD=2∠F, 又：∠COD=2LF, .∴.∠CMD=∠COD 又：CD的度数等于∠COD度数， ∴，回旋角∠CMD的度数与CD的度数相等. (3)4或6 【详解】(1)解：·∠DMC为直径AB的回旋角， ∴.∠AMD=∠BMC, 又：∠DMC=80°， ∠AMD=180°-80 =50°； 2 (2)略 (3)解：如图，过点D作DH⊥AB于点H,过点C作CG⊥AB于点G,连接OD,OC, H MO G :⊙0的直径AB=10 05 :OD= 由(2)②得回旋角∠CMD的度数与CD的度数相等， ∠C0D=90°， OC=OD .△COD为等腰直角三角形， .∠0DC=45°，CD=V20D=5√2， :△MCD的周长为12√2， .DM+MC=122-5v2=7V2, 在R1aDMC中，由勾股定理得DM2+MC2=50, 819 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DM+MC=72 DM2+MC2=50' DM=32[DM=42 解得MC=4N2或MC=3N2' ∠AMD=∠BMC, .∠AMD=∠BMC=45°， ∴.△DMH和△MCG都是等腰直角三角形， 当DM=3V2,MC=4W2时，点M在A0上， :DH-HIM-DM-3.MG-CG-CM 2 =4 2 在R1ADHO中HO=VOD2-DH2=4, :AH=AO-HO=1,AM=AH+HM=4, 当DM=4V2,MC=3V2时，点M在B0上，同理可得BM=4, ∴.AM=AB-BM=6, 综上所述：AM的长度为4或6. 919