3.2.2 圆心角（第2课时）（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 练习围绕“圆心角”第2课时，按“基础应用—技能提升—综合拓展—创新挑战”分层，通过选择、填空、证明、作图等题型，实现从单一知识点到综合应用的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|弧与角、弧与弦的关系|7道选择/填空题，选自多地期末题，直接应用圆心角定理| |技能提升|作图与证明|6道解答题，含尺规作图（如作角平分线）与简单推理，强化动手与逻辑思维| |综合拓展|综合计算与应用|13道填空/解答题，结合直径、折叠等情境，涉及弧长、半径计算，体现模型意识| |创新挑战|动态最值问题|6道解答题，含折叠动态点、最短路径等，发展空间观念与创新意识|

3.2.2 圆心角（第2课时） 题型一：根据弧相等得角相等求解 1．（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 2．（2026·山东青岛·一模）如图，已知是的直径，点C，D在上，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，则，由得，则，由，得，即可由求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴点O在上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弦，弧，圆心角的关系，熟练掌握关系和定理是解题的关键． 先根据点是的中点，推出，再运用圆的性质和三角形的内角和性质求解即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ， ， ． 故选：D． 4．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，是半圆的直径，，是弧的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据已知得出，根据是弧的中点，即可求得的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴ ∵是弧的中点， ∴ 故选：D． 5．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知是的弦，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质． 根据弧、弦、圆心角之间的关系，可得，从而得到，再根据等边对等角的性质求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 故选：B． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧与圆心角的关系，熟知同圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 根据平角的定义得到，根据同圆中等弧所对的圆心角相等计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧瓶下半部分的平面示意图，若为的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟知等弧所对的圆心角相等是正确解决本题的关键． 根据即可得出． 【详解】解：D为的中点， ， ． 故选：A． 题型二：根据弧相等得弦相等求解 1．（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）将半径为的如图折叠，折痕长为，为折叠后的中点，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．延长交于点D，交于点E，连接、、、，根据圆心角、弧、弦、的关系由得到，可以判断是的垂直平分线，则，再利用勾股定理求出，所以，然后利用点C和点D关于对称得出，最后计算即可得出答案． 【详解】解：延长交于点D，交于点E，连接、、、，如图， ∵C为折叠后的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，, ∴， ∵沿折叠得到，， ∴点C和点D关于对称， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2026·浙江温州·二模）如图，等腰内接于，，点是的中点，连接，．若，，则的半径长为_______． 【答案】 【分析】连接，连接并延长交于点，交于点，设，设的半径长为，分别在中，中，中，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：连接，连接并延长交于点，交于点，则：， ∵，点是的中点， ∴，垂直平分， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴设，则，， ∴， 设的半径长为，则， 在中，由勾股定理，得， 解得（舍去）或， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得（负值舍去）； ∴. 3．（25-26九年级上·内蒙古兴安·期中）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 如图，取弧的中点，利用得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用三角形三边的关系得，于是有． 【详解】解：如图，取弧的中点，则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（2025·广西南宁·一模）图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为______． 【答案】 【分析】本题考查圆的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质；首先根据对称与等腰三角形的三线合一得到，再由勾股定理求得半径的长，进而得到，解题即可． 【详解】解 与关于直线对称， ，且， 与的半径相等， 设半径为， ， 由勾股定理可知，即， 解得， ， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，如果，那么______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了四量关系定理，取的中点D，连接，，得出根据，得出，从而得出，即可求出，从而得出答案． 【详解】解：取的中点D，连接，，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且，若，则弧的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了弦与圆心角的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质；取的中点，连接，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，进而根据弦与圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， 即弧的度数为； 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，，则________． 【答案】/73度 【分析】本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质．根据等弧所对的弦相等求得，从而判定是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角；最后由三角形的内角和定理求的度数即可． 【详解】解∶∵在中，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴； 又， ∴． 故答案为：． 题型三：弧、弦、圆心角的证明与尺规作图 1．（2026·河南周口·模拟预测）如图，是的直径，点P为外一点，交于点E． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线交于点C．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用尺规作图作出的平分线即可； （2）利用角平分线的定义求得，即可，利用即可证明． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： ； （2）证明：如图， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·河南洛阳·三模）如图，是的直径，点在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图形中，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】1）作交于点，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出，进而得出，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 3．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，射线交一圆于点，射线交该圆于点，且． (1)求证： (2)利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法）求证：平分 【答案】(1)证明：如图，作，于Q，连接，，， ∵， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ． ， ， ，即； (2)解：作图如下： 证明：， ， ， 是的垂直平分线， ， ． 平分． 【分析】（1）作，于Q，连接，，，证，由，得后得证； （2）按照要求作出图形，根据得，由得得证． 【详解】（1）略 （2）略 4．（2026·安徽阜阳·二模）内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； (2)在图2中的圆上找一点，使得平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接，由勾股定理及其逆定理可知； （2）取格点，连接，此时交于一点I，作直线，交于点F，连接，此时点F为优弧的中点，则，则，可得到平分． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点F即为所求： 5．（2026·福建泉州·二模）如图，四边形内接于，． (1)在上求作点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，是的中点，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) 解：如图，点E为所求作的点： (2) 证明：，， 四边形是平行四边形， 是的中点， ， 四边形是菱形． 【分析】（1）以为圆心，长为半径作弧，交于点，可得，易得四边形是平行四边形，即可得到； （2）根据已知条件得出，再根据四边形是平行四边形，即可得证； 【详解】（1）略 （2）略 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，A为上一点． (1)尺规作图：作的内接正方形；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若的中点为E，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查弧、弦、圆心角关系，正方形的判定，尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）作直径，再作的垂直平分线交于，则得到答案； （2）根据弧，弦关系由可证明，又因为，则可证明，则题目可解． 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求． 连接并延长，交于点，则为直径，再作的垂直平分线交于，则， 则四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为正方形． （2）证明：如图， 四边形是的内接正方形， ， ， 是的中点， ， ， ∴， ． 题型四：利用弧、弦、圆心角的关系证明 1．（25-26九年级上·全国·阶段检测）如图，是的两条弦，点分别在弧、弧上，且是的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了同圆中弧、弦的关系，掌握在同圆中等弦对等弧，等弧对等弦是解题的关键． 首先由是的中点，得出，再由根据等弦对等弧得出，然后由等式的性质和等弧对等弦证出结论． 【详解】证明：是的中点， ， ， ， ， ． 2．（2025·广东广州·二模）如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， ∵在中，为的中点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，根据等弧所对的圆心角相等得，证明，再根据全等三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【详解】略 3．如图，，C、D是以O为圆心的的三等分点，连接分别交于点E，F．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了弧，弦和圆周角的关系，等角对等边，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 连接，根据得出的度数，由等腰三角形的性质求出的度数，根据等角对等边可得出，同理可得，再根据，由此可得出结论． 【详解】证明：连接， ∵在中，半径，C、D为以O为圆心的弧的三等分点， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，同理， ∵C，D是的三等分点， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，点在上，，．求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系，先由得，由得，则，求出，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25九年级下·广东茂名·阶段检测）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是上的点，，分别交，于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由圆中弦、弧和圆心角的关系得到，再由圆的半径相等，结合两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证； （2）由等腰三角形性质得到，，再结合（1）中，即可得到，从而由两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ； ； （2）证明：， ，， 由（1）知， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆中弦、弧和圆心角的关系，圆的基本性质，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记圆的性质及三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 7．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 解：，理由如下， 证明：过点作直径，如图， ，，是的半径，， ， 点D，E分别是，的中点，， ， 在和中， ， ， ； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质． （1）根据弧与圆心角的关系，可得，又由点D，E分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得； （2）由得到，推出，再得到，则． 【详解】（1）略 （2）略 8．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知：如图，是的直径，、是上两点，，，垂足分别为、，弧弧，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，连接、，根据题意，利用判定，即可求证． 【详解】证明：如图所示，连接、 ， 弧弧， ， ， ， ， ． 题型五：利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，是的两条弦，于P，于Q． （1）如果，那么__________，__________，__________； （2）如果，那么__________，__________，__________； （3）如果，那么__________，__________，__________； （4）如果，那么__________，__________，__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦、弦心距的关系，熟记圆心角、弧、弦、弦心距的关系是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系求解即可． 【详解】解：（1）∵，于P，于Q， ∴，，， 故答案为：，，，； （2）∵，于P，于Q， ∴，，， 故答案为：，，； （3）∵，于P，于Q， ∴，，， 故答案为：，，； （4）∵，于P，于Q， ∴，，， 故答案为：，，． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知的一条弦把圆的周长分成的两个部分，则弦所对的弧的度数为_________． 【答案】或 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，分优弧和劣弧两种情况，结合比例关系进行求解即可． 【详解】解：∵的一条弦把圆的周长分成的两个部分， ∴弦对应的圆心角的度数为：， ∴弦所对的劣弧的度数为，所对的优弧的度数为：， 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦所对的圆心角的度数为 _____，这条弦的长度为 ______． 【答案】 /90度 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，根据一条弦分为部分，则分圆心角也为两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵一条弦分为两部分， ∴这条弦所对的圆心角的度数为，这条弦的长度为． 故答案为：，． 4．已知上依次有四个点A、B、C、D，如果，那么弧所对的圆心角的度数为______________． 【答案】/108度 【分析】本题考查了圆心角；根据四条弧对的圆心角为，弧所对的圆心角占即可求解． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，大圆半径是小圆半径的两倍，如果大圆将小圆截成弧长相等的两部分，那么小圆将大圆截成的优弧与劣弧的长度比为__________． 【答案】 【分析】此题考查了圆心角和弧之间的关系，等边三角形的判定和性质等知识．设大圆与小圆相交于点,连接，根据大圆将小圆截成弧长相等的两部分得到是小圆的直径，由大圆半径是小圆半径的两倍得到，则是等边三角形，得到，即可根据同圆中圆心角的度数和弧长之间的关系求出答案． 【详解】解：如图，设大圆与小圆相交于点,连接， ∵大圆将小圆截成弧长相等的两部分， ∴是小圆的直径， ∵大圆半径是小圆半径的两倍， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴小圆将大圆截成的优弧与劣弧的度数比为， ∴小圆将大圆截成的优弧与劣弧的长度比为． 故答案为： 6．如果一个半径为 厘米的圆的面积恰好与一个半径为 厘米的扇形面积相等．那么这个扇形的圆心角度数为____． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆和扇形的面积计算. 设这个扇形的圆心角度数为，利用圆和扇形的面积公式得出方程，求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 7．如图，AB，CD是的两条弦． （1）如果，那么________，________． （2）如果，那么________，________． （3）如果，那么________，________． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等．再将文字语言转化成符号语言即可． 【详解】解：（1）如果，那么，； 故答案为：，； （2）如果，那么，； 故答案为：，； （3）如果，那么，． 故答案为：，． 题型六：弧、弦、圆心角的关系综合解答 1．（2026·江苏南京·一模）如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证； （2）连接、、、，作交于点，结合弧、弦、圆心角的关系证明，结合三线合一定理证明过点，设，，结合勾股定理推出后即可求得的半径． 【详解】（1）证：， ， 即， ． （2）解：连接、、、，作交于点， ， ， 即， ， 是中线， 即， 又中，， ， 故过点， 设，， 中，， 中，， ， ， ， ， 代入， 解得， 即的半径为． 【点睛】本题考查的知识点是弧、弦、圆心角的关系、三线合一定理、勾股定理，解题关键是结合三线合一定理证明过点． 2．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，内接于，是直径，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了弧与弦的关系、线段垂直平分线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握弧与弦的关系是解题关键． （1）连接，先根据弧与弦的关系可得，再得出垂直平分，由此即可得； （2）连接，先求出，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴． （2）解：如图，连接， ∵垂直平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴． 3．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的直径，点C，E都在上，，，交于点D，延长至点F，使，连接． (1)求证：． (2)若的直径是4，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，如图， ， ， ， ， ， 而， 为等边三角形， ， ， ； (2)． 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）连接，如图，利用得到，则可判定为等边三角形，接着证明，然后根据等边三角形的性质得到结论； （2）先利用勾股定理计算出，然后在中利用勾股定理计算． 【详解】（1） 略 （2）的直径是4， ， 在中，， 在中，． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知的半径为3，弦AB，CD所对的圆心角分别是，．若与互补，弦，求弦AB的长． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，利用等角的补角相等得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：如图，延长交于点T，连接． ，， ， ． ， ，， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，解题的关键是应用圆的性质和勾股定理解决问题． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查计算圆心角度数，三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，再利用内角和定理计算出，继而求出本题答案； （2）作，根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，利用等积法求出，再利用勾股定理即可计算出本题答案． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知是的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．若点C是的中点． (1)求的度数； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据三线合一得到，再根据等弧所对圆心角相等得到，推出，即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 题型一：圆心角中最值问题 1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图：在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的折叠性质、弧与圆心角的关系、勾股定理，补全折叠后的圆并确定最小情况，结合弧的圆心角推导与勾股定理建立方程是解题的关键． 补全弧所在的圆及圆心，连接，，，，由三角形任意两边之差小于第三边得当，，三点共线时最小，所对圆心角的度数为，所对圆心角的度数为，再设半径为，利用勾股定理列方程求解，即可求出． 【详解】解：如图，补全弧所在的圆及圆心，连接，，，， 由三角形任意两边之差小于第三边，得当，，三点共线时最小，设所对圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为， ∵， ∴所对圆心角的度数为， 由折叠得所对圆心角的度数为， ∴所对圆心角的度数为， ∵点为中点， ∴所对圆心角的度数为， ∴所对圆心角的度数为，即， 设半圆的半径为，则由对折可得，， 在中， ， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是_____________． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，，．根据轴对称的性质得到，，进而可知，，根据勾股定理求出，可知，进而可求周长的最小值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，，． ∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴，， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴周长的最小值， 故答案为：3． 3．（24-25九年级下·广东中山·阶段检测）如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理．作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，， ．根据轴对称的性质得到，，进而可知，，根据勾股定理求出，可知，进而可求周长的最小值． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，， ． ∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴，， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∴周长的最小值， 故答案为：． 4．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆中最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：∵， ， ∵为的中点， ， 在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图， ， ， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∴的周长， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图所示，在扇形中，，半径，点F在上，且．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查弧与圆心角的关系，线段最小值问题，等边三角形的判定及性质，解题的关键是明确当，，共线时，的值最小，此时． 连接，，结合题意得，再求出当，，共线时，的值最小，此时，得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ，， ， ∵E为的中点， ， ， ， 当，，共线时，的值最小，如图， 此时，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，则， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．连接，，由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，设的弧度为，求出的弧度为，再设半径为r，列方程求解即可． 【详解】解：补全弧所在的圆及圆心，连接，，， 由三角形任意两边之差小于第三边得，当共线时最小，即， 设的弧度为， 的弧度为：， ， 的弧度为：， 由折叠得，的弧度为， 的弧度为：， 点为弧中点， 的弧度为：， 的弧度为：， 即所对圆心角 ， 设半圆的半径为，则由对折可得：， ∵， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去） ， 故答案为：． 1．（2026·福建泉州·二模）如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证明 实现角度转化，从而求得 的度数． 【详解】如图，作于，作于， 平分 在与中 2．（2026·广东广州·二模）如图，，是上的两点，为劣弧的中点，，若，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点，根据弦、弧、圆心角的关系得出和为等边三角形，进而得出四边形是菱形，根据菱形的性质，结合勾股定理分别求出、的长，利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵为劣弧的中点， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∵， ∴， ∵， ∴和为等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 3．（2026·云南玉溪·一模）如图，点A，B，C，D都在上，，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角，弧，弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ，，，． 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知锐角，如图： （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A． B．若 则 C． D． 【答案】D 【分析】连接，由作法得，则根据圆周角、弧、弦的关系可对A进行判断；当时，为等边三角形，则，于是根据圆周角、弧、弦的关系可对B进行判断；根据圆周角定理直接对C进行判断；根据两点之间线段最短可对D进行判断． 【详解】解：连接， 由作法得， ， 所以A正确； ， 当时，为等边三角形， ， ， 所以B正确； ， ， ， 所以C正确； ， ， 所以D错误． 5．（2026·四川南充·一模）如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接，连接交于点，根据轴对称的性质得出的最小值为的长度，求出相关角的度数，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，连接交于点， ∴，， 此时，的最小值为的长度， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 即的最小值为． 6．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，是的直径，、、是的弦，且，则________． 【答案】 【分析】连接，由得到，根据，得到，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 7．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据题意，则，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径， 又∵点是的中点， ∴是整圆的，即， ∴， ∵， ∴． 8．（2026·江苏南京·二模）图（1）中圆形台球桌面的俯视图如图（2）所示，记圆心为O，6个等分圆周的球洞为A，B，C，D，E，F．P是的中点，一个球从点P处开始，按图示方向撞到桌边上的点Q处，反弹一次后撞到桌边上的点M处，再反弹一次后落入球洞F中，在此过程中有，，则的度数是_______°． 【答案】25 【分析】连接、、，先求出，设，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，，，结合，即可求解． 【详解】解：连接、、， ∵A，B，C，D，E，F是的六等分点， ∴， ∵P是的中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数是． 9．（2026·陕西西安·一模）如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】连接，首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，进而可知，再根据“弧、弦和圆心角的关系”可得，然后在中，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 10．（25-26九年级下·广东佛山·阶段检测）如图，是的直径，为弦，的平分线交于点，过点的的切线交的延长线于点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先由角平分线定理得到，再由直角三角形全等的判定定理证明，得到，再由圆中弦、弧和圆周角的关系得出，再由直角三角形全等的判定定理证得，得出即可得证． 【详解】证明：过点作于点，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 11．（2026九年级·吉林·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，三个格点都在上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图①中画出的圆心，并在弦上方的圆弧上画点，使得； (2)点在上，，在图②中画出所有满足条件的点． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了圆的基本性质、垂径定理和弧与弦的关系，掌握利用网格找垂直平分线确定圆心，根据弧相等找对应弦端点是解题的关键． （1）利用网格中弦的垂直平分线（格线）找到圆心，再作交圆弧于； （2）根据弧相等则弦相等，利用网格平移，找到与构成等弧的点． 【详解】（1）解：点及点如答图①所示． （2）解：点，如答图②所示． 12．（25-26九年级上·云南大理·期中）如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 【分析】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积计算，熟练掌握圆的弧与圆心角的关系、全等三角形判定定理是解题的关键． （1）通过连接辅助线 ，利用圆的半径相等及弧中点对应的圆心角相等，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而证得线段相等； （2）先确定相关角的度数，结合勾股定理求出三角形的高，再利用三角形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：连接，如图： 为的中点， ， ，分别为半径，的中点，， ， 在和中， ， ． （2）解：如图：过点作于点， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ． 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.2.2圆心角（第2课时） 根据弧相等得角相等求解 根据弧相等得弦相等求解 孤、弦、圆心角的证明与尺规作图 ①基础达标题 利用弧、弦、圆心角的关系证明 利用弧、弦、圆心角的关系求解 孤、弦、圆心角的关系综合解答 。圆心角 ②能力提升题 圆心角中最值问题 3拓展培优题 高分冲刺题型 基础达标题 题型一：根据孤相等得角相等求解 1.(2026:山西临汾三模)如图，A0,C0是⊙O的半径，B是AC的中点，连接AB,BC,点D在BC的 延长线上.若∠OCD=130°，则∠AOC的度数为() A.160° B.130° c.100° D.80° 2.(2026山东青岛一模)如图，己知AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，∠ABC=66°，BC=CD 则∠ABD的度数为() 1/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.39 B.40 C.42° D.44° 3.(25-26九年级上贵州黔西南期末)如图，在⊙O中，点A是BC的中点，∠AOB=50°，则∠OBC 的度数为()· B A.25° B.30° C.35° D.40° 4.(25-26九年级上·浙江嘉兴阶段检测)如图，AB是半圆O的直径，∠BOC=80°，D是弧AC的中点， 则∠AOD的度数是() D A.35° B.40° C.45° D.50° 5.(25-26九年级上陕西榆林期末)如图，已知AB,CD是⊙O的弦，且AB=CD,若△BOD=84°， 则△ACO的度数是() D A.50° B.48° C.44° D.42o 6.(25-26九年级上陕西榆林期末)如图，AB是⊙O的直径，AC=CD=DE,∠BOE=75°，则 ∠AOC的度数是() 2/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.40° B.35° C.30 D.25° 7.（25-26九年级上辽宁铁岭期末)图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧瓶下半部分的平面示意图， 若D为AB的中点，∠AOB=100°，则∠AOD的度数为() D 图1 图2 A.50° B.40° C.30° D.20° 题型二：根据弧相等得弦相等求解 1.（25-26九年级上，广西软州阶段检测）将半径为10的⊙0如图折叠，折痕AB长为16：C为折叠后AB 的中点，则OC的长为() C -- A.1 B.2 c.3 D.2 2.(2026浙江温州.二模)如图，等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC,点D是AB的中点，连接AD, BD.若AD=6,AC-号则O0的年径长为 BC 2 3/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 B 3.(25-26九年级上·内蒙古兴安期中)如图，在⊙O中，满足AB=2CD,则下列对弦AB与弦CD大小 关系表述为一 D B 4.(2025广西南宁.一模)图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图.AC与BC 关于直线CD成轴对称，AB长4m,CD长3m,且AC,BC所在圆的圆心O1,O2落在线段AB上，则 0102长为m. O D O B 图1 图2 5.(24-25九年级上内蒙古呼和浩特期中)如图，在⊙O中，如果AB=2AC,那么AB 2AC. (填“>”、“=”或“<”) 0 B 6.(24-25九年级上山东威海期末)如图，BC是半圆的直径，点A,D在半圆上，且AB=AD,若 ∠B=56°，则弧AD的度数为°. 4/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 7.(24-25九年级上江苏扬州阶段检测)如图，在⊙O中，AC=AB,∠A=34°，则∠ABC= B 题型三：弧、弦、圆心角的证明与尺规作图 1.(2026河南周口模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，点P为⊙O外一点，PA交⊙O于点E. A E (1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠PAB的平分线交⊙O于点C.(保留作图痕迹，不写作法) (2)连接EC、OE、OC、BC,求证：△OBC≌△OEC. 2.(2026河南洛阳三模)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上. A B (1)请用无刻度的直尺和圆规过点B作OC的平行线，交⊙O于点D(不写作法，保留作图痕迹)； 5/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在(1)所作图形中，连接CD,求证：AC=CD, 3.(24-25九年级下.广东广州期中)如图，射线AM交一圆于点B,C,射线AN交该圆于点D,E,且 BC=DE. B D E M (1)求证：AC=AE (2)利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F(保留作图痕迹，不写 作法)求证：EF平分∠CEN 4.(2026安徽阜阳二模)△ABC内接于⊙O,且点A,B,C,O均在格点上.只用无刻度的直尺，在给 定的网格中按要求画图. B 图1 图2 (1)在图1中找一个格点D(点D不与点C重合)，画出∠ACD,使∠ACD=90°： (2)在图2中的圆上找一点F,使得BF平分∠ABC 5.(2026福建泉州二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,ABCD 0 B (1)在AB上求作点E,使得CE‖AD;(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 6/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2在(1)的条件下，D是AC的中点，求证：四边形ADCE是菱形， 6.(2025九年级上全国专题练习)如图，A为⊙0上一点. (1)尺规作图：作⊙O的内接正方形ABCD;(不写作法，保留作图痕迹) (2)若CD的中点为E,连接AE,BE,求证：AE=BE. 题型四：利用孤、弦、圆心角的关系证明 1.(25-26九年级上.全国阶段检测)如图，MB、MD是⊙O的两条弦，点A、C分别在弧MB、弧 MD上，且AB=CD,M是AC的中点.求证：MB=MD M 0 D 2.(2025广东广州二模)如图，在⊙O中，C为AB的中点，CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E.求证： OD=OE B 3.如图，∠AOB=90,C、D是以O为圆心的AB的三等分点，连接AB分别交0C,OD于点E,R 求证：AE=BF=CD 7/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 4.(25-26九年级上江苏南京期中)如图，点A,B,C,D,E在⊙O上，AB‖CD,BC‖DE,BC=CD. 求证AB=DE. E B D 5.(24-25九年级下.广东茂名阶段检测)如图，D,E分别是⊙O的半径OA,OB上的点，且 CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,CD=CE.求证：AC=CB. 6.(24-25九年级上山东泰安期末)如图，A,B,C,D是⊙O上的点，AC=BD,AC,BD分别交OD, OC于点N,M.求证： B (1)∠A=∠D (2CM=DN' 7.(24-25九年级上江苏南京期中)如图，OA,OB是⊙O的半径，且AC=BC,弦CM,CN分别经 过OA,OB的中点D,E. 8/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B (1)求证：CD=CE: (2)求证：CM=CN. 8.(24-25九年级上江苏镇江阶段检测)已知：如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点， CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M、N,弧AC=弧BD,求证：AM=BN. 入 题型五：利用弧、弦、圆心角的关系求解 1.(24-25九年级下.江苏南京开学考试)如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OP⊥AB于P,OQ⊥CD 于Q (1)如果AB=CD,那么 (2)如果AB=CD,那么 (3)如果∠AOB=∠COD,那么 (4)如果OP=OQ,那么 2.(24-25九年级上江苏宿迁阶段检测)已知⊙O的一条弦AB把圆的周长分成1：5的两个部分，则弦 AB所对的弧的度数为 9/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26九年级上江苏常州阶段检测)若⊙O的半径为3c,一条弦分⊙O为1：3两部分，这条弦所 对的圆心角的度数为，这条弦的长度为 4.己知⊙O上依次有四个点A、B、C、D,如果AB:BC:CD:DA=1:2:3:4,那么弧AC所对的圆心角 的度数为 5.(25-26九年级上浙江台州期末)如图，大圆半径是小圆半径的两倍，如果大圆将小圆截成弧长相等 的两部分，那么小圆将大圆截成的优弧与劣弧的长度比为 6.如果一个半径为2厘米的圆的面积恰好与一个半径为4厘米的扇形面积相等.那么这个扇形的圆心 角度数为· 7.如图，AB,CD是⊙O的两条弦. B D (1)如果AB=CD,那么 (2)如果AB=CD,那么 (3)如果∠AOB=∠COD,那么 题型六：弧、弦、圆心角的关系综合解答 1.（2026江苏南京-模)如图，点A:BC,D:E在⊙0上，且BC=CD=DE=EA D 0. B 10/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：AD=CE; (2)若AB=2,CE=3,求⊙O的半径. 2.(25-26九年级上，北京大兴.期末)如图，△ABC内接于⊙O,AD是⊙O直径，AD交BC于点E, BD=CD' 连接CD (1)求证：AD⊥LBC: (2)若∠ADC=75°，BC=4,求AE的长， 3.(25-26九年级上浙江·课后作业)如图，AB是⊙O的直径，点C,E都在⊙O上，OC⊥AB, CE=2AE,DE‖AB交OC于点D,延长OC至点F,使FC=OC,连接EF. (1)求证：CD=OD (2)若⊙O的直径是4，求EF的长. 4.（2025九年级全国专题练习)如图，已知⊙O的半径为3，弦AB,CD所对的圆心角分别是∠AOB, ∠COD.若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4,求弦AB的长 B 5.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)如图，△ABC中，∠C=90°，以AC为半径的⊙C与AB相交 于点D. 11/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)若∠B=35°，求AD的度数 (2)若AC=3,BC=4,求DB的长. 6.(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与弦BD交于点E,且 OD⊥AC,垂足为点F.若点C是BD的中点. D E (1)求∠AOD的度数； (2)若AB=8,求DF的值； B 能力提升题 题型一：圆心角中最值问题 1.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)如图：在半圆o中，C是半圆上的一个点，将一沿弦AC折叠 AC 交直径AB于点D:点E是AD的中点，连接OE,若OE的最小值为2：则AB=一， 2.(2025九年级上·全国专题练习)如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧 12/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AN的中点，点P是直径MN上一动点.若MN=22,AB=1,则△PAB周长的最小值是 M O 3.(24-25九年级下·广东中山阶段检测)如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是 为弧AN的中点，点P是直径MN上动点.老MN=22。AB=5,则△BB用长的最小值是 4.(2024河南驻马店三模)如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，BO=2,C为BO的中点，D为AB 上一点，且2BD=AD,连接AC,DC,在OC绕点O旋转的过程中，当CD取最小值时，△ACO的周长 为一 B 5.(24-25九年级上·陕西渭南·期末)如图所示，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=4,点F在 AB上，且BF=2AF.点C、D分别在线段OA、OB上，CD=4,E为CD的中点，连接EF.在CD滑动 过程中(CD长度始终保持不变)，当EF取最小值时，BD的长为一· 13/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E ▣ 6.(24-25九年级上·江苏南京阶段检测)如图，在半圆O中，C是半圆上的一个点，将AC沿弦AC折叠 交直径AB于点D,点E是AD的中点，连接OE,若OE的最小值为V2-1,则AB=一· 拓展培优题 1.(2026福建泉州二模)如图，⊙O的弦AC、BD的延长线相交于点P,AC=BD,若∠OPB=20°， 则∠BOC的度数是() D A.100° B.120 C.130° D.140° 2.(2026广东广州二模)如图，A,B是⊙O上的两点，C为劣弧AB的中点，∠ACB=120°，若 OA=2,则四边形OACB的面积为() 14/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.3 B.23 c.3V3 D.43 3.(2026云南玉溪一模)如图，点A,B,C,D都在⊙O上，∠AOB=∠COD,下列说法一定正确 的是() D A.AB=AD B.AB=BC C.AB=CD D·AD=BC 4.（25-26九年级上浙江绍兴期中)已知锐角∠AOB,如图： (1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心，OC长为半径作弧PQ,交射线OB于点D,连接CD: (2)分别以点C,D为圆心，CD长为半径作弧，交弧PQ于点M,N: (3)连接ON,MN. 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是() A.∠DON=∠COD B.若ON=MN·则∠AOB=20° C.MN CD D.MN=3CD 5.(2026-四川南充.一模)如图，在⊙0中，∠AOB=60,点C为AB的中点，点D是半径0A上一动 AB' 点.若OA=1,则BD+CD的最小值为() 15/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B O D A A.1 B.2 c.3 D.5 6.(25-26九年级下.全国.单元复习)如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且 BC=CD=DA,则∠BOD=. D 7.(2026陕西咸阳·模拟预测)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径，点D是AC的中点， ∠BOD=140°，则∠BAC的度数为 D B 8.(2026江苏南京二模)图(1)中圆形台球桌面的俯视图如图(2)所示，记圆心为O,6个等分圆周 的球洞为A,B,C,D,E,F.P是AF的中点，一个球从点P处开始，按图示方向撞到桌边上的点Q处， 反弹一次后撞到桌边上的点M处，再反弹一次后落入球洞F中，在此过程中有∠OQM=∠OQP, ∠OMF=∠OMQ,则∠PQO的度数是. 16/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MA DO (1) (2) 9.(2026陕西西安一模)如图，AB,CD为⊙O的直径，点E为AD的中点，连接DE,BC,若 ∠B=36°，则∠CDE的度数为 A D 10.(25-26九年级下广东佛山阶段检测)如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O 于点D,过点D的⊙O的切线交AC的延长线于点E,且AE⊥ED.求证：AE+CE=AB, 11.(2026九年级·吉林.专题练习)如图是由小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点， A,B,C三个格点都在⊙O上.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示. B B 图① 图② (1)在图①中画出⊙O的圆心O,并在弦BC上方的圆弧上画点D,使得∠AOD=90°： (2)点E在⊙O上，CE=AB,在图②中画出所有满足条件的点E. 12.(25-26九年级上云南大理期中)如图，已知D,E分别为半径OA,OB的中点，C为AB的中点. 17/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B (1)求证：CD=CE; (2)若∠AOB=120°，OA=6,求△OAC面积. 18/18