第十八章 分式（章末检测•A／B 双卷）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

八年级上册 第十八章 分式 章末检测·A／B双卷 保密★启用前 第十八章 分式（章末检测•A／B 双卷） 人教版数学八年级上册 （试卷总分：A卷120分＋B卷120分　建议用时：每卷100分钟　测试范围：第十八章 分式） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请在规定位置写清学校、姓名、班级和考号。 2．考试范围：人教版（2024）八年级上册第十八章 分式。 3．本卷由A卷（基础达标）与B卷（能力提升）组成，两卷分别编号，满分各120分，可分两次完成。 4．请按题号在对应区域内作答，写在区域外的答案无效；分式运算的结果要化成最简分式或整式，解分式方程必须检验。 命题说明本卷考查：分式的概念、有意义的条件与值为0、分式的基本性质与约分、通分与最简公分母、分式的乘除与乘方、分式的加减、分式的混合运算与化简求值、条件求值（整体代入、连等式）、零指数幂与负整数指数幂等（A、B两卷，每卷 10 选／5 填／8 解，各 120 分；共 46 题） 考点清单 第十八章的内容可以分成三块：分式及其运算、整数指数幂、分式方程。下表按考点列出A卷、B卷各题的题号：A卷侧重法则的正用与逆用、常见实际问题的建模，B卷侧重多条件合用、参数讨论与方案选择。批改后按行统计失分，哪一行两卷都有错，就回到教材对应小节的例题再练一遍。 本章考点 A卷题号 B卷题号 分式的概念、有意义的条件与值为0 1、4、6 2、6 分式的基本性质与约分 5、13 5、12 通分与最简公分母 12 4 分式的乘除与乘方 7、16 7 分式的加减 8、17 8 分式的混合运算与化简求值 18 17、18 条件求值（整体代入、连等式） 9、18 9 零指数幂与负整数指数幂 3、11 11 整数指数幂的运算性质 16 3、13、16 用科学记数法表示小于1的正数 2 1、16 解分式方程与检验 19 19 含字母系数的分式方程 — 10、19 分式方程的应用（行程、工作效率、比率与方案） 14、15、20、21、22、23 14、20、21、22、23 分式的值为整数 10 15 本章知识要点速览 分式这一章的失分大多出在三处：约分前没有分解因式、减去多项式时符号出错、解分式方程漏了检验。下面十条要点各附一句掌握要求，做题后可以逐条对照自查，化简题再用特殊值代入核对一次。 序号 知识要点 掌握要求 1 分式的概念 A、B是整式，B中含有字母，叫作分式；分母不为0时分式有意义，分子为0且分母不为0时分式的值为0 2 分式的基本性质 分子、分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变；变号时分子、分母同乘－1 3 约分 分子、分母是多项式时先分解因式，再约去公因式，结果化成最简分式 4 通分 系数取最小公倍数，各因式取最高次幂，得到最简公分母 5 乘除与乘方 除以一个分式等于乘它的倒数；分式乘方把分子、分母分别乘方，结果要约分 6 加减 同分母分子相加减；异分母先通分；减去一个多项式分子时整体加括号 7 混合运算 先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里；化简求值所取的值要使原式各分母及除式都不为0 8 整数指数幂 ＝1，＝（a≠0）；同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方对整数指数都成立 9 科学记数法 小于1的正数写成a×，1≤a＜10，n等于原数第一个非0数字前面所有0的个数 10 分式方程 去分母化为整式方程→解整式方程→代入最简公分母检验；应用题还要检验是否符合实际 A 卷　基础达标（满分120分） 评卷人 得分 A卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）某共享单车调度点早上停放着m辆单车，调度车每次运走k辆（m是k的整数倍）。下列各量写成式子后，是分式的是(____)。 A．运走3次后剩下的车数m－3k B．运完这些单车需要的次数 C．4 h运完时平均每小时运走的车数 D．每次多运2辆时一次运走的车数k＋2 2．（本题3分）某款手机芯片中相邻两个晶体管栅极的间距约为48 n m（1 n m＝ m），这个间距用科学记数法表示为(____)m。 A．4.8× B．4.8× C．4.8× D．4.8× 3．（本题3分）已知x是正数，且＝，那么x等于(____)。 A． B． C． D．－ 4．（本题3分）若分式在x＝4时无意义，则当x＝1时，这个分式的值为(____)。 A． B．－1 C．－ D．－6 5．（本题3分）若分式约分后的结果是x＋4，则k的值为(____)。 A．－7 B．1 C．7 D．－1 6．（本题3分）若分式的值为0，则x的值为(____)。 A．3或－3 B．3 C．－2或3 D．－3 7．（本题3分）若M÷＝，则M化成最简分式为(____)。 A． B． C． D． 8．（本题3分）学校图书馆科普区藏书a册，本月借出27册；文学区藏书比科普区多20册，本月借出45册（借阅率＝借出册数÷藏书册数）。本月文学区的借阅率减去科普区的借阅率，结果是(____)。 A． B． C． D． 9．（本题3分）某光伏电站今年的发电量为a万千瓦时，比去年的发电量b万千瓦时增长了40%，则的值为(____)。 A．－ B． C． D．－ 10．（本题3分）使分式的值为整数的整数x共有(____)个。 A．3 B．4 C．8 D．6 评卷人 得分 A卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）若式子＋有意义，则x的取值范围是________。 12．（本题3分）若分式与的最简公分母是6，则正整数m＝________。 13．（本题3分）不改变分式的值，先把的分子、分母中各项的系数都化为整数，再约分，结果为________。 14．（本题3分）校园跑操时，小林和小周同时起跑，小林每分钟比小周多跑25 m，小林跑1800 m所用的时间与小周跑1500 m所用的时间相同，则小周的配速（跑1 km所用的时间）为________min。 15．（本题3分）家用反渗透净水器每制出1 L纯水，会同时排出一定量的浓水（纯水率＝纯水量÷(纯水量＋浓水量)）。换用新型滤芯后，每制出1 L纯水排出的浓水比原来少1 L，纯水率变为原来的1.5倍。用原来的滤芯制出一桶12 L的纯水，要排出浓水________L。 评卷人 得分 A卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）按要求计算（结果化为最简分式，且不含负整数指数）： (1)·； (2)÷。 17．（本题9分）把下列各式化成最简分式或整式： (1)－； (2)2x－1－； (3)＋。 18．（本题9分）先化简，再求值：[－]÷，其中x满足＋x－9＝0。 19．（本题9分）下面两个方程的分母都含有未知数，分别求出它们的解（没有解的写明原分式方程无解）： (1)＋＝； (2)－＝2。 20．（本题9分）某快递分拣中心有新、旧两台分拣机，新机每小时分拣的件数是旧机的1.5倍。一批包裹按如图的安排分拣：两台机器同时开机，新机中途停机检修1 h，检修期间旧机照常分拣，从开机算起3 h恰好分拣完。 (1)两台分拣机单独分拣完这批包裹各需要多少小时？ (2)第二天又到了一批同样多的包裹，先由新机单独分拣，一段时间后旧机加入，两台机器一起分拣到完成，共用3.5 h。旧机应在新机开机后多少小时加入？ 21．（本题10分）某共享单车平台采购一批电单车和普通单车，有关信息如下表。 (1)求普通单车和电单车的单价； (2)平台计划再用不超过50万元采购这两种单车共300辆（单价不变），最多能采购电单车多少辆？ 车型 采购金额 单价 采购数量 电单车 72万元 比普通单车贵1500元 是普通单车数量的1.6倍 普通单车 18万元 — — 22．（本题10分）如图，从甲城到乙城，高铁线路长1260 km，普速铁路线路长1500 km，高铁列车的平均速度是普速列车平均速度的3倍。小李从甲城去乙城乘高铁，从乙城返回甲城乘普速列车，两段乘车时间共16 h。 (1)高铁列车全程用时多少小时？ (2)普速铁路提速改造后，普速列车全程用时缩短为10 h，它的平均速度提高了百分之几？ 23．（本题13分）如图，一架物流无人机在无风时的飞行速度为12 m/s。某天有稳定的风，风速不变，无人机顺风飞行时的速度等于无风时的速度与风速之和，逆风飞行时等于两者之差。实测它逆风飞完一段3.5 km的航线所用的时间，是顺风飞完这段航线所用时间的1.4倍。 (1)求当天的风速； (2)该无人机充满电后可飞行25 min，为保证安全需预留20%的电量（耗电量与飞行时间成正比，起降时间不计）。当天它充满电后从配送站出发顺风送货，再逆风返回配送站，送货点离配送站最远是多少千米？ (3)当天实际送货点离配送站5.6 km，充满电完成这次往返后电池还剩百分之几的电量？ B 卷　能力提升（满分120分） 评卷人 得分 B卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）单层石墨烯的厚度约为0.000000000335 m，这个数据用科学记数法表示为(____)m。 A．3.35× B．3.35× C．3.35× D．3.35× 2．（本题3分）外卖骑手小韩某天工作t h，共送了n单，其中午高峰送了p单。对于下列各量：①平均每小时送的单数；②午高峰以外送的单数；③午高峰送的单数占全天单数的几分之几；④全天单数的一半。用式子表示后是分式的有(____)个。 A．2 B．1 C．3 D．4 3．（本题3分）等式＝对任意不为0的x，y都成立，指数m应取(____)。 A．2 B．－2 C．9 D．6 4．（本题3分）把，，这三个分式通分，所用的最简公分母为(____)。 A．2x(x＋1)(x－1) B．6(x＋1)(x－1) C．6x(x＋1)(x－1) D．6x(x－1) 5．（本题3分）把约分后，求得它在x＝2时的值为(____)。 A．13 B．－13 C．－1 D．1 6．（本题3分）当x＝2时，分式无意义；当x＝－1时，这个分式的值为0，则m＋n的值为(____)。 A．1 B．－1 C．3 D．－3 7．（本题3分）用3D打印机打印一个实心正方体模型（如图），它的棱长为 cm，打印机每分钟打印的体积为立方厘米，打印这个模型需要的时间为(____)min。 A． B． C． D． 8．（本题3分）用宽带从云盘下载资料的速度为x MB/s，用手机热点下载的速度比宽带每秒慢1 MB。用宽带下载600 MB的课程视频，比用热点下载400 MB的讲义多用的时间为(____)s。 A． B． C． D． 9．（本题3分）三个数a，b，c满足＝＝≠0，那么代数式的值是(____)。 A． B．3 C． D．－3 10．（本题3分）关于x的分式方程＝没有解时，m可能取的值是(____)。 A．m＝3 B．m＝1 C．m＝1或m＝3 D．m＝3或m＝5 评卷人 得分 B卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）－＋＝________。 12．（本题3分）若分式约分后等于，则m＝________。 13．（本题3分）若＝，＝9，则＝________。 14．（本题3分）某农场把一片农田改为智能滴灌后，每小时比原来多灌溉0.8亩，改造后灌溉14亩所用的时间与原来灌溉10亩所用的时间相同。改造后灌溉一块35亩的农田需要________h。 15．（本题3分）x是整数，并且分式的值也是整数，满足条件的所有x之和为________。 评卷人 得分 B卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）按要求计算： (1)·（结果不含负整数指数）； (2)÷(8×)（结果用科学记数法表示）。 17．（本题9分）把下列各式化成最简分式或整式： (1)÷； (2)－； (3)(－)·。 18．（本题9分）已知式子÷化简的结果为。 (1)求a的值； (2)当原式的值为3时，求x的值。 19．（本题9分）已知关于x的两个分式方程：①－1＝；②＋＝。 (1)当a＝5时，解方程①； (2)当b＝1时，解方程②； (3)若方程①、②去分母后所得的整式方程有相同的解，而且这个解既不是方程①的解，也不是方程②的解，求a，b的值。 20．（本题9分）如图，外卖骑手小韩取餐后，先骑电动自行车行驶4 km到小区门口，再步行0.2 km把餐送到楼下。他骑车的平均速度是步行平均速度的5倍，这一单从取餐到送达共用了15 min。 (1)求小韩步行和骑车的平均速度； (2)另一单的路线与这一单相同，步行部分用时不变，要在取餐后13 min恰好送达，骑车的平均速度应为多少？ 21．（本题10分）某冷链物流公司用新、旧两种冷藏车运输生鲜，新型车每趟比旧型车多运4 t。新型车运288 t所需的趟数，是旧型车运144 t所需趟数的1.5倍。 (1)两种冷藏车每趟各运多少吨？ (2)新型车每趟运费2400元，旧型车每趟运费1900元。一批480 t的生鲜，全部用新型车运和全部用旧型车运，哪种方式运费少？少多少元？ 22．（本题10分）某工作室用3D打印机批量打印零件（良品率＝合格零件数÷打印零件总数），有关信息如下表。 (1)调整参数后打印了多少件零件？ (2)工作室的目标是使所有零件的良品率达到96%，在(1)的基础上，还需要再打印多少件合格零件？ 阶段 打印件数 合格件数 良品率 第一阶段 150 — 80% 调整参数后 未知 全部合格 — 两阶段合计 — — 92% 23．（本题13分）如图，某公交场站每晚22:00至次日5:30给电动公交车充电。给一辆公交车充入240 kWh电量，用慢充桩比用快充桩多用5 h，快充桩的功率是慢充桩的3倍（充电时间＝充入电量÷功率）。 (1)求慢充桩和快充桩的功率； (2)场站计划新建快充桩和慢充桩共10台，每台快充桩的费用为13万元，每台慢充桩的费用为4万元，总费用不超过85万元；每台桩每晚依次给若干辆车各充入240 kWh电量，要求每晚至少充好18辆车。有哪几种建设方案？ (3)在(2)的方案中，哪种方案费用最低？最低费用是多少万元？ 　参考答案与解析 　客观题答案速查 A卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A C B D D C A卷题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 B D x≠2且x≠－1 4 8 24 B卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B C A D B D B卷题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 A C 0 －4 12.5 5 　A卷　一、选择题 1．【答案】B 【解析】【考点】分式的概念（实际情境） 【分析】判断一个式子是不是分式，只看分母里是否含有字母。 【详解】运完需要的次数是m÷k＝，分母k含有字母，是分式； m－3k与k＋2是整式；的分母是数4，也是整式。 所以选B。 A项运走3次后剩下的车数m－3k是整式；C项的分母是数4，不含字母，是整式；D项k＋2是整式。 2．【答案】A 【解析】【考点】科学记数法（纳米单位换算） 【分析】先写成48× m，再把48写成4.8×10，用同底数幂相乘合并。 【详解】48 n m＝48× m＝4.8×10× m＝4.8× m。 所以选A。 B项直接照搬纳米对应的指数，写成4.8×；C项把48写成4.8×10后，指数算成了－9－1；D项把1 n m误当成 m，按此算得4.8×。 3．【答案】A 【解析】【考点】负整数指数幂的意义（已知幂求底数） 【分析】＝，先求出，再由x＞0确定x。 【详解】＝＝，所以＝， 又x＞0，所以x＝。 所以选A。 B项把当成了，由＝求x，按此错法真算得；C项漏掉了指数中的2，把当成了，按此错法真算得；D项把当成了－2x，按此错法真算得－。 4．【答案】C 【解析】【考点】分式无意义的条件（反求字母的值） 【分析】分式无意义的条件是分母等于0，先由此求出a，再代入求值。 【详解】由x＝4时分式无意义，得2×4－a＝0，a＝8， 当x＝1时，＝＝＝－。 所以选C。 A项由2x－a＝0把a算成了－8，按此错法真算得；B项把分母2x－a看成x－a，得a＝4，再按代入x＝1，按此错法真算得－1；D项把分母的值2×1－8＝－6当成了分式的值，按此错法真算得－6。 5．【答案】B 【解析】【考点】约分（由约分结果反求系数） 【分析】约分后得x＋4，说明分子等于(x－3)(x＋4)。 【详解】由题意，＋kx－12＝(x－3)(x＋4)＝＋x－12， 两边都是关于x的整式，对任意x都成立，一次项系数相等，所以k＝1。 代值验算：取x＝2，原式＝6，化简结果＝6，两者相等。 所以选B。 A项把(x－3)(x＋4)的一次项系数算成(－3)＋(－4)，按此错法真算得－7；C项把(x－3)(x＋4)的一次项系数算成3＋4，按此错法真算得7；D项把两个因式错写成(x＋3)(x－4)再展开，按此错法真算得－1。 6．【答案】D 【解析】【考点】分式的值为0的条件（分子含绝对值） 【分析】分式的值为0，要同时满足分子等于0、分母不等于0。 【详解】由|x|－3＝0，得x＝3或x＝－3； 当x＝3时，分母－x－6＝9－3－6＝0，分式无意义，舍去； 当x＝－3时，分母＝9＋3－6＝6≠0， 所以x＝－3。 所以选D。 A项只令分子为0，没有检验分母，得3或－3；B项x＝3时分母－x－6＝0，分式无意义，不能取；C项－2或3是使分母为0的值，这时分式无意义。 7．【答案】D 【解析】【考点】分式的乘除（已知商与除式求被除式） 【分析】被除式＝商×除式，再把分子、分母分解因式约分。 【详解】M＝· ＝·＝。 代值验算：取x＝2，原式＝，化简结果＝，两者相等。 所以选D。 A项把“被除式＝商×除式”弄成了“商÷除式”，按此错法真算得；B项误以为被除式＝除式÷商，按此错法真算得；C项约分时把－1当成了，按此错法真算得。 【易错提醒】由M÷A＝B得M＝B×A，是乘法不是除法；－1＝(x＋1)(x－1)。 8．【答案】C 【解析】【考点】异分母分式的减法（借阅率） 【分析】两个借阅率分别是与，最简公分母是a(a＋20)。 【详解】－＝－ ＝ ＝。 代值验算：取a＝40，原式＝，化简结果＝，两者相等。 所以选C。 A项去括号时把－27(a＋20)写成了－27a＋540，按此错法真算得；B项把分子、分母分别相减，按此错法真算得；D项通分时两个分子都没有乘相应的因式，按此错法真算得。 【易错提醒】减去27(a＋20)时要整体加括号，展开后是－27a－540。 9．【答案】B 【解析】【考点】条件求值（由增长率得比值） 【分析】由增长率得a＝，把分式拆成－再代入比值。 【详解】由题意a＝(1＋40%)b，即＝， ＝－＝－＝－＝。 所以选B。 A项把增长率40%当成了a与b的比，取＝，按此错法真算得－；C项把拆成了＋，按此错法真算得；D项把“a比b增长40%”理解成了b＝1.4a，按此错法真算得－。 【易错提醒】＝，＝；原式是两者的差，不是和，也不是。 10．【答案】D 【解析】【考点】分式的值为整数（求整数x的个数） 【分析】把分式拆成整数与一个分子为常数的分式之和，再看分母取哪些整数。 【详解】＝＝3＋， 要使值为整数，x＋1是4的约数，x＋1＝±1，±2，±4， 得x＝0，－2，1，－3，3，－5，都不使分母为0，共6个。 所以选D。 A项只取了x＋1的正约数1，2，4，得3个；B项漏掉了4的约数±2，得4个；C项拆分时把3(x＋1)算成3x＋1，误得3＋，按6的约数数出8个。 【易错提醒】4的约数有±1，±2，±4共6个，负约数也要算上。 　A卷　二、填空题 11．【答案】x≠2且x≠－1 【解析】【考点】零指数幂与负整数指数幂有意义的条件 【分析】零指数幂与负整数指数幂的底数都不能为0。 【详解】零指数幂的底数不能为0，所以x－2≠0，x≠2； 负整数指数幂的底数不能为0，所以x＋1≠0，x≠－1， 所以x的取值范围是x≠2且x≠－1。 所以答案为x≠2且x≠－1。 12．【答案】4 【解析】【考点】最简公分母（反求字母的指数） 【分析】最简公分母里每个字母的次数，取它在各分母中的最高次数。 【详解】第二个分母中x的次数是1，最简公分母中x的次数是4， 所以第一个分母中x的次数m＝4， 这时通分得＝，＝。 所以答案为4。 13．【答案】 【解析】【考点】分式的基本性质（系数化整后约分） 【分析】0.25＝，0.5＝，分子、分母同乘4把系数化为整数，再分解因式约分。 【详解】分子、分母同乘4，得＝， ＝ ＝。 代值验算：取x＝3，y＝1，原式＝，化简结果＝，两者相等。 所以答案为。 14．【答案】8 【解析】【考点】分式方程的应用（跑操配速） 【分析】设小周每分钟跑x m，按“两人所用时间相同”列方程，求出速度后再换算成配速。 【详解】设小周每分钟跑x m，则小林每分钟跑(x＋25) m， 由题意得＝，方程两边乘x(x＋25)，得1800x＝1500(x＋25)，解得x＝125， 检验：当x＝125时，x(x＋25)≠0，x＝125是原分式方程的解，且符合题意， 所以小周的配速为1000÷125＝8（min）。 所以答案为8。 【易错提醒】求出的125是每分钟跑的米数，还要换算成跑1 km所用的分钟数。 15．【答案】24 【解析】【考点】分式方程的应用（净水器纯水率） 【分析】设原来每制出1 L纯水排出浓水x L，用含x的式子表示前后两个纯水率，按1.5倍关系列方程。 【详解】设原来每制出1 L纯水排出浓水x L，则原来的纯水率为，换用新型滤芯后为＝， 由题意得＝1.5×，方程两边乘x(1＋x)，得1＋x＝1.5x，解得x＝2， 检验：当x＝2时，x(1＋x)≠0，x＝2是原分式方程的解，且符合题意， 所以原来制出12 L纯水要排出浓水12×2＝24（L）。 所以答案为24。 【易错提醒】新型滤芯每制1 L纯水排浓水(x－1) L，纯水率的分母是1＋(x－1)＝x。 　A卷　三、解答题 16．【答案】（1）；（2） 【解析】【考点】整数指数幂的运算与分式的除法 【命题意图】把整数指数幂的运算与分式除法放在一起，考查积的乘方、同底数幂相乘以及先分解因式再约分。 【分析】(1)先用积的乘方与幂的乘方，再用同底数幂相乘；(2)分子、分母分解因式，除法化为乘法后约分。 【详解】(1)原式＝·8 ＝8 ＝。　……3分 (2)原式＝· ＝。　……3分 代值验算(1)：取x＝1，y＝2，原式＝，化简结果＝，两者相等。 代值验算(2)：取a＝3，原式＝，化简结果＝，两者相等。 【方法总结】整数指数幂的运算结果一般写成不含负整数指数的形式；分式除法先把除式颠倒，再分解因式约分。 【评分说明】每小题3分。(1)积的乘方1分，同底数幂相乘1分，写成不含负整数指数的形式1分；(2)分解因式1分，除法化乘法并约分2分。 17．【答案】（1）；（2）；（3）4 【解析】【考点】分式的加减（含整式与相反分母） 【命题意图】考查异分母分式的减法：分母先分解因式、整式看成分母为1的式子参与通分、分母互为相反数时先统一符号。 【分析】(1)－a＝a(a－1)，最简公分母是a(a－1)；(2)把2x－1看成分母为1的式子通分；(3)先把2b－a化成－(a－2b)，统一分母。 【详解】(1)原式＝－ ＝ ＝。　……3分 (2)原式＝－ ＝ ＝。　……3分 (3)原式＝－ ＝ ＝ ＝4。　……3分 代值验算(1)：取a＝2，原式＝，化简结果＝，两者相等。 代值验算(2)：取x＝2，原式＝，化简结果＝，两者相等。 代值验算(3)：取a＝2，b＝3，原式＝4，化简结果＝4，两者相等。 【方法总结】异分母相加减，分母先分解因式或统一符号；整式参与运算时看成分母为1的式子；结果能约分的要约分。 【评分说明】每小题3分。通分（或统一分母符号）1分，分子合并1分，化成最简结果1分。 18．【答案】化简结果为；原式的值为1 【解析】【考点】分式的化简求值（条件整体代入） 【命题意图】化简求值不再直接给出字母的值，而是给出字母满足的方程，要求把化简结果整体代入，并说明满足条件的x使原式有意义。 【分析】括号内通分后分子只剩常数，除法化为乘法约分后，分母恰好含＋x，可以把条件整体代入。 【详解】原式＝÷　……2分 ＝·　……2分 ＝＝。　……1分 由＋x－9＝0得＋x＝9；把x＝0，－3，2，－2分别代入＋x－9，所得的值依次为－9，－3，－3，－7，都不为0，所以满足条件的x使原式有意义，　……2分 原式＝＝1。　……2分 代值验算：取x＝1，原式＝－，化简结果＝－，两者相等。 【方法总结】化简求值中字母的值不直接给出时，把化简结果整理成含已知式子的形式整体代入；同时要说明所取的值使原式有意义。 【评分说明】括号内通分并化简2分，除法化成乘法并约分3分；由条件得＋x＝9并说明满足条件的x使原式有意义2分，整体代入求值2分。 【易错提醒】括号内通分后(x＋1)(x＋3)－x(x＋4)＝3；化简结果的分母是＋x－6，把＋x＝9整体代入。 19．【答案】（1）x＝；（2）原分式方程无解 【解析】【考点】解分式方程与检验（含原方程无解） 【命题意图】考查解分式方程的完整过程，第(2)题去分母后所得整式方程的解使最简公分母为0，检验决定结论。 【分析】方程两边乘最简公分母化为整式方程，解出后代入最简公分母检验。 【详解】(1)方程两边乘(x＋3)(x－3)，得2(x－3)＋3(x＋3)＝12，　……2分 解得x＝。检验：当x＝时，(x＋3)(x－3)≠0，所以原分式方程的解为x＝。　……2分 (2)－x＝x(x－1)，方程两边乘x(x－1)，得(2x＋1)x－3＝2x(x－1)，　……2分 整理得3x＝3，解得x＝1。　……1分 检验：当x＝1时，x(x－1)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解。　……2分 【方法总结】解分式方程：去分母→解整式方程→检验。检验时把整式方程的解代入最简公分母，值为0的解不是原分式方程的解。 【评分说明】(1)去分母2分，解出并检验2分；(2)去分母2分，解出x＝1得1分，检验并得出原方程无解2分。没有检验的，每小题扣2分。 【易错提醒】(2)右边的2也要乘x(x－1)；展开后项抵消，得x＝1，它使最简公分母为0。 20．【答案】（1）旧机6 h，新机4 h；（2）2.75 h（即2 h 45 min） 【解析】【考点】分式方程的应用（双机分拣与中途检修） 【命题意图】以两台分拣机同时开机、其中一台中途停机检修为情境，考查把工作总量看作1的工作效率问题；第(2)问改为先后开机，反求旧机加入的时刻。 【分析】把这批包裹的总量看作1，设旧机单独分拣完需要x h，新机的效率是旧机的1.5倍；从开机到分拣完共3 h，旧机一直在分拣，新机停了1 h，只工作2 h。 【详解】(1)设旧机单独分拣完需要x h，则旧机每小时分拣总量的，新机每小时分拣总量的，　……1分 旧机工作3 h，新机工作3－1＝2（h），由题意得＋＝1，　……2分 方程两边乘x，得3＋3＝x，解得x＝6，　……1分 检验：当x＝6时，x≠0，x＝6是原分式方程的解，且符合题意，6÷1.5＝4。答：旧机单独需要6 h，新机单独需要4 h。　……1分 (2)设旧机在新机开机后t h加入，则新机工作3.5 h，旧机工作(3.5－t) h，　……1分 新机3.5 h完成全部包裹的3.5÷4＝，由题意得＋＝1，　……1分 解得t＝2.75。答：旧机应在新机开机后2.75 h（即2 h 45 min）加入。　……2分 验算(1)：旧机3 h完成＝，新机2 h完成＝，合起来恰好是全部包裹；验算(2)：新机3.5 h完成，旧机工作3.5－2.75＝0.75（h），完成0.75/6＝，合起来也恰好是全部包裹。 【方法总结】工作效率问题把工作总量看作1，按“各机完成的工作量之和＝1”列方程；有机器中途停机或先后开机时，要分清每台机器实际工作了多长时间。 【评分说明】(1)设未知数并表示两机的效率1分，列方程2分，解方程1分，检验并作答1分；(2)设未知数1分，列方程1分，解出并作答2分。 【易错提醒】新机停机检修的1 h不计入它的工作时间：旧机工作3 h，新机只工作2 h。效率＝1÷单独完成的时间。 21．【答案】（1）普通单车1000元，电单车2500元；（2）133辆 【解析】【考点】分式方程的应用（单车采购） 【命题意图】以共享单车平台采购两种车辆为情境，考查“数量＝金额÷单价”的相等关系，再用一元一次不等式确定最多采购量。 【分析】用“数量＝金额÷单价”分别表示两种车的数量，按1.6倍关系列分式方程；第(2)问按总费用列一元一次不等式。 【详解】(1)设普通单车的单价为x元，则电单车的单价为(x＋1500)元，　……1分 由题意得＝1.6×，　……2分 方程两边乘x(x＋1500)，得720000x＝288000(x＋1500)，解得x＝1000，　……2分 检验：当x＝1000时，x(x＋1500)≠0，x＝1000是原分式方程的解，且符合题意，x＋1500＝2500。答：普通单车每辆1000元，电单车每辆2500元。　……1分 (2)设采购电单车y辆，则采购普通单车(300－y)辆，由题意得2500y＋1000(300－y)≤500000，　……2分 解得y≤，y为整数，所以y的最大值是133。答：最多能采购电单车133辆。　……2分 检验：电单车数量720000÷2500＝288（辆），普通单车数量180000÷1000＝180（辆），288÷180＝1.6，符合题意。 【方法总结】采购类分式方程的相等关系常藏在“数量”上；求“最多能买多少”时回到一元一次不等式，再按实际意义取整数。 【评分说明】(1)设未知数1分，列方程2分，解方程2分，检验并作答1分；(2)列不等式2分，解不等式并取整数得出结论2分。 【易错提醒】72万元与18万元要化成720000元与180000元；1.6倍乘在普通单车的数量上。 22．【答案】（1）3.5 h；（2）25% 【解析】【考点】分式方程的应用（高铁去、普速回的往返用时） 【命题意图】以乘高铁去、乘普速列车回的往返行程为情境，考查按“两段用时之和＝总用时”列分式方程，再计算提速的百分率。 【分析】设普速列车的平均速度为x km/h，则高铁为3x km/h，两段用时分别是 h与 h，它们的和是16 h。 【详解】(1)设普速列车的平均速度为x km/h，则高铁列车的平均速度为3x km/h，　……2分 由题意得＋＝16，　……2分 方程两边乘3x，得1260＋4500＝48x，解得x＝120，　……2分 检验：当x＝120时，3x≠0，x＝120是原分式方程的解，且符合题意。高铁的平均速度为3×120＝360（km/h），全程用时1260÷360＝3.5（h）。答：高铁列车全程用时3.5 h。　……1分 (2)提速前普速列车全程用时1500÷120＝12.5（h），提速后的平均速度为1500÷10＝150（km/h），　……2分 (150－120)÷120＝0.25＝25%。答：平均速度提高了25%。　……1分 检验：3.5＋12.5＝16（h），360÷120＝3，符合题意。 【方法总结】往返（或分段）行程按“各段用时之和＝总用时”列方程，各段用时都用“路程÷速度”表示；求百分率时分母是变化前的量。 【评分说明】(1)设未知数并表示两车速度2分，列方程2分，解方程2分，检验并作答1分；(2)求出提速前后的速度2分，求出百分率1分。 【易错提醒】高铁的速度是3x，用时＝；两段用时相加等于16 h；提高的百分率要用提速前的速度作分母。 23．【答案】（1）当天风速为每秒2米；（2）最远7千米；（3）剩余36% 【解析】【考点】分式方程的应用（无人机顺风逆风与续航） 【命题意图】以物流无人机顺风去、逆风回为情境，综合考查分式方程求风速、按续航时间求最远送货距离以及剩余电量的计算。 【分析】设风速为w m/s，顺风、逆风的速度分别是(12＋w) m/s与(12－w) m/s，同一段航线逆风用时是顺风用时的1.4倍；第(2)问先算出可飞行的时间，再按往返总时间列方程。 【详解】(1)设当天的风速为w m/s，则顺风速度为(12＋w) m/s，逆风速度为(12－w) m/s，　……1分 由题意得＝1.4×，　……2分 方程两边乘(12＋w)(12－w)，得3500(12＋w)＝4900(12－w)，解得w＝2，　……1分 检验：当w＝2时，(12＋w)(12－w)≠0，w＝2是原分式方程的解，且小于12，符合题意。答：当天的风速为2 m/s。　……1分 (2)可用于飞行的时间为25×(1－20%)＝20（min），即1200 s，当天顺风速度为14 m/s，逆风速度为10 m/s，　……2分 设送货点离配送站d m，由题意得＋＝1200，　……2分 解得d＝7000，7000 m＝7 km。答：送货点离配送站最远是7 km。　……1分 (3)往返用时5600÷14＋5600÷10＝400＋560＝960（s），即16 min，　……2分 耗电16÷25＝0.64＝64%，剩余1－0.64＝0.36＝36%。答：电池还剩36%的电量。　……1分 【方法总结】顺风（顺水）速度＝静止时的速度＋风速（水速），逆风（逆水）速度＝静止时的速度－风速（水速）；续航问题按“往返总时间＝可用时间”列方程。 【评分说明】(1)设未知数1分，列方程2分，解方程1分，检验并作答1分；(2)求出可飞行时间与两种速度2分，列方程2分，结果1分；(3)求出往返用时2分，剩余电量1分。 【易错提醒】逆风用时是顺风用时的1.4倍，1.4要乘在顺风用时上；3.5 km要化成3500 m，与速度单位m/s统一；预留20%后只有20 min可用。 　B卷　一、选择题 1．【答案】C 【解析】【考点】用科学记数法表示小于1的正数 【分析】小于1的正数写成a×，1≤a＜10，n等于第一个非0数字前所有0的个数（含小数点前的0）。 【详解】0.000000000335中第一个非0数字3前面共有10个0， 所以0.000000000335＝3.35×。 所以选C。 A项漏数了小数点前面的0，只数出9个0，得3.35×；B项数0时多数了一个，数成11个，得3.35×；D项小数点移动的方向弄反，指数写成了正数。 2．【答案】A 【解析】【考点】分式的概念（用式子表示实际量） 【分析】先把四个量分别写成式子，再看分母中是否含有字母。 【详解】①，②n－p，③，④， 其中与的分母含有字母，是分式；n－p与是整式，所以分式有2个。 所以选A。 B项只数了①，漏了③，它的分母n也含字母；C项把④也当成了分式，它的分母是数2，是整式；D项把四个式子都当成了分式，其实n－p与都是整式。 3．【答案】B 【解析】【考点】积的乘方（由结果反求指数） 【分析】先用积的乘方与幂的乘方把左边展开，再比较x的指数。 【详解】＝， 由题意＝，所以－3m＝6，m＝－2。 验算：＝＝，符合题意。 所以选B。 A项由－3m＝6求m时把符号弄错，按此错法真算得2；C项把幂的乘方当成指数相加，由m＋(－3)＝6求m，按此错法真算得9；D项误以为m就是结果中x的指数，按此错法真算得6。 4．【答案】C 【解析】【考点】最简公分母（三个多项式分母） 【分析】先把三个分母分解因式，系数取最小公倍数，各因式取最高次幂。 【详解】2－2＝2(x＋1)(x－1)，＋x＝x(x＋1)，3x－3＝3(x－1)， 系数取2与3的最小公倍数6，因式x，x＋1，x－1都取一次， 所以最简公分母是6x(x＋1)(x－1)。 所以选C。 A项系数只取了第一个分母的2；B项漏掉了第二个分母中的因式x；D项漏掉了第一个分母中的因式x＋1。 5．【答案】A 【解析】【考点】约分后求值（含互为相反数的因式） 【分析】分子49－9＝(7＋3x)(7－3x)，分母9－42x＋49＝＝，约分后再代值。 【详解】＝ ＝， 当x＝2时，原式＝＝13。 所以选A。 B项约分时没有注意7－3x与3x－7互为相反数，得，再代入x＝2，按此错法真算得－13；C项把分母9－42x＋49错分解成(3x＋7)(3x－7)，约分得－1，按此错法真算得－1；D项把49－9错分解成，约分得1，按此错法真算得1。 6．【答案】D 【解析】【考点】分式无意义与值为0的条件（求参数） 【分析】无意义说明分母为0，值为0说明分子为0且分母不为0。 【详解】由x＝2时分式无意义，得2＋n＝0，n＝－2； 由x＝－1时分式的值为0，得－1－m＝0，m＝－1，且此时分母－1＋n＝－3≠0， 所以m＋n＝－3。 所以选D。 A项由2＋n＝0把n算成了2，按此错法真算得1；B项由－1－m＝0把m算成了1，按此错法真算得－1；C项两个条件都把符号弄反，得m＝1，n＝2，按此错法真算得3。 7．【答案】B 【解析】【考点】分式的乘方与除法（3D打印用时） 【分析】所需时间＝体积÷每分钟打印的体积，正方体体积是棱长的立方。 【详解】所需时间＝÷＝· ＝（min）。 代值验算：取a＝3，b＝1，原式＝2，化简结果＝2，两者相等。 所以选B。 A项乘方时分子的系数2没有立方，按此错法真算得；C项除以时没有把除式颠倒，按此错法真算得；D项乘方时分母的系数3没有立方，按此错法真算得。 【易错提醒】整体立方，分子是8，分母是27，系数都要立方。 8．【答案】D 【解析】【考点】异分母分式的减法（下载用时差） 【分析】两个时间分别是与，最简公分母是x(x－1)。 【详解】－＝－ ＝ ＝。 代值验算：取x＝5，原式＝20，化简结果＝20，两者相等。 所以选D。 A项把两个时间的先后弄反，用热点时间减去宽带时间，按此错法真算得；B项把热点的速度误写成x＋1，按此错法真算得；C项去括号时把600(x－1)写成了600x－1，按此错法真算得。 【易错提醒】600(x－1)＝600x－600，常数项600不能漏乘；结果分子可提出公因数200。 9．【答案】A 【解析】【考点】条件求值（设k法） 【分析】设连等式的值为k，用k表示a，b，c，代入后约去k。 【详解】设＝＝＝k（k≠0），则a＋b＝3k，b＋c＝4k，c＋a＝5k， 三式相加得2(a＋b＋c)＝12k，所以a＋b＋c＝6k， c＝6k－3k＝3k，a＝6k－4k＝2k，b＝6k－5k＝k， ＝＝＝＝。 所以选A。 B项直接取a＝3，b＝4，c＝5代入，按此错法真算得3；C项三式相加后忘了除以2，得a＋b＋c＝12k，进而求得a＝8k，b＝7k，c＝9k，原式按12k÷(8k－7k＋9k)计算，按此错法真算得；D项把分母a－b＋c看成了a－(b＋c)，按此错法真算得－3。 【易错提醒】三式相加得到的是2(a＋b＋c)，要除以2；a＋b＝3k并不表示a＝3。 10．【答案】C 【解析】【考点】含字母系数的分式方程无解（两种情形） 【分析】去分母得(m－3)x＝－2，原方程无解分“整式方程无解”与“整式方程的解使最简公分母为0”两种情形。 【详解】方程两边乘x(x－1)，得mx＋2＝3x，即(m－3)x＝－2， ①当m－3＝0，即m＝3时，整式方程无解，原分式方程无解； ②当m≠3时，x＝－，若x＝0，则－2＝0，不可能；若x＝1，则m－3＝－2，m＝1，这时整式方程的解使最简公分母为0，原分式方程无解， 综上，m＝1或m＝3。 所以选C。 A项只考虑了整式方程无解的情形，漏了m＝1；B项只考虑了整式方程的解使最简公分母为0的情形，漏了m＝3；D项把(m－3)x＝－2错写成(m－3)x＝2，由x＝1得m＝5。 【易错提醒】“无解”有两种来源，都要讨论；x＝0代入整式方程得－2＝0，这种情形不可能出现。 　B卷　二、填空题 11．【答案】0 【解析】【考点】零指数幂与负整数指数幂的混合运算 【分析】分别求出负整数指数幂与零指数幂，3.14－π≠0，它的0次幂是1。 【详解】＝＝＝－8，＝1，＝9， 所以原式＝－8－1＋9＝0。 所以答案为0。 12．【答案】－4 【解析】【考点】约分（由约分结果反求常数） 【分析】先把分子、分母分解因式并约分，再与比较分子。 【详解】＝＝＝， 它与的分母相同，所以2a－4＝2a＋m，m＝－4。 代值验算：取a＝1，原式＝＝－，＝－，两者相等。 所以答案为－4。 13．【答案】 【解析】【考点】整数指数幂（由幂的值求指数） 【分析】把写成2的负整数指数幂，把9写成的负整数指数幂。 【详解】＝＝，所以m＝－5；9＝＝，所以n＝－2， ＝＝＝。 所以答案为。 14．【答案】12.5 【解析】【考点】分式方程的应用（智能滴灌） 【分析】设原来每小时灌溉x亩，按“所用时间相同”列方程，求出原来的效率后，再求改造后灌溉35亩所用的时间。 【详解】设原来每小时灌溉x亩，则改造后每小时灌溉(x＋0.8)亩， 由题意得＝，方程两边乘x(x＋0.8)，得14x＝10(x＋0.8)，解得x＝2， 检验：当x＝2时，x(x＋0.8)≠0，x＝2是原分式方程的解，且符合题意， 所以改造后每小时灌溉2＋0.8＝2.8（亩），灌溉35亩需要35÷2.8＝12.5（h）。 所以答案为12.5。 【易错提醒】解出的x＝2是原来的效率，改造后每小时灌溉2.8亩，还要再算35÷2.8。 15．【答案】5 【解析】【考点】分式的值为整数（原式有意义的限制） 【分析】先确定x的取值范围，再约分并拆成整数与分子为常数的分式之和。 【详解】要使原式有意义，－1≠0，即x≠1且x≠－1， ＝＝＝2＋， 要使值为整数，x－1是2的约数，x－1＝±1或±2，得x＝2，0，3，－1， 其中x＝－1使原式无意义，舍去，所以x＝2，0，3，和为5。 所以答案为5。 【易错提醒】约分后的式子在x＝－1时有意义，但原式没有意义，x＝－1必须舍去。 　B卷　三、解答题 16．【答案】（1）；（2）5× 【解析】【考点】整数指数幂的运算与科学记数法 【命题意图】考查含负整数指数的积的乘方与同底数幂相乘，以及用科学记数法表示的数的乘方与除法。 【分析】(1)先用积的乘方，＝，再用同底数幂相乘；(2)先乘方，再把系数与10的幂分别相除。 【详解】(1)原式＝()· ＝()m ＝。　……3分 (2)原式＝4×÷(8×)＝(4÷8)×＝0.5×＝5×（10的指数为－6－(－9)＝3）。　……3分 代值验算(1)：取m＝2，n＝3，原式＝18，化简结果＝18，两者相等。 【方法总结】含负整数指数的式子按整数指数幂的运算性质计算，最后化成正整数指数；科学记数法表示的数相除，系数与10的幂分开算，结果的系数要在1与10之间。 【评分说明】每小题3分。(1)积的乘方1分，同底数幂相乘1分，结果1分；(2)乘方1分，系数与10的幂分别相除1分，写成科学记数法1分。 17．【答案】（1）；（2）；（3）a＋9 【解析】【考点】分式的混合运算 【命题意图】考查分式的乘除、异分母减法以及含括号的混合运算，重点是分解因式、通分和运算顺序。 【分析】(1)分解因式后除法化乘法；(2)最简公分母是(a＋1)(a－1)；(3)括号内先通分，也可以用分配律。 【详解】(1)原式＝· ＝。　……3分 (2)原式＝－ ＝ ＝。　……3分 (3)原式＝· ＝ ＝a＋9。　……3分 代值验算(1)：取x＝3，原式＝，化简结果＝，两者相等。 代值验算(2)：取a＝2，原式＝－，化简结果＝－，两者相等。 代值验算(3)：取a＝2，原式＝11，化简结果＝11，两者相等。 【方法总结】分式混合运算先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内；每一步分解因式后再约分，结果化成最简分式或整式。 【评分说明】每小题3分。分解因式（或通分）1分，约分（或合并）1分，化成最简结果1分。 18．【答案】（1）a＝5；（2）x＝6 【解析】【考点】由化简结果反求参数 【命题意图】由化简结果反求原式中的参数，再解一个分式方程并检验所求的值使原式有意义，是化简题的逆向设问。 【分析】先把原式化简成含a的分式，与已知结果比较得出分子的关系；第(2)问解分式方程后，还要说明x的值使原式有意义。 【详解】(1)原式＝·＝，　……2分 由题意＝，所以＋ax＋6＝(x＋3)(x＋2)，　……1分 这个等式对使原式有意义的x都成立，取x＝1，得1＋a＋6＝12，所以a＝5；这时＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)，化简结果确为。　……2分 (2)由＝3，方程两边乘x－3，得x＋3＝3x－9，解得x＝6，　……2分 检验：当x＝6时，x－3≠0，且原式中的分母－9＝27，x＋3＝9，除式＝都不为0，所以x＝6。　……2分 代值验算：取x＝1，原式＝－2，化简结果＝－2，两者相等。 【方法总结】已知化简结果求参数，可以取使式子有意义的特殊值代入求出参数，再代回验证；求出使原式取某值的x后，必须检验它使原式有意义。 【评分说明】(1)化简原式2分，列出关于a的等式并求出a＝5共3分；(2)解方程得x＝6共2分，检验x＝6使原式有意义2分。 【易错提醒】比较前要先把原式化简；x＝6还要代回原式，看各分母与除式是否为0。 19．【答案】（1）x＝；（2）x＝3；（3）a＝2，b＝2 【解析】【考点】两个分式方程去分母后同解且都无解（求参数） 【命题意图】把两个含参分式方程放在一起，考查去分母后所得整式方程的解使最简公分母为0时原方程无解，并据此求两个参数。 【分析】方程①去分母得(a－1)x＝2，方程②去分母得x＝4－b；这个解不是原方程的解，说明它使最简公分母为0。 【详解】(1)当a＝5时，方程两边乘x－2，得5x－(x－2)＝4，解得x＝，　……2分 检验：当x＝时，x－2≠0，所以x＝是方程①的解。　……1分 (2)当b＝1时，方程两边乘(x＋2)(x－2)，得x＋1＋(x－2)＝x＋2，解得x＝3，　……2分 检验：当x＝3时，(x＋2)(x－2)≠0，所以x＝3是方程②的解。　……1分 (3)方程①去分母得(a－1)x＝2，方程②去分母得x＝4－b；方程①的最简公分母是x－2，它的整式方程的解不是方程①的解，这个解只能是x＝2，　……1分 x＝2时方程②的最简公分母(x＋2)(x－2)也为0，符合要求，由2(a－1)＝2得a＝2，　……1分 由4－b＝2得b＝2，所以a＝2，b＝2。　……1分 验证：a＝2时方程①为－1＝，去分母得x＝2，使x－2＝0，方程①无解；b＝2时方程②去分母得x＝2，使(x＋2)(x－2)＝0，方程②无解。 【方法总结】含参分式方程的“解不是原方程的解”，就是整式方程的解使最简公分母为0；两个方程共用一个这样的解时，先看哪个方程的最简公分母限制更严。 【评分说明】(1)去分母并解出2分，检验1分；(2)去分母并解出2分，检验1分；(3)写出两个整式方程及公共解只能为2共1分，求出a，b各1分。 【易错提醒】方程①的最简公分母只含x－2，公共解只能是x＝2，不能是x＝－2。 20．【答案】（1）步行4 km/h，骑车20 km/h；（2）24 km/h 【解析】【考点】分式方程的应用（外卖配送用时） 【命题意图】以外卖骑手骑车与步行两段路程为情境，考查按总时间列分式方程，再由限定时间反求所需速度。 【分析】设步行的平均速度为x km/h，骑车时间与步行时间之和等于15 min，即 h。 【详解】(1)设小韩步行的平均速度为x km/h，则骑车的平均速度为5x km/h，　……1分 由题意得＋＝，　……2分 方程两边乘20x，得16＋4＝5x，解得x＝4，　……1分 检验：当x＝4时，20x≠0，x＝4是原分式方程的解，且符合题意，5x＝20。答：步行4 km/h，骑车20 km/h。　……1分 (2)步行用时0.2÷4＝0.05（h），即3 min，骑车只能用13－3＝10（min），即 h，　……1分 设骑车的平均速度为v km/h，由题意得＝，解得v＝24，　……2分 检验：当v＝24时，v≠0，v＝24是原分式方程的解，且符合题意。答：骑车的平均速度应为24 km/h。　……1分 【方法总结】分两段行进的问题，分别用“路程÷速度”表示各段时间，按总时间列方程；分钟与小时要换算一致。 【评分说明】(1)设未知数1分，列方程2分，解方程1分，检验并作答1分；(2)求出骑车可用时间1分，列方程2分，检验并作答1分。 【易错提醒】时间单位要统一：15 min＝ h；骑车速度是步行的5倍，时间是。 21．【答案】（1）旧型车12 t，新型车16 t；（2）全部用新型车运费少，少4000元 【解析】【考点】分式方程的应用（冷链运输趟数） 【命题意图】以冷链运输为情境，考查“趟数＝总质量÷每趟运量”与倍数关系列分式方程，并比较两种运输方式的费用。 【分析】用“趟数＝总质量÷每趟运量”表示两种车的趟数，按1.5倍关系列分式方程。 【详解】(1)设旧型车每趟运x t，则新型车每趟运(x＋4) t，　……1分 由题意得＝1.5×，　……2分 方程两边乘x(x＋4)，得288x＝216(x＋4)，解得x＝12，　……2分 检验：当x＝12时，x(x＋4)≠0，x＝12是原分式方程的解，且符合题意，x＋4＝16。答：旧型车每趟运12 t，新型车每趟运16 t。　……1分 (2)全部用新型车需480÷16＝30（趟），运费30×2400＝72000（元）；全部用旧型车需480÷12＝40（趟），运费40×1900＝76000（元），　……3分 72000＜76000，76000－72000＝4000。答：全部用新型车运费少，少4000元。　……1分 检验：新型车运288 t需288÷16＝18（趟），旧型车运144 t需144÷12＝12（趟），18＝1.5×12，符合题意。 【方法总结】运输问题中“趟数＝总量÷每趟运量”，与“时间＝路程÷速度”“数量＝总价÷单价”是同一类数量关系。 【评分说明】(1)设未知数1分，列方程2分，解方程2分，检验并作答1分；(2)分别求出两种方式的趟数与运费3分，比较并作答1分。 【易错提醒】1.5倍乘在旧型车的趟数上；新型车每趟运(x＋4) t。 22．【答案】（1）225件；（2）375件 【解析】【考点】分式方程的应用（3D打印良品率） 【命题意图】以3D打印的良品率为情境，考查比率型分式方程的建立、求解与检验，两问的相等关系逐步推进。 【分析】先求出第一阶段的合格件数，设调整后打印x件，用含x的式子表示合格件数与总件数，按良品率列方程。 【详解】(1)第一阶段合格零件有150×80%＝150×0.8＝120（件），　……1分 设调整参数后打印了x件，由题意得＝92%，　……2分 方程两边乘150＋x，得120＋x＝0.92(150＋x)，解得x＝225，　……2分 检验：当x＝225时，150＋x≠0，x＝225是原分式方程的解，且符合题意。答：调整参数后打印了225件。　……1分 (2)此时共有零件375件，合格345件。设还需再打印y件合格零件，由题意得＝96%，　……2分 解得y＝375，检验：当y＝375时，375＋y≠0，y＝375是原分式方程的解，且符合题意。答：还需要再打印375件合格零件。　……2分 【方法总结】比率类问题按“比率＝部分÷总体”列方程，部分与总体同时变化时，分子、分母都含未知数。 【评分说明】(1)求出合格件数1分，列方程2分，解方程2分，检验并作答1分；(2)列方程2分，解出、检验并作答2分。 【易错提醒】新打印的零件全部合格，分子、分母都要加x；良品率92%写成0.92再去分母。 23．【答案】（1）慢充桩32千瓦，快充桩96千瓦；（2）快充桩4台、慢充桩6台，或快充桩5台、慢充桩5台；（3）快充桩4台、慢充桩6台，最低费用76万元 【解析】【考点】分式方程的应用（充电桩功率与建设方案） 【命题意图】以电动公交充电为情境，先由充电时间差求功率，再结合每晚充电时段、台数与预算列不等式组确定建设方案并选出费用最低的方案。 【分析】设慢充桩的功率为x kW，两种桩充入同样的电量，时间差为5 h；再由每晚7.5 h的充电时段算出每台桩每晚能充几辆车。 【详解】(1)设慢充桩的功率为x kW，则快充桩的功率为3x kW，　……1分 由题意得－＝5，　……2分 方程两边乘3x，得720－240＝15x，解得x＝32，　……1分 检验：当x＝32时，3x≠0，x＝32是原分式方程的解，且符合题意，3x＝96。答：慢充桩32 kW，快充桩96 kW。　……1分 (2)每晚可充电7.5 h，慢充桩充好一辆车需240÷32＝7.5（h），每晚充1辆；快充桩需240÷96＝2.5（h），每晚充3辆，　……2分 设建快充桩k台，则建慢充桩(10－k)台，由题意得13k＋4(10－k)≤85，且3k＋(10－k)≥18，　……2分 解得4≤k≤5，k为整数，所以有两种方案：快充桩4台、慢充桩6台；快充桩5台、慢充桩5台。　……1分 (3)方案一费用13×4＋4×6＝76（万元），方案二费用13×5＋4×5＝85（万元），　……2分 76＜85，所以建快充桩4台、慢充桩6台的方案费用最低，为76万元。　……1分 【方法总结】方案选择题先用分式方程求出关键数据，再把台数、预算、任务量写成不等式组，取整数解得到方案，最后比较费用。 【评分说明】(1)设未知数1分，列方程2分，解方程1分，检验并作答1分；(2)求出每台桩每晚可充车辆数2分，列不等式组2分，写出两种方案1分；(3)计算两种方案费用2分，结论1分。 【易错提醒】22:00至次日5:30是7.5 h；快充桩每台每晚能充3辆，慢充桩只能充1辆。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级上册 第十八章 分式 章末检测·A／B双卷 保密★启用前 第十八章 分式（章末检测•A／B 双卷） 人教版数学八年级上册 （试卷总分：A卷120分＋B卷120分　建议用时：每卷100分钟　测试范围：第十八章 分式） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请在规定位置写清学校、姓名、班级和考号。 2．考试范围：人教版（2024）八年级上册第十八章 分式。 3．本卷由A卷（基础达标）与B卷（能力提升）组成，两卷分别编号，满分各120分，可分两次完成。 4．请按题号在对应区域内作答，写在区域外的答案无效；分式运算的结果要化成最简分式或整式，解分式方程必须检验。 命题说明本卷考查：分式的概念、有意义的条件与值为0、分式的基本性质与约分、通分与最简公分母、分式的乘除与乘方、分式的加减、分式的混合运算与化简求值、条件求值（整体代入、连等式）、零指数幂与负整数指数幂等（A、B两卷，每卷 10 选／5 填／8 解，各 120 分；共 46 题） 考点清单 第十八章的内容可以分成三块：分式及其运算、整数指数幂、分式方程。下表按考点列出A卷、B卷各题的题号：A卷侧重法则的正用与逆用、常见实际问题的建模，B卷侧重多条件合用、参数讨论与方案选择。批改后按行统计失分，哪一行两卷都有错，就回到教材对应小节的例题再练一遍。 本章考点 A卷题号 B卷题号 分式的概念、有意义的条件与值为0 1、4、6 2、6 分式的基本性质与约分 5、13 5、12 通分与最简公分母 12 4 分式的乘除与乘方 7、16 7 分式的加减 8、17 8 分式的混合运算与化简求值 18 17、18 条件求值（整体代入、连等式） 9、18 9 零指数幂与负整数指数幂 3、11 11 整数指数幂的运算性质 16 3、13、16 用科学记数法表示小于1的正数 2 1、16 解分式方程与检验 19 19 含字母系数的分式方程 — 10、19 分式方程的应用（行程、工作效率、比率与方案） 14、15、20、21、22、23 14、20、21、22、23 分式的值为整数 10 15 本章知识要点速览 分式这一章的失分大多出在三处：约分前没有分解因式、减去多项式时符号出错、解分式方程漏了检验。下面十条要点各附一句掌握要求，做题后可以逐条对照自查，化简题再用特殊值代入核对一次。 序号 知识要点 掌握要求 1 分式的概念 A、B是整式，B中含有字母，叫作分式；分母不为0时分式有意义，分子为0且分母不为0时分式的值为0 2 分式的基本性质 分子、分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变；变号时分子、分母同乘－1 3 约分 分子、分母是多项式时先分解因式，再约去公因式，结果化成最简分式 4 通分 系数取最小公倍数，各因式取最高次幂，得到最简公分母 5 乘除与乘方 除以一个分式等于乘它的倒数；分式乘方把分子、分母分别乘方，结果要约分 6 加减 同分母分子相加减；异分母先通分；减去一个多项式分子时整体加括号 7 混合运算 先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里；化简求值所取的值要使原式各分母及除式都不为0 8 整数指数幂 ＝1，＝（a≠0）；同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方对整数指数都成立 9 科学记数法 小于1的正数写成a×，1≤a＜10，n等于原数第一个非0数字前面所有0的个数 10 分式方程 去分母化为整式方程→解整式方程→代入最简公分母检验；应用题还要检验是否符合实际 A 卷　基础达标（满分120分） 评卷人 得分 A卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）某共享单车调度点早上停放着m辆单车，调度车每次运走k辆（m是k的整数倍）。下列各量写成式子后，是分式的是(____)。 A．运走3次后剩下的车数m－3k B．运完这些单车需要的次数 C．4 h运完时平均每小时运走的车数 D．每次多运2辆时一次运走的车数k＋2 2．（本题3分）某款手机芯片中相邻两个晶体管栅极的间距约为48 n m（1 n m＝ m），这个间距用科学记数法表示为(____)m。 A．4.8× B．4.8× C．4.8× D．4.8× 3．（本题3分）已知x是正数，且＝，那么x等于(____)。 A． B． C． D．－ 4．（本题3分）若分式在x＝4时无意义，则当x＝1时，这个分式的值为(____)。 A． B．－1 C．－ D．－6 5．（本题3分）若分式约分后的结果是x＋4，则k的值为(____)。 A．－7 B．1 C．7 D．－1 6．（本题3分）若分式的值为0，则x的值为(____)。 A．3或－3 B．3 C．－2或3 D．－3 7．（本题3分）若M÷＝，则M化成最简分式为(____)。 A． B． C． D． 8．（本题3分）学校图书馆科普区藏书a册，本月借出27册；文学区藏书比科普区多20册，本月借出45册（借阅率＝借出册数÷藏书册数）。本月文学区的借阅率减去科普区的借阅率，结果是(____)。 A． B． C． D． 9．（本题3分）某光伏电站今年的发电量为a万千瓦时，比去年的发电量b万千瓦时增长了40%，则的值为(____)。 A．－ B． C． D．－ 10．（本题3分）使分式的值为整数的整数x共有(____)个。 A．3 B．4 C．8 D．6 评卷人 得分 A卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）若式子＋有意义，则x的取值范围是________。 12．（本题3分）若分式与的最简公分母是6，则正整数m＝________。 13．（本题3分）不改变分式的值，先把的分子、分母中各项的系数都化为整数，再约分，结果为________。 14．（本题3分）校园跑操时，小林和小周同时起跑，小林每分钟比小周多跑25 m，小林跑1800 m所用的时间与小周跑1500 m所用的时间相同，则小周的配速（跑1 km所用的时间）为________min。 15．（本题3分）家用反渗透净水器每制出1 L纯水，会同时排出一定量的浓水（纯水率＝纯水量÷(纯水量＋浓水量)）。换用新型滤芯后，每制出1 L纯水排出的浓水比原来少1 L，纯水率变为原来的1.5倍。用原来的滤芯制出一桶12 L的纯水，要排出浓水________L。 评卷人 得分 A卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）按要求计算（结果化为最简分式，且不含负整数指数）： (1)·； (2)÷。 17．（本题9分）把下列各式化成最简分式或整式： (1)－； (2)2x－1－； (3)＋。 18．（本题9分）先化简，再求值：[－]÷，其中x满足＋x－9＝0。 19．（本题9分）下面两个方程的分母都含有未知数，分别求出它们的解（没有解的写明原分式方程无解）： (1)＋＝； (2)－＝2。 20．（本题9分）某快递分拣中心有新、旧两台分拣机，新机每小时分拣的件数是旧机的1.5倍。一批包裹按如图的安排分拣：两台机器同时开机，新机中途停机检修1 h，检修期间旧机照常分拣，从开机算起3 h恰好分拣完。 (1)两台分拣机单独分拣完这批包裹各需要多少小时？ (2)第二天又到了一批同样多的包裹，先由新机单独分拣，一段时间后旧机加入，两台机器一起分拣到完成，共用3.5 h。旧机应在新机开机后多少小时加入？ 21．（本题10分）某共享单车平台采购一批电单车和普通单车，有关信息如下表。 (1)求普通单车和电单车的单价； (2)平台计划再用不超过50万元采购这两种单车共300辆（单价不变），最多能采购电单车多少辆？ 车型 采购金额 单价 采购数量 电单车 72万元 比普通单车贵1500元 是普通单车数量的1.6倍 普通单车 18万元 — — 22．（本题10分）如图，从甲城到乙城，高铁线路长1260 km，普速铁路线路长1500 km，高铁列车的平均速度是普速列车平均速度的3倍。小李从甲城去乙城乘高铁，从乙城返回甲城乘普速列车，两段乘车时间共16 h。 (1)高铁列车全程用时多少小时？ (2)普速铁路提速改造后，普速列车全程用时缩短为10 h，它的平均速度提高了百分之几？ 23．（本题13分）如图，一架物流无人机在无风时的飞行速度为12 m/s。某天有稳定的风，风速不变，无人机顺风飞行时的速度等于无风时的速度与风速之和，逆风飞行时等于两者之差。实测它逆风飞完一段3.5 km的航线所用的时间，是顺风飞完这段航线所用时间的1.4倍。 (1)求当天的风速； (2)该无人机充满电后可飞行25 min，为保证安全需预留20%的电量（耗电量与飞行时间成正比，起降时间不计）。当天它充满电后从配送站出发顺风送货，再逆风返回配送站，送货点离配送站最远是多少千米？ (3)当天实际送货点离配送站5.6 km，充满电完成这次往返后电池还剩百分之几的电量？ B 卷　能力提升（满分120分） 评卷人 得分 B卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）单层石墨烯的厚度约为0.000000000335 m，这个数据用科学记数法表示为(____)m。 A．3.35× B．3.35× C．3.35× D．3.35× 2．（本题3分）外卖骑手小韩某天工作t h，共送了n单，其中午高峰送了p单。对于下列各量：①平均每小时送的单数；②午高峰以外送的单数；③午高峰送的单数占全天单数的几分之几；④全天单数的一半。用式子表示后是分式的有(____)个。 A．2 B．1 C．3 D．4 3．（本题3分）等式＝对任意不为0的x，y都成立，指数m应取(____)。 A．2 B．－2 C．9 D．6 4．（本题3分）把，，这三个分式通分，所用的最简公分母为(____)。 A．2x(x＋1)(x－1) B．6(x＋1)(x－1) C．6x(x＋1)(x－1) D．6x(x－1) 5．（本题3分）把约分后，求得它在x＝2时的值为(____)。 A．13 B．－13 C．－1 D．1 6．（本题3分）当x＝2时，分式无意义；当x＝－1时，这个分式的值为0，则m＋n的值为(____)。 A．1 B．－1 C．3 D．－3 7．（本题3分）用3D打印机打印一个实心正方体模型（如图），它的棱长为 cm，打印机每分钟打印的体积为立方厘米，打印这个模型需要的时间为(____)min。 A． B． C． D． 8．（本题3分）用宽带从云盘下载资料的速度为x MB/s，用手机热点下载的速度比宽带每秒慢1 MB。用宽带下载600 MB的课程视频，比用热点下载400 MB的讲义多用的时间为(____)s。 A． B． C． D． 9．（本题3分）三个数a，b，c满足＝＝≠0，那么代数式的值是(____)。 A． B．3 C． D．－3 10．（本题3分）关于x的分式方程＝没有解时，m可能取的值是(____)。 A．m＝3 B．m＝1 C．m＝1或m＝3 D．m＝3或m＝5 评卷人 得分 B卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）－＋＝________。 12．（本题3分）若分式约分后等于，则m＝________。 13．（本题3分）若＝，＝9，则＝________。 14．（本题3分）某农场把一片农田改为智能滴灌后，每小时比原来多灌溉0.8亩，改造后灌溉14亩所用的时间与原来灌溉10亩所用的时间相同。改造后灌溉一块35亩的农田需要________h。 15．（本题3分）x是整数，并且分式的值也是整数，满足条件的所有x之和为________。 评卷人 得分 B卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）按要求计算： (1)·（结果不含负整数指数）； (2)÷(8×)（结果用科学记数法表示）。 17．（本题9分）把下列各式化成最简分式或整式： (1)÷； (2)－； (3)(－)·。 18．（本题9分）已知式子÷化简的结果为。 (1)求a的值； (2)当原式的值为3时，求x的值。 19．（本题9分）已知关于x的两个分式方程：①－1＝；②＋＝。 (1)当a＝5时，解方程①； (2)当b＝1时，解方程②； (3)若方程①、②去分母后所得的整式方程有相同的解，而且这个解既不是方程①的解，也不是方程②的解，求a，b的值。 20．（本题9分）如图，外卖骑手小韩取餐后，先骑电动自行车行驶4 km到小区门口，再步行0.2 km把餐送到楼下。他骑车的平均速度是步行平均速度的5倍，这一单从取餐到送达共用了15 min。 (1)求小韩步行和骑车的平均速度； (2)另一单的路线与这一单相同，步行部分用时不变，要在取餐后13 min恰好送达，骑车的平均速度应为多少？ 21．（本题10分）某冷链物流公司用新、旧两种冷藏车运输生鲜，新型车每趟比旧型车多运4 t。新型车运288 t所需的趟数，是旧型车运144 t所需趟数的1.5倍。 (1)两种冷藏车每趟各运多少吨？ (2)新型车每趟运费2400元，旧型车每趟运费1900元。一批480 t的生鲜，全部用新型车运和全部用旧型车运，哪种方式运费少？少多少元？ 22．（本题10分）某工作室用3D打印机批量打印零件（良品率＝合格零件数÷打印零件总数），有关信息如下表。 (1)调整参数后打印了多少件零件？ (2)工作室的目标是使所有零件的良品率达到96%，在(1)的基础上，还需要再打印多少件合格零件？ 阶段 打印件数 合格件数 良品率 第一阶段 150 — 80% 调整参数后 未知 全部合格 — 两阶段合计 — — 92% 23．（本题13分）如图，某公交场站每晚22:00至次日5:30给电动公交车充电。给一辆公交车充入240 kWh电量，用慢充桩比用快充桩多用5 h，快充桩的功率是慢充桩的3倍（充电时间＝充入电量÷功率）。 (1)求慢充桩和快充桩的功率； (2)场站计划新建快充桩和慢充桩共10台，每台快充桩的费用为13万元，每台慢充桩的费用为4万元，总费用不超过85万元；每台桩每晚依次给若干辆车各充入240 kWh电量，要求每晚至少充好18辆车。有哪几种建设方案？ (3)在(2)的方案中，哪种方案费用最低？最低费用是多少万元？ 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $