第26章二次函数分层作业-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第26章二次函数分层作业-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 基础达标 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•西湖区校级月考）二次函数y＝x2﹣ax﹣6的图象与x轴交点的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2026秋•西湖区校级月考）对于任意实数m，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1的顶点一定在（　　） A．直线y＝2x上 B．直线y＝2x+1上 C．直线y＝﹣2x﹣1上 D．抛物线y＝x2﹣2x+4上 3．（2026秋•福清市校级月考）已知A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）三点均在抛物线y＝﹣x2﹣2x+c上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．无法判断 4．（2026•西湖区校级开学）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图．其中b，c的值可能是（　　） A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＞0，c＞0 D．b＜0，c＜0 5．（2026•玄武区校级自主招生）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象过A（3，2），B（﹣1，﹣2），下列c取到（　　）时，a最小． A．2 B．1 C．0 D．﹣1 6．（2026•泗洪县校级模拟）将二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的二次函数的表达式是（　　） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x+2）2﹣3 7．（2026秋•金安区校级月考）已知（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2+m上的点，则（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＝y3 D．y1＝y2＞y3 8．（2026•甘州区校级一模）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2﹣bx与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 9．（2026秋•龙凤区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如表： x的值 … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y的值 … ﹣22 ﹣7 2 5 2 … 当x＝3时，函数y的值是　 　 ． 10．（2026秋•西湖区校级月考）当﹣3≤x≤1时，函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的最大值是8，则a＝　 　 ． 11．（2026•西湖区校级开学）若点A（1，5），B（3，5）均在抛物线y＝x2+bx+c上，则该抛物线的对称轴为直线x＝　 　 ． 12．（2025秋•拱墅区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a为实数，a≠0），当x＞m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　 ． 13．（2025秋•鞍山期末）二次函数y＝ax2+bx+c经过（﹣2，3），（6，3）两点，则一元二次方程ax2+bx+c＝3的两个根是　 　 ． 14．（2026•南岗区校级模拟）如图，小明同学掷实心球时，实心球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则实心球掷出的水平距离OB为　 　 m． 三．解答题（共8小题） 15．（2025秋•靖边县期末）如图，已知二次函数y＝x2﹣4． （1）先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； （2）指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 5 0 ﹣3 16．（2026•义乌市校级开学）某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，其余边用周长为24m的篱笆围成，已知墙a长为10m，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（m），种植园面积为y（m2）． （1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）根据实际需要，要求这个种植园的面积为45m2，求篱笆AB的长． 17．（2026•莘县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知B（0，2），，点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A，C． （1）求二次函数的表达式； （2）将该抛物线先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，此时顶点恰好落在线段AB上，求m与n的关系． 18．（2025秋•雷州市期末）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件单价不能高于70元），每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每个月的销售利润为y元． （1）若上涨5元，每个月可卖出　 　 件，则每个月的销售利润为　 　 元； （2）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 19．（2026•常州校级模拟）平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（4，0）和B（﹣1，0），交y轴于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）将点C向右平移n个单位，再次落在二次函数图象上，求n的值； （3）对于这个二次函数，若自变量x的值增加4时，对应的函数值y增大，求满足题意的自变量x的取值范围． 思维达标 20．（2026•无为市二模）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B两点，对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的表达式． （2）若点M（t，m），N（t+1，n）均在抛物线上，且|m﹣n|＝2，求t的值． （3）线段PQ两端点的坐标为P（﹣5，8），，若抛物线y＝ax2+bx+3向上平移h（h＞0）个单位长度时，与线段PQ只有一个公共点，求h的取值范围． 21．（2026•扶余市模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（2，5），与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C．点P为x轴下方抛物线上的动点，设点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的解析式； （2）求直线AC的解析式； （3）过点P作PD⊥y轴于点D，过点P作y轴的平行线与x轴交于点M，与AC相交于点N，过点N作y轴的垂线，交y轴于点E，设矩形PNED的周长为C． ①求C关于m的函数解析式； ②当C随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 22．（2026•祁县二模）综合与实践 问题情境： 某游乐园上午10点开园，一个热门过山车项目从开园起开始运行，游客陆续到达并排队．经研究发现，现场总人数y（人）与过山车项目运行时间x（分）之间满足关系式：y＝﹣x2+65x．观众进场立即排队，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数．过山车每趟可载30人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务15人． 建立模型： （1）过山车项目的排队人数m（单位：人）与运行时间x（单位：分）的关系式为　 　 ； 问题解决： （2）在过山车开始运行的同时，一名工作人员从门口出发，以2.5米/分的速度沿队伍向末端匀速行走．门口位于第一名游客前方0.5米处，假设排队游客每人间距为0.5米，定义队伍长度L（单位：米）为从门口到队伍末端（最后一名游客所在位置）的距离，则L与排队人数m的关系为L＝0.5m． ①工作人员与门口的距离s（单位：米）与运行时间x（单位：分）的关系式为　 　 ； ②当工作人员恰好走到队伍最末端时，求x的值； （3）过山车项目附近有另一个热门项目“海盗船”（两个项目之间的距离忽略不计）．海盗船在x＝20分钟时开始运行，其排队人数w（单位：人）与运行时间t（从海盗船项目开始运行起算，单位：分钟）满足关系式w＝﹣2t2+80t．已知海盗船每趟可载40人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务20人．当两个项目同时存在排队，且两个项目的排队人数恰好相等时，直接写出x的值，并说明此时游客应选择哪个项目排队能更早入场． 第26章二次函数分层作业-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•西湖区校级月考）二次函数y＝x2﹣ax﹣6的图象与x轴交点的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：令x2﹣ax﹣6＝0， 则Δ＝a2+24＞0， 所以二次函数y＝x2﹣ax﹣6的图象与x轴交点的个数有2个． 故选：C． 2．（2026秋•西湖区校级月考）对于任意实数m，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1的顶点一定在（　　） A．直线y＝2x上 B．直线y＝2x+1上 C．直线y＝﹣2x﹣1上 D．抛物线y＝x2﹣2x+4上 【解答】解：将二次函数变形为y＝（x﹣m）2+2m+1，所以抛物线的顶点坐标为， 消去m，得y＝2x+1， ∴抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1的顶点一定在直线y＝2x+1， 故选：B． 3．（2026秋•福清市校级月考）已知A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）三点均在抛物线y＝﹣x2﹣2x+c上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．无法判断 【解答】解：∵抛物线为y＝﹣x2﹣2x+c， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x1． ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵B（﹣2，y2）与对称轴的距离最近，C（2，y3）与对称轴的距离最远， ∴y2＞y1＞y3． 故选：B． 4．（2026•西湖区校级开学）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图．其中b，c的值可能是（　　） A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＞0，c＞0 D．b＜0，c＜0 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴x0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0． 故选：C． 5．（2026•玄武区校级自主招生）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象过A（3，2），B（﹣1，﹣2），下列c取到（　　）时，a最小． A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【解答】解：把A（3，2），B（﹣1，﹣2）分别代入y＝ax2+bx+c得， ∴c＝﹣3a﹣1， ∴c随a的增大而减小， 故选：A． 6．（2026•泗洪县校级模拟）将二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的二次函数的表达式是（　　） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x+2）2﹣3 【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， 得到的抛物线相应的函数表达式为：y＝（x+3）2+2，即y＝（x+3）2+2， 故选：A． 7．（2026秋•金安区校级月考）已知（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2+m上的点，则（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＝y3 D．y1＝y2＞y3 【解答】解：∵y＝﹣2x2+m， ∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝0， ∴当x＞0时，y随x的增大而减小， ∵（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2+m上的点， ∴点（﹣3，y1）关于对称轴为直线x＝0的对称点是（3，y3）， ∵1＜3＜5， ∴y2＞y1＞y3， 故选：B． 8．（2026•甘州区校级一模）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2﹣bx与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A选项，抛物线开口向上，a＞0，对称轴在x＞0区域，故b＞0，此时ab＞0，故反比例函数在一三象限，符合题意； B选项，抛物线开口向下，a＜0，对称轴在x＜0区域，故b＞0，此时ab＜0，故反比例函数应在二四象限，不符合题意； C选项，抛物线开口向上，a＞0，对称轴在x＜0区域，故b＜0，此时ab＜0，故反比例函数应在二四象限，不符合题意； D选项，抛物线开口向上，a＞0，对称轴在x＜0区域，故b＜0，此时ab＜0，故反比例函数应在二四象限，不符合题意； 故选：A． 二．填空题（共6小题） 9．（2026秋•龙凤区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如表： x的值 … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y的值 … ﹣22 ﹣7 2 5 2 … 当x＝3时，函数y的值是　﹣7　 ． 【解答】解：由表格可知二次函数的对称轴为直线， ∵x＝3关于直线x＝1的对称点为x＝﹣1， 由表格得x＝﹣1时，y＝﹣7， ∴当x＝3时，y＝﹣7． 故答案为：﹣7． 10．（2026秋•西湖区校级月考）当﹣3≤x≤1时，函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的最大值是8，则a＝　或　 ． 【解答】解：∵函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的对称轴为直线x2a，开口向下， ∴当2a≥1时，则x＝1时，函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的最大值是8，即﹣1+4a+2＝8， 解得a， 当2a≤﹣3时，则x＝﹣3时，函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的最大值是8，即﹣9﹣12a+2＝8， 解得a，不合题意，舍去； ∴当﹣3＜2a＜1时，则x＝2a时，函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的最大值是8，即﹣（2a）2+4a•2a+2＝8， 解得a或a（不符合题意）， 故答案为：或． 11．（2026•西湖区校级开学）若点A（1，5），B（3，5）均在抛物线y＝x2+bx+c上，则该抛物线的对称轴为直线x＝　2　 ． 【解答】解：∵点A（1，5），B（3，5）均在抛物线y＝x2+bx+c上， ∴抛物线的对称轴为直线x2， 故答案为：2． 12．（2025秋•拱墅区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a为实数，a≠0），当x＞m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≥1　 ． 【解答】解：由题知， 因为二次函数解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3（a为实数，a≠0）， 所以抛物线的对称轴为直线x． 又因为当x＞m时，y随x的增大而增大， 所以抛物线的开口一定向上，即a＞0， 所以m≥1． 故答案为：m≥1． 13．（2025秋•鞍山期末）二次函数y＝ax2+bx+c经过（﹣2，3），（6，3）两点，则一元二次方程ax2+bx+c＝3的两个根是x1＝﹣2，x2＝6　 ． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c经过（﹣2，3），（6，3）两点， 当x＝﹣2或x＝6时，函数值y＝3， ∴方程ax2+bx+c＝3的两个根为x1＝﹣2和x2＝6， 故答案为：x1＝﹣2，x2＝6． 14．（2026•南岗区校级模拟）如图，小明同学掷实心球时，实心球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则实心球掷出的水平距离OB为　8　 m． 【解答】解：由题意，OA＝1.6m， 得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5， 解得：a， ∴y（x﹣3）2+2.5， 令y＝0，得（x﹣3）2+2.5＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣2， ∴OB为8m， 故答案为：8． 三．解答题（共8小题） 15．（2025秋•靖边县期末）如图，已知二次函数y＝x2﹣4． （1）先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； （2）指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 5 0 ﹣3 【解答】解：（1）列表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 描点，连线画出该二次函数的图象如图： ； （2）抛物线的图象的开口向上、顶点坐标为（0，﹣4）、对称轴为y轴． 16．（2026•义乌市校级开学）某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，其余边用周长为24m的篱笆围成，已知墙a长为10m，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（m），种植园面积为y（m2）． （1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）根据实际需要，要求这个种植园的面积为45m2，求篱笆AB的长． 【解答】解：（1）由题意得，AB＝CD＝xm， 则BC＝（24﹣3x）m， ∴y＝AB×BC＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x， 由题意得，， 解得：， ∴； （2）令y＝45，则﹣3x2+24x＝45， 解得x1＝3，x2＝5， 由（1）得，， ∴x＝5， 答：篱笆AB的长为5m． 17．（2026•莘县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知B（0，2），，点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A，C． （1）求二次函数的表达式； （2）将该抛物线先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，此时顶点恰好落在线段AB上，求m与n的关系． 【解答】解：（1）解：∵B（0，2），OA＝2OB， ∴OB＝2，OA＝4， ∴A（4，0）， ∵二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（4，0），， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式是； （2）由（1）知抛物线的解析式为可化为． ∴其顶点坐标为（2，﹣2） ∵抛物线先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，此时顶点恰好落在线段AB上， ∴平移后得到抛物线，其顶点坐标是（2+m，﹣2+n）． 设直线AB的函数表达式y＝kx+d（k≠0）， ∵A（4，0），B（0，2）， ∴， 解得：， ∴直线AB的函数表达式是． ∴， ∴m+2n＝6． 18．（2025秋•雷州市期末）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件单价不能高于70元），每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每个月的销售利润为y元． （1）若上涨5元，每个月可卖出　175　 件，则每个月的销售利润为　3500　 元； （2）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【解答】解：（1）∵每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件， 若上涨5元，则每个月可卖出：210﹣（5÷1）×7＝175（件）， 每个月的销售利润为：（55﹣35）×175＝3500（元）， 故答案为：175；3500； （2）由题意得：y＝（210﹣7x）（50+x﹣35）＝﹣7x2+105x+3150， ∵每件单价不能高于70元，且x为正整数， ∴50+x≤70， 解得：x≤20， ∴y＝﹣7x2+105x+3150（0＜x≤20且x为整数）； （3）二次函数y＝﹣7x2+105x+3150图象的对称轴为直线， ∵a＝﹣7＜0， ∴二次函数图象开口向下， 根据二次函数图象的对称性可知，当x＝7或x＝8时，二次函数取到最大值﹣7×72+105×7+3150＝3542， ∴当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元． 19．（2026•常州校级模拟）平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（4，0）和B（﹣1，0），交y轴于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）将点C向右平移n个单位，再次落在二次函数图象上，求n的值； （3）对于这个二次函数，若自变量x的值增加4时，对应的函数值y增大，求满足题意的自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（4，0）和B（﹣1，0）， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x+1）， 即y＝x2﹣3x﹣4； （2）由y＝x2﹣3x﹣4可知C（0，﹣4），对称轴为直线x， 设点C向右平移n个单位，所得的点为D， ∵点D落在二次函数图象上， ∴点C、D关于对称轴对称， ∴D（3，﹣4）， ∴n＝3； （3）依题意，当自变量取x+4时的函数值，大于自变量取x时的函数值， ①当x＜x+4时，函数值y随x的增大而减小，与题意不符； ②xx+4时，需x＜x+4，方可满足题意， 解得x； ③x＜x+4时，函数值y随x的增大而增大，符合题意，此时x， 综上，自变量x的取值范围是x． 20．（2026•无为市二模）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B两点，对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的表达式． （2）若点M（t，m），N（t+1，n）均在抛物线上，且|m﹣n|＝2，求t的值． （3）线段PQ两端点的坐标为P（﹣5，8），，若抛物线y＝ax2+bx+3向上平移h（h＞0）个单位长度时，与线段PQ只有一个公共点，求h的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得： 解得 ∴y＝﹣x2﹣2x+3． （2）若点M（t，m），N（t+1，n）均在抛物线上，且|m﹣n|＝2， 根据题意，得m＝﹣t2﹣2t+3，n＝﹣（t+1）2﹣2（t+1）+3， ∴|m﹣n|＝|（﹣t2﹣2t+3）﹣[﹣（t+1）2﹣2（t+1）+3]|＝|2t+3|＝2， ∴2t+3＝2或2t+3＝﹣2， 解得或． （3）线段PQ两端点的坐标为P（﹣5，8），， 由已知y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4． 则抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向上平移h个单位长度后的表达式为： y＝﹣（x+1）2+4+h， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，4+h）． ①当抛物线的顶点落在线段PQ上时，4+h＝8，解得h＝4； ②当抛物线经过点时，， 解得， ③当抛物线经过P（﹣5，8）时，8＝﹣（﹣5+1）2+4+h， 解得h＝20， ∴时，满足题意． 综上所述，h的取值范围是h＝4或． 21．（2026•扶余市模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（2，5），与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C．点P为x轴下方抛物线上的动点，设点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的解析式； （2）求直线AC的解析式； （3）过点P作PD⊥y轴于点D，过点P作y轴的平行线与x轴交于点M，与AC相交于点N，过点N作y轴的垂线，交y轴于点E，设矩形PNED的周长为C． ①求C关于m的函数解析式； ②当C随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（2，5），与x轴交于点A和点B（1，0），将两点坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C， 当y＝0时，得：x2+2x﹣3＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3； 当x＝0时，得：y＝02+2×0﹣3＝﹣3， ∴A（﹣3，0），C（0，﹣3）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3； （3）①如图，点P的横坐标为m，直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3， ∴点P的纵坐标为m2+2m﹣3，即点P（m，m2+2m﹣3）， ∵点M的横坐标为m， ∴点N的纵坐标为﹣m﹣3，即点N（m，﹣m﹣3）， 当﹣3＜m＜0时，PN＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，PD＝﹣m， ∴矩形PNED的周长为C＝2（﹣m2﹣3m﹣m）＝﹣2m2﹣8m， 当0＜m＜1时， 同理可得PN＝m2+2m﹣3﹣（﹣m﹣3）＝m2+3m，PD＝m， ∴矩形PNED的周长为C＝2（m2+3m+m）＝2m2+8m， 即； ②∵当﹣3＜m＜0时， 由C＝﹣2m2﹣8m可得对称轴为直线，且﹣2＜0， 当C随m的增大而增大时，m的取值范围为﹣3＜m＜﹣2； ∵当0＜m＜1时， 由C＝2m2+8m可得对称轴为直线，且2＞0， 当C随m的增大而增大时，m的取值范围为0＜m＜1； 综上，当﹣3＜m＜﹣2或0＜m＜1时，C随m的增大而增大． 22．（2026•祁县二模）综合与实践 问题情境： 某游乐园上午10点开园，一个热门过山车项目从开园起开始运行，游客陆续到达并排队．经研究发现，现场总人数y（人）与过山车项目运行时间x（分）之间满足关系式：y＝﹣x2+65x．观众进场立即排队，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数．过山车每趟可载30人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务15人． 建立模型： （1）过山车项目的排队人数m（单位：人）与运行时间x（单位：分）的关系式为m＝﹣x2+50x ； 问题解决： （2）在过山车开始运行的同时，一名工作人员从门口出发，以2.5米/分的速度沿队伍向末端匀速行走．门口位于第一名游客前方0.5米处，假设排队游客每人间距为0.5米，定义队伍长度L（单位：米）为从门口到队伍末端（最后一名游客所在位置）的距离，则L与排队人数m的关系为L＝0.5m． ①工作人员与门口的距离s（单位：米）与运行时间x（单位：分）的关系式为s＝2.5x ； ②当工作人员恰好走到队伍最末端时，求x的值； （3）过山车项目附近有另一个热门项目“海盗船”（两个项目之间的距离忽略不计）．海盗船在x＝20分钟时开始运行，其排队人数w（单位：人）与运行时间t（从海盗船项目开始运行起算，单位：分钟）满足关系式w＝﹣2t2+80t．已知海盗船每趟可载40人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务20人．当两个项目同时存在排队，且两个项目的排队人数恰好相等时，直接写出x的值，并说明此时游客应选择哪个项目排队能更早入场． 【解答】解：（1）根据排队人数＝现场总人数﹣已入场人数可得： 已知总人数y＝﹣x2+65x， 且每分钟服务15人，x分钟已入场人数为15x， m＝y﹣15x＝（﹣x2+65x）﹣15x， 整理得m＝﹣x2+50x． 故答案为：m＝﹣x2+50x； （2）①工作人员从门口出发，速度为2.5米/分，匀速行走x分钟，由条件可得：s＝2.5x； 故答案为：s＝2.5x； ②工作人员走到队伍末端时，s＝L， ∵L＝0.5m，且m＝﹣x2+50x， ∴L＝0.5（﹣x2+50x）＝﹣0.5x2+25x， 令s＝L，s＝2.5x， 即：2.5x＝﹣0.5x2+25x， 解得x1＝45，x2＝0（舍去）， 因此x＝45． （3）海盗船x＝20分钟开始运行， 因此t＝x﹣20（x＞20）， ∴海盗船的排队人数为：总人数﹣已服务人数＝（﹣2t2+80t）﹣20t＝﹣2t2+60t 令m＝w排， 代入t＝x﹣20得：﹣x2+50x＝﹣2t2+60t＝﹣2（x﹣20）2+60（x﹣20）， 整理得x2﹣90x+2000＝0， 解得x1＝40，x2＝50， 当x＝50时，过山车排队人数m＝﹣502+50×50＝0， 不符合“两个项目同时存在排队”，故舍去， ∴x＝40， 此时两个项目排队人数均为m＝﹣402+50×40＝400， 过山车每分钟服务15人，需要等待分钟， 海盗船每分钟服务20人，需要等待分钟， 因此选择海盗船能更早入场． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $