第十四章 全等三角形 单元检测（A／B 双卷）-2026-2027学年人教版八年级上册数学

八年级上册 第十四章 全等三角形 单元检测·A／B双卷 保密★启用前 第十四章 全等三角形 单元检测（A／B 双卷） 人教版数学八年级上册 （试卷总分：A卷120分＋B卷120分　建议用时：每卷100分钟　测试范围：第十四章 全等三角形） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请在规定位置写清学校、姓名、班级和考号。 2．考试范围：人教版（2024）八年级上册第十四章 全等三角形（14.1～14.3）。 3．本卷由A卷（基础达标）与B卷（能力提升）组成，两卷分别编号，满分各120分，可分两次完成。 4．请按题号在对应区域内作答，写在区域外的答案无效。 命题说明本卷考查：全等形与全等三角形、全等三角形的性质、判定：边边边（SSS）、判定：边角边（SAS）、判定：角边角（ASA）、判定：角角边（AAS）、判定：斜边、直角边（HL）、判定条件的选择与辨析等（A、B两卷，每卷 10 选／5 填／8 解，各 120 分） 考点清单 全等三角形一章共三节：全等三角形及其性质、三角形全等的判定、角的平分线。下表左栏是由这三节拆出的十二个考查点，右边两栏列出A卷、B卷里考查它的题号。A卷以认清对应关系、选对判定方法为主，B卷侧重构造全等、分类讨论与动点分段。做完一卷后对照此表统计错题落在哪几行，错得集中的考查点先回看课本例题，再重做同一行里另一卷的题目。 本章考点 A卷题号 B卷题号 全等形与全等三角形 7 11 全等三角形的性质 1、7～9、13、16 1、5、8、11、16 判定：边边边（SSS） 3、20 3、4、10、18 判定：边角边（SAS） 10、17、22 2、10、18、20 判定：角边角（ASA） 4、21 17、21 判定：角角边（AAS） 14、19～21 14、18～20 判定：斜边、直角边（HL） 6、8、18、20、23 10、12、16、22 判定条件的选择与辨析 2 7、9、22 尺规作图 3、11、17、23 3、17、18、22 角的平分线的性质 5、12、17、23 15、23 角的平分线的判定 11、15、18、23 6、13、15 全等三角形的综合应用 9、10、14、15、19、22 9、10、21、23 本章知识要点速览 证明全等三角形的题目，每一步都要写出依据，而依据就是下面这十条定义、基本事实和定理。复习时先遮住右栏，自己说出每条的完整内容和适用条件，特别留意“夹角”“对边”“角的内部”这些限定词，再对照右栏订正。 序号 知识要点 掌握要求 1 全等形与全等三角形 能够完全重合的两个图形叫作全等形，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形；一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变了，形状、大小都没有改变 2 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等；记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上；全等三角形的周长、面积也分别相等 3 边边边（SSS） 三边分别相等的两个三角形全等；三角形的稳定性可以用它来说明，已知三边可以用尺规作出三角形 4 边角边（SAS） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 5 角边角（ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 6 角角边（AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，它由“角边角”和三角形的内角和定理推出 7 斜边、直角边（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；直角三角形也可以用前面的判定方法 8 尺规作图 作一个角等于已知角（依据“边边边”）、过直线外一点作已知直线的平行线、按条件作三角形、作已知角的平分线 9 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等；“距离”指点到直线的垂线段的长 10 角的平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；三角形的三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等 A 卷　基础达标（满分120分） 评卷人 得分 A卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，两块形状、大小完全相同的三角形瓷砖，△ABC≌△EFD（点A，B，C分别与点E，F，D对应）。若∠A＝64°，∠D＝47°，则∠F的度数是(____)。 A．111° B．69° C．116° D．133° 2．（本题3分）按下列各组条件画△ABC，任何两个人画出的三角形都一定全等的是(____)。 A．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝37° B．∠A＝53°，∠B＝59°，∠C＝68° C．AB＝5.5cm，∠A＝41°，∠B＝73° D．AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝8cm 3．（本题3分）如图，已知直线MN和直线MN外一点P。过点P画一条直线交MN于点Q，点R在QP的延长线上，再用直尺和圆规在点P处作∠RPS＝∠PQN，得到直线PS∥MN（图中的弧线是作图痕迹）。这样作图用到的依据是(____)。 A．作角等于已知角用“边边边”，再由“同位角相等，两直线平行” B．作角等于已知角用“边角边”，再由“同位角相等，两直线平行” C．作角等于已知角用“边边边”，再由“内错角相等，两直线平行” D．作角等于已知角用“角边角”，再由“同旁内角互补，两直线平行” 4．（本题3分）如图，小刚站在河岸上的点B处，眼睛D在点B的正上方（DB⊥AC）。他压低帽檐，使视线DA恰好落在对岸的点A处；然后保持姿势转过身，视线DC落在本岸的点C处，这时∠ADB＝∠CDB，量出BC的长就得到河宽AB。这样做的依据是(____)。 A．边边边 B．边角边 C．斜边、直角边 D．角边角 5．（本题3分）如图，射线OP是∠AOB的平分线，从点P向OA画垂线段PM（M为垂足），又把点P与射线OB上的点N连起来，PN与OB不垂直。已知PM＝3.6，关于线段PN的长，下列判断正确的是(____)。 A．等于3.6 B．大于3.6 C．小于3.6 D．无法确定 6．（本题3分）如图，Rt△ABC与Rt△DEF的直角顶点分别是C，F。下面四组相等关系中，添上后恰好符合“斜边、直角边”判定格式的一组是(____)。 A．AB＝DE，BC＝EF B．AC＝DF，BC＝EF C．AB＝DE，∠A＝∠D D．AC＝DF，∠A＝∠D 7．（本题3分）如图，△ADE是由△ABC绕着顶点A转动一定角度得到的，转动后顶点B落到了边BC上的点D处。已知∠B＝71°，∠BAD＝38°，那么∠CDE等于(____)。 A．71° B．109° C．38° D．142° 8．（本题3分）如图，一块四边形木板ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD＝4.8dm，CD＝6.5dm，则这块木板的面积为(____)（单位：dm²）。 A．15.6 B．62.4 C．23.04 D．31.2 9．（本题3分）在△ABC中，∠CAB＝34°，∠CBA＝57°，且△ABC的三边长互不相等。点D与点C不重合，且以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则∠CAD的度数为(____)。 A．68° B．68°或91° C．68°或91°或23° D．91°或23° 10．（本题3分）如图，A(4，0)，B(0，7)是两条坐标轴上的点，O为坐标原点。在y轴上取点C，在x轴上取点D（都不与O重合），使以O，C，D为顶点的三角形与△AOB全等。除△AOB本身外，这样的三角形COD共有(____)。 A．3个 B．7个 C．8个 D．4个 评卷人 得分 A卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图是作∠AOB平分线OC的过程：先以顶点O为圆心画弧，与角的两边分别交于M，N，量得MN＝4.6cm；接着以M，N为圆心、用同一个半径画弧，要让这两段弧相交于两点，这个半径必须大于________cm。 12．（本题3分）如图，Rt△ABC的斜边为AB，BC＝7.5，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，且BD比DE长2.1，则DE＝________。 13．（本题3分）如图，四边形ABCD的对角线BD把它分成两个三角形，且△ABD≌△CDB（点A，B，D分别与点C，D，B对应）。若AB＝5.8，AD＝3.9，则四边形ABCD的周长为________。 14．（本题3分）如图，AD是△ABC的中线，分别过点B，C向直线AD作垂线，垂足为E，F（点F在AD的延长线上）。若AD＝6.5，BE＝3.4，则△ABC的面积为________。 15．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝8.4，AC＝5.6，BC＝7。点P在直线BC上，且点P到直线AB，AC的距离相等，则BP的长为________。 评卷人 得分 A卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）按要求计算： (1)已知△PQR≌△STU，点P，Q，R分别与点S，T，U对应，PQ＝6.3cm，TU＝7.9cm，SU＝5.4cm，求△PQR的周长； (2)已知△KLM≌△XYZ，点K，L，M分别与点X，Y，Z对应，∠K＝68°，且∠Y比∠Z的2倍多16°，求∠L的度数。 17．（本题9分）如图，已知线段a，b和∠α。 (1)用直尺和圆规作△ABC，使BC＝a，BA＝b，∠ABC＝∠α（保留作图痕迹，不写作法）； (2)再用直尺和圆规把(1)中的∠ABC二等分，所画射线与AC相交于点D（保留作图痕迹）； (3)若a＝4.2cm，b＝5.6cm，所作△ABC的面积为9.8cm²，求点D到边AB的距离。 18．（本题9分）如图，点D在∠BAC的内部，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点M在线段AE上，点N在AC上且点F在点A，N之间，DM＝DN，EM＝FN，连接AD。 (1)求证：AD平分∠BAC； (2)若∠BAC＝64°，求∠MDN的度数。 19．（本题9分）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，点D，E分别在BC，AC上，且DF＝DC。 (1)求证：BF＝AC； (2)若BD＝6.5，DC＝2.5，求AF的长和△ABF的面积。 20．（本题9分）如图，墙面OA与水平地面OB互相垂直，梯子AB的上端点A靠在墙面上，下端点B离墙脚点O的距离为0.7m。梯子下滑后停在CD处（点C在墙面上，点D在地面上），这时上端点C到地面的高度OC正好也是0.7m，AB与CD交于点G。 (1)求证：GB＝GC； (2)连接OG，求证：OG平分∠AOD； (3)若OA＝2.4m，求梯子底端滑动的距离BD。 21．（本题10分）如图是一种剪叉式升降台的侧面示意图，支架AC与BD相交于点O，平台AB与地面CD平行（AB∥CD），点O是AC的中点，点C，D在水平地面上。 (1)求证：点O是BD的中点； (2)过点O作EF⊥CD于点F，交AB于点E，求证：OE＝OF； (3)升降台升到某一高度时，测得EF＝2.3m，AB＝1.8m，求点O离地面的高度OF和△COD的面积。 22．（本题10分）如图，D是△ABC的边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°。延长FD到点G，使DG＝DF，连接BG，EG。 (1)求证：EG＝EF； (2)求证：BE＋CF＞EF； (3)若∠BAC＝76°，求∠EBG的度数。 23．（本题13分）如图，某公园有一块三角形花园ABC，AB＝25m，BC＝28m，CA＝17m，面积为210m²。园林部门计划在花园内建一座凉亭P，使凉亭到三条边AB，BC，CA的距离都相等。 (1)用直尺和圆规在图中确定凉亭P的位置（只需保留画弧的痕迹）； (2)求凉亭P到每条边的距离； (3)从凉亭P向三条边各修一条最短的石子小路，每米造价为45元，求修这三条小路的总费用； (4)设(3)中通向边AB，AC的两条小路的端点分别为D，F，求AD的长。 B 卷　能力提升（满分120分） 评卷人 得分 B卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，已知△ABC与△AED全等，其中B，E是对应顶点，C，D是对应顶点，且点E在边AC上。若AB＝4.5，AD＝7，则CE的长为(____)。 A．2.5 B．11.5 C．3.5 D．5.75 2．（本题3分）如图是用卡钳测量一个零件内槽宽度的示意图：两根钢条AC，BD在它们的中点O处连接，把A，B两端放在内槽的两壁上，量得C，D两端间的距离为3.8cm。已知这个零件的外宽为5.4cm，槽两侧的壁厚相同，则每侧的壁厚为(____)（单位：cm）。 A．0.8 B．1.6 C．4.6 D．1.9 3．（本题3分）如图，小明在∠AOB的右侧用直尺和圆规作出了∠A′O′B′，图中的弧线是他留下的作图痕迹。由这些痕迹可以判断，他作的是(____)。 A．作已知角的平分线 B．过一点作已知直线的平行线 C．已知三边作三角形 D．作一个角等于已知角 4．（本题3分）下列生活中的做法，可以用“边边边”来解释的是(____)。 A．在岸边取两点，量出以这两点为顶点、分别指向对岸渡口的两个角和两点间的距离，就能确定渡口的位置 B．三根木条钉成三角形木架后，木架的形状不再改变 C．两块直角三角尺的斜边和一条直角边分别相等，它们能完全重合 D．折叠椅两根等长的支架在中点处铰接，两脚间的距离等于椅面的宽 5．（本题3分）如图，△ABC≌△DEF，点A，B，C分别与点D，E，F对应，△ABC中AB边上的高CH＝4.8，DE＝7.5，则△DEF的面积为(____)。 A．36 B．11.52 C．9 D．18 6．（本题3分）已知∠AOB和一点P，PM⊥直线OA于点M，PN⊥直线OB于点N。下列推断正确的是(____)。 A．若点P在∠AOB的内部，且PM＝PN，则射线OP平分∠AOB B．若PM＝PN，则不论点P在什么位置，射线OP都平分∠AOB C．若射线OP平分∠AOB，点E，F分别在OA，OB上，则PE＝PF D．若射线OP平分∠AOB，则OP＝PM 7．（本题3分）在△ABC和△DEF中，给出下列四个条件：①AB＝DE；②BC＝EF；③∠B＝∠E；④∠C＝∠F。从中任取三个作为已知条件，能判定△ABC≌△DEF的取法共有(____)。 A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 8．（本题3分）已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边长分别为7，9，10，△DEF的三边长分别为7，2x－3，x＋4，则x的值为(____)。 A．6.5 B．6 C．5 D．6或6.5 9．（本题3分）下面四个关于两个三角形的命题：①若有两组边分别相等，且其中一组相等的边所对的角是相等的钝角，则它们全等；②若有两组边分别相等，且第三边上的中线也相等，则它们全等；③若有两组角分别相等，且有一组边相等，则它们全等；④若有两组角分别相等，且其中一组等角各自的平分线（从角的顶点到对边）长度相同，则它们全等。其中所有正确命题的序号是(____)。 A．④ B．①④ C．①②④ D．①②③④ 10．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC于点F，点D，E在BC上，且BD＝CE，点G在线段AF上，连接AD，AE，GD，GE。图中全等三角形共有(____)。 A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 评卷人 得分 B卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，将△ABC沿射线BC的方向平移2.3个单位长度得到△DEF，点B，E，C，F在同一条直线上。若AB＝4.4，BC＝6.1，AC＝5.3，则四边形ABFD的周长为________。 12．（本题3分）如图，电线杆AB与水平地面垂直，从杆上的点A向两侧拉两根等长的钢索AC，AD，固定点C，D与杆脚B在同一条直线上。若BC＝2.35m，则C，D两点间的距离为________m。 13．（本题3分）如图，点P在△ABC的内部，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，且PE＝PF。若∠ABC＝46°，∠ACB＝72°，则∠BAP＝________°。 14．（本题3分）如图，BD，CE是△ABC的两条高，D在AC上，E在AB上，且BD＝CE。已知AB＝7.3，AE＝2.1，则CD＝________。 15．（本题3分）如图，点P与点A在直线BC的两侧，点P到直线AB，BC，CA的距离都等于12。若AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的面积为________。 评卷人 得分 B卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）按要求计算： (1)在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AB＝DE，BC＝EF，且∠A比∠B大18°，求∠D和∠E的度数； (2)已知△GHK≌△G′H′K′，点G，H，K分别与点G′，H′，K′对应，△GHK的周长为24.6cm，GH＝8.3cm，H′K′＝9.1cm，求G′K′的长。 17．（本题9分）如图，已知∠α，∠β和线段a。 (1)用直尺和圆规作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，且∠A的对边BC＝a（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在(1)所作的图中，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD，交BC于点D（保留作图痕迹）； (3)若∠α＝48°，∠β＝70°，求∠ADC的度数。 18．（本题9分）如图，小明用下面的方法作∠AOB的平分线：在射线OA上依次截取OM，OC，在射线OB上依次截取ON，OD，使ON＝OM，OD＝OC，连接MD，NC，MD与NC相交于点P，作射线OP。 (1)求证：△OMD≌△ONC； (2)求证：射线OP平分∠AOB。 19．（本题9分）如图，AB，CD是两根竖直的旗杆，AB＝CD，旗杆的底端B，D与它们的影子顶端E，F在同一条水平直线上。同一时刻太阳光线是平行的，即AE∥CF。 (1)求证：BE＝DF； (2)若BF＝15.8m，ED＝6.2m，求影长BE。 20．（本题9分）把两个全等的三角形纸片△ABC和△A′B′C′拼在一起，使边B′C′与边BC重合，点A与点A′在直线BC的两侧，连接AA′交直线BC于点O。 (1)如图1，若点B′与点B重合，点C′与点C重合，求证：AO＝A′O，且AA′⊥BC； (2)如图2，若点B′与点C重合，点C′与点B重合，求证：AO＝A′O，BO＝CO； (3)在(1)的拼法中，若AA′＝6.4，BC＝8.5，求四边形ABA′C的面积。 21．（本题10分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，AD⊥BE于点D，延长AD交BC于点F。 (1)求证：AD＝FD，AB＝FB； (2)若AB＝6.4，BC＝10.5，求CF的长； (3)若∠BAC比∠C大58°，求∠DAC的度数。 22．（本题10分）如图1，已知△ABC（其中∠B，∠ACB都是锐角，AC＜AB）；如图2，∠DEM＝∠ABC，且DE＝AB。 (1)在图2的射线EM上用直尺和圆规作点F，使DF＝AC，且△DEF与△ABC不全等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：∠ACB与∠DFE互补； (3)若∠ABC＝43°，∠ACB＝66°，求∠EDF的度数。 23．（本题13分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝21，BC＝20，AB＝29，AD平分∠BAC交BC于点D。点P从点C出发，先沿CA运动到点A，再沿AB运动到点B，速度为每秒1个单位长度，到达点B时停止，设运动时间为t秒。 (1)求CD的长； (2)求△ABD的面积； (3)当t为何值时，△ADP的面积等于△ABC面积的？ 附：A卷命题双向细目表 A卷依教材14.1～14.3的顺序命题：全等三角形的对应关系、五种判定方法、尺规作图的依据与作法、角的平分线的性质与判定各有专题，解答题以测河宽、梯子滑动、剪叉式升降台、花园凉亭等实际情境考查证明与计算。题目按基础、中档、较难的顺序排列，第23题综合考查角的平分线的判定、面积分割与造价计算。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 全等三角形的对应角（按对应顶点） 基础 推理能力 2 选择题 3 判定三角形全等的条件（唯一确定） 基础 抽象能力 3 选择题 3 尺规作图的依据（过直线外一点作平行线） 基础 几何直观 4 选择题 3 角边角的实际应用（帽檐测河宽） 基础 推理能力 5 选择题 3 角的平分线的性质（距离与斜线段） 基础 推理能力 6 选择题 3 斜边、直角边的条件辨析 基础 推理能力 7 选择题 3 全等三角形的性质与外角（旋转） 中档 推理能力 8 选择题 3 斜边、直角边与面积（四边形木板） 中档 推理能力 9 选择题 3 以公共边构造全等三角形（分类讨论） 难 模型观念 10 选择题 3 坐标系中的全等三角形（分类计数） 难 模型观念 11 填空题 3 尺规作角的平分线（作弧的半径） 基础 几何直观 12 填空题 3 角的平分线的性质（线段和） 基础 推理能力 13 填空题 3 全等三角形的对应边（求四边形周长） 基础 推理能力 14 填空题 3 中线与垂线构造全等（求面积） 中档 推理能力 15 填空题 3 到角两边距离相等的点（面积比与分类） 难 推理能力 16 解答题 6 全等三角形的对应边与对应角（计算） 基础 推理能力 17 解答题 9 尺规作三角形与角的平分线（作图） 基础 几何直观 18 解答题 9 斜边、直角边与角的平分线的判定（证明） 中档 推理能力 19 解答题 9 角角边与高（证明线段相等） 中档 推理能力 20 解答题 9 斜边、直角边的实际应用（梯子滑动） 中档 推理能力 21 解答题 10 角边角的实际应用（剪叉式升降台） 中档 推理能力 22 解答题 10 倍长构造全等（线段不等关系） 难 推理能力 23 解答题 13 角的平分线的实际应用（花园凉亭） 难 推理能力 附：B卷命题双向细目表 B卷在同一知识范围内提高思维要求：判定条件的组合与推广、图中全等三角形的计数、到三边所在直线距离相等的点、两种拼法的分类证明、角的平分线与垂线构造全等、两边及一边的对角的反例作图都要先分析再推理，第23题以动点沿三角形两边运动考查分段讨论与角的平分线的性质。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 全等三角形的对应边（求线段差） 基础 推理能力 2 选择题 3 边角边的实际应用（卡钳测壁厚） 基础 推理能力 3 选择题 3 尺规作图痕迹的识别（作角等于已知角） 基础 几何直观 4 选择题 3 边边边与三角形的稳定性 基础 推理能力 5 选择题 3 全等三角形的面积（对应边上的高） 基础 推理能力 6 选择题 3 角的平分线的判定（条件辨析） 基础 推理能力 7 选择题 3 判定条件的组合（任取三个） 中档 抽象能力 8 选择题 3 全等三角形对应边的分类讨论 中档 推理能力 9 选择题 3 全等判定的推广命题（构造全等） 难 模型观念 10 选择题 3 图形中全等三角形的个数（多次全等） 难 模型观念 11 填空题 3 平移中的全等三角形（求周长） 基础 几何直观 12 填空题 3 斜边、直角边的实际应用（钢索） 基础 推理能力 13 填空题 3 角的平分线的判定（求角） 基础 推理能力 14 填空题 3 角角边（两条高相等） 中档 推理能力 15 填空题 3 到三角形三边所在直线距离相等的点（面积） 难 推理能力 16 解答题 6 直角三角形全等与方程（计算） 基础 推理能力 17 解答题 9 尺规作三角形（两角及其中一角的对边） 基础 几何直观 18 解答题 9 多次全等（验证角平分线的作法） 中档 推理能力 19 解答题 9 角角边的实际应用（旗杆影长） 中档 推理能力 20 解答题 9 两种拼法中的全等（分类证明） 中档 推理能力 21 解答题 10 角边角（角的平分线与垂线） 中档 推理能力 22 解答题 10 两边及一边的对角（构造不全等的三角形） 难 抽象能力 23 解答题 13 动点问题中的分段面积（角的平分线） 难 推理能力 　参考答案与解析 　客观题答案速查 A卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D B A C D A卷题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 C B 2.3 2.7 19.4 22.1 4.2或21 B卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D B D A C B B卷题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 C C 20.4 4.7 31 5.2 84 　A卷　一、选择题 1．【答案】B 【解析】【分析】按全等式中字母的位置找对应角：点E与点A对应，∠E＝∠A，再在△EFD中用内角和求∠F。 【详解】∵△ABC≌△EFD，点E与点A是对应顶点， ∴∠E＝∠A＝64°（全等三角形的对应角相等）， 在△EFD中，∠F＝180°－∠E－∠D＝180°－64°－47°＝69°。 所以选B。 A项求成了与∠F相邻的外角，用64°＋47°，按此错法真算得111°；C项只减去了∠E，用180°－64°，按此错法真算得116°；D项只减去了∠D，用180°－47°，按此错法真算得133°。 【方法点拨】全等式中字母的位置就是对应关系；两个已知角不在同一个三角形时，先用对应角把它们“搬”到同一个三角形里。 2．【答案】C 【解析】【分析】判断能否唯一确定三角形，就是看给出的条件是否满足某个判定三角形全等的方法；同时要检验条件能否构成三角形。 【详解】C组给出的是两角和它们的夹边，由基本事实“角边角”，按这组条件画出的三角形都全等； A组是两边及其中一边的对角，画出的三角形不一定全等；B组是三个角，形状相同但大小可以不同； D组中3＋4＝7＜8，三条线段围不成三角形。 所以选C。 A项“AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝37°”：两边及其中一边的对角确定时，∠C可能是锐角也可能是钝角，能画出两个不全等的三角形；B项“∠A＝53°，∠B＝59°，∠C＝68°”：三个角确定时只确定了形状，三角形的大小可以不同；D项“AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝8cm”：3＋4＜8，这三条线段根本围不成三角形。 【方法点拨】“按条件画三角形是否唯一”就是问这组条件能否判定全等；给三条边时还要先检验能否组成三角形。 3．【答案】A 【解析】【分析】作一个角等于已知角，实质是作出两个三边分别相等的三角形；再看相等的两角是哪种位置关系的角。 【详解】以Q，P为圆心用同样的半径画弧，再以弧与QP的交点为圆心、以前一段弦长为半径画弧，相当于作出两个三边分别相等的三角形，由“边边边”得∠RPS＝∠PQN； ∠RPS与∠PQN是直线PS，MN被直线QR所截得到的同位角，由“同位角相等，两直线平行”得PS∥MN。 所以选A。 B项“作角等于已知角用“边角边”，再由“同位角相等，两直线平行””：作角时两次画弧截出的是三条对应边，依据不是“边角边”；C项“作角等于已知角用“边边边”，再由“内错角相等，两直线平行””：∠RPS与∠PQN在截线PQ的同侧、位置相同，是同位角而不是内错角；D项“作角等于已知角用“角边角”，再由“同旁内角互补，两直线平行””：痕迹中没有先作两个角再量夹边的步骤；两角相等也不是同旁内角互补。 【方法点拨】尺规作图题问依据时，分两步说：作出的角为什么相等（全等的哪种判定），相等的角又怎样推出结论。 4．【答案】D 【解析】【分析】找出△ADB与△CDB中已经相等的元素：一组角（视线与身体的夹角）、公共边DB、一组直角。 【详解】在△ADB和△CDB中，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB（公共边），∠DBA＝∠DBC＝90°， DB是这两组相等的角的夹边，∴△ADB≌△CDB（ASA），∴AB＝CB（全等三角形的对应边相等）。 所以选D。 A项“边边边”：相等的边只有公共边DB一组，不满足三边分别相等；B项“边角边”：只有一组边相等，没有两边和夹角的条件；C项“斜边、直角边”：斜边DA与DC是否相等并不知道，不能用“斜边、直角边”。 【方法点拨】实际测量问题先找出两个三角形中相等的角和边，再看相等的边是不是两角的夹边。 5．【答案】B 【解析】【分析】先由角的平分线的性质得到点P到OB的距离，再比较斜线段PN与这段距离的大小。 【详解】过点P作PK⊥OB于点K，∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PK⊥OB， ∴PK＝PM＝3.6（角的平分线上的点到角两边的距离相等）； PN与OB不垂直，PN是斜线段，由“垂线段最短”得PN＞PK＝3.6。 所以选B。 A项“等于3.6”：点P到OB的距离是3.6，但PN不是垂线段，不能直接等于3.6；C项“小于3.6”：把“垂线段最短”记反了，以为斜线段比垂线段短；D项“无法确定”：没有想到用角的平分线的性质先求出点P到OB的距离。 【方法点拨】角的平分线的性质只管“距离”（垂线段），遇到斜线段要和垂线段比较长短。 6．【答案】A 【解析】【分析】“斜边、直角边”要求两个直角三角形的斜边相等，并且有一条直角边相等。 【详解】AB，DE分别是两个直角三角形的斜边，BC，EF是直角边， 添加AB＝DE，BC＝EF后，由“斜边、直角边”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF； 其余三组条件虽然也能判定全等，但所用的方法不是“斜边、直角边”。 所以选A。 B项“AC＝DF，BC＝EF”：两条直角边分别相等，是把直角当夹角用“边角边”；C项“AB＝DE，∠A＝∠D”：斜边和一个锐角分别相等，用的是“角角边”；D项“AC＝DF，∠A＝∠D”：一条直角边和它相邻的锐角分别相等，用的是“角边角”。 【方法点拨】直角三角形全等的判定有五种，“斜边、直角边”的特点是必须用到斜边。 7．【答案】C 【解析】【分析】由旋转得到全等，∠ADE与∠B是对应角；∠ADC是△ABD的外角；∠CDE是∠ADC去掉∠ADE的部分。 【详解】由旋转得△ABC≌△ADE，∴∠ADE＝∠B＝71°（全等三角形的对应角相等）； ∠ADC是△ABD的外角，∠ADC＝∠B＋∠BAD＝71°＋38°＝109°， ∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝109°－71°＝38°。 所以选C。 A项误以为∠CDE与∠ADB相等，用180°－71°－38°，按此错法真算得71°；B项求成了∠ADC，用71°＋38°，按此错法真算得109°；D项求成了∠BDE，用180°－(71°＋38°－71°)，按此错法真算得142°。 【方法点拨】旋转前后的图形全等，对应角相等；再把所求角放进外角或角的和差关系中计算。 【易错提醒】∠ADE是∠B的对应角，等于71°；∠CDE是∠ADC中去掉∠ADE剩下的部分。 8．【答案】D 【解析】【分析】连接AC，把四边形分成两个直角三角形；它们有公共斜边AC和一组相等的直角边，先证全等得BC＝DC。 【详解】连接AC，在Rt△ABC和Rt△ADC中，AC＝AC（公共边），AB＝AD， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴BC＝DC＝6.5dm（全等三角形的对应边相等）， S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝½×4.8×6.5＋½×4.8×6.5＝31.2（dm²）。 所以选D。 A项只算了△ADC一块的面积，按此错法真算得15.6；B项两个直角三角形的面积都漏乘了½，按此错法真算得62.4；C项误以为BC＝AB＝4.8dm，用2×½×4.8×4.8，按此错法真算得23.04。 【方法点拨】求不规则图形的面积，先连线分割成三角形；缺少的边长往往可以由全等得到。 【易错提醒】BC没有直接给出，要由Rt△ABC≌Rt△ADC得BC＝DC＝6.5dm。 9．【答案】C 【解析】【分析】△ABC的三边长互不相等，公共边AB只能与AB对应；再按“A，B是否对调”“D与C在AB同侧还是两侧”分类。 【详解】∠ACB＝180°－34°－57°＝89°。∵△ABC的三边长互不相等，∴△ABD中与AB对应的只能是△ABC的边AB。 ①点A，B分别与点A，B对应：∠DAB＝∠CAB＝34°，D与C在AB两侧（同侧时D与C重合，舍去），∠CAD＝34°＋34°＝68°； ②点A，B分别与点B，A对应：∠DAB＝∠CBA＝57°，D与C在AB两侧时，∠CAD＝34°＋57°＝91°；D与C在AB同侧时，∠CAD＝57°－34°＝23°。 所以∠CAD＝68°或91°或23°。 所以选C。 A项“68°”：只考虑了点D与点C关于AB翻折的位置；B项“68°或91°”：漏掉了点D与点C在AB同侧的情况；D项“91°或23°”：漏掉了A，B不对调时的翻折位置。 【方法点拨】以公共边构造全等三角形时，先定对应关系（公共边的两个端点对不对调），再定第三个顶点在公共边的哪一侧。 【易错提醒】对应关系有“A对A”和“A对B”两种，每种里D又可能在AB的两侧或同侧，同侧且A对A时D就是C本身。 10．【答案】B 【解析】【分析】两个三角形都是以O为直角顶点的直角三角形，全等时两条直角边的长只能是4和7；再按C，D在正、负半轴上分类计数。 【详解】由“边角边”（直角为夹角），当两条直角边分别相等时两个直角三角形全等，所以OC，OD的长只能是7，4或4，7。 ①OC＝7，OD＝4：点C为(0，7)或(0，－7)，点D为(4，0)或(－4，0)，共2×2＝4种，去掉△AOB本身，有2×2－1＝3个； ②OC＝4，OD＝7：点C为(0，4)或(0，－4)，点D为(7，0)或(－7，0)，有2×2＝4个； 合计3＋2×2＝7（个）。 所以选B。 A项只考虑了OC＝7，OD＝4的情况，按此错法真算得3个；C项没有排除与△AOB重合的那一个，按此错法真算得8个；D项只考虑了OC＝4，OD＝7的情况，按此错法真算得4个。 【方法点拨】在坐标轴上找点构造全等时，先确定对应边的长度搭配，再考虑每个点在正、负半轴上的两种位置。 【易错提醒】OC，OD的长有两种搭配，每种搭配里点C，D又各有正、负两个位置；别忘了去掉△AOB本身。 　A卷　二、填空题 11．【答案】2.3 【解析】【分析】两弧相交于两点时，每个交点都与M，N组成三角形，由三角形的两边之和大于第三边求半径的范围。 【详解】设所取半径为r，两弧的一个交点为K，则KM＝KN＝r，K不在直线MN上，在△KMN中KM＋KN＞MN，即2r＞4.6， ∴r＞½×4.6＝2.3（cm）；当r＝2.3cm时两弧只在MN的中点处碰在一点，这一点落在线段MN上，作图时难以准确定位，所以教材要求半径大于½MN。 所以答案为2.3。 【方法点拨】尺规作图中每一步的限制条件（如“大于½MN”）都有原因，一般用三角形的三边关系解释。 12．【答案】2.7 【解析】【分析】由角的平分线的性质得DE＝DC，把“BD比DE长2.1”转化为BD与DC的差，再与BD＋DC＝BC联立。 【详解】∵AB是Rt△ABC的斜边，∴∠C＝90°，DC⊥AC。又AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE＝DC（角的平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∴BD－DC＝BD－DE＝2.1，又BD＋DC＝BC＝7.5， 两式相减得2DC＝7.5－2.1＝5.4，DC＝2.7，∴DE＝2.7。 所以答案为2.7。 【方法点拨】见到“角平分线＋垂线”，先用性质把一条垂线段换成另一条，再把条件集中到同一条线段上列式。 13．【答案】19.4 【解析】【分析】按对应顶点找对应边：AB对应CD，AD对应CB，再把四条边相加。 【详解】∵△ABD≌△CDB，∴CD＝AB＝5.8，CB＝AD＝3.9（全等三角形的对应边相等）， 四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝5.8＋3.9＋5.8＋3.9＝19.4。 所以答案为19.4。 【方法点拨】用对角线分成的两个全等三角形，对应边两两相等，四边形的周长等于两组对应边之和的2倍。 14．【答案】22.1 【解析】【分析】BE，CF分别是△ABD，△ACD中AD边上的高，先证△BDE≌△CDF得CF＝BE。 【详解】在△BDE和△CDF中，∠BED＝∠CFD＝90°，∠BDE＝∠CDF（对顶角相等），BD＝CD（中线的定义）， ∴△BDE≌△CDF（AAS），∴CF＝BE＝3.4（全等三角形的对应边相等）； S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝½×AD×BE＋½×AD×CF＝AD×BE＝6.5×3.4＝22.1。 所以答案为22.1。 【方法点拨】从中线两端向中线所在直线作垂线，会得到一对全等的直角三角形，两条垂线段相等。 【易错提醒】CF在AD的延长线上，但它仍是△ACD中AD边上的高，且与BE相等。 15．【答案】4.2或21 【解析】【分析】用面积转化：点P到AB，AC的距离相等，△ABP与△ACP的面积比等于AB∶AC；这两个三角形又同高（点A到直线BC的距离），面积比也等于BP∶CP。 【详解】设点P到直线AB，AC的距离都为h，S△ABP∶S△ACP＝(½×AB×h)∶(½×AC×h)＝AB∶AC＝8.4∶5.6＝3∶2（8.4÷5.6＝1.5）； 两个三角形都以点A到直线BC的距离为高，∴BP∶CP＝3∶2。 ①点P在线段BC上：BP＝7×＝4.2； ②点P在BC的延长线上：设CP＝x，则BP＝，－x＝7，解得x＝14，BP＝3×14÷2＝21； ③点P在CB的延长线上时BP＜CP，不可能有BP∶CP＝3∶2。 所以答案为4.2或21。 【方法点拨】到角两边距离相等时，可以把“距离”当作公共的高，用面积比把边的比转化为线段的比。 【易错提醒】点P在“直线”BC上，除了在线段BC上，还可能在BC的延长线上。 　A卷　三、解答题 16．【答案】（1）19.6cm；（2）∠L＝80° 【解析】【分析】(1)由对应顶点找对应边，QR＝TU，PR＝SU；(2)先由全等得∠X＝∠K，在△XYZ中用内角和列方程求∠Y，再由∠L＝∠Y得解。 【详解】(1)∵△PQR≌△STU，∴QR＝TU＝7.9cm，PR＝SU＝5.4cm（全等三角形的对应边相等）， △PQR的周长＝PQ＋QR＋PR＝6.3＋7.9＋5.4＝19.6（cm）。　……3分 (2)∵△KLM≌△XYZ，∴∠X＝∠K＝68°，∠L＝∠Y。设∠Z＝x°，则∠Y＝(2x＋16)°， 在△XYZ中，68＋(2x＋16)＋x＝180，解得x＝32，∠Y＝2×32°＋16°＝80°，∴∠L＝80°。　……3分 【方法点拨】先按对应顶点写出相等的边和角，再列算式或方程计算。 【评分说明】(1)写出两组对应边1分，求出周长2分；(2)得出∠X＝68°1分，列出方程1分，求出∠L 1分。 17．【答案】（1）作∠MBN＝∠α，在两边上截取BC＝a，BA＝b，连接AC；（2）按作角平分线的步骤作射线BD；（3）2cm 【解析】【分析】(1)先作∠MBN＝∠α，再在两边上截取BC＝a，BA＝b，由“边角边”，这样的三角形是唯一的；(3)点D在∠ABC的平分线上，到BA，BC的距离相等，用面积分割列方程。 【详解】(1)作法要点：作∠MBN＝∠α；在射线BM上截取BC＝a，在射线BN上截取BA＝b；连接AC，△ABC即为所求（两边和它们的夹角确定，由“边角边”知所作三角形唯一）。　……3分 (2)以点B为圆心、适当长为半径画弧，交BC，BA于两点，再分别以这两点为圆心、大于这两点间距离一半的长为半径画弧，两弧交于∠ABC内部一点， 过这一点作射线交AC于点D，BD即为所求（作图见题目下方的答案图）。　……2分 (3)过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF（角的平分线上的点到角两边的距离相等）。 S△ABC＝S△ABD＋S△CBD＝½×AB×DE＋½×BC×DF＝½×(5.6＋4.2)×DE， 即4.9DE＝9.8，DE＝2（cm），所以点D到边AB的距离是2cm。　……4分 【方法点拨】作三角形要先判断已知条件属于哪种判定，按“先作角、再截边”的顺序作图；角平分线上的点到两边距离相等，可用面积求距离。 【评分说明】(1)作角1分，截取两边1分，连线成三角形1分；(2)作图痕迹完整2分；(3)写出DE＝DF 1分，列出面积关系2分，求出距离1分。 18．【答案】（1）证明见解析；（2）∠MDN＝116° 【解析】【分析】(1)先由“斜边、直角边”证Rt△DEM≌Rt△DFN得DE＝DF，再用角的平分线的判定；(2)由同一对全等得∠EDM＝∠FDN，把∠MDN转化为∠EDF，再用直角三角形两锐角互余求∠EDF。 【详解】(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEM＝∠DFN＝90°。 在Rt△DEM和Rt△DFN中，DM＝DN，EM＝FN，∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL）， ∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等）。 又DE⊥AB，DF⊥AC，点D在∠BAC的内部，∴点D在∠BAC的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），即AD平分∠BAC。　……5分 (2)由(1)Rt△DEM≌Rt△DFN，得∠EDM＝∠FDN（全等三角形的对应角相等）。 ∵点M在线段AE上，点F在点A，N之间，∴∠MDN＝∠MDF＋∠FDN＝∠MDF＋∠EDM＝∠EDF。 在Rt△AED中，∠EDA＝90°－∠EAD；在Rt△AFD中，∠FDA＝90°－∠FAD， ∴∠EDF＝∠EDA＋∠FDA＝180°－(∠EAD＋∠FAD)＝180°－∠BAC＝180°－64°＝116°，即∠MDN＝116°。　……4分 【方法点拨】证明射线平分角，可以先证角内部的点到两边的距离相等，再用角的平分线的判定。 【评分说明】(1)证出Rt△DEM≌Rt△DFN 3分，得出DE＝DF 1分，由判定得出结论1分；(2)得出∠EDM＝∠FDN 1分，得出∠MDN＝∠EDF 1分，求出∠EDF 1分，结论1分。 【易错提醒】DM，DN是两个直角三角形的斜边；∠MDN比∠EDF少了∠EDM、多了∠FDN，这两个角相等，所以∠MDN＝∠EDF。 19．【答案】（1）证明见解析；（2）AF＝4，△ABF的面积为13 【解析】【分析】(1)△BDF与△ADC中已有DF＝DC和一组直角，再用“等角的余角相等”找一组锐角相等，由“角角边”证全等；(2)由全等得AD＝BD，AF＝AD－DF。 【详解】(1)∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝90°，∠AEF＝90°。 在△BDF中，∠DBF＋∠BFD＝90°；在△AEF中，∠EAF＋∠AFE＝90°， 又∠BFD＝∠AFE（对顶角相等），∴∠DBF＝∠DAC（等角的余角相等）。 在△BDF和△ADC中，∠DBF＝∠DAC，∠BDF＝∠ADC，DF＝DC，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴BF＝AC（全等三角形的对应边相等）。　……5分 (2)由(1)得AD＝BD＝6.5（全等三角形的对应边相等），又DF＝DC＝2.5， ∴AF＝AD－DF＝6.5－2.5＝4； S△ABF＝½×AF×BD＝½×4×6.5＝13。　……4分 【方法点拨】两条高相交时，常用“同角（等角）的余角相等”找出一组相等的锐角。 【评分说明】(1)得出∠DBF＝∠DAC 2分，写全全等条件并得出全等2分，得出结论1分；(2)求出AF 2分，求出面积2分。 【易错提醒】DF与DC是两个直角三角形中同一个锐角的对边；∠DBF＝∠DAC要借助对顶角和“等角的余角相等”得到。 20．【答案】（1）（2）证明见解析；（3）1.7m 【解析】【分析】(1)梯子长度不变给出斜边AB＝DC，OB＝OC是一组直角边，先由“斜边、直角边”得∠OAB＝∠ODC、OA＝OD，再用线段的差得AC＝DB，证△AGC≌△DGB；(2)用“边边边”证△OGC≌△OGB。 【详解】(1)梯子长度不变，∴AB＝DC。在Rt△AOB和Rt△DOC中，AB＝DC，OB＝OC， ∴Rt△AOB≌Rt△DOC（HL），∴OA＝OD，∠OAB＝∠ODC（全等三角形的对应边、对应角相等）， ∴AC＝OA－OC＝OD－OB＝DB（等式的性质）。 在△AGC和△DGB中，∠GAC＝∠GDB，∠AGC＝∠DGB（对顶角相等），AC＝DB， ∴△AGC≌△DGB（AAS），∴GC＝GB（全等三角形的对应边相等）。　……5分 (2)在△OGC和△OGB中，OC＝OB，GC＝GB，OG＝OG（公共边）， ∴△OGC≌△OGB（SSS），∴∠GOC＝∠GOB（全等三角形的对应角相等），即OG平分∠AOD。　……2分 (3)由(1)，OD＝OA＝2.4m，∴BD＝OD－OB＝2.4－0.7＝1.7（m）。　……2分 【方法点拨】梯子、钢索等长度不变的物体提供“斜边相等”，墙面与地面的垂直提供直角；第一次全等的结论常是下一次全等的条件。 【评分说明】(1)证出Rt△AOB≌Rt△DOC 2分，得出AC＝DB 1分，证出△AGC≌△DGB并得出结论2分；(2)证出△OGC≌△OGB并得出结论2分；(3)2分。 【易错提醒】梯子滑动前后长度不变，这是“斜边相等”的来源；AC＝DB要用OA＝OD与OC＝OB相减得到。 21．【答案】（1）（2）证明见解析；（3）OF＝1.15m，△COD的面积为1.035m² 【解析】【分析】(1)由平行得内错角∠OAB＝∠OCD，加上OA＝OC和对顶角，由“角边角”证△AOB≌△COD；(2)由平行得EF⊥AB，再由“角角边”证△AOE≌△COF。 【详解】(1)∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD（两直线平行，内错角相等）。∵点O是AC的中点，∴OA＝OC。 在△AOB和△COD中，∠OAB＝∠OCD，OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等）， ∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB＝OD（全等三角形的对应边相等），即点O是BD的中点。　……4分 (2)∵AB∥CD，EF⊥CD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°（两直线平行，内错角相等）。 在△AOE和△COF中，∠AEO＝∠CFO，∠AOE＝∠COF（对顶角相等），OA＝OC， ∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF。　……4分 (3)由(2)，OF＝½EF＝2.3÷2＝1.15（m）；由(1)的全等得CD＝AB＝1.8m， S△COD＝½×CD×OF＝½×1.8×1.15＝1.035（m²）。　……2分 【方法点拨】两条平行线被交叉的线段所截，内错角相等、对顶角相等，再加一组相等的边，由“角边角”得全等，进而得到中点或线段相等。 【评分说明】(1)得出∠OAB＝∠OCD 1分，证出全等2分，得出结论1分；(2)得出∠AEO＝90°1分，证出全等2分，得出结论1分；(3)OF与面积各1分。 【易错提醒】平行线给出一组内错角相等，OA＝OC夹在∠OAB与∠AOB之间，用的是“角边角”；EF同时垂直于AB和CD。 22．【答案】（1）（2）证明见解析；（3）104° 【解析】【分析】倍长FD后，△BDG与△CDF关于中点D成“边角边”，把CF移到BG；ED既垂直FG又平分FG，△EDG≌△EDF，把EF移到EG；三条线段集中到△BEG中用三边关系。 【详解】(1)∵∠EDF＝90°，点G在FD的延长线上，∴∠EDG＝180°－90°＝90°＝∠EDF。 在△EDG和△EDF中，ED＝ED（公共边），∠EDG＝∠EDF，DG＝DF， ∴△EDG≌△EDF（SAS），∴EG＝EF（全等三角形的对应边相等）。　……4分 (2)∵D是BC的中点，∴BD＝CD。在△BDG和△CDF中，BD＝CD，∠BDG＝∠CDF（对顶角相等），DG＝DF， ∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF。 在△BEG中，BE＋BG＞EG（三角形两边的和大于第三边），∴BE＋CF＞EF。　……3分 (3)由(2)得∠DBG＝∠C（全等三角形的对应角相等）， ∴∠EBG＝∠ABC＋∠DBG＝∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC＝180°－76°＝104°。　……3分 【方法点拨】见到中点，可把过中点的线段倍长，构造一对“边角边”全等，把分散的线段移到同一个三角形中。 【评分说明】(1)得出∠EDG＝∠EDF 1分，证出全等并得结论3分；(2)证出△BDG≌△CDF 2分，用三边关系得出结论1分；(3)得出∠DBG＝∠C 1分，求出∠EBG 2分。 【易错提醒】BE，CF，EF三条线段不在同一个三角形里，要用两次全等把它们集中到△BEG中；B，E，G不共线才能用三边关系。 23．【答案】（1）作∠BAC与∠ABC的平分线，交点即为P；（2）6m；（3）810元；（4）7m 【解析】【分析】到三边距离相等的点在两个内角的平分线上，作出两条角平分线的交点即可；再用“三个小三角形面积之和等于大三角形面积”求距离；(4)用“斜边、直角边”得到三组相等的线段后列方程。 【详解】(1)用直尺和圆规分别作∠BAC与∠ABC的平分线，两条平分线的交点就是凉亭P的位置（作图见题目下方的答案图）。 理由：P在∠BAC的平分线上，到AB，AC的距离相等；P在∠ABC的平分线上，到BA，BC的距离相等，所以P到三边的距离都相等。　……3分 (2)过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F，则PD＝PE＝PF，设为r m。连接PC， S△ABC＝S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝½×25r＋½×28r＋½×17r＝35r， 35r＝210，r＝6，即凉亭到每条边的距离都是6m。　……4分 (3)由“垂线段最短”，三条最短的小路就是PD，PE，PF，总长为3×6＝18（m）， 总费用为3×6×45＝810（元）。 答：修这三条小路的总费用为810元。　……2分 (4)在Rt△APD和Rt△APF中，AP＝AP，PD＝PF，∴Rt△APD≌Rt△APF（HL），AD＝AF； 同理BD＝BE，CE＝CF。设AD＝AF＝x m，则BE＝BD＝(25－x)m，CE＝CF＝(17－x)m， 由BE＋CE＝BC得(25－x)＋(17－x)＝28，解得x＝7，即AD＝7m。　……4分 【方法点拨】到三角形三边距离相等的点是角平分线的交点；用它向三边作垂线，能得到三对全等的直角三角形。 【评分说明】(1)作出两条角平分线并标出P 3分；(2)写出三条垂线段相等1分，列出面积关系2分，求出距离1分；(3)2分；(4)得出三组线段相等2分，列方程并求出AD 2分。 【易错提醒】到三边距离相等的点是两条内角平分线的交点，作两条就够；(4)中三组切分出的线段两两相等。 　B卷　一、选择题 1．【答案】A 【解析】【分析】由对应顶点得AE＝AB，AC＝AD，CE是AC去掉AE的部分。 【详解】∵△ABC≌△AED，∴AE＝AB＝4.5，AC＝AD＝7（全等三角形的对应边相等）， ∴CE＝AC－AE＝7－4.5＝2.5。 所以选A。 B项把AB与AD相加，按此错法真算得11.5；C项误以为点E是AC的中点，用7÷2，按此错法真算得3.5；D项用AB与AD的和的一半，按此错法真算得5.75。 【方法点拨】先把对应边写成等式，再在图中看所求线段是哪两条线段的差。 2．【答案】A 【解析】【分析】先由“边角边”证△AOB≌△COD，得内槽宽AB＝CD，再用外宽减内宽，两侧壁厚相同再除以2。 【详解】在△AOB和△COD中，OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD，∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB＝CD＝3.8cm； 每侧壁厚为(5.4－3.8)÷2＝0.8（cm）。 所以选A。 B项求出外宽与内宽的差后忘了除以2，按此错法真算得1.6；C项把外宽与内宽相加再除以2，按此错法真算得4.6；D项把内槽宽的一半当成壁厚，按此错法真算得1.9。 【方法点拨】卡钳利用两根钢条互相平分构成“边角边”，量出的外端距离就是内槽宽。 3．【答案】D 【解析】【分析】看痕迹的顺序：先在已知角上画弧得到C，D，再在新射线上用同样的半径画弧，最后用CD的长截出D′。 【详解】以O为圆心画弧交OA，OB于C，D；以O′为圆心、同样的半径画弧交O′A′于C′；再以C′为圆心、CD为半径画弧交前弧于D′，作射线O′B′。 这正是“作一个角等于已知角”的步骤，由△C′O′D′≌△COD（SSS）得∠A′O′B′＝∠AOB。 所以选D。 A项“作已知角的平分线”：痕迹中没有在角的内部作两弧交点再画射线的步骤；B项“过一点作已知直线的平行线”：痕迹中没有过已知点画截线再作同位角的步骤；C项“已知三边作三角形”：痕迹只确定了一个角的大小，没有依次截取三条线段。 【方法点拨】识别作图痕迹，看画弧的圆心和半径：以同样半径在两个角上画弧、再截弦长，是在作相等的角。 4．【答案】B 【解析】【分析】“边边边”说的是三边分别相等的两个三角形全等，也就是三角形的三边一确定，形状和大小就确定了。 【详解】三根木条钉成三角形后，三条边的长度确定，由“边边边”，它的形状和大小就完全确定，所以形状不再改变，这就是三角形的稳定性； 其余三种做法的依据分别是“角边角”“斜边、直角边”“边角边”。 所以选B。 A项“在岸边取两点，量出以这两点为顶点、分别指向对岸渡口的两个角和两点间的距离，就能确定渡口的位置”：量出的是两个角和它们的夹边，依据是“角边角”；C项“两块直角三角尺的斜边和一条直角边分别相等，它们能完全重合”：斜边和一条直角边分别相等，依据是“斜边、直角边”；D项“折叠椅两根等长的支架在中点处铰接，两脚间的距离等于椅面的宽”：两根支架在中点处交叉，相等的是两组边和它们的夹角（对顶角），依据是“边角边”。 【方法点拨】三角形的稳定性就是“边边边”的直观体现：三边确定，三角形的形状、大小就确定。 5．【答案】D 【解析】【分析】全等三角形的面积相等；△ABC的面积可以用对应边DE的长（等于AB）和AB边上的高CH计算。 【详解】∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE＝7.5（全等三角形的对应边相等），两个三角形能够完全重合，面积相等； S△DEF＝S△ABC＝½×AB×CH＝7.5×4.8÷2＝18。 所以选D。 A项面积公式漏乘了½，按此错法真算得36；B项把高当成了底，用½×4.8×4.8，按此错法真算得11.52；C项误以为△DEF的面积是△ABC的一半，按此错法真算得9。 【方法点拨】全等三角形的周长、面积都相等；对应边上的高也相等。 6．【答案】A 【解析】【分析】角的平分线的性质说的是“到两边的距离”（垂线段的长）相等；判定必须限定点在“角的内部”。 【详解】点P在∠AOB的内部，PM，PN分别是点P到OA，OB的距离，PM＝PN，由角的平分线的判定，点P在∠AOB的平分线上，A正确； B缺少“点P在角的内部”；C中PE，PF不一定是垂线段；D中OP是斜线段，由“垂线段最短”，OP＞PM。 所以选A。 B项“若PM＝PN，则不论点P在什么位置，射线OP都平分∠AOB”：漏掉了“点P在∠AOB的内部”这一条件：角的外部也有PM＝PN的点；C项“若射线OP平分∠AOB，点E，F分别在OA，OB上，则PE＝PF”：点到直线的距离指垂线段的长，E，F是任取的点，PE，PF不一定相等；D项“若射线OP平分∠AOB，则OP＝PM”：OP是斜线段，PM是垂线段，由“垂线段最短”，OP比PM长。 【方法点拨】性质与判定互为逆命题，判定要加上“角的内部”；距离一定指垂线段的长。 7．【答案】C 【解析】【分析】四个条件任取三个共4种取法，逐一对照判定方法：注意∠B是AB，BC的夹角，∠C是AB的对角。 【详解】①②③：两边和它们的夹角，由“边角边”可判定；①③④：两角和其中一角∠C的对边AB，由“角角边”可判定； ②③④：两角和它们的夹边BC，由“角边角”可判定；①②④：两边和其中一边的对角，不能判定。 所以能判定的取法有4－1＝3（种）。 所以选C。 A项只认出“边角边”一种，按此错法真算得1种；B项漏掉了①③④这种“角角边”的情况，按此错法真算得2种；D项把①②④（两边及其中一边的对角）也算作能判定，按此错法真算得4种。 【方法点拨】逐一列出所有组合，按“边角边、角边角、角角边、边边边”对照；“两边及一边的对角”不能判定。 【易错提醒】①②④是“两边及其中一边的对角”，不能判定；①③④中的AB是∠C的对边，属于“角角边”。 8．【答案】B 【解析】【分析】全等三角形的三边分别相等。△DEF中已有一边是7，另两边2x－3，x＋4要分别等于9，10，对应关系有两种，逐一检验。 【详解】①2x－3＝9，x＋4＝10：由第一个式子得x＝6，代入x＋4＝10，成立； ②2x－3＝10，x＋4＝9：由第一个式子得x＝6.5，由第二个式子得x＝5，矛盾，舍去。 所以x＝6。 所以选B。 A项“6.5”：由2x－3＝10求得x＝6.5，没有检验x＋4是否等于9；C项“5”：由x＋4＝9求得x＝5，没有检验2x－3是否等于10；D项“6或6.5”：两种对应都保留了，没有检验另一条边。 【方法点拨】对应关系不确定时要分类，每一类都要检验全部条件是否同时成立。 【易错提醒】对应关系不确定时两种都要试，而且两条边都要对得上，只满足一条的要舍去。 9．【答案】C 【解析】【分析】逐个构造：①过顶点向钝角的边作垂线，用两次直角三角形全等；②倍长中线；③看相等的边是不是对应边，找反例；④先用角平分线分出的小三角形全等。 【详解】①设AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′为钝角。作AH⊥BC交BC的延长线于H，A′H′⊥B′C′交B′C′的延长线于H′，由“角角边”得Rt△ACH≌Rt△A′C′H′，AH＝A′H′，CH＝C′H′， 再由“斜边、直角边”得Rt△ABH≌Rt△A′B′H′，BH＝B′H′，∴BC＝BH－CH＝B′C′，由“边边边”得两三角形全等，①正确； ②设AB＝A′B′，AC＝A′C′，中线AD＝A′D′。延长AD到E使DE＝AD，由“边角边”得△ADC≌△EDB，BE＝AC，∠E＝∠CAD；同样得B′E′＝A′C′，∠E′＝∠C′A′D′。 由“边边边”得△ABE≌△A′B′E′，∠BAD＝∠B′A′D′，∠E＝∠E′，∴∠BAC＝∠B′A′C′，再由“边角边”得两三角形全等，②正确； ③相等的那组边可能不是两组等角的对应边，例如一个三角形中两个等角的夹边与另一个三角形中某个等角的对边相等，这两个三角形不一定全等，③错误； ④设∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，平分线AD＝A′D′，则∠BAD＝∠B′A′D′，由“角角边”得△ABD≌△A′B′D′，AB＝A′B′，再由“角边角”得两三角形全等，④正确。 所以正确命题的序号是①②④。 所以选C。 A项“④”：只认可④，没有想到①②都能通过构造全等证明；B项“①④”：没有想到②可以“倍长中线”构造全等；D项“①②③④”：误以为③也成立，忽略了相等的边必须是对应边。 【方法点拨】判断推广的判定命题，能证明的用构造（作高、倍长中线、分割）化归到基本判定，不成立的举出反例。 【易错提醒】③中相等的边可能不是对应边；②要倍长中线把中线放进三角形。 10．【答案】C 【解析】【分析】按“先证哪一对、再用它的结论证下一对”的顺序逐对找，做到不重不漏。 【详解】①在Rt△ABF和Rt△ACF中，AB＝AC，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），BF＝CF，∠B＝∠C； ②DF＝BF－BD＝CF－CE＝EF，在△ADF和△AEF中，DF＝EF，∠AFD＝∠AFE，AF＝AF，∴△ADF≌△AEF（SAS）； ③在△GDF和△GEF中，DF＝EF，∠GFD＝∠GFE，GF＝GF，∴△GDF≌△GEF（SAS）； ④在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）； ⑤BE＝BD＋DE＝CE＋DE＝CD，同理△ABE≌△ACD（SAS）； ⑥由②③得AD＝AE，GD＝GE，又AG＝AG，∴△ADG≌△AEG（SSS）。 共6对（△ADE，△GDE，△ABC各自没有与之全等的三角形）。 所以选C。 A项漏掉了含点G的两对，按此错法真算得4对；B项漏掉了要用两次全等的结论才能得到的△ADG≌△AEG，按此错法真算得5对；D项把△ADE与△GDE也算作一对，按此错法真算得7对。 【方法点拨】数全等三角形要按推理顺序找：先找条件最直接的一对，再用它的结论找下一对。 【易错提醒】△ADG≌△AEG要同时用到②③两对全等的结论，最容易漏数；△ADE与△GDE大小不同，不全等。 　B卷　二、填空题 11．【答案】20.4 【解析】【分析】平移前后的两个三角形全等，DF＝AC；AD，CF都等于平移的距离；四边形的边是AB，BF，FD，DA。 【详解】平移前后△ABC≌△DEF，∴DF＝AC＝5.3（全等三角形的对应边相等），AD＝CF＝2.3， BF＝BC＋CF＝6.1＋2.3＝8.4， 四边形ABFD的周长＝AB＋BF＋FD＋DA＝4.4＋8.4＋5.3＋2.3＝20.4。 所以答案为20.4。 【方法点拨】平移得到的图形与原图形全等，对应点连线的长都等于平移的距离。 12．【答案】4.7 【解析】【分析】两根钢索是两个直角三角形的斜边，AB是公共直角边，由“斜边、直角边”得BD＝BC。 【详解】在Rt△ABC和Rt△ABD中，AC＝AD，AB＝AB（公共边），∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），∴BD＝BC＝2.35m， CD＝BC＋BD＝2×2.35＝4.7（m）。 所以答案为4.7。 【方法点拨】等长的钢索是斜边，与地面垂直的杆是公共直角边，由“斜边、直角边”可得两段地面距离相等。 13．【答案】31 【解析】【分析】点P在∠BAC的内部且到两边距离相等，所以点P在∠BAC的平分线上；再用内角和求∠BAC。 【详解】∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE＝PF，点P在∠BAC的内部，∴点P在∠BAC的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）， ∠BAC＝180°－46°－72°＝62°， ∴∠BAP＝½∠BAC＝62°÷2＝31°。 所以答案为31。 【方法点拨】角的内部一点到两边距离相等，这点就在角的平分线上，由此把所求角化为已知角的一半。 14．【答案】5.2 【解析】【分析】BD，CE是△ABD，△ACE中的直角边，这两个直角三角形还有公共角∠A，由“角角边”证全等，得AD＝AE，AC＝AB。 【详解】∵BD，CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°。在△ABD和△ACE中，∠ADB＝∠AEC，∠BAD＝∠CAE（公共角），BD＝CE， ∴△ABD≌△ACE（AAS），∴AD＝AE＝2.1，AC＝AB＝7.3（全等三角形的对应边相等）， CD＝AC－AD＝7.3－2.1＝5.2。 所以答案为5.2。 【方法点拨】两条高相等时，找含公共角的两个直角三角形，由“角角边”证全等。 【易错提醒】要找的是含公共角∠A的那一对三角形△ABD与△ACE，由它同时得到AC＝AB和AD＝AE。 15．【答案】84 【解析】【分析】连接PA，PB，PC，把△ABC的面积表示成三个以P为顶点的三角形面积的和差，每个小三角形的高都是12。 【详解】连接PA，PB，PC，△PAB，△PAC，△PBC的高（点P到三条直线的距离）都等于12， S△ABC＝S△PAB＋S△PAC－S△PBC＝½×13×12＋½×15×12－½×14×12＝12×(13＋15－14)÷2＝84。 所以答案为84。 【方法点拨】点到三条直线距离相等时，以这个点为公共顶点把三角形分成几部分，用面积的和差计算。 【易错提醒】点P在三角形外，四边形ABPC的面积减去△PBC才是△ABC的面积，BC那一项要减。 　B卷　三、解答题 16．【答案】（1）∠D＝54°，∠E＝36°；（2）7.2cm 【解析】【分析】(1)先由“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等，得∠D＝∠A，∠E＝∠B，再由两锐角互余列方程；(2)全等三角形的周长相等，对应边相等。 【详解】(1)在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∠D＝∠A，∠E＝∠B。 ∠A＋∠B＝90°，设∠B＝x°，则x＋x＋18＝90，解得x＝36，∠A＝36°＋18°＝54°， ∴∠D＝54°，∠E＝36°。　……3分 (2)∵△GHK≌△G′H′K′，∴HK＝H′K′＝9.1cm，G′K′＝GK（全等三角形的对应边相等）， GK＝24.6－GH－HK＝24.6－8.3－9.1＝7.2（cm），∴G′K′＝7.2cm。　……3分 【方法点拨】判定两个直角三角形全等后，对应角相等；再结合两锐角互余列方程。 【评分说明】(1)判定全等1分，列方程1分，求出两角1分；(2)写出对应边1分，求出G′K′ 2分。 17．【答案】（1）先作出大小为180°－∠α－∠β的角作为∠C，再按两角夹一边作△ABC；（2）按作角平分线的步骤作射线AD；（3）94° 【解析】【分析】已知的是两角和其中一角的对边，先把第三个角作出来（平角减去∠α与∠β），就转化为“两角和它们的夹边”；(3)∠ADC是△ABD的外角。 【详解】(1)作法要点：在一条直线上以同一点为顶点，依次作∠α，∠β，平角剩下的角∠γ＝180°－∠α－∠β就是∠C的大小； 作线段BC＝a，在B处作∠CBM＝∠β，在C处作∠BCN＝∠γ，射线BM，CN交于点A，△ABC即为所求（依据“角边角”，由内角和∠A＝∠α）。　……4分 (2)以A为圆心、适当长为半径画弧交AB，AC于两点，再分别以这两点为圆心、大于这两点间距离一半的长为半径画弧交于一点，过这一点作射线交BC于D，AD即为所求。　……2分 (3)∠C＝180°－48°－70°＝62°，∠BAC＝∠α＝48°，AD平分∠BAC，∠BAD＝48°÷2＝24°， ∠ADC是△ABD的外角，∠ADC＝∠B＋∠BAD＝70°＋24°＝94°。　……3分 【方法点拨】已知“角角边”作三角形时，先由内角和作出第三个角，把问题化为“角边角”作图。 【评分说明】(1)作出第三个角2分，作出三角形2分；(2)作图痕迹完整2分；(3)求出∠BAD 1分，用外角求出∠ADC 2分。 18．【答案】证明见解析 【解析】【分析】(1)两边及公共角；(2)由(1)得∠ODM＝∠OCN，再证△PMC≌△PND得PM＝PN，最后由“边边边”证△OMP≌△ONP。 【详解】(1)在△OMD和△ONC中，OM＝ON，∠MOD＝∠NOC（公共角），OD＝OC， ∴△OMD≌△ONC（SAS）。　……3分 (2)由(1)得∠ODM＝∠OCN（全等三角形的对应角相等）。MC＝OC－OM＝OD－ON＝ND（等式的性质）。 在△PMC和△PND中，∠MPC＝∠NPD（对顶角相等），∠PCM＝∠PDN，MC＝ND， ∴△PMC≌△PND（AAS），∴PM＝PN（全等三角形的对应边相等）。 在△OMP和△ONP中，OM＝ON，PM＝PN，OP＝OP（公共边），∴△OMP≌△ONP（SSS）， ∴∠MOP＝∠NOP，即射线OP平分∠AOB。　……6分 【方法点拨】证明一种作法正确，就是按作图步骤依次找出全等三角形，最后得到所需的等角。 【评分说明】(1)写全条件得出全等3分；(2)得出等角与MC＝ND 2分，证出△PMC≌△PND 2分，证出△OMP≌△ONP并得出结论2分。 【易错提醒】第二次全等用的是∠PCM＝∠PDN和MC＝ND，MC＝ND要用两次截取的线段相减得到。 19．【答案】（1）证明见解析；（2）4.8m 【解析】【分析】旗杆竖直给出直角，平行的光线给出一组同位角相等，杆高相等是其中一角的对边，用“角角边”。 【详解】(1)∵AB，CD都与地面垂直，∴∠ABE＝∠CDF＝90°。∵AE∥CF，∴∠AEB＝∠CFD（两直线平行，同位角相等）。 在△ABE和△CDF中，∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD， ∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF（全等三角形的对应边相等）。　……5分 (2)设BE＝DF＝x m，则BF＝BE＋ED＋DF＝2x＋6.2， 由2x＋6.2＝15.8，解得x＝4.8，即影长BE为4.8m。　……4分 【方法点拨】平行的光线给出同位角相等，竖直的杆给出直角，杆高相等，用“角角边”证全等。 【评分说明】(1)得出两组角相等2分，写全条件证出全等2分，得出结论1分；(2)列方程2分，求出结果2分。 【易错提醒】AB是∠AEB的对边，用的是“角角边”；BF由三段组成，其中两段相等。 20．【答案】（1）（2）证明见解析；（3）27.2 【解析】【分析】(1)由全等得AB＝A′B，∠ABC＝∠A′BC，再用“边角边”证△ABO≌△A′BO；(2)由全等得内错角相等，AB∥A′C，再用“角角边”证△ABO≌△A′CO。 【详解】(1)∵△ABC≌△A′BC，∴AB＝A′B，∠ABO＝∠A′BO（全等三角形的对应边、对应角相等）。 在△ABO和△A′BO中，AB＝A′B，∠ABO＝∠A′BO，BO＝BO（公共边），∴△ABO≌△A′BO（SAS）， ∴AO＝A′O，∠AOB＝∠A′OB，又∠AOB＋∠A′OB＝180°，∴∠AOB＝90°，即AA′⊥BC。　……4分 (2)∵△ABC≌△A′CB，∴AB＝A′C，∠ABC＝∠A′CB，∴AB∥A′C（内错角相等，两直线平行），∠BAO＝∠CA′O（两直线平行，内错角相等）。 在△ABO和△A′CO中，∠BAO＝∠CA′O，∠AOB＝∠A′OC（对顶角相等），AB＝A′C，∴△ABO≌△A′CO（AAS）， ∴AO＝A′O，BO＝CO。　……3分 (3)由(1)AA′⊥BC，S四边形ABA′C＝S△ABC＋S△A′BC＝½×BC×AO＋½×BC×A′O＝½×BC×AA′＝½×8.5×6.4＝27.2。　……2分 【方法点拨】同一对全等三角形拼法不同，对应顶点就不同，要按拼法重新确定对应边和对应角。 【评分说明】(1)得出AB＝A′B与等角1分，证出全等2分，得出垂直1分；(2)得出AB∥A′C 1分，证出全等并得出结论2分；(3)2分。 【易错提醒】两种拼法对应顶点不同：图1中B′与B重合，图2中B′与C重合，找对应边、对应角时要跟着变。 21．【答案】（1）证明见解析；（2）CF＝4.1；（3）∠DAC＝29° 【解析】【分析】(1)BD是∠ABC的平分线，又垂直于AF，△ABD与△FBD有公共边BD和两组相等的角，用“角边角”；(3)由全等得∠BAD＝∠BFD，而∠BFD是△AFC的外角。 【详解】(1)∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝∠FBD。∵AD⊥BE，∴∠ADB＝∠FDB＝90°。 在△ABD和△FBD中，∠ABD＝∠FBD，BD＝BD（公共边），∠ADB＝∠FDB， ∴△ABD≌△FBD（ASA），∴AD＝FD，AB＝FB（全等三角形的对应边相等）。　……4分 (2)由(1)，BF＝AB＝6.4，∴CF＝BC－BF＝10.5－6.4＝4.1。　……2分 (3)由(1)的全等得∠BAD＝∠BFD（全等三角形的对应角相等）。 ∠BFD是△AFC的外角，∴∠BFD＝∠DAC＋∠C，即∠BAD＝∠DAC＋∠C。 ∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝∠C＋2∠DAC， ∴2∠DAC＝∠BAC－∠C＝58°，∠DAC＝58°÷2＝29°。　……4分 【方法点拨】见到角的平分线和它的垂线，延长垂线与角的另一边相交，就得到一对由“角边角”判定的全等三角形。 【评分说明】(1)写出两组等角1分，证出全等2分，得出结论1分；(2)2分；(3)得出∠BAD＝∠BFD 1分，用外角得出∠BAD＝∠DAC＋∠C 2分，求出∠DAC 1分。 【易错提醒】BD既是角的平分线又与AF垂直，公共边BD夹在两组等角之间；(3)中不需要求出∠BAC和∠C各是多少度。 22．【答案】（1）以D为圆心、AC为半径画弧，取与射线EM的两个交点中离E较近的一个为F；（2）证明见解析；（3）23° 【解析】【分析】以D为圆心、AC为半径画弧交射线EM于两点，离E较远的点得到全等三角形，取较近的点；(2)作高，用两次直角三角形全等。 【详解】(1)以点D为圆心、AC的长为半径画弧，交射线EM于两点，取离点E较近的交点为F，连接DF，△DEF即为所求（作图见题目下方的答案图）。　……3分 (2)过点A作AH⊥BC于H，过点D作DK⊥EM于K。在Rt△ABH和Rt△DEK中，∠B＝∠E，∠AHB＝∠DKE＝90°，AB＝DE， ∴Rt△ABH≌Rt△DEK（AAS），∴AH＝DK。 在Rt△ACH和Rt△DFK中，AC＝DF，AH＝DK，∴Rt△ACH≌Rt△DFK（HL），∴∠ACH＝∠DFK。 设弧与射线EM的另一个交点为F′，在Rt△DKF和Rt△DKF′中，DF＝DF′，DK＝DK，∴Rt△DKF≌Rt△DKF′（HL），KF＝KF′，即K是FF′的中点； F是离E较近的交点，∴点F在E，K之间，∠DFE＋∠DFK＝180°，∴∠ACB＋∠DFE＝180°。　……5分 (3)由(2)，∠DFE＝180°－66°＝114°， ∠EDF＝180°－∠E－∠DFE＝180°－43°－114°＝23°。　……2分 【方法点拨】“两边及一边的对角”时，以一边的端点为圆心画弧，与另一边所在射线可能有两个交点，对应的两个角互补。 【评分说明】(1)作图正确3分（取错交点得1分）；(2)证出AH＝DK 2分，证出第二次全等2分，得出互补1分；(3)2分。 【易错提醒】弧与射线EM有两个交点，一个得到全等三角形，另一个不全等，两者的∠F互补。 23．【答案】（1）8.4；（2）121.8；（3）t＝11或t＝31 【解析】【分析】(1)点D到AB的距离等于DC，用面积分割列方程；(2)以AB为底，点D到AB的距离DE为高；(3)按点P在CA上、在AB上分两段，分别写出△ADP的底和高。 【详解】(1)过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，∴DE＝DC（角的平分线上的点到角两边的距离相等）。 S△ABC＝½×AC×BC＝½×21×20＝210，又S△ABC＝S△ACD＋S△ABD＝½×21×CD＋½×29×DE＝25CD， ∴25CD＝210，CD＝8.4。　……4分 (2)由(1)，点D到AB的距离DE＝DC＝8.4， ∴S△ABD＝½×AB×DE＝½×29×8.4＝121.8。　……3分 (3)S△ABC＝210，△ADP的面积应为210÷5＝42。 ①当0≤t≤21时，点P在CA上，AP＝21－t，△ADP以AP为底，高为CD＝8.4， ½×(21－t)×8.4＝42，解得t＝11，0≤11≤21，符合题意； ②当21＜t≤50时，点P在AB上，AP＝t－21，高为DE＝8.4， ½×(t－21)×8.4＝42，解得t＝31，21＜31≤50，符合题意。 综上，t＝11或t＝31。　……6分 【方法点拨】动点问题按点所在的边分段，每段分别找底和高写面积；求出的t要检验是否在这一段的范围内。 【评分说明】(1)得出DE＝DC 1分，列出面积关系2分，求出CD 1分；(2)写出DE＝8.4 1分，求出面积2分；(3)求出面积42 1分，每段列方程并求解各2分，检验t的范围1分。 【易错提醒】P在CA上时高是DC，在AB上时高是DE，两段底的表达式不同，要分段写。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级上册 第十四章 全等三角形 单元检测·A／B双卷 保密★启用前 第十四章 全等三角形 单元检测（A／B 双卷） 人教版数学八年级上册 （试卷总分：A卷120分＋B卷120分　建议用时：每卷100分钟　测试范围：第十四章 全等三角形） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请在规定位置写清学校、姓名、班级和考号。 2．考试范围：人教版（2024）八年级上册第十四章 全等三角形（14.1～14.3）。 3．本卷由A卷（基础达标）与B卷（能力提升）组成，两卷分别编号，满分各120分，可分两次完成。 4．请按题号在对应区域内作答，写在区域外的答案无效。 命题说明本卷考查：全等形与全等三角形、全等三角形的性质、判定：边边边（SSS）、判定：边角边（SAS）、判定：角边角（ASA）、判定：角角边（AAS）、判定：斜边、直角边（HL）、判定条件的选择与辨析等（A、B两卷，每卷 10 选／5 填／8 解，各 120 分） 考点清单 全等三角形一章共三节：全等三角形及其性质、三角形全等的判定、角的平分线。下表左栏是由这三节拆出的十二个考查点，右边两栏列出A卷、B卷里考查它的题号。A卷以认清对应关系、选对判定方法为主，B卷侧重构造全等、分类讨论与动点分段。做完一卷后对照此表统计错题落在哪几行，错得集中的考查点先回看课本例题，再重做同一行里另一卷的题目。 本章考点 A卷题号 B卷题号 全等形与全等三角形 7 11 全等三角形的性质 1、7～9、13、16 1、5、8、11、16 判定：边边边（SSS） 3、20 3、4、10、18 判定：边角边（SAS） 10、17、22 2、10、18、20 判定：角边角（ASA） 4、21 17、21 判定：角角边（AAS） 14、19～21 14、18～20 判定：斜边、直角边（HL） 6、8、18、20、23 10、12、16、22 判定条件的选择与辨析 2 7、9、22 尺规作图 3、11、17、23 3、17、18、22 角的平分线的性质 5、12、17、23 15、23 角的平分线的判定 11、15、18、23 6、13、15 全等三角形的综合应用 9、10、14、15、19、22 9、10、21、23 本章知识要点速览 证明全等三角形的题目，每一步都要写出依据，而依据就是下面这十条定义、基本事实和定理。复习时先遮住右栏，自己说出每条的完整内容和适用条件，特别留意“夹角”“对边”“角的内部”这些限定词，再对照右栏订正。 序号 知识要点 掌握要求 1 全等形与全等三角形 能够完全重合的两个图形叫作全等形，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形；一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变了，形状、大小都没有改变 2 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等；记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上；全等三角形的周长、面积也分别相等 3 边边边（SSS） 三边分别相等的两个三角形全等；三角形的稳定性可以用它来说明，已知三边可以用尺规作出三角形 4 边角边（SAS） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 5 角边角（ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 6 角角边（AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，它由“角边角”和三角形的内角和定理推出 7 斜边、直角边（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；直角三角形也可以用前面的判定方法 8 尺规作图 作一个角等于已知角（依据“边边边”）、过直线外一点作已知直线的平行线、按条件作三角形、作已知角的平分线 9 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等；“距离”指点到直线的垂线段的长 10 角的平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；三角形的三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等 A 卷　基础达标（满分120分） 评卷人 得分 A卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，两块形状、大小完全相同的三角形瓷砖，△ABC≌△EFD（点A，B，C分别与点E，F，D对应）。若∠A＝64°，∠D＝47°，则∠F的度数是(____)。 A．111° B．69° C．116° D．133° 2．（本题3分）按下列各组条件画△ABC，任何两个人画出的三角形都一定全等的是(____)。 A．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝37° B．∠A＝53°，∠B＝59°，∠C＝68° C．AB＝5.5cm，∠A＝41°，∠B＝73° D．AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝8cm 3．（本题3分）如图，已知直线MN和直线MN外一点P。过点P画一条直线交MN于点Q，点R在QP的延长线上，再用直尺和圆规在点P处作∠RPS＝∠PQN，得到直线PS∥MN（图中的弧线是作图痕迹）。这样作图用到的依据是(____)。 A．作角等于已知角用“边边边”，再由“同位角相等，两直线平行” B．作角等于已知角用“边角边”，再由“同位角相等，两直线平行” C．作角等于已知角用“边边边”，再由“内错角相等，两直线平行” D．作角等于已知角用“角边角”，再由“同旁内角互补，两直线平行” 4．（本题3分）如图，小刚站在河岸上的点B处，眼睛D在点B的正上方（DB⊥AC）。他压低帽檐，使视线DA恰好落在对岸的点A处；然后保持姿势转过身，视线DC落在本岸的点C处，这时∠ADB＝∠CDB，量出BC的长就得到河宽AB。这样做的依据是(____)。 A．边边边 B．边角边 C．斜边、直角边 D．角边角 5．（本题3分）如图，射线OP是∠AOB的平分线，从点P向OA画垂线段PM（M为垂足），又把点P与射线OB上的点N连起来，PN与OB不垂直。已知PM＝3.6，关于线段PN的长，下列判断正确的是(____)。 A．等于3.6 B．大于3.6 C．小于3.6 D．无法确定 6．（本题3分）如图，Rt△ABC与Rt△DEF的直角顶点分别是C，F。下面四组相等关系中，添上后恰好符合“斜边、直角边”判定格式的一组是(____)。 A．AB＝DE，BC＝EF B．AC＝DF，BC＝EF C．AB＝DE，∠A＝∠D D．AC＝DF，∠A＝∠D 7．（本题3分）如图，△ADE是由△ABC绕着顶点A转动一定角度得到的，转动后顶点B落到了边BC上的点D处。已知∠B＝71°，∠BAD＝38°，那么∠CDE等于(____)。 A．71° B．109° C．38° D．142° 8．（本题3分）如图，一块四边形木板ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD＝4.8dm，CD＝6.5dm，则这块木板的面积为(____)（单位：dm²）。 A．15.6 B．62.4 C．23.04 D．31.2 9．（本题3分）在△ABC中，∠CAB＝34°，∠CBA＝57°，且△ABC的三边长互不相等。点D与点C不重合，且以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则∠CAD的度数为(____)。 A．68° B．68°或91° C．68°或91°或23° D．91°或23° 10．（本题3分）如图，A(4，0)，B(0，7)是两条坐标轴上的点，O为坐标原点。在y轴上取点C，在x轴上取点D（都不与O重合），使以O，C，D为顶点的三角形与△AOB全等。除△AOB本身外，这样的三角形COD共有(____)。 A．3个 B．7个 C．8个 D．4个 评卷人 得分 A卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图是作∠AOB平分线OC的过程：先以顶点O为圆心画弧，与角的两边分别交于M，N，量得MN＝4.6cm；接着以M，N为圆心、用同一个半径画弧，要让这两段弧相交于两点，这个半径必须大于________cm。 12．（本题3分）如图，Rt△ABC的斜边为AB，BC＝7.5，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，且BD比DE长2.1，则DE＝________。 13．（本题3分）如图，四边形ABCD的对角线BD把它分成两个三角形，且△ABD≌△CDB（点A，B，D分别与点C，D，B对应）。若AB＝5.8，AD＝3.9，则四边形ABCD的周长为________。 14．（本题3分）如图，AD是△ABC的中线，分别过点B，C向直线AD作垂线，垂足为E，F（点F在AD的延长线上）。若AD＝6.5，BE＝3.4，则△ABC的面积为________。 15．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝8.4，AC＝5.6，BC＝7。点P在直线BC上，且点P到直线AB，AC的距离相等，则BP的长为________。 评卷人 得分 A卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）按要求计算： (1)已知△PQR≌△STU，点P，Q，R分别与点S，T，U对应，PQ＝6.3cm，TU＝7.9cm，SU＝5.4cm，求△PQR的周长； (2)已知△KLM≌△XYZ，点K，L，M分别与点X，Y，Z对应，∠K＝68°，且∠Y比∠Z的2倍多16°，求∠L的度数。 17．（本题9分）如图，已知线段a，b和∠α。 (1)用直尺和圆规作△ABC，使BC＝a，BA＝b，∠ABC＝∠α（保留作图痕迹，不写作法）； (2)再用直尺和圆规把(1)中的∠ABC二等分，所画射线与AC相交于点D（保留作图痕迹）； (3)若a＝4.2cm，b＝5.6cm，所作△ABC的面积为9.8cm²，求点D到边AB的距离。 18．（本题9分）如图，点D在∠BAC的内部，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点M在线段AE上，点N在AC上且点F在点A，N之间，DM＝DN，EM＝FN，连接AD。 (1)求证：AD平分∠BAC； (2)若∠BAC＝64°，求∠MDN的度数。 19．（本题9分）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，点D，E分别在BC，AC上，且DF＝DC。 (1)求证：BF＝AC； (2)若BD＝6.5，DC＝2.5，求AF的长和△ABF的面积。 20．（本题9分）如图，墙面OA与水平地面OB互相垂直，梯子AB的上端点A靠在墙面上，下端点B离墙脚点O的距离为0.7m。梯子下滑后停在CD处（点C在墙面上，点D在地面上），这时上端点C到地面的高度OC正好也是0.7m，AB与CD交于点G。 (1)求证：GB＝GC； (2)连接OG，求证：OG平分∠AOD； (3)若OA＝2.4m，求梯子底端滑动的距离BD。 21．（本题10分）如图是一种剪叉式升降台的侧面示意图，支架AC与BD相交于点O，平台AB与地面CD平行（AB∥CD），点O是AC的中点，点C，D在水平地面上。 (1)求证：点O是BD的中点； (2)过点O作EF⊥CD于点F，交AB于点E，求证：OE＝OF； (3)升降台升到某一高度时，测得EF＝2.3m，AB＝1.8m，求点O离地面的高度OF和△COD的面积。 22．（本题10分）如图，D是△ABC的边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°。延长FD到点G，使DG＝DF，连接BG，EG。 (1)求证：EG＝EF； (2)求证：BE＋CF＞EF； (3)若∠BAC＝76°，求∠EBG的度数。 23．（本题13分）如图，某公园有一块三角形花园ABC，AB＝25m，BC＝28m，CA＝17m，面积为210m²。园林部门计划在花园内建一座凉亭P，使凉亭到三条边AB，BC，CA的距离都相等。 (1)用直尺和圆规在图中确定凉亭P的位置（只需保留画弧的痕迹）； (2)求凉亭P到每条边的距离； (3)从凉亭P向三条边各修一条最短的石子小路，每米造价为45元，求修这三条小路的总费用； (4)设(3)中通向边AB，AC的两条小路的端点分别为D，F，求AD的长。 B 卷　能力提升（满分120分） 评卷人 得分 B卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，已知△ABC与△AED全等，其中B，E是对应顶点，C，D是对应顶点，且点E在边AC上。若AB＝4.5，AD＝7，则CE的长为(____)。 A．2.5 B．11.5 C．3.5 D．5.75 2．（本题3分）如图是用卡钳测量一个零件内槽宽度的示意图：两根钢条AC，BD在它们的中点O处连接，把A，B两端放在内槽的两壁上，量得C，D两端间的距离为3.8cm。已知这个零件的外宽为5.4cm，槽两侧的壁厚相同，则每侧的壁厚为(____)（单位：cm）。 A．0.8 B．1.6 C．4.6 D．1.9 3．（本题3分）如图，小明在∠AOB的右侧用直尺和圆规作出了∠A′O′B′，图中的弧线是他留下的作图痕迹。由这些痕迹可以判断，他作的是(____)。 A．作已知角的平分线 B．过一点作已知直线的平行线 C．已知三边作三角形 D．作一个角等于已知角 4．（本题3分）下列生活中的做法，可以用“边边边”来解释的是(____)。 A．在岸边取两点，量出以这两点为顶点、分别指向对岸渡口的两个角和两点间的距离，就能确定渡口的位置 B．三根木条钉成三角形木架后，木架的形状不再改变 C．两块直角三角尺的斜边和一条直角边分别相等，它们能完全重合 D．折叠椅两根等长的支架在中点处铰接，两脚间的距离等于椅面的宽 5．（本题3分）如图，△ABC≌△DEF，点A，B，C分别与点D，E，F对应，△ABC中AB边上的高CH＝4.8，DE＝7.5，则△DEF的面积为(____)。 A．36 B．11.52 C．9 D．18 6．（本题3分）已知∠AOB和一点P，PM⊥直线OA于点M，PN⊥直线OB于点N。下列推断正确的是(____)。 A．若点P在∠AOB的内部，且PM＝PN，则射线OP平分∠AOB B．若PM＝PN，则不论点P在什么位置，射线OP都平分∠AOB C．若射线OP平分∠AOB，点E，F分别在OA，OB上，则PE＝PF D．若射线OP平分∠AOB，则OP＝PM 7．（本题3分）在△ABC和△DEF中，给出下列四个条件：①AB＝DE；②BC＝EF；③∠B＝∠E；④∠C＝∠F。从中任取三个作为已知条件，能判定△ABC≌△DEF的取法共有(____)。 A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 8．（本题3分）已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边长分别为7，9，10，△DEF的三边长分别为7，2x－3，x＋4，则x的值为(____)。 A．6.5 B．6 C．5 D．6或6.5 9．（本题3分）下面四个关于两个三角形的命题：①若有两组边分别相等，且其中一组相等的边所对的角是相等的钝角，则它们全等；②若有两组边分别相等，且第三边上的中线也相等，则它们全等；③若有两组角分别相等，且有一组边相等，则它们全等；④若有两组角分别相等，且其中一组等角各自的平分线（从角的顶点到对边）长度相同，则它们全等。其中所有正确命题的序号是(____)。 A．④ B．①④ C．①②④ D．①②③④ 10．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC于点F，点D，E在BC上，且BD＝CE，点G在线段AF上，连接AD，AE，GD，GE。图中全等三角形共有(____)。 A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 评卷人 得分 B卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，将△ABC沿射线BC的方向平移2.3个单位长度得到△DEF，点B，E，C，F在同一条直线上。若AB＝4.4，BC＝6.1，AC＝5.3，则四边形ABFD的周长为________。 12．（本题3分）如图，电线杆AB与水平地面垂直，从杆上的点A向两侧拉两根等长的钢索AC，AD，固定点C，D与杆脚B在同一条直线上。若BC＝2.35m，则C，D两点间的距离为________m。 13．（本题3分）如图，点P在△ABC的内部，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，且PE＝PF。若∠ABC＝46°，∠ACB＝72°，则∠BAP＝________°。 14．（本题3分）如图，BD，CE是△ABC的两条高，D在AC上，E在AB上，且BD＝CE。已知AB＝7.3，AE＝2.1，则CD＝________。 15．（本题3分）如图，点P与点A在直线BC的两侧，点P到直线AB，BC，CA的距离都等于12。若AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的面积为________。 评卷人 得分 B卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）按要求计算： (1)在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AB＝DE，BC＝EF，且∠A比∠B大18°，求∠D和∠E的度数； (2)已知△GHK≌△G′H′K′，点G，H，K分别与点G′，H′，K′对应，△GHK的周长为24.6cm，GH＝8.3cm，H′K′＝9.1cm，求G′K′的长。 17．（本题9分）如图，已知∠α，∠β和线段a。 (1)用直尺和圆规作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，且∠A的对边BC＝a（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在(1)所作的图中，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD，交BC于点D（保留作图痕迹）； (3)若∠α＝48°，∠β＝70°，求∠ADC的度数。 18．（本题9分）如图，小明用下面的方法作∠AOB的平分线：在射线OA上依次截取OM，OC，在射线OB上依次截取ON，OD，使ON＝OM，OD＝OC，连接MD，NC，MD与NC相交于点P，作射线OP。 (1)求证：△OMD≌△ONC； (2)求证：射线OP平分∠AOB。 19．（本题9分）如图，AB，CD是两根竖直的旗杆，AB＝CD，旗杆的底端B，D与它们的影子顶端E，F在同一条水平直线上。同一时刻太阳光线是平行的，即AE∥CF。 (1)求证：BE＝DF； (2)若BF＝15.8m，ED＝6.2m，求影长BE。 20．（本题9分）把两个全等的三角形纸片△ABC和△A′B′C′拼在一起，使边B′C′与边BC重合，点A与点A′在直线BC的两侧，连接AA′交直线BC于点O。 (1)如图1，若点B′与点B重合，点C′与点C重合，求证：AO＝A′O，且AA′⊥BC； (2)如图2，若点B′与点C重合，点C′与点B重合，求证：AO＝A′O，BO＝CO； (3)在(1)的拼法中，若AA′＝6.4，BC＝8.5，求四边形ABA′C的面积。 21．（本题10分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，AD⊥BE于点D，延长AD交BC于点F。 (1)求证：AD＝FD，AB＝FB； (2)若AB＝6.4，BC＝10.5，求CF的长； (3)若∠BAC比∠C大58°，求∠DAC的度数。 22．（本题10分）如图1，已知△ABC（其中∠B，∠ACB都是锐角，AC＜AB）；如图2，∠DEM＝∠ABC，且DE＝AB。 (1)在图2的射线EM上用直尺和圆规作点F，使DF＝AC，且△DEF与△ABC不全等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：∠ACB与∠DFE互补； (3)若∠ABC＝43°，∠ACB＝66°，求∠EDF的度数。 23．（本题13分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝21，BC＝20，AB＝29，AD平分∠BAC交BC于点D。点P从点C出发，先沿CA运动到点A，再沿AB运动到点B，速度为每秒1个单位长度，到达点B时停止，设运动时间为t秒。 (1)求CD的长； (2)求△ABD的面积； (3)当t为何值时，△ADP的面积等于△ABC面积的？ 附：A卷命题双向细目表 A卷依教材14.1～14.3的顺序命题：全等三角形的对应关系、五种判定方法、尺规作图的依据与作法、角的平分线的性质与判定各有专题，解答题以测河宽、梯子滑动、剪叉式升降台、花园凉亭等实际情境考查证明与计算。题目按基础、中档、较难的顺序排列，第23题综合考查角的平分线的判定、面积分割与造价计算。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 全等三角形的对应角（按对应顶点） 基础 推理能力 2 选择题 3 判定三角形全等的条件（唯一确定） 基础 抽象能力 3 选择题 3 尺规作图的依据（过直线外一点作平行线） 基础 几何直观 4 选择题 3 角边角的实际应用（帽檐测河宽） 基础 推理能力 5 选择题 3 角的平分线的性质（距离与斜线段） 基础 推理能力 6 选择题 3 斜边、直角边的条件辨析 基础 推理能力 7 选择题 3 全等三角形的性质与外角（旋转） 中档 推理能力 8 选择题 3 斜边、直角边与面积（四边形木板） 中档 推理能力 9 选择题 3 以公共边构造全等三角形（分类讨论） 难 模型观念 10 选择题 3 坐标系中的全等三角形（分类计数） 难 模型观念 11 填空题 3 尺规作角的平分线（作弧的半径） 基础 几何直观 12 填空题 3 角的平分线的性质（线段和） 基础 推理能力 13 填空题 3 全等三角形的对应边（求四边形周长） 基础 推理能力 14 填空题 3 中线与垂线构造全等（求面积） 中档 推理能力 15 填空题 3 到角两边距离相等的点（面积比与分类） 难 推理能力 16 解答题 6 全等三角形的对应边与对应角（计算） 基础 推理能力 17 解答题 9 尺规作三角形与角的平分线（作图） 基础 几何直观 18 解答题 9 斜边、直角边与角的平分线的判定（证明） 中档 推理能力 19 解答题 9 角角边与高（证明线段相等） 中档 推理能力 20 解答题 9 斜边、直角边的实际应用（梯子滑动） 中档 推理能力 21 解答题 10 角边角的实际应用（剪叉式升降台） 中档 推理能力 22 解答题 10 倍长构造全等（线段不等关系） 难 推理能力 23 解答题 13 角的平分线的实际应用（花园凉亭） 难 推理能力 附：B卷命题双向细目表 B卷在同一知识范围内提高思维要求：判定条件的组合与推广、图中全等三角形的计数、到三边所在直线距离相等的点、两种拼法的分类证明、角的平分线与垂线构造全等、两边及一边的对角的反例作图都要先分析再推理，第23题以动点沿三角形两边运动考查分段讨论与角的平分线的性质。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 全等三角形的对应边（求线段差） 基础 推理能力 2 选择题 3 边角边的实际应用（卡钳测壁厚） 基础 推理能力 3 选择题 3 尺规作图痕迹的识别（作角等于已知角） 基础 几何直观 4 选择题 3 边边边与三角形的稳定性 基础 推理能力 5 选择题 3 全等三角形的面积（对应边上的高） 基础 推理能力 6 选择题 3 角的平分线的判定（条件辨析） 基础 推理能力 7 选择题 3 判定条件的组合（任取三个） 中档 抽象能力 8 选择题 3 全等三角形对应边的分类讨论 中档 推理能力 9 选择题 3 全等判定的推广命题（构造全等） 难 模型观念 10 选择题 3 图形中全等三角形的个数（多次全等） 难 模型观念 11 填空题 3 平移中的全等三角形（求周长） 基础 几何直观 12 填空题 3 斜边、直角边的实际应用（钢索） 基础 推理能力 13 填空题 3 角的平分线的判定（求角） 基础 推理能力 14 填空题 3 角角边（两条高相等） 中档 推理能力 15 填空题 3 到三角形三边所在直线距离相等的点（面积） 难 推理能力 16 解答题 6 直角三角形全等与方程（计算） 基础 推理能力 17 解答题 9 尺规作三角形（两角及其中一角的对边） 基础 几何直观 18 解答题 9 多次全等（验证角平分线的作法） 中档 推理能力 19 解答题 9 角角边的实际应用（旗杆影长） 中档 推理能力 20 解答题 9 两种拼法中的全等（分类证明） 中档 推理能力 21 解答题 10 角边角（角的平分线与垂线） 中档 推理能力 22 解答题 10 两边及一边的对角（构造不全等的三角形） 难 抽象能力 23 解答题 13 动点问题中的分段面积（角的平分线） 难 推理能力 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $